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Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos1º Semestre de 2013
Capítulo 3
Introdução à Probabilidade
e à Inferência Estatística
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos1º Semestre de 2013
Agora, nós vamos ver como reunir a análise
exploratória de dados, modelos probabilísticos e
amostragem, para podermos desenvolver uma área
importante dentro da estatística, conhecida por
Inferência Estatística.
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Inferência Estatística:
A Inferência Estatística consiste
em um conjunto de métodos
usados para tomar decisões ou
tirar conclusões acerca de uma
população. Esses métodos utilizam
a informação contida em uma
amostra da população para tirar
conclusões.
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Inferência Estatística:
DUAS GRANDES ÁREAS
ESTIMAÇÃO
TESTE DE HIPÓTESES
PONTUAL
INTERVALAR
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Exemplo:
SITUAÇÃO 1:
Considere que um engenheiro de estruturas esteja analisando a resistência à tensão de um componente usado em um chassi de automóvel.
Uma vez que a variabilidade da resistência à tensão está naturalmente presente entre componentes individuais, o interesse do engenheiro está na estimação da resistência média à tensão dos componentes.
Na prática, o engenheiro usará dados da amostra para calcular um número que é, de algum modo, um valor razoável (ou tentativa) da média verdadeira. Esse número é chamado de estimador.
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Exemplo:
SITUAÇÃO 2:
Considere agora uma situação em que duas temperaturas diferentes de
reação, como t1 e t
2 , possam ser usadas em um processo químico.
O engenheiro conjectura que t1 resulta em rendimentos maiores que t
2 .
Neste caso, não há ênfase na estimação de rendimentos; em vez disso,
o foco está na tirada de conclusões acerca de uma hipótese
estabelecida (t1 tem maior rendimento que t
2).
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS:
OBJETIVO: A amostra tem que ser representativa da população.
SOLUÇÃO: Selecionar uma amostra aleatória.
ALTERNATIVA: Observar um conjunto de observações da população
(AMOSTRA) para ajudar a tomar decisões à cerca da população.
Na maioria dos problemas de inferência estatística, é impossível ou
impraticável observar a população inteira.
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS:
Definição 1:
As observações (X1,X
2,...,X
n) são uma amostra aleatória de tamanho n,
se:
(a) os X’s são observações independentes,
(b) todos os Xi ’s podem ser representados pela mesma distribuição de
probabilidade.
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS:
EXEMPLO:
Suponha que estejamos investigando a vida efetiva de serviço de
um componente eletrônico usado em um marca-passo cardíaco e
que a vida do componente seja normalmente distribuída.
Então, esperaríamos que cada uma das observações da vida do
componente Xl , X
2 , ... , X
n em uma amostra aleatória de n
componentes fosse uma variável aleatória independente com,
exatamente, a mesma distribuição normal.
Depois dos dados serem coletados, os valores numéricos dos
tempos de vida observados são denotados por x1, x
2,..., x
n.
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS:
Definição 3:
Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica
da população.
Exemplos de Parâmetros:
� Média populacional:
● Variância populacional: σσσσ2
� Desvio-padrão populacional: σσσσ
µµµµ
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS:
Exemplo:
Similarmente, se a variância da população σσσσ2 for também
desconhecida, um estimador para σσσσ2 será a variância da amostra
S2 e o valor numérico s2 = 6.9, calculado a partir dos dados
amostrais, é chamado de estimativa de σσσσ2.
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DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS:
Problemas de estimação ocorrem frequentemente em todas as áreas. Geralmente, é necessário estimar:
A. A média µµµµ de uma única população;
B. A variância σσσσ2 (ou desvio-padrão σσσσ) de uma única população;
C. A proporção p de itens em uma população que pertence a uma classe
de interesse;
D. A diferença nas médias de duas populações, µµµµ1 - µµµµ
2 ;
E. A diferença nas proporções de duas populações, p1 – p
2 ;
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Podemos ter várias escolhas diferentes para o estimador pontual de um
parâmetro. Por exemplo, se desejarmos estimar a média de uma
população, podemos considerar como estimadores a média ou a mediana
da amostra ou talvez a média das observações menores e maiores da
amostra.
SOLUÇÃO: Estabelecer critérios para escolha de um estimador.
Os critérios para escolha do “melhor” estimador para um determinado
parâmetro populacional são definidos a partir de “propriedades”
desejáveis destes estimadores.
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Definição 5:
Se considerarmos todos os estimadores não viciados de um parâmetro
θ, aquele com menor variância será denominado de estimador não
viciado de menor variância.
EXEMPLO:
Deseja-se comprar um rifle, e dentre muitos, foram selecionados quatro
deles, denominados de rifles A, B, C e D. Com o objetivo de testá-los,
foram disparados 15 tiros com cada um deles. Com o objetivo de
selecionar uma arma dentre as 4, deve-se adotar alguns critérios.
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Os rifles B e D são viciados, isto é, os tiros estão deslocados do alvo. Além disso, o B tem pouca precisão.
O rifle A é não viciado, porém apresenta baixa precisão, isto é os tiros estão muitos espalhados.
De acordo com esses critérios o rifles adotado seria o C, pois ele é não viciado e tem boa precisão.
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1º Semestre de 2013
MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO:
A forma de obtenção de um estimador para um dado parâmetro
populacional, de preferência com as propriedades desejáveis, pode ser
feita utilizando-se diferentes procedimentos chamados de métodos de
estimação. Esses métodos não serão aqui apresentados e podem ser
vistos, por exemplo, em Montgomery e Runger (ver bibliografia do curso).
Destacamos que os principais métodos de estimação são:
1. Métodos dos Momentos;
2. Método da Máxima Verossimilhança;
3. Método dos Mínimos Quadrados;
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DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL:
A distribuição amostral de uma estatística depende da distribuição
da população, do tamanho da amostra e do método de seleção da
amostra. A próxima seção deste capítulo apresenta talvez a mais
importante distribuição amostral. Outras distribuições amostrais e
suas aplicações serão ilustradas quando necessárias (por exemplo, a
distribuição amostral da variância amostral).
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DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL:
Seja uma população composta de 4 suínos, cujos pesos foram observados:
Suínos Pesos (kg)
A 68
B 80
C 84
D 87
Todas as possíveis amostras de tamanho 2, com reposição, desta
população estão apresentadas na próxima tabela.
2 2 2208,7579,8 52,18 7, 22 kg
4kg kgµ σ σ σ= = = = =
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DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL:
Seja uma população composta de 4 suínos, cujos pesos foram observados:
Suínos Pesos (kg)
A 68
B 80
C 84
D 87
Todas as possíveis amostras de tamanho 2, com reposição, desta
população estão apresentadas na próxima tabela.
2 2 2208,7579,8 52,18 7, 22 kg
4kg kgµ σ σ σ= = = = =
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DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL:
A média, a variância e o desvio padrão da distribuição amostral da média são:
Conclusão: a média da distribuição amostral das médias é o mesmo da média da
população. Já variância da distribuição das médias é a variância populacional
dividida pelo tamanho da amostra.
2 2 22 2
74 76 ... 80 84 8779,75
16
(74 79,75) (76 79,75) ... (87 79,75)26,09
16
26,09 5,11 kg
X
X
kg
kg
µ
σ
σ
+ + + + += =
− + − + + −= =
= =
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Distribuição Amostral da Média:
JUSTIFICATIVA TEÓRICA:
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
O Teorema do Limite Central (TLC) nos diz que, independente da
distribuição que a característica em estudo pode ser representada, à
medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral
da média pode ser representada pelo modelo normal.