Introdução à Teoria dos Reticulados e Reticulados de Subgrupos

Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Ciências e Tecnologia

Unidade Acadêmica de Matemática

Introdução à Teoria dos

Reticulados

e Reticulados de Subgrupos

Michell Lucena Dias

sob orientação do

Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão Júnior

Campina Grande - PBSetembro de 2013

Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Ciências e Tecnologia

Unidade Acadêmica de Matemática

Michell Lucena Dias

Reticulados

e Reticulados de Subgrupos

Trabalho apresentado ao Curso de Gra-duação em Matemática da Universi-dade Federal de Campina Grande comorequisito parcial para a obtenção do tí-tulo de Bacharel em Matemática.

Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão Júnior

Orientador

Campina Grande, 30 de Setembro de 2013Curso de Matemática, Modalidade Bacharelado

Reticulados

e Reticulados de Subgrupospor

Michell Lucena Dias

Trabalho de Conclusão de Curso defendido e aprovado em 30 de Setembrode 2013 pela comissão examinadora constituída pelos professores:

Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão JúniorOrientador

UAMat/CCT/UFCG

Prof. Dr. Diogo Diniz Pereira da Silva e SilvaExaminador

UAMat/CCT/UFCG

Com nota igual a:

Resumo

Neste trabalho apresentaremos um estudo introdutório sobre a Teoria dosReticulados, no qual discutiremos algumas propriedades de maior relevância,como modularidade, distributividade e completude, e sobre a estreita relaçãoentre álgebras de Boole e anéis de Boole. Além disso, mostraremos sua utili-dade pontual enquanto ferramenta algébrica no estudo da Teoria de Grupos.Para tanto, buscaremos aplicar os resultados desenvolvidos no presente textoa uma importante classe de reticulados, chamada Reticulados de Subgrupos.

Abstract

In this work we will present an introductory study on the Lattice Theory,in which we will discuss some of the most relevant properties, such as mo-dularity, distributivity and completeness, and the close relationship betweenBoolean algebras and Boolean rings. Furthermore, we will show their utilityas an algebraic tool in the study of Group Theory. For that, we will seekto apply the results developed in this text to an important class of lattices,called Subgroups Lattices.

Dedicatória

Aos meus pais, Mairon e Socorro.

Sumário

Introdução 9

1 Preliminares 111.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 De�nição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Dual de um Sistema Parcialmente Ordenado . . . . . . 131.1.3 Elementos Maximais, Minimais, Máximos e Mínimos . 141.1.4 Diagramas de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.5 Isomor�smo de Conjuntos Parcialmente Ordenados . . 16

1.2 Algumas Notas Sobre Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.1 De�nição e Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3 Classes Laterais e o Teorema de Lagrange . . . . . . . 231.2.4 Grupos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.5 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes . . . . . . . . 251.2.6 Homomor�smos de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.7 Teoremas de Cauchy e de Sylow . . . . . . . . . . . . . 291.2.8 Grupos Abelianos Finitamente Gerados . . . . . . . . . 30

1.3 Anéis de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Reticulados 332.1 Conceitos Primários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1 De�nição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2 Subreticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.3 Homomor�smos de Reticulados . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Reticulados Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Reticulados como Espaços Algébricos . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Reticulados Distributivos e Modulares . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Álgebras de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Reticulados de Subgrupos 653.1 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Reticulados Distributivos e Grupos Cíclicos . . . . . . . . . . . 673.3 Reticulados Modulares e Grupos Abelianos . . . . . . . . . . . 723.4 Grupos Abelianos e Duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Alguns Teoremas de Classi�cação . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5.1 Reticulados de Subgrupos e o Grupo de Klein . . . . . 813.5.2 Reticulados de Subgrupos e Cadeias . . . . . . . . . . . 833.5.3 Reticulados de Subgrupos e Álgebras de Boole . . . . . 863.5.4 Reticulados que Não São Reticulados de Subgrupos . . 86

Bibliogra�a 89

Introdução

A teoria dos reticulados teve sua origem em meados do século XIX com osestudos do matemático britânico George Boole (1815− 1864) sobre relaçõesentre conjuntos. Estes estudos representaram o protótipo das estruturasalgébricas hoje conhecidas como álgebras booleanas, em sua homenagem.

George Boole.

No entanto, o conceito de reticulado, no sentido atual, foi introduzido peloalemão Richard Dedekind (1831−1916) por volta de 1890 com a tentativa deresponder a seguinte problemática ([6]): dados três subgrupos A,B e C de umgrupo abeliano, qual o maior número de subgrupos distintos que é possívelformar usando A,B e C e as operações de união (ou soma) e interseção?

Dedekind iniciou a teoria básica dos reticulados culminando com a publi-cação de dois artigos, em 1897 e 1900. Todavia, o tema permaneceu ador-mecido até a década de 1930, quando passou a ter a colaboração de outrosmatemáticos, como Ernest Schroder, Garret Birko�, Oystein Ore e GeorgeGratzer.

�Daquele momento em diante, a teoriados reticulados tem sido um tema ativoe em crescimento, tanto em termos desua aplicação à álgebra e suas própriasquestões intrínsecas� ([5]).

Assim, sob caráter introdutório, pretendemos com este trabalho resgataresta fecunda linha de pesquisa da álgebra moderna, salientando sua utilidadecomo uma conveniente ferramenta para elucidar características intrínsecas àestrutura de grupo.

Dispusemos este trabalho em três capítulos da seguinte maneira:No Capítulo 1 introduziremos os resultados que darão suporte ao docu-

mento e é assumido o conhecimento por parte do leitor de relações binárias.Iniciamos com a de�nição de ordem parcial em um conjunto, e apresentamosos conceitos relacionados a conjuntos ordenados como ordem dual, elementosmáximo e mínimo, diagramas de Hasse e isomor�smo entre conjuntos ordena-dos. Sobremaneira, este estudo teve como base a referência [4]. Além disso,abordamos brevemente tópicos importantes sobre grupos, os quais serão am-plamente utilizados no Capítulo 3. Nesta seção, seguimos essencialmente [1]e [2]. Por �m, apresentamos a de�nição de Anel de Boole.

No capítulo 2 apresentamos a de�nição de reticulado como um caso par-ticular de conjuntos ordenados. De�niremos distributividade, modularidadee completude, em reticulados, e mostraremos condições que identi�cam reti-culados com estas propriedades, das quais destacamos a Lei de Corte. Emseguida, descreveremos com detalhes o processo de contrução de álgebras deBoole a partir de anéis de Boole, e reciprocamente. Tivemos como referência[3] e [4].

O Capítulo 3 será destinado aos reticulados de subgrupos. Relacionare-mos reticulados distributivos e grupos cíclicos, reticulados modulares e gru-pos abelianos e reticulados auto-duais e grupos abelianos �nitos. Em seguida,ancorados em alguns problemas sugeridos em [7], mostraremos alguns teo-remas que classi�cam reticulados de subgrupos como cadeias, álgebras deBoole e o Grupo de Klein. Também mostraremos exemplos de reticuladosque não são reticulados de subgrupos.

Capítulo 1

Preliminares

1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados

1.1.1 De�nição e Exemplos

De�nição 1.1.1 Seja P um conjunto não vazio. Dizemos que uma relaçãobinária é uma ordem parcial em P , normalmente denotada por �≤�, se possuias seguintes propriedades:

i) a ≤ a, para todo a ∈ P (re�exividade);ii) Se a, b ∈ P são tais que a ≤ b e b ≤ a, então a = b (anti-simetria);iii) Se a, b, c ∈ P são tais que a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c (transitividade);

Neste contexto, dizemos que o par (P,≤) é um sistema parcialmente or-denado, ou que P é um conjunto parcialmente ordenado.

Uma ordem parcial também recebe a denominação de relação de prece-dência. Assim, se a ≤ b, dizemos que a precede b, e que os elementos a e bsão comparáveis. Se a ≤ b e a 6= b então escrevemos a < b e dizemos que aprecede efetivamente b. Dizemos ainda que b é um sucessor de a se a < b ese não existe x ∈ P tal que a < x < b.

De�nição 1.1.2 Seja �≤� uma ordem parcial em P . Se a ≤ b ou b ≤ a,para quaisquer a, b ∈ P , dizemos que �≤� é um ordem total e que (P,≤) éum sistema totalmente ordenado, ou cadeia.

Observe, portanto, que numa cadeia quaisquer dois elementos são com-paráveis.

De�nimos o comprimento de uma cadeia �nita de n elementos como sendon− 1.

Seja C ⊆ N o conjunto dos comprimentos de todas as cadeias �nitas con-tidas em P . Se C é limitado superiormente, dizemos que P tem comprimento�nito. Em caso contrário, dizemos que P tem comprimento in�nito.

De�nição 1.1.3 De�nimos o comprimento (ou altura) de um conjunto or-denado P , e denotamos por l(P ), como sendo

l(P ) = max{n ∈ N;n ∈ C },

se P tem comprimento �nito. Se {n ∈ N;n ∈ C } é ilimitado, de�nimosl(P ) =∞.

De agora em diante, denotaremos (P,≤) simplesmente por P , �cando suaordem subentendida.

Exemplo 1.1.4 Seja E um conjunto qualquer. O conjunto P(E) das partesde E, munido da relação de inclusão, é um sistema parcialmente ordenado.Temos que l(P(E)) = número de elementos de E, se E for �nito.

Exemplo 1.1.5 Sendo G um grupo, o conjunto dos subgrupos de G, munidoda relação de inclusão, é um sistema parcialmente ordenado, normalmentedenotado por R(G). Este será um dos principais objetos de estudo destetrabalho.

Exemplo 1.1.6 O conjunto R dos números reais, munido de sua ordemusual, é uma cadeia.

Exemplo 1.1.7 O conjunto N dos números naturais, munido da relação dedivisibilidade, é um sistema parcialmente ordenado.

Observação 1.1.8 O conjunto Z dos inteiros não pode ser ordenado pelarelação de divisibilidade. De fato, dado a ∈ Z não nulo, temos que −a dividea e a divide −a, mas −a 6= a. Logo, a propriedade de anti-simetria não éválida.

Exemplo 1.1.9 Sejam P1 e P2 conjuntos ordenados. Considerando o pro-duto cartesiano P1 × P2, vamos de�nir a relação

(x1, y1) ≤ (x2, y2) se x1 ≤ x2 e y1 ≤ y2.

Temos que P1 × P2 munido desta relação é um conjunto parcialmente orde-nado, chamado de produto cardinal (ou produto direto) de P1 e P2.

Observação 1.1.10 Se o produto cardinal P1 × P2 é uma cadeia, então P1

e P2 também são. No entanto, a recíproca não é verdadeira. De fato, oselementos (0, 1) e (1, 0) são incomparáveis em R× R.

De�nição 1.1.11 (Q,≤) é dito ser um subsistema de (P,≤) se ∅ 6= Q ⊆ P .

Exemplo 1.1.12 Todo subsistema é por si um sistema parcialmente orde-nado, e todo sistema é um subsistema de si próprio.

Exemplo 1.1.13 Considerando os conjuntos numéricos N,Z,Q e R, temosque N é um subsistema de Z, que é um subsistema de Q, que por sua vez éum subsistema de R, com respeito à sua ordem usual.

Exemplo 1.1.14 Seja E um conjunto in�nito. Então o conjunto de suaspartes �nitas constitui um subsistema de P(E), com respeito a relação deinclusão.

Exemplo 1.1.15 Se a, b ∈ P e a ≤ b, denotemos por [a, b] o conjunto for-mado pelos elementos x ∈ P tais que a ≤ x ≤ b. Temos que [a, b] é umsubsistema de P chamado de intervalo fechado com extremos a e b. Emespecial, para todo a ∈ P , temos que {a} = [a, a] é um subsistema de P .

Exemplo 1.1.16 Dado n ∈ N, denotaremos por Dn o conjunto dos divisoresnaturais de n. Temos que Dn é um subsistema de N, com respeito à relaçãode divisibilidade. Observe que Dn = [1, n].

1.1.2 Dual de um Sistema Parcialmente Ordenado

De�nimos a inversa de uma relação de ordem ≤ em um conjunto P , e deno-tamos por ≤′, como sendo uma relação de ordem em P que satisfaz

a ≤′ b⇐⇒ b ≤ a

para quaisquer a, b ∈ P .

De�nição 1.1.17 O sistema (P,≤′) será dito o dual do sistema (P,≤) se aordem parcial ≤′ for a relação inversa da ordem parcial ≤.

Denotaremos por P ′ o dual de um conjunto ordenado P .

Observação 1.1.18 Todo sistema parcialmente ordenado coincide com odual do seu dual. O dual de uma cadeia ainda é uma cadeia.

1.1.3 Elementos Maximais, Minimais, Máximos e Míni-mos

De�nição 1.1.19 Sejam P um conjunto parcialmente ordenado,∅ 6= S ⊆ P e x ∈ S. Dizemos que:

a) x é um elemento minimal de S, se não existe s ∈ S tal que s < x.b) x é um elemento maximal de S, se não existe s ∈ S tal que x < s.

De�nição 1.1.20 Sejam P um conjunto parcialmente ordenado,∅ 6= S ⊆ P e x ∈ P . Dizemos que:

a) x é uma cota inferior de S, se x ≤ s para todo s ∈ S.b) x é uma cota superior de S, se s ≤ x para todo s ∈ S.

No contexto da de�nição anterior, se x ∈ S é uma cota superior de S,então dizemos que x é um elemento máximo de S. Dualmente, se x ∈ S éuma cota inferior de S, então dizemos que x é um elemento mínimo de S.

É imediato que todo elemento mínimo de S também é um elemento mini-mal de S. Além disso, se x, x′ ∈ S são elementos mínimos de S, então x ≤ x′

e x′ ≤ x, ou seja, x = x′. Portanto, o elemento mínimo de um conjunto, seexistir, é único, e é denotado por minS.

De maneira dual, todo elemento máximo também é um elemento maxi-mal, e é único, se existir. Denotaremos por maxS o elemento máximo de S,se existir.

Usualmente, vamos denotar o mínimo e o máximo de um conjunto orde-nado P por 0 e 1, respectivamente, se existirem.

Exemplo 1.1.21 Em R não existem elementos minimais ou maximais, comrespeito à sua de ordem usual.

Exemplo 1.1.22 Em D36, considere o subconjunto S = {2, 3, 6, 12, 18}. Te-mos que 2 e 3 são elementos minimais e 12 e 18 são elementos maximais emS, mas não existe em S nem máximo e nem mínimo.

Seja P um conjunto parcialmente ordenado com elemento mínimo 0. Di-zemos que x ∈ P é um átomo de P se x é um sucessor de 0.

Observe que os átomos (se existirem) são os elementos minimais do sub-sistema que se obtém de P , excluindo-se o elemento 0.

Exemplo 1.1.23 Seja E um conjunto qualquer. Então 0 = ∅ e 1 = E emP(E) (ordenado pela inclusão). Ademais, os seus átomos são exatamenteos subconjuntos unitários de E.

Exemplo 1.1.24 O conjunto N dos números naturais, parcialmente orde-nado pela divisibilidade, tem como o seu mínimo o número 1, mas não possuimáximo. Temos que os seus átomos são exatamente os números primos.

Exemplo 1.1.25 Sendo G um grupo, tem-se 0 = {e} e 1 = G em R(G),onde �e� denota o elemento neutro de G. Note também que os átomos emR(G) são os subgrupos de G que não possuem subgrupos intermediários, ouseja, são exatamente os seus subgrupos de ordem prima, se existirem (con-forme veremos na seção 3.1). Observe que para cada p primo, pZ é maximalem R(Z)− Z, mas não existem átomos em R(Z).

1.1.4 Diagramas de Hasse

Em geral, a utilização de diagramas é uma conveniente ferramenta para iden-ti�car relações hierárquicas entre determinados elementos. Não obstante, nocaso de sistemas parcialmente ordenados �nitos, os diagramas de Hasse serãointroduzidos de modo a evidenciar tais relações. Considerando-se um sistemaordenado �nito P , seu diagrama é construído da seguinte forma:

• Os elementos do sistema são representados por pequenos círculos;

• Se a < b, então o círculo que representa b �ca acima do círculo querepresenta a;

• Se b é sucessor de a, então o círculo que representa a é ligado ao círculoque representa b por um segmento de reta.

Exemplo 1.1.26 Considere os diagramas abaixo.

O primeiro diagrama representa o conjunto D30, ordenado pela divisibilidade(Exemplo 1.1.16). O segundo representa uma cadeia com quatro elementos.

Exemplo 1.1.27 Considere o sistema parcialmente ordenado representadopelo seguinte diagrama:

Observe que esta é uma generalização dos diagramas de Hasse para conjun-tos ordenados in�nitos. Observe também que o sistema representado acimapossui in�nitos átomos, mas sua altura é �nita (igual a 2).

1.1.5 Isomor�smo de Conjuntos Parcialmente Ordena-dos

De�nição 1.1.28 Sejam P e Q dois sistemas parcialmente ordenados. Di-remos que uma aplicação ϕ : P −→ Q é:

a) isótona, se para a, b ∈ P tais que a ≤ b tivermos ϕ(a) ≤ ϕ(b).b) antítona, se para a, b ∈ P tais que a ≤ b tivermos ϕ(b) ≤ ϕ(a).

De�nição 1.1.29 Um isomor�smo de conjuntos ordenados é de�nido comosendo uma bijeção isótona com inversa isótona.

Se existe um isomor�smo ϕ : P −→ Q dizemos que P e Q são sistemasisomorfos, e denotamos por P ' Q.

Observação 1.1.30 Nem toda aplicação isótona possui inversa isótona. Defato, basta considerarmos a aplicação ϕ : D6 − {1} −→ D9 de�nida por

ϕ(x) =

1, se x = 23, se x = 39, se x = 6

Temos que 1 ≤ 3 em D9, mas sequer ϕ−1(1) e ϕ−1(3) são comparáveis emD6 − {1}.

Observação 1.1.31 Se ϕ : P −→ Q é um isomor�smo de conjuntos orde-nados e x, y ∈ P são elementos distintos, então:

x < y ⇐⇒ ϕ(x) < ϕ(y).

Portanto, todas as relações hierárquicas entre os elementos são preservadaspor isomor�smos, e daí, podemos concluir que sistemas isomorfos possuemo mesmo diagrama de Hasse. Quanto à recíproca, conforme discutimos an-teriormente, como os diagramas de Hasse estabelecem tais relações, entãopodemos concluir que conjuntos ordenados que possuem o mesmo diagramade Hasse são isomorfos.

Observação 1.1.32 Claramente, todo sistema parcialmente ordenado é iso-morfo a si. Observe também que se ϕ : P −→ Q é um isomor�smo, entãoa aplicação inversa ϕ−1 : Q −→ P também é um isomor�smo. De fato, sey1, y2 ∈ Q então existem x1, x2 ∈ P tais que ϕ(x1) = y1 e ϕ(x2) = y2. Logo,

y1 ≤ y2 ⇐⇒ ϕ(x1) ≤ ϕ(x2)⇐⇒ ϕ−1(y1) = x1 ≤ x2 = ϕ−1(y2).

Ademais, como a composta de duas aplicações isótonas é uma aplicação isó-tona, segue que a composição de isomor�smos ainda é um isomor�smo.

Com base nisto, �ca estabelecido, portanto, que a relação de isomor�smona classe de todos os sistemas parcialmente ordenados é uma relação de equi-valência.

Observação 1.1.33 Sejam P e Q conjuntos ordenados e ψ : P −→ Qum isomor�smo. Se P tem mínimo 0P , então Q também possui mínimoe ψ(0P ) = 0Q. De fato, se y ∈ Q, então y = ϕ(x), com x ∈ P . Sendo0P ≤ x, tem-se ϕ(0P ) ≤ ϕ(x) = y.

Por analogia:

• ψ(1P ) = 1Q (onde 1P é o maxP , se existir);

• Se x ∈ P é maximal, então ψ(x) é maximal em Q;

• Se x ∈ P é minimal, então ψ(x) é minimal em Q.

Um isomor�smo de um sistema parcialmente ordenado sobre si mesmoserá dito um automor�smo.

De�nição 1.1.34 Um isomor�smo dual é de�nido como sendo uma aplica-ção bijetiva, antítona e com inversa antítona.

Um isomor�smo dual de um sistema sobre si é de�nido como sendo umautomor�smo dual, ou auto-dualidade.

Observe que um isomor�smo dual entre conjuntos ordenados P e Q podeser visto como um isomor�smo entre P e o dual de Q. Neste sentido, umautomor�smo dual é um isomor�smo entre um conjunto ordenado e seu dual.Em especial, se ψ : P −→ Q é um isomor�smo dual, então, tendo em vista aObservação 1.1.33, tem-se:

• ψ(0P ) = 1Q (onde 0P = minP , se existir);

• ψ(1P ) = 0Q (onde 1P = maxP , se existir);

• Se x ∈ P é maximal, então ψ(x) é minimal em Q;

• Se x ∈ P é minimal, então ψ(x) é maximal em Q.

1.2 Algumas Notas Sobre Grupos

Nesta seção pretendemos coligir alguns resultados e conceitos relevantes sobrea Teoria de Grupos, os quais se farão presentes ao longo deste trabalho. Es-clarecemos, ainda, que as demonstrações serão omitidas para que o presentetexto não se torne demasiado longo, e portanto, fuja do seu objetivo.

1.2.1 De�nição e Propriedades Básicas

De�nição 1.2.1 Sejam G um conjunto não vazio e �∗� uma operação emG. Dizemos que o par (G, ∗) é um grupo se:

i) �∗ � é associativa, ou seja, (a∗ b)∗ c = a∗ (b∗ c) para quaisquer a, b, c ∈ G;ii) �∗� possui elemento neutro, ou seja, existe e ∈ G tal que e ∗ g = g ∗ e = gpara todo g ∈ G;iii) Para cada g ∈ G, existe g−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.

Muitas vezes deixaremos de indicar a operação do grupo, escrevendo sim-plesmente G para denotar (G, ∗). Para a, b ∈ G também representaremosa ∗ b por ab.

Não é difícil ver que o elemento neutro em G é único. Ademais, para cadag ∈ G existe um único g−1 ∈ G tal que gg−1 = g−1g = e. O elemento nestascondições é chamado de inverso de g. Dizemos que G é um grupo abeliano,se a operação �∗� é comutativa.

Dizemos que (G, ∗) é um grupo �nito se o conjunto G é �nito. Em casocontrário, dizemos que o grupo é in�nito. Sendo (G, ∗) �nito, de�nimos asua ordem como sendo o número de elementos de G. Sendo (G, ∗) in�nito,de�nimos a sua ordem como sendo in�nita. Denotaremos a ordem de G por|G|.

Observação 1.2.2 Temos duas notações para grupos.

• Multiplicativa: �·� denota a operação, �e� (ou �1�) denota o elementoneutro e �g−1� denota o inverso do elemento g.

• Aditiva: �+� denota a operação, �0� denota o elemento neutro e �−g�denota o inverso de g.

Observação 1.2.3 Sendo G um grupo, g ∈ G e n ∈ Z, de�nimos

e, se n = 0gg · · · g︸︷︷︸n vezes

, se n > 0

(g−1)|n|, se n < 0

São válidas as leis das potências: gn+m = gngm e (gn)m = gnm, comn,m ∈ Z. Perceba que na notação aditiva, usamos ng ao invés de gn.

Exemplo 1.2.4 (Z,+) e (Q,+) são grupos aditivos e (C∗ = C−{0}, ·) é umgrupo multiplicativo, onde �+� e �·� representam a soma e o produto usuaisde números. Além disso, estes grupos são abelianos.

Exemplo 1.2.5 Sejam G = {e, a, b, c} e �∗� uma operação em G de�nidasegundo a tabela:

∗ e a b c

e e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

Temos que G, munido desta operação, é um grupo, chamado de Grupo deKlein.

Exemplo 1.2.6 Sejam n ∈ N e Mn(R) o conjunto das matrizes de ordem ncom entradas em R. Considerando o conjunto

GLn(R) = {X ∈Mn(R); detX 6= 0},

temos que GLn(R) é fechado em relação ao produto usual de matrizes. Ade-mais, GLn(R), munido deste produto, é um grupo, chamado de grupo linearde grau n sobre R.

Exemplo 1.2.7 Sejam G1, . . . , Gn grupos e considere o produto cartesianoG1 × · · · ×Gn. De�nimos em G1 × · · · ×Gn a operação:

(x1, . . . , xn) · (y1, . . . , yn) = (x1y1, . . . , xnyn)

Temos que G1 × · · · × Gn, munido desta operação, é um grupo, chamadode produto direto de G1, . . . , Gn. Sendo ei o elemento neutro de Gi, temosque (e1, . . . , en) é o elemento neutro do produto direto G1 × . . . × Gn. Se(x1, . . . , xn) ∈ G1 × · · · ×Gn, então (x1, . . . , xn)

−1 = (x−11 , . . . , x−1n ).

De�nição 1.2.8 Sejam G um grupo e g ∈ G. Dizemos que g tem ordem�nita se existe n ∈ Z não nulo tal que gn = e. Neste caso, de�nimos a ordemde g, denotada por o(g), como sendo

o(g) = min{n ∈ N | gn = e}.

Se gn = e vale somente para n = 0, dizemos que a ordem de g é in�nita, edenotamos por o(g) =∞.

Denotemos por T (G) o conjunto dos elemetos de ordem �nita de G. Di-zemos que G é um grupo de torção se T (G) = G. Dizemos que G é um grupolivre de torção se T (G) = {e}.

Observação 1.2.9 Sejam G um grupo, g ∈ G e n,m ∈ Z.

a) Se o(g) é �nita, vale: gn = e ⇐⇒ o(g)divide n. Ademais, gn = gm se, esomente se, n ≡ m (mod o(g)).b) Se o(g) é in�nita, então gn = gm se, e somente se, n = m.

1.2.2 Subgrupos

De�nição 1.2.10 Seja G um grupo. De�nimos um subgrupo de G comosendo um subconjunto H não vazio de G tal que:

i) xy ∈ H para quaisquer x, y ∈ H;ii) x−1 ∈ H para todo x ∈ H.

Escrevemos H ≤ G para indicar que H é subgrupo de G.Se H ≤ G, observe que H é por si um grupo, cujos subgrupos são exata-

mente os subgrupos de G contidos em H.

Exemplo 1.2.11 G e {e} são subgrupos de G.

Exemplo 1.2.12 Se G é o Grupo de Klein, então os seus subgrupos sãoexatamente {e}, G, {e, a}, {e, b} e {e, c}.

Exemplo 1.2.13 Dado g ∈ G, consideremos o seguinte conjunto

〈g〉 = {gn | n ∈ Z}.

Temos que 〈g〉 é um subgrupo de G, chamado de subgrupo gerado por g.Observe que 〈g〉 = 〈g−1〉. Ademais, se o(g) = ∞, então 〈g〉 é in�nito. Seo(g) é �nito, então 〈g〉 = {e, g, . . . , gk−1}, onde k = o(g). Nestas condições,〈g〉 é �nito de ordem igual a o(g).

Exemplo 1.2.14 Se n ∈ Z, então nZ = {nq | q ∈ Z} é um subgrupo dogrupo aditivo dos inteiros. Observe que nZ = 〈n〉.

Exemplo 1.2.15 Sejam G um grupo abeliano e H um subgrupo de G. Seg ∈ G, de�nimos o conjugado de H por g, denotado por g−1Hg, como sendo

g−1Hg = {g−1hg;h ∈ H}.

Perceba que g−1Hg ≤ G e que |H| = |g−1Hg|.

Exemplo 1.2.16 De�nimos o centro de G, normalmente denotado por Z(G),como sendo Z(G) = {x ∈ G | xg = gx,∀g ∈ G}. Note que Z(G) ≤ G.

Exemplo 1.2.17 Se G é um grupo e (Hi)i∈I é uma família de subgrupos deG, ⋂

é um subgrupo de G. Além disso, tal interseção é o maior subgrupo contidoem todos os Hi's. Se a família (Hi)i∈I for uma cadeia (ou seja, Hi1 ⊆ Hi2

ou Hi2 ⊆ Hi1 para quaisquer i1, i2 ∈ I), então⋃i∈I

é um subgrupo de G.

De�nição 1.2.18 Se S ⊆ G, de�nimos o subgrupo de G gerado por S, de-notado por 〈S〉, como sendo a interseção de todos os subgrupos de G quecontêm S.

Observação 1.2.19 Sendo G um grupo, tem-se:

• Se S ⊆ G, então S ⊆ 〈S〉. Além disso, se H é subgrupo de G e S ⊆ H,então 〈S〉 ⊆ H.

• Se S1 ⊆ S2 ⊆ G, então 〈S1〉 ⊆ 〈S2〉.

Observe que se ∅ 6= S ⊆ G, então

〈S〉 = {x1x2 . . . xn/n ∈ N, xi ∈ S ∪ S−1},

onde S−1 = {s−1/s ∈ S}.Se H é subgrupo de G e H = 〈S〉, dizemos que S gera H, ou que S é

o conjunto gerador de H. Se H possui um conjunto gerador �nito, dizemosque H é �nitamente gerado.

Se S = {a1, . . . , an}, denotamos 〈S〉 por 〈a1, . . . , an〉. Sendo G abeliano,temos

〈a1, . . . , an〉 = {ak11 . . . aknn /ki ∈ Z}

(ou {k1a1 + · · · knan/ki ∈ Z}, em notação aditiva).Sejam G um grupo e H e N subgrupos de G. De�nimos

HN = {hn/h ∈ H,n ∈ N}.

Temos que H e N são subconjuntos de HN . Observe que se G é abeliano,então HN ≤ G. Se H e N são �nitos, então

|HN | = |H||N ||H ∩N |

(consultar [2], página 142). Observe também que H ∪N ⊆ HN ⊆ 〈H ∪N〉.

1.2.3 Classes Laterais e o Teorema de Lagrange

De�nição 1.2.20 Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e g ∈ G. De�-nimos:

a) A classe lateral à diretia de H contendo g, denotada por Hg, como sendoHg = {hg/h ∈ H}.b) A classe lateral à esquerda de H contendo g, denotada por gH, como sendogH = {gh/h ∈ H}.

Observação 1.2.21 1) No contexto da de�nição anterior, temos que|Hg| = |Hg| = |H|.2) Para g ∈ G vale: gH = H ⇐⇒ g ∈ H ⇐⇒ Hg = H.3) Para x, y ∈ G vale: xH = yH ⇐⇒ x−1y ∈ H e Hx = Hy ⇐⇒ xy−1 ∈ H.

Vamos denotar por DG:H o conjunto de todas as classes laterais à direitade H em G e por EG:H o conjunto de todas as classes laterais à esquerda deH em G. Ademais, a aplicação

f : EG:H −→ DG:H

xH 7−→ f(xH) = Hx−1

é bem de�nida e é uma bijeção. Assim, os conjuntos EG:H e DG:H têm amesma cardinalidade, a qual é chamada de índice de H em G, e denotadapor |G : H|.

Teorema 1.2.22 (Lagrange) Se G é um grupo �nito e H é um subgrupode G, então

|G| = |G : H||H|

e assim |H| divide |G|.

Demonstração. Consultar [2], página 134.

Observação 1.2.23 O Teorema de Lagrange estabelece um resultado bas-tante útil: se G é um grupo �nito de ordem prima, então {e} e G são seusúnicos subgrupos. Consequentemente, se g ∈ G− {e}, então 〈g〉 = G.

1.2.4 Grupos Cíclicos

De�nição 1.2.24 Dizemos que G é um grupo cíclico se existe g ∈ G tal queG = 〈g〉.

Nas condições desta de�nição, observe que |G| = o(g).Todo grupo cíclico é abeliano (pela lei das potências, gmgn = gm+n =

gn+m = gngm), mas a recíproca não vale. Basta tomarmos como exemplo oGrupo de Klein. Segue do Exemplo 1.2.13 que se G é �nito, vale:

G é cíclico ⇐⇒ existe g ∈ G tal que o(g) = G.

Observação 1.2.25 Todo grupo cíclico é �nitamente gerado (pois possuiconjunto gerador unitário).

Teorema 1.2.26 Seja G = 〈g〉 cíclico.

a) Se H ≤ G, com H 6= {e}, então H = 〈gk〉 onde k = |G : H|.b) Sejam H1 e H2 subgrupos de G tais que |G : H1| = n e |G : H2| = m.Vale: H1H2 = G⇐⇒ mdc(n,m) = 1.c) Se G é in�nito, então 〈gn〉 = 〈gm〉 se, e somente se, n = ±m.d) Se G é �nito e n é divisor de |G|, existe um único H ≤ G tal que |H| = n.Ademais, H = 〈gk〉, onde k = |G|/n = |G : H|.e) Se G é �nito e k ∈ Z, então o(gk) = |G|/d, onde d = mdc(|G|, k). Ade-mais, G = 〈gk〉 se, e somente se, mdc(|G|, k) = 1.

Dizemos que um grupo é localmente cíclico se todo subgrupo �nitamentegerado é cíclico.

Observação 1.2.27 Seja G um grupo localmente cíclico. Valem:

a) G é abeliano. De fato, dados a, b ∈ G, temos que 〈a, b〉 é um subgrupo�nitamente gerado de G, e portanto é cíclico. Logo 〈a, b〉 é abeliano, dondeab = ba. Como estes elementos foram tomados arbitrários em G, segue oresultado.b) Se H ≤ G, então H é localmente cíclico.c) Se G é um grupo �nitamente gerado, então G é cíclico.

Observação 1.2.28 G é localmente cíclico se, e somente se, 〈a, b〉 é cí-clico, para todo a, b ∈ G. De fato, basta observar que se a1, . . . , an ∈ G e〈an−1, an〉 = 〈c〉, então 〈a1, . . . , an〉 = 〈an, . . . , an−2, c〉.

1.2.5 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes

De�nição 1.2.29 Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dizemos queH é um subgrupo normal de G, e denotado por H E G, se gH = Hg paratodo g ∈ H.

Observação 1.2.30 Se G é um grupo e N ≤ G. Então:

N EG⇐⇒ g−1Ng = N, ∀g ∈ G.

Em decorrência disto, se H ≤ G e é único com sua ordem, então H é normalem G.

Observação 1.2.31 Se H E G ou N E G, então HN ≤ G (consultar [2],página 141). Neste caso, como H ∪N ⊆ HN , devemos ter 〈H ∪N〉 ⊆ HN ,e assim 〈H ∪N〉 = HN .

Sejam NEG e G/N = {gN | g ∈ G}. Por simplicidade, vamos denotadorgN por g. Considere também a seguinte operação:

· : G/N ×G/N −→ G/N

(a, b) 7−→ a · b = ab

Temos que G/N , munido desta operação (bem de�nida, uma vez que N énormal emG), é um grupo, chamado de grupo quociente de G por N . Observeque e = N é o elemento neutro em G/N . Observe também que se a ∈ G,então a−1 = a−1 em G/N .

Observação 1.2.32 Sejam G um grupo e N EG. Valem:

a) G/N é trivial se, e somente se, N = G.b) Se g ∈ G e n ∈ Z, então gn = gn. Segue daí que se G é cíclico, entãoG/N é cíclico.c) Se G é abeliano, então G/N é abeliano.d) Se G é �nitamente gerado, então G/N é �nitamente gerado.e) Se G/N e N são �nitos, então G é �nito.f) Se N ⊆ Z(G) e G/N é cíclico, então G é abeliano.

Exemplo 1.2.33 Sendo p primo, considere o subgrupo do grupo aditivo dosracionais

pn; a ∈ Z, n ≥ 0

Temos que o quociente A/Z é um grupo, chamado de p-grupo de Prufer, enormalmente denotado por Cp∞ .

De�nindo αn = 1/pn e Hn = 〈αn〉, temos

Cp∞ =∞⋃n=1

e o(αn) = pn. De fato, observe que a inclusão⋃∞

n=1Hn ⊆ Cp∞ é clarividente.Reciprocamente, se g ∈ Cp∞, então g = a/pn, para algum a ∈ Z e n ∈ Z.Nestas condições

g = a/pn = a1/pn = aαn ∈ 〈αn〉 ⊆ Hn

e assim g ∈⋃∞

n=1Hn mostrando a igualdade.Perceba também que

αn = pm−nαm

para m ≥ n, e assim Hn ⊆ Hm.Tomando agora H um subgrupo próprio de Cp∞, deve existir n ∈ N tal

que αn /∈ H, e daí αm /∈ H para m ≥ n. Seja, portanto,

n0 = max{n ∈ N;αn ∈ H}.

Uma vez que αn0 ∈ H, então Hn0 ⊆ H. Reciprocamente, se g ∈ H entãog = a/pm = aαm, para algum a ∈ Z e m ∈ N, com mdc(a, pm) = 1. Existem,portanto, t, s ∈ Z tais que ta+ spm = 1. Como

ta+ spm = 1 =⇒ t(a/pm) + s = 1/pm

=⇒ tg = αm

=⇒ αm ∈ H=⇒ m ≤ n0,

temos que αm ∈ Hn0. Portanto, g ∈ Hn0 e H = Hn0. Mais geralmente, estesapontamentos indicam que os subgrupos próprios de Cp∞ formam a seguintecadeia não estacionária

{e} = H0 < H1 < H2 < · · · < Hn < Hn+1 < · · ·

onde Hn = 〈αn〉.O grupo Cp∞ é localmente cíclico. De fato, tomando g1, . . . , gk ∈ Cp∞ e

Hn1 , . . . , Hnksubgrupos de Cp∞, tais que gj ∈ Hnj

, seja

l = max{n1, . . . , nk}.

Assim, g1, . . . , gk ∈ Hl, donde 〈g1, . . . , gk〉 ⊆ Hl e portanto 〈g1, . . . , gk〉 écíclico.

Teorema 1.2.34 (Teorema da Correspondência) Sejam G um grupo eN EG. Então:

a) Se H ≤ G e N ⊆ H, então H/N = {h = hN/h ∈ H}.b) Todo subgrupo de G/N é da forma K/N , onde K é um subgrupo de Gcontendo N .

c) Se K1 e K2 são subgrupos de G, ambos contendo N , tais que K1/N =K2/N , então K1 = K2. Ademais, K1 ⊆ K2 se, e somente se, K1/N ⊆ K2/N .d) Se H é um subgrupo de G, com N ⊆ H, tem-se H/NEG/N se, e somentese, H EG.

Observe que o Teorema da Correspondência associa biunivocamente:{Subgrupos de Gcontendo N

}−→

{Subgrupos de

}K 7−→ K/N

1.2.6 Homomor�smos de Grupos

De�nição 1.2.35 Sejam G e G1 grupos. Dizemos que uma aplicaçãoϕ : G −→ G1 é um homomor�smo de grupos se ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) paraquaisquer a, b ∈ G.

De�nimos o Núcleo e a Imagem de um homomor�smo ϕ : G −→ G1,denotados por Kerϕ e Imϕ, respectivamente, como sendo

Kerϕ = {x ∈ G | ϕ(x) = e1},

onde e1 denota o elemento neutro de G1, e

Imϕ = {y ∈ G1 | y = ϕ(x), para algum x ∈ G}.

De�nimos um isomor�smo como sendo um homomor�smo bijetivo. SendoG1 e G2 grupos isomorfos, indicamos por G1 ' G2.

Observação 1.2.36 A inversa de um isomor�smo também é um isomor-�smo.

Proposição 1.2.37 (Propriedades Básicas) Sejam G e G1 grupos eϕ : G −→ G1 um homomor�smo de grupos. Valem:

a) ϕ(e) = e1.

b) ϕ(xn) = ϕ(x)n para quaisquer x ∈ G e n ∈ Z.c) Se H é um subgrupo de G, então

ϕ(H) = {ϕ(h) | h ∈ H}

é um subgrupo de G1. Particularmente, Imϕ é subgrupo de G1.d) Se K é um subgrupo de G1, então ϕ−1(K) ≤ G. Ademais, se K E G1,então ϕ−1(K)EG. Particularmente, kerϕEG.e) ϕ é injetor se, e somente se, Kerϕ = {e}.

Teorema 1.2.38 (1◦ Teorema de Isomor�rmo) Sejam G e G1 grupos eϕ : G −→ G1 um homomor�smo. Sendo N = Kerϕ, a aplicação

ϕ : G/N −→ Imϕg 7−→ ϕ(g) = ϕ(g)

é bem de�nida e é um isomor�smo. Consequentemente, G/N ' Imϕ.

Demonstração. Consultar [2], páginas 148− 149.

Teorema 1.2.39 (2◦ Teorema de Isomor�smo) Sejam G um grupo e He N subgrupos de G, com N EG, então H ∩N EH e

H ∩N.

1.2.7 Teoremas de Cauchy e de Sylow

Teorema 1.2.40 (Cauchy) Sejam G um grupo e p um divisor primo de|G|. Então G possui pelo menos um elemento de ordem p, e consequente-mente pelo menos um subgrupo de ordem p.

Teorema 1.2.41 (1◦ Teorema de Sylow) Seja G um grupo �nito de or-dem pnm, onde p é primo, n ≥ 1 e p não divide m. se k ∈ {1, 2 . . . , n},então G possui pelo menos um subgrupo de ordem pk. Ademais, se k < n eH é um subgrupo de G de ordem pk, então existe algum subgrupo N de G talque H EN e |N | = pk+1.

Sejam G um grupo �nito e p um divisor primo de |G|. O 1◦ Teorema deSylow assegura que se pk divide |G|, então G deve possuir pelo menos umsubgrupo de ordem pk.

Considere pn a maior potência de p que divide |G|. Um subgrupo de Gde ordem pn é chamado de Sp-subgrupo ou p-subgrupo de Sylow de G.

Teorema 1.2.42 (2◦ Teorema de Sylow) Sejam G um grupo �nito e pum divisor primo de |G|. Se P1 e P2 são dois Sp-subgrupos de G, então P1 eP2 são conjugados.

Teorema 1.2.43 (3◦ Teorema de Sylow) Sejam G um grupo �nito, p umdivisor primo de de |G| e np o número de Sp-subgrupos de G. Então np ≡ 1(mod p) e np divide |G : P |, onde P é um Sp-subgrupo de G.

1.2.8 Grupos Abelianos Finitamente Gerados

Sendo G um grupo abeliano �nitamente gerado, dentre todos os conjuntosgeradores �nitos de G, considere aqueles que têm a menor quantidade deelementos. Esta menor quantidade de elementos que um conjunto geradorde G pode ter é chamada de número mínimo de geradores de G, e é denotadapor d(G). Observe que d(G) = 1 se, e somente se, G é cíclico.

No próximo teorema, C∞ denotará um grupo cíclico in�nito, C∞m (m ∈ N)denotará o produto direto C∞ × · · · × C∞︸︷︷︸

m vezese Ck (k ∈ N) denotará o grupo

cíclico de ordem k.

Teorema 1.2.44 (Teorema Fundamental) Seja G um grupo abeliano �-nitamente gerado. Então:

a) G ' Cd1 ×Cd2 ×· · ·×Cdn ×Cm∞, onde, n,m ≥ 0, di divide di+1, para todo

i = 1, . . . , n− 1, e d1 ≥ 2. Ademais, d(G) = n +m, e m = 0 se, e somentese, G é �nito.b) Se Cd1×Cd2×· · ·×Cdn×Cm

∞ ' Cq1×Cq2×· · ·×Cqu×Cv∞, com d1, q1 ≥ 2,

d1 divide di+1, qi divide qi+1 e n,m, u, v ≥ 0, então n = u, m = v e di = qipara todo i = 1, . . . , n− 1.

Observação 1.2.45 Sejam G,G1, . . . , Gn grupos. Então se o grupo G éisomorfo ao grupo G1 × . . . × Gn, então G possui subgrupos normais H1 'G1, . . . , Hn ' Gn tais que:

a) G = H1 . . . Hn.b) Para cada g ∈ G, existem elementos unicamente determinadosx1 ∈ H1, . . . , xn ∈ Hn tais que g = x1 . . . xn.

Para maiores esclarecimentos sobre a observação anterior, indicamos aleitura de [2], páginas 178− 181.

1.3 Anéis de Boole

De�nição 1.3.1 Sejam R um conjunto não vazio e �+� e �·� duas operaçõesbinárias em R. Dizemos que a terna (R,+, ·) é um anel se:

i) (R,+) é um grupo abeliano.ii) �·� é associativa, ou seja, (a · b) · c = a · (b · c) para quaisquer a, b, c ∈ R.iii) �·� é distributiva em relação a �+�, ou seja, a · (b + c) = a · b + a · c e(a+ b) · c = a · c+ b · c, para quaisquer a, b, c ∈ R.

Sendo (R,+, ·) um anel, chamamos a operação �+� de adição e a operação�·� de multiplicação. Para a, b ∈ R, costumamos denotar a · b simplesmentepor ab. O elemento neutro para �+� em R também é normalmente chamadode zero do anel R, e denotado por 0 (ou por 0R). Além disso, para cadaa ∈ R existe um único −a ∈ R tal que a + (−a) = (−a) + a = 0, o qual échamado de oposto aditivo de a. Observe que −(−a) = a.

Dizemos que o anel R é comutativo se �·� for comutativa. Dizemos que Ré um anel com unidade se existe 1 ∈ R tal que 1x = x1 = x para todo x ∈ R.Obsrve que um tal elemento, se existir, é único, e é chamado de unidade deR.

Dizemos que x ∈ R é idempotente se x2 = x.

De�nição 1.3.2 Um anel de Boole é de�nido como sendo um anel onde todoelemento é idempotente.

Observação 1.3.3 Seja A um anel de Boole. Observe primeiramente quepara todo a ∈ A

2a = (2a)2 = 4a2 = 4a,

isto é, 2a = 0, e assim a = −a. Daí, se x, y ∈ R, tem-se

x+ y = (x+ y)2 = (x+ y)(x+ y) = x2 + xy + yx+ y2 = x+ xy + yx+ y,

e portantoxy + yx = 0 =⇒ xy = −yx = yx.

Assim, todo anel de Boole é comutativo.

Capítulo 2

Reticulados

2.1 Conceitos Primários

2.1.1 De�nição e Exemplos

Sejam P um conjunto parcialmente ordenado e X ⊆ P um subconjunto li-mitado superiormente, ou seja, que possui cota superior em P . Um elementob ∈ P será chamado de supremo do conjunto X, quando b é a menor dascotas superiores de X em P , isto é:

i) Para todo x ∈ X, tem-se x ≤ b;ii) Se c ∈ P é tal que x ≤ c para todo x ∈ X, então b ≤ c.

É imediato que se dois elementos b e b′ em P cumprem as condições (i) e(ii) acima, então b ≤ b′ e b′ ≤ b, ou seja, b = b′. Portanto, o supremo de umconjunto, se existir, é único, e denotado por supX.

De maneira dual, um elemento a ∈ P será chamado de ín�mo de umconjunto Y , limitado inferiormente, quando a é a maior das cotas inferioresde Y em P , ou seja, se valem:

i′) Para todo y ∈ Y tem-se a ≤ y;ii′) Se c ∈ P é tal que c ≤ y para todo y ∈ Y , então c ≤ a.

Note que o ín�mo de um conjunto, quando existe, também é único, edenotado por infY .

De�nição 2.1.1 Um sistema parcialmente ordenado será dito um reticuladose nele existirem o supremo e o ín�mo de qualquer par de seus elementos.

Sendo R um reticulado, consideremos as operações em R de�nidas por:

∨ : R×R −→ R(a, b) 7−→ a ∨ b = sup{a, b}

e∧ : R×R −→ R

(a, b) 7−→ a ∧ b = inf{a, b}Observe que estas operações estão bem de�nidas em virtude da unicidade

de supremos e ín�mos, comentadas anteriormente. Dessa forma, passaremosa indicar por ∨ e por ∧, o supremo e o ín�mo de um par de elementos. Maisgeralmente, se P é um conjunto ordenado e S ⊆ P , denotaremos quandoconveniente

supS =∨s∈S

s e infS =∧s∈S

se estes existirem. De modo particular, se S = {s1, s2, . . . , sn}, então deno-taremos

supS =n∨

si e infS =n∧

Exemplo 2.1.2 Toda cadeia é um reticulado, pois quaisquer dois de seuselementos são comparáveis. Logo, o supremo de um par {a, b} será o maiorentre a e b, e o ín�mo será o menor entre eles.

Exemplo 2.1.3 O conjunto das partes de um conjunto E, parcialmente or-denado pela inclusão, é um reticulado. Observe que o supremo e o ín�mo dedois subconjuntos de E são, respectivamente, sua união e sua interseção.

Exemplo 2.1.4 O conjunto N dos números naturais, parcialmente ordenadopela divisibilidade, é um reticulado. O supremo e o ín�mo de dois elementossão, respectivamente, o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comumentre eles.

Exemplo 2.1.5 Para todo grupo G, temos que R(G) é um reticulado. Defato, dados H,N ≤ G, lembre que H ∩ N é o maior subgrupo contido emambos, donde H ∧ N = H ∩ N . Além disso, claramente H ⊆ 〈H ∪ N〉 eN ⊆ 〈H ∪N〉. Tomando, agora, K subgrupo de G tal que H ⊆ K e N ⊆ K,temos que H ∪N ⊆ K e assim 〈H ∪N〉 ⊆ K. Portanto, H ∨N = 〈H ∪N〉.

Exemplo 2.1.6 O conjunto de todos os subespaços de um espaço vetorial,parcialmente ordenado pela inclusão, é um reticulado. Observe que o ín�mode dois subespaços W1 e W2 é a sua interseção. Veja também que se W3 éum subespaço de sorte que W1,W2 ⊆ W3, então W1 +W2 ⊆ W3, onde

W1 +W2 = {w1 + w2;wi ∈ Wi}.

Assim, W1+W2 é o menor subespaço que contém ambos, ou seja, W1∨W2 =W1 +W2.

Exemplo 2.1.7 Se P ′ é o dual do conjunto parcialmente ordenado P , temosque a ∧ b = c em P se, e somente se, a ∨ b = c em P ′. Da mesma forma,a ∨ b = d em P se, e somente se, a ∨ b = d em P ′. Portanto, o dual de umreticulado é um reticulado.

Exemplo 2.1.8 Os diagramas de Hasse de todos os reticulados de ordemmenor do que 6 são:

Este último será chamado de Pentágono.

Exemplo 2.1.9 Considere (G, ∗) o Grupo de Klein (veja Exemplo 1.2.5),onde G = {e, a, b, c}. Sabemos que seus subgrupos são exatamente: {e}, G,〈a〉 = {e, a}, 〈b〉 = {e, b} e 〈c〉 = {e, c}. Logo, R(G) possui 5 elementos, dosquais G e {e} são, respectivamente, o máximo e o mínimo, e os demais sãoincomparáveis dois a dois. Portanto, o diagrama de Hasse de R(G) é:

o qual será chamado de Reticulado de Klein.

Exemplo 2.1.10 O produto cardinal (Exemplo 1.1.9) de dois reticulados éum reticulado. Sendo R e L dois reticulados e (a1, b1), (a2, b2) ∈ R×L, temosque

(a1, b1) ∨ (a2, b2) = (a1 ∨ a2, b1 ∨ b2)

e(a1, b1) ∧ (a2, b2) = (a1 ∧ a2, b1 ∧ b2).

Vimos que o conceito de reticulado está fortemente associado aos concei-tos de supremo e ín�mo. Neste sentido, é fundamental esclarecermos algumaspropriedades relevantes sobre ∨ e ∧, as quais serão alicerce na condução denosso estudo.

Teorema 2.1.11 (Propriedades básicas) Seja R um reticulado. Entãopara quaisquer a, b, c, d ∈ R valem:

a) Se a ≤ b, então a ∨ b = b e a ∧ b = a.b) Se a ≤ b e c ≤ d, então a ∨ c ≤ b ∨ d e a ∧ c ≤ b ∧ d;c) Se a ≤ b, então a ∨ c ≤ b ∨ c e a ∧ c ≤ b ∧ c.d) a ∨ a = a e a ∧ a = a.e) a ∧ b = a ∨ b ⇐⇒ a = b.f) a ∨ b = b ∨ a e a ∧ b = b ∧ a.g) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) e (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c).h) a ∨ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) e (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ≤ a ∧ (b ∨ c).i) a ∨ (a ∧ b) = a e a ∧ (a ∨ b) = a.

Demonstração. a)Decorre imediatamente das de�nições de supremo e ín�mo.

b) Suponha a ≤ b e c ≤ d. Observando que b ≤ b ∨ d e d ≤ b ∨ d, portransitividade, tem-se a ≤ b ∨ d e c ≤ b ∨ d, e portanto, a ∨ c ≤ b ∨ d. Ademonstração da outra a�rmação é análoga.

c) Basta observar que c ≤ c e utilizar d = c no ítem (b).

d) Como a ≤ a decorrem a ≤ a ∨ a e também a ∨ a ≤ a. Logo, poranti-simetria, segue que a ∨ a = a. A demonstração da outra a�rmação éanáloga.

e) Se a = b, é imediato que a ∨ b = a ∧ b em virtude de (c). Reciproca-mente, suponha a ∧ b = a ∨ b. Assim,

a ≤ a ∨ b = a ∧ b ≤ b

eb ≤ a ∨ b = a ∧ b ≤ a.

Daí, por anti-simetria, encontramos a = b.

f) Primeiramente, note que a ≤ b ∨ a e que b ≤ b ∨ a. Devemos ter, en-tão, a ∨ b ≤ b ∨ a. Da mesma forma, veri�ca-se que b ∨ a ≤ a ∨ b, e assim,por anti-simetria, a∨b = b∨a. A demonstração da outra a�rmação é análoga.

g) Temosa ≤ a ∨ b ≤ (a ∨ b) ∨ c.

Veri�camos ainda queb ≤ a ∨ b ≤ (a ∨ b) ∨ c

ec ≤ (a ∨ b) ∨ c,

dondeb ∨ c ≤ (a ∨ b) ∨ c.

Logo, a ∨ (b ∨ c) ≤ (a ∨ b) ∨ c. Da mesma forma, (a ∨ b) ∨ c ≤ a ∨ (b ∨ c), oque nos leva à igualdade (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c). A demonstração da outraa�rmação é análoga.

h) De a ≤ a ∨ b e a ≤ a ∨ c resulta que a ≤ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c). Também

vale b ∧ c ≤ b ≤ a ∨ b e b ∧ c ≤ c ≤ a ∨ c donde b ∧ c ≤ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).Portanto, a∨ (b∧ c) ≤ (a∨ b)∧ (a∨ c) . A demonstração da outra a�rmaçãoé análoga.

i) Por um lado, é imediato que a ≤ a ∨ (a ∧ b). Por outro lado, comoa ≤ a e a ∧ b ≤ a temos a ∨ (a ∧ b) ≤ a, e assim a ∨ (a ∧ b) = a. A demons-tração da outra a�rmação é análoga. �

Em virtude da associatividade de ∨ e ∧, expressadas pelo ítem (g) no teo-rema anterior, por simplicidade, escreveremos a∨b∨c e a∧b∧c para designar,respectivamente, o supremo e o ín�mo de {a, b, c}. Com base nisto, dadosa1, a2, . . . , an (com n ≥ 2) elementos quaisquer de um reticulado, mostra-seindutivamente que

a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an = sup{a1, a2, . . . , an} = (a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an−1) ∨ an

e também

a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ an = inf{a1, a2, . . . , an} = (a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ an−1) ∧ an.

Esta interpretação permite concluir que todo reticulado contém o ín�mo e osupremo de qualquer subconjunto �nito, generalizando, portanto, a De�nição2.1.1.

2.1.2 Subreticulados

De�nição 2.1.12 Sejam R um reticulado e Q um subconjunto não vaziode R. Dizemos que Q é um subreticulado de R se dados a, b ∈ Q, tem-sea∨ b, a∧ b ∈ Q, ou seja, o ín�mo e o supremo de {a, b}, em R, pertencem aQ.

Exemplo 2.1.13 Seja E um conjunto in�nito. Temos que o conjunto daspartes �nitas de E, ordenado pela inclusão, é um subreticulado de P(E)(Exemplo 2.1.3), pois a união e a interseção de conjuntos �nitos é �nita.Por outro lado, observe que o conjunto das partes in�nitas de E não é umsubreticulado de P(E), pois duas de suas partes in�nitas podem ter interse-ção �nita.

Exemplo 2.1.14 Sejam R um reticulado e a, b ∈ R. Perceba que o intervalo[a, b] é um subreticulado de R. De fato, se x, y ∈ [a, b], então a ≤ x ≤ b e

a ≤ y ≤ b, e portanto a ≤ x ∧ y ≤ b e a ≤ x ∨ y ≤ b. Em especial, Dn é umsubreticulado de N (ordenado pela divisibilidade), para todo n ∈ N.

Exemplo 2.1.15 Seja G um grupo. Se H é um subgrupo de G, então R(H)é um subreticulado de R(G). Basta observar que se M e N são subgrupos deH, então M ∨N = 〈M,N〉 ⊆ H e que M ∧N =M ∩N ⊆ H.

Observação 2.1.16 No contexto da De�nição 2.1.12, é interessante obser-var que um subsistema de um reticulado pode ser, por si, um reticulado, e noentanto não ser subreticulado. Por exemplo, considere D36 (ordenado peladivisibilidade) e o subconjunto P = {1, 2, 3, 12}.

Temos que P é um reticulado com respeito à relação de divisibilidade. Porém,o supremo de 2 e 3 em D36 é igual a 6, que não pertence a P . Logo, P nãopode ser um subreticulado de D36 com esta ordem.

2.1.3 Homomor�smos de Reticulados

De�nição 2.1.17 Sejam R1 e R2 reticulados. Uma aplicação ϕ : R1 −→ R2

será dita um homomor�smo de reticulados se preservar ín�mos e supremos,ou seja,

ϕ(x ∧ y) = ϕ(x) ∧ ϕ(y) e ϕ(x ∨ y) = ϕ(x) ∨ ϕ(y)

para quaisquer x, y ∈ R1.

Um isomor�smo de reticulados é de�nido como sendo um homomor�smobijetivo.

Observação 2.1.18 Todo homomor�smo de reticulados é uma aplicaçãoisótona. De fato, seja ϕ : R1 −→ R2 um homomor�smo e x, y ∈ R1 taisque x ≤ y. Então x = x ∧ y e assim

ϕ(x) = ϕ(x ∧ y) = ϕ(x) ∧ ϕ(y)

ou seja, ϕ(x) ≤ ϕ(y). Observe que ϕ(x) ≤ ϕ(y) implica em ϕ(x) = ϕ(x∧ y).

Observação 2.1.19 Sejam ϕ : R1 −→ R2 é um isomor�smo de reticulados.Dados y1, y2 ∈ R2, existem x1, x2 ∈ R1 tais que ϕ(x1) = y1 e ϕ(x2) = y2.Logo,

ϕ−1(y1 ∧ y2) = ϕ−1(ϕ(x1) ∧ ϕ(x2)) = ϕ−1(ϕ(x1 ∧ x2))= x1 ∧ x2 = ϕ−1(y1) ∧ ϕ−1(y2)

e analogamente, ϕ−1(y1 ∨ y2) = ϕ−1(y1)∨ϕ−1(y2). Assim ϕ−1 também é umisomor�smo (tendo em vista que também é bijetiva). Podemos então dizerque R1 e R2 são reticulados isomorfos e, neste caso, usaremos a notaçãoR1 ' R2.

Proposição 2.1.20 Sejam R1 e R2 reticulados e δ : R1 −→ R2 uma aplica-ção bijetiva. Então são equivalentes:

i) x ≤ y se, e somente se, δ(x) ≤ δ(y), para quaisquer x, y ∈ R1 (ou seja, δé um isomor�smo de conjuntos ordenados);ii) δ(x ∨ y) = δ(x) ∨ δ(y) para quaisquer x, y ∈ R1;iii) δ(x ∧ y) = δ(x) ∧ δ(y) para quaisquer x, y ∈ R1.

Além disso, se δ satisfaz (i) e S é um subconjunto de R tal que infS =∧

s∈S sexiste, então infδ(S) =

∧s∈S δ(s) existe e δ(

∧s∈S s) =

∧s∈S δ(s); analoga-

mente, δ(∨

s∈S s) =∨

s∈S δ(s) se supS existe.

Demonstração. Observe que iii) =⇒ i) dá-se essencialmente conforme aObservação 2.1.18, levando em conta que δ é injetora. ii) =⇒ i) mostra-seanalogamente.

i) =⇒ ii) Se δ : R1 −→ R2 satisfaz (i) e S é um subconjunto de R2 talque

z =∧s∈S

existe, então δ(z) ≤ δ(s) para todo s ∈ S. Logo, δ(z) é uma cota inferiorpara δ(S) em R2. Supondo que w ∈ R2 também é uma cota inferior de δ(S),então w ≤ δ(s) e daí, δ−1(w) ≤ s para todo s ∈ S.

Portanto,δ−1(w) ≤

∧s∈S

s = z,

e por conseguinte, w ≤ δ(z). Isto mostra que δ(z) é o ín�mo de δ(S) e que

δ(∧s∈S

s) =∨s∈S

δ(s).

Em particular, (ii) ocorre, bastando tomar S = {x, y}.

i) =⇒ iii) Análoga à demonstração anterior. �

Observação 2.1.21 Nem toda aplicação isótona entre dois reticulados é umhomomor�smo. Por exemplo, considere ψ : D10 −→ D8 de�nida por

ψ(x) =

1, se x = 12, se x = 24, se x = 58, se x = 10

Temos que ψ é isótona, mas

ψ(2 ∧ 5) = ψ(1) = 1 6= 2 = 2 ∧ 4 = ψ(2) ∧ ψ(5).

Observação 2.1.22 Sendo P um reticulado, então todo sistema parcial-mente ordenado isomorfo a P também é um reticulado.

De fato, seja ϕ : P −→ Q um isomor�smo de conjuntos ordenados.Dados x, y ∈ P , temos que x ≤ x ∨ y e y ≤ x ∨ y, donde ϕ(x) ≤ ϕ(x ∨ y) etambém ϕ(y) ≤ ϕ(x ∨ y).

Por outro lado, suponha z ∈ Q tal que ϕ(x) ≤ z e ϕ(y) ≤ z. Devemoster z = ϕ(t), para algum t ∈ P , donde x ≤ t e y ≤ t. Logo, x ∨ y ≤ t, eportanto ϕ(x ∨ y) ≤ ϕ(t) = z. Isto signi�ca que ϕ(x ∨ y) é o menor entreas cotas superiores de {ϕ(x), ϕ(y)} em Q, ou seja, ϕ(x ∨ y) = ϕ(x) ∨ ϕ(y).Ademais, mostra-se dualmente que ϕ(x∧ y) = ϕ(x)∧ϕ(y), e assim (Q,≤) éum reticulado.

Observação 2.1.23 Dois reticulados isomorfos possuem o mesmo Diagramade Hasse.

De�nição 2.1.24 De�nimos um isomor�smo dual entre reticulados, ou anti-isomor�smo, como sendo uma bijeção que inverte ín�mos e supremos, istoé, f(x ∨ y) = f(x) ∧ f(y) e f(x ∧ y) = f(x) ∨ f(y). Dizemos ainda que umreticulado é auto-dual, se existe um isomor�smo entre ele e o seu dual.

Com respeito aos anti-isomor�smos, podemos ainda destacar o resultadodual da Proposição 2.1.20, cuja demonstração é análoga.

Proposição 2.1.25 Sejam R1 e R2 reticulados e δ : R1 −→ R2 uma aplica-ção bijetiva. Então são equivalentes:

i) x ≤ y se, e somente se, δ(y) ≤ δ(x), para quaisquer x, y ∈ R1 (ou seja, δé um isomor�smo dual de conjuntos ordenados);ii) δ(x ∨ y) = δ(x) ∧ δ(y) para quaisquer x, y ∈ R1;iii) δ(x ∧ y) = δ(x) ∨ δ(y) para quaisquer x, y ∈ R1.

Além disso, se δ satisfaz (i) e S é um subconjunto de R tal que infS =∧

s∈S sexiste, então supδ(S) =

∨s∈S δ(s) existe e δ(

∧s∈S s) =

∨s∈S δ(s); analoga-

mente, δ(∨

s∈S s) =∧

s∈S δ(s) se supS existe.

2.2 Reticulados Completos

Na Seção 2.1.1 discutimos que um reticulado contém o supremo e o ín�mode todo subconjunto �nito de seus elementos; porém, isto não ocorre comqualquer subconjunto. Por exemplo, se R não possui máximo e nem mínimo,em especial, não existe o supremo e o ín�mo do próprio R. Neste contexto,introduziremos a seguinte

De�nição 2.2.1 Um reticulado será dito completo se nele existirem o ín�moe o supremo de qualquer subconjunto.

Exemplo 2.2.2 Todo reticulado �nito é completo, em virtude do que foicomentado acima.

Exemplo 2.2.3 Sejam R1 e R2 reticulados isomorfos. Ancorados na Pro-posição 2.1.20, temos que R1 é completo se, e somente se, R2 é completo.Em particular, o dual de todo reticulado completo é completo.

Exemplo 2.2.4 Sejam R1 e R2 reticulados completos e ∅ 6= S ⊆ R1 × R2.De�nindo,

S1 = {x ∈ R1/(x, y) ∈ S, para algum y ∈ R2}e

S2 = {y ∈ R2/(x, y) ∈ S, para algum x ∈ R1},temos S1 ⊆ R1 e S2 ⊆ R2, e portanto, existem supS1 em R1 e supS2 em R2.Logo, (supS1, supS2) é o supremo de S em R1 × R2. Além disso, existemtambém infS1 em R1 e infS2 em R2, donde (infS1, infS2) é o ín�mo de Sem R1 ×R2. Portanto, R1 ×R2 é completo.

Reciprocamente, suponha o produto cardinal R1 × R2 completo e consi-dere S1 e S2 subconjuntos não vazios de R1 e R2, respectivamente. Fixadoarbitrariamente x0 ∈ S1, tomemos o conjunto

A = {(x0, y)/y ∈ S2}.

Tem-se ∅ 6= A ⊆ R1 ×R2, e assim, existe em R1 ×R2 o supA e o infA, osquais são da forma

sup(A) = (x0, ys) e inf(A) = (x0, yi)

Nestas condições, devemos ter ys = supS2 e yi = infS2, ambos pertencendoa R2. Logo, R2 é completo. Analogamente, veri�ca-se que R1 é completo.Com isto, mostramos que

R1 ×R2 é completo ⇐⇒ R1 e R2 são completos.

A propriedade de completude nem sempre é herdada pelos subreticulados.Por exemplo, dado um conjunto E qualquer, P(E) é um reticulado completo.Sendo E um conjunto in�nito, o subreticulado constituído pelo conjuntode suas partes �nitas não pode ser completo. De fato, considerando-se ossubconjuntos unitários, vem∨

{x} =⋃x∈E

{x} = E,

que não é �nito.Outro exemplo interessante ocorre com o conjunto N dos naturais (orde-

nado pela divisibilidade). Por um lado, este reticulado não pode ser completo,pois não existe o mínimo múltiplo comum de um conjunto in�nito de núme-ros naturais. Por outro lado, ele possui in�nitos subreticulados completos:observe que Dn é �nito para todo n ∈ N.

Teorema 2.2.5 Um reticulado R com elemento máximo é completo se, esomente se, contém o ín�mo de todos os seus subconjuntos não vazios.

Demonstração. Suponha que R contém o ín�mo de todos os seus subconjun-tos não vazios. Sejam X ⊆ R não vazio e M o conjunto das cotas superioresde X. Temos que 1 ∈ M , e assim existe em R o ín�mo m de M . Observeque este elemento satisfaz

x ≤ m, ∀x ∈ X.

Ademais, se y ∈ M , então m ≤ y e portanto m é o supremo de X. Assim,todo subconjunto X ⊆ R não vazio possui supremo e ín�mo. Logo, R écompleto.

A recíproca é imediata. �

Observação 2.2.6 Se substituirmos as palavras �máximo� e �ín�mo� no Te-orema anterior por �mínimo� e �supremo�, respectivamente, o resultado aindaserá válido.

Teorema 2.2.7 (Ponto Fixo) Sejam R um reticulado completo eλ : R −→ R um operador isótono. Então existe x ∈ R tal que λ(x) = x.

Demontração. De�na o conjunto

S = {x ∈ R;x ≤ λ(x)}.

Temos que S 6= ∅ pois λ(0) ∈ R, e assim, 0 ≤ λ(0). Logo, 0 ∈ S. Como R écompleto, existe s = supS o qual satisfaz λ(x) ≤ λ(s) para todo x ∈ S. Daí,x ≤ λ(s) para todo x ∈ S, donde s ≤ λ(s), e por conseguinte, λ(s) ≤ λ(λ(s)).Portanto, λ(s) ∈ S donde λ(s) ≤ s. Tem-se então λ(s) = s. �

Observação 2.2.8 O resultado anterior não vale sem a hipótese de comple-tude. De fato, cientes de que Z (munido de sua ordem usual) é um reticuladonão completo, observemos que o operador

f : Z −→ Zn 7−→ f(n) = n+ 1

é isótono, mas não possui ponto �xo.

2.3 Reticulados como Espaços Algébricos

A de�nição que adotamos para reticulados permite classi�cá-los como umcaso especial de conjuntos parcialmente ordenados. Alternativamente, é pos-sível obter o conceito de reticulado utilizando uma abordagem axiomática, naqual passamos a tratá-los com espaços algébricos. Abordaremos esta cons-trução com o teorema a seguir.

Teorema 2.3.1 Sejam R um conjunto não vazio e ∨ : R × R −→ R e∧ : R×R −→ R duas operações binárias em R que possuem as propriedades:

i) a ∨ b = b ∨ a e a ∧ b = b ∧ a (comutatividade)ii) a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c e a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c (associatividade)iii) a ∧ (a ∨ b) = a e a ∨ (a ∧ b) = a (absorção)

para quaisquer a, b, c ∈ R. Então R, munidos destas operações, é um re-ticulado.

Demonstração. Nosso objetivo é de�nir uma ordem parcial em R em termosdas operações ∨ e ∧, e mostrar que dados a, b ∈ R, existe o supremo e oín�mo desses elementos, os quais são expressos exatamente por a∨ b e a∧ b,respectivamente.

Antes disso, note que a ∨ b = b se, e somente se, a ∧ b = a. De fato, sea ∨ b = b, então por absorção, a ∧ b = a ∧ (a ∨ b) = a. Da mesma forma,a ∧ b = a implica a ∨ b = (a ∧ b) ∨ b = b.

Observe também que estas operações gozam da idempotência, pois

a = a ∨ [a ∧ (a ∨ b)] = a ∨ a

e, por analogia, tem-se a ∧ a = a.De�nindo agora a relação

a ≤ b se a ∨ b = b

vamos mostrar que �≤� é uma relação de ordem. De fato:

• a ≤ a, pois a ∨ a = a;

• Se a ≤ b e b ≤ a, então a ∨ b = b e b ∨ a = a, donde a = b;

• Se a ≤ b e b ≤ c, então a ∨ b = b e b ∨ c = c. Daí, a ∨ c = a ∨ (b ∨ c) =(a ∨ b) ∨ c = b ∨ c = c, e portanto, a ≤ c.

Assim, resta-nos mostrar que a∨ b é a menor das cotas superiores e a∧ ba maior das cotas inferiores de {a, b}. Primeiramente, temos que

a ∨ (a ∨ b) = (a ∨ a) ∨ b = a ∨ b

eb ∨ (a ∨ b) = b ∨ (b ∨ a) = (b ∨ b) ∨ a = b ∨ a,

ou seja, a ≤ a ∨ b e b ≤ a ∨ b . Ademais, se c é uma cota superior de {a, b},segue que a ≤ c e b ≤ c, ou seja, a ∨ c = c e b ∨ c = c. Logo,

(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) = a ∨ c = c.

Isto mostra que a∨ b ≤ c, donde concluímos que a∨ b representa o sup{a, b}em R. Dualmente, demonstra-se que a∧ b = inf{a, b}. Desse modo, a terna(R,∨,∧) representa um reticulado, como queríamos. �

2.4 Reticulados Distributivos e Modulares

Teorema 2.4.1 Seja R um reticulado. São equivalentes:

i) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z),∀x, y, z ∈ R.ii) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z),∀x, y, z ∈ R.iii) (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x) = (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z ∧ x), ∀x, y, z ∈ R.

Demonstração. i) =⇒ ii)

(x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = [(x ∧ y) ∨ x] ∧ [(x ∧ y) ∨ z]= [x ∨ (x ∧ y)] ∧ [z ∨ (x ∧ y)]= x ∧ [z ∨ (x ∧ y)]= x ∧ [(z ∨ x) ∧ (z ∨ y)]= [x ∧ (z ∨ x)] ∧ (z ∨ y)= [x ∧ (x ∨ z)] ∧ (y ∨ z)= x ∧ (y ∨ z),

onde na primeira e quarta igualdades usamos (i).

ii) =⇒ iii)

[(x ∨ y) ∧ (y ∨ z)] ∧ (z ∨ x) = [(x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ z] ∨ [(x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ x]= [(x ∨ y) ∧ z ∧ (z ∨ y)] ∨ [x ∧ (x ∨ y) ∧ (y ∨ z)]= [(x ∨ y) ∧ z] ∨ [x ∧ (y ∨ z)]= [z ∧ (x ∨ y)] ∨ [x ∧ (y ∨ z)]= (z ∧ x) ∨ (z ∧ y) ∨ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)= (x ∧ y) ∨ (z ∧ y) ∨ [(z ∧ x) ∨ (x ∧ z)]= (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ [(x ∧ z) ∨ (x ∧ z)]= (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ z),

onde na primeira e quinta igualdade usamos (ii).iii) =⇒ i) Primeiramente,

x ∨ (y ∧ z) = [x ∨ (x ∧ z)] ∨ (y ∧ z)= x ∨ [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)]= [x ∨ (x ∧ y)] ∨ [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)]= x ∨ [(x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ∨ (y ∧ z)]= x ∨ [(x ∨ y) ∧ (x ∨ z) ∧ (y ∨ z)].

onde na quinta igualdade usamos (iii).Tomando y1 = x ∨ y, �camos com

(x ∨ y1) ∧ (x ∨ z) ∧ (y1 ∨ z) = (x ∧ y1) ∨ (x ∧ z) ∨ (y1 ∧ z)= (x ∧ y1) ∨ (y1 ∧ z) ∨ (x ∧ z)= [x ∧ (x ∨ y)] ∨ [(x ∨ y) ∧ z] ∨ (x ∧ z)= x ∨ [(x ∨ y) ∧ z] ∨ (x ∧ z)= x ∨ (x ∧ z) ∨ [(x ∨ y) ∧ z]= x ∨ [(x ∨ y) ∧ z].

Por outro lado,

(x ∨ y1) ∧ (x ∨ z) ∧ (y1 ∨ z) = (x ∨ x ∨ y) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ z)= (x ∨ y) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ z)= (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).

Devemos ter então

x ∨ [(x ∨ y) ∧ z] = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z), ∀x, y, z ∈ R. (2.1)

Portanto,

x ∨ (y ∧ z) = x ∨ {(x ∨ y) ∧ [(x ∨ z) ∧ (y ∨ z)]}= (x ∨ y) ∧ {x ∨ [(x ∨ z) ∧ (y ∨ z)]}= (x ∨ y) ∧ [(x ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z)]= (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).

onde na segunda e terceira igualdades usamos (2.1). �

De�nição 2.4.2 Um reticulado será dito distributivo se possuir uma (e con-sequentemente todas) das propriedades do Teorema 2.4.1.

Observação 2.4.3 Como ∨ e ∧ são comutativas, podemos escrever simples-mente (a ∨ b) ∧ c = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) e (a ∧ b) ∨ c = (a ∨ c) ∧ (b ∨ c).

Exemplo 2.4.4 Todo subreticulado de um reticulado distributivo é distribu-tivo.

Exemplo 2.4.5 O dual de um reticulado distributivo é distributivo.

Exemplo 2.4.6 Sejam R1 e R2 reticulados isomorfos. Então R1 é distribu-tivo se, e somente se, R2 é distributivo.

Exemplo 2.4.7 O produto cardinal R1×R2 é um reticulado distributivo se,e somente se, R1 e R2 são distributivos.

Exemplo 2.4.8 O conjunto N dos naturais, ordenado pela divisibilidade, éum reticulado distributivo. Da Aritmética, lembre-se que dados a, b, c ∈ Ntem-se

mdc(a,mmc(b, c)) = mmc[mdc(a, b),mdc(a, c)].

Exemplo 2.4.9 Se R é uma cadeia, sabemos que quaisquer dois dos seuselementos obedecem a uma ordem de precedência. Tomando então a, b, c ∈ R,podemos supor que ocorra b ≤ c. Neste caso, b ∧ c = b e a ∨ b ≤ a ∨ c, donde

(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = a ∨ b = a ∨ (b ∧ c),

donde se veri�ca a condição (i) do Teorema 2.4.1. Dessa forma, concluímosque toda cadeia é um reticulado distributivo.

Exemplo 2.4.10 O Pentágono e o Reticulado de Klein são exemplos clássi-cos de reticulados não distributivos. Com efeito, consideremos os diagramasabaixo.

No Pentágono, destacamos que

a1 ∨ (b1 ∧ c1) = a1 ∨ 0 = a1 6= b1 = b1 ∧ 1 = (a1 ∨ b1) ∧ (a1 ∨ c1).

Já no Reticulado de Klein, veri�camos que

a2 ∨ (b2 ∧ c2) = a2 ∨ 0 = a2 6= 1 = 1 ∧ 1 = (a2 ∨ b2) ∧ (a2 ∨ c2).

Mais adiante, veremos como estes exemplos ajudam a decidir se um reticu-lado é ou não distributivo.

Teorema 2.4.11 Seja R um reticulado. São equivalentes:

i) [(x ∧ z) ∨ y] ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z),∀x, y, z ∈ R.ii) [(x ∨ z) ∧ y] ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z),∀x, y, z ∈ R.iii) Se x, y, z ∈ R e x ≤ z então x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z.

Demonstração. i) =⇒ ii)

(x ∨ z) ∧ (y ∨ z) = (x ∨ z) ∧ {y ∨ [z ∧ (x ∨ z)]}= {y ∨ [z ∧ (x ∨ z)]} ∧ (x ∨ z)= {[z ∧ (x ∨ z)] ∨ y} ∧ (x ∨ z)= [z ∧ (x ∨ z)] ∨ [y ∧ (x ∨ z)]= z ∨ [y ∧ (x ∨ z)]= [(x ∨ z) ∧ y] ∨ z,

onde usamos (i) na quarta igualdade.ii) =⇒ i)

(x ∧ z) ∨ (y ∧ z) = (x ∧ z) ∨ {y ∧ [z ∨ (x ∧ z)]}= {y ∧ [z ∨ (x ∧ z)]} ∨ (x ∧ z)= {[z ∨ (x ∧ z)] ∧ y} ∨ (x ∧ z)= [z ∨ (x ∧ z)] ∧ [y ∨ (x ∧ z)]= z ∧ [y ∨ (x ∧ z)]= [(x ∧ z) ∨ y] ∧ z,

onde usamos (ii) na quarta igualdade.i) =⇒ iii) Se x ≤ z, então x ∧ z = x e assim

x ∨ (y ∧ z) = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) = [(x ∧ z) ∨ y] ∧ z = (x ∨ y) ∧ z.iii) =⇒ i) Escrevendo x ∧ z = z′, temos que z′ ≤ z. Logo,

[(x ∧ z) ∨ y] ∧ z = (z′ ∨ y) ∧ z = z′ ∨ (y ∧ z) = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z).�

De�nição 2.4.12 Um reticulado será dito modular se possuir uma (e con-sequentemente todas) das propriedades do Teorema 2.4.11.

Exemplo 2.4.13 Sejam R um reticulado distributivo e x, y, z ∈ R. Então[(x ∧ z) ∨ y] ∧ z = [(x ∧ z) ∧ z] ∨ (y ∧ z) = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z).

Assim, todo reticulado distributivo é modular. Em particular, toda cadeia émodular.

Exemplo 2.4.14 Todo reticulado com menos do que 5 elementos é modu-lar. De fato, para um reticulado nestas condições, de acordo com o Exemplo2.1.8, temos duas situações possíveis: ou é uma cadeia ou possui o seguintediagrama:

Logo, x ≤ z implica x = 0 ou z = 1. Assim, é fácil ver que em ambos oscasos vale

x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z,onde x, y ∈ {0, 1, a, b}.

Exemplo 2.4.15 O Pentágono não é modular. De fato, considerando odiagrama

temos x ≤ z, mas x ∨ (y ∧ z) = x ∨ 0 = x 6= z = 1 ∧ z = (x ∨ y) ∧ z.

Teorema 2.4.16 Um reticulado é não modular se, e somente se, contémalgum subreticulado isomorfo ao Pentágono.

Demonstração. Seja R um reticulado não modular. Então existem a, b, c ∈ Rdistintos tais que a < c e

a ∨ (b ∧ c) < (a ∨ b) ∧ c.

Devem também existir em R os elementos

b, b ∧ c, a ∨ b, a ∨ (b ∧ c) e (a ∨ b) ∧ c. (2.2)

Naturalmente, observe que já ocorrem as seguintes precedências

b ∧ c ≤ b ≤ a ∨ b (2.3)

e tambémb ∧ c ≤ a ∨ (b ∧ c) < (a ∨ b) ∧ c ≤ a ∨ b. (2.4)

A�rmação 1 Os elementos destacados em (2.2) são todos distintos.

Em virtude de (2.4), temos que

• b ∧ c 6= (a ∨ b) ∧ c.

• a ∨ (b ∧ c) 6= (a ∨ b) ∧ c;

• a ∨ (b ∧ c) 6= a ∨ b;

• b ∧ c 6= a ∨ b.

Ademais,

• b 6= a ∨ b. De fato, se b = a ∨ b, então a < b e assim a ≤ b ∧ c. Masneste caso,

a ∨ (b ∧ c) = b ∧ c = (a ∨ b) ∧ c,

o que é um absurdo.

• b 6= b ∧ c. Com efeito, se b = b ∧ c, então b < c, donde a ∨ b ≤ c. Logo,

a ∨ (b ∧ c) = a ∨ b = (a ∨ b) ∧ c,

o que nos leva ao mesmo absurdo.

• b 6= a ∨ (b ∧ c). Em caso contrário, teríamos a < b, que já vimosacarretar um absurdo.

• b 6= (a∨ b)∧ c. Em caso contrário, teríamos b < c, o que já mostramosacarretar um absurdo.

• b∧ c 6= a∨ (b∧ c). Em caso contrário, teríamos a ≤ b∧ c e assim a < b,o que já mostramos acarretar um absurdo.

• a ∨ b 6= (a ∨ b) ∧ c. Em caso contrário, teríamos (a ∨ b) ≤ c e portantob < c, o que já mostramos acarretar um absurdo.

A�rmação 2 Supondo a < c, são válidas:

a) b ∨ [(a ∨ b) ∧ c] = a ∨ b.b) b ∧ [(a ∨ b) ∧ c] = b ∧ c.c) b ∨ [a ∨ (b ∧ c)] = a ∨ b.d) b ∧ [a ∨ (b ∧ c)] = b ∧ c.

Para provar (a), observe que

b ≤ a ∨ b e [(a ∨ b) ∧ c] ≤ a ∨ b

donde b∨[(a∨b)∧c] ≤ a∨b. Mas como a < c e a ≤ a∨b, então a ≤ [(a∨b)∧c],e assim a ∨ b ≤ b ∨ [(a ∨ b) ∧ c]. A igualdade segue por anti-simetria.

A prova de (d) dá-se analogamente. Ademais, (b) e (c) decorrem essenci-almente da associatividade de ∨ e ∧.

Portanto, tendo em vista as a�rmações 1 e 2 e as precedências supra-citadas em (2.3) e (2.4), concluímos que os elementos destacados em (2.2)constituem um subreticulado, cujo diagrama é exatamente o Pentágono:

Corolário 2.4.17 O Reticulado de Klein é modular, porém, não distribu-tivo.

Teorema 2.4.18 Um reticulado modular R é distributivo se, e somente se,não possui subreticulado isomorfo ao Reticulado de Klein. Um reticulado R énão distributivo se, e somente se, possui subreticulado isomorfo ao Pentágonoou ao Reticulado de Klein.

Demonstração. Seja R modular, porém, não distributivo. Então existemx, y, z ∈ R tais que (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ z) 6= (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (x ∨ z).De�nindo

u = (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ z)v = (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (x ∨ z)x1 = (x ∧ v) ∨ uy1 = (y ∧ v) ∨ uz1 = (z ∧ v) ∨ u

temos u 6= v e não é difícil ver que u ≤ v, donde

u ≤ (x ∧ v) ∨ u ≤ v

u ≤ (y ∧ v) ∨ u ≤ v

u ≤ (z ∧ v) ∨ u ≤ v

isto é,

u ≤ x1 ≤ v, u ≤ y1 ≤ v e u ≤ z1 ≤ v.

Com base nessas considerações, o nosso objetivo será mostrar que{u, x1, y1, z1, v} é um subreticulado de R isomorfo ao Reticulado de Klein.Para tanto, nossa estratégia será mostrar que u é o ín�mo e v é o supremo en-tre estes elementos, tomando-os dois a dois. Antes disso, porém, ressaltamosque

x ∧ v = x ∧ (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (x ∨ z)= x ∧ (y ∨ z) ∧ (x ∨ z)= x ∧ (y ∨ z)

e também

y ∨ u = y ∨ (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ z)= y ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ z)= y ∨ (x ∧ z).

Segue então

x1 ∧ y1 = [(x ∧ v) ∨ u] ∧ [(y ∧ v) ∨ u]= [((y ∧ v) ∨ u) ∧ (x ∧ v)] ∨ u= [(x ∧ v) ∧ (y ∨ u) ∧ v] ∨ u= [(x ∧ v) ∧ (y ∨ u)] ∨ u= [x ∧ (y ∨ z) ∧ (y ∨ (x ∧ z))] ∨ u.

onde na segunda igualdade foi usada a lei de modularidade (ii) (veja o Te-orema 2.4.11), e na terceira a lei de modularidade (iii), pois u ≤ v. Emparticular, tem-se

[y ∨ z] ∧ [y ∨ (x ∧ z)] = [(x ∧ z) ∨ y] ∧ [z ∨ y]

= [[(x ∧ z) ∨ y] ∧ z] ∨ y= [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)] ∨ y= (x ∧ z) ∨ [(y ∧ z) ∨ y]= (x ∧ z) ∨ y,

onde na segunda igualdade foi usada a lei de modularidade (ii), e na terceiraa lei de modularidade (i). Finalmente,

x1 ∧ y1 = [x ∧ (y ∨ z) ∧ (y ∨ (x ∧ z))] ∨ u= [x ∧ ((x ∧ z) ∨ y)] ∨ u= [((x ∧ z) ∨ y) ∧ x] ∨ u= (x ∧ z) ∨ (y ∧ x) ∨ u= u,

como queríamos. Ademais, esclarecendo que

((x ∧ v) ∨ y) ∧ v = ((x ∧ (y ∨ z)) ∨ y) ∧ v= (((z ∨ y) ∧ x) ∨ y) ∧ v= (z ∨ y) ∧ (x ∨ y) ∧ v= v,

�camos com

x1 ∨ y1 = (x ∧ v) ∨ u ∨ (y ∧ v) ∨ u= [(x ∧ v) ∨ (y ∧ v)] ∨ u= [((x ∧ v) ∨ y) ∧ v] ∨ u= v ∨ u = v.

É notável que os demais casos (x1 ∨ z1 = y1 ∨ z1 = v e x1 ∧ z1 = y1 ∧ z1 = u)seguem de modo análogo.

Daí, se x1 ≤ y1, então x1 = u e y1 = v. Nestas condições, x1 ≤ z1 e assimz1 = x1 ∨ z1 = v, donde z1 = y1. Mas isto acarreta

u = y1 ∧ z1 = y1 ∨ z1 = v,

que é um absurdo. Logo, não existe ordem de precedência entre x1 e y1.Consequentemente, trabalhando de forma inteiramente análoga, concluímosque x1, y1 e z1 são 2 a 2 incomparáveis. Assim, {u, v, x1, y1 e z1} determinamum subreticulado, o qual é isomorfo ao Reticulado de Klein:

A recíproca é imediata.A segunda a�rmação é consequência imediata do Teorema 2.4.16 e do que

foi feito acima. �

Um dos resultados centrais na Teoria dos Reticulados é conhecido comoLei de corte, atribuída a Ore. Esta lei relaciona os reticulados que satisfazema condição

x ∧ z = y ∧ z e x ∨ z = y ∨ z =⇒ x = y. (2.5)

Supondo R um reticulado distributivo e x, y, z ∈ R elementos tais que

x ∧ z = y ∧ z e x ∨ z = y ∨ z,

então

x = x ∧ (x ∨ z) = x ∧ (y ∨ z)= (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = (x ∧ y) ∨ (y ∧ z)= (y ∧ x) ∨ (y ∧ z) = y ∧ (x ∨ z)= y ∧ (y ∨ z) = y.

Logo, a condição (2.5) é intrínseca a todo reticulado distributivo. Noentanto, não é difícil ver que tanto o Pentágono quanto o Reticulado deKlein não gozam de tal propriedade; basta tomar os elementos x, y e z comoindicados abaixo e veri�car que x ∧ z = y ∧ z e x ∨ z = y ∨ z, mas x 6= y.

Este desenvolvimento, justamente com o Teorema 2.4.18, justi�ca o teo-rema a seguir.

Teorema 2.4.19 (Lei de corte) Um reticulado R é distributivo se, e so-mente se, é válida a condição (2.5) para quaisquer x, y, z ∈ R.

Em analogia a Lei de corte, podemos caracterizar os reticulados modula-res em termos do seguinte

Teorema 2.4.20 (Lei de corte enfraquecida) Um reticulado R é modu-lar se, e somente se, possui a propriedade

se x ≤ y, x ∧ z = y ∧ z e x ∨ z = y ∨ z, então x = y (2.6)

para x, y, z ∈ R.

Demonstração. Sejam R um reticulado modular e x, y, z ∈ R tais que x ≤ y,x ∧ z = y ∧ z e x ∨ z = y ∨ z. Então

x = x ∨ (x ∧ z) = x ∨ (y ∧ z)= x ∨ (z ∧ y) = (x ∨ z) ∧ y= (y ∨ z) ∧ y = y.

Reciprocamente, suponha que emR seja satisfeita a condição (2.6) e sejamdados x, y ∈ R tais que x ≤ y. Destacando que x∨ (y∧ z) ≤ y∧ (x∨ z), vem

[x ∨ (y ∧ z)] ∧ z ≤ [y ∧ (x ∨ z)] ∧ z = y ∧ z = (y ∧ z) ∧ z ≤ [x ∨ (y ∧ z)] ∧ z

o que nos dá

[x ∨ (y ∧ z)] ∧ z = [y ∧ (x ∨ z)] ∧ z.

Da mesma forma,

[x ∨ (y ∧ z)] ∨ z ≤ [y ∧ (x ∨ z)] ∨ z ≤ (x ∨ z) ∨ z = x ∨ z ≤ [x ∨ (y ∧ z)] ∨ z,

donde[x ∨ (y ∧ z)] ∨ z = [y ∧ (x ∨ z)] ∨ z.

Em decorrência de (2.6), devemos ter x∨ (y ∧ z) = y ∧ (x∨ z), e portanto Ré modular. �

2.5 Álgebras de Boole

Seja R um reticulado com máximo e mínimo (1 = maxR e 0 = minR).Dizemos que x ∈ R é complementado se existe y ∈ R tal que x ∨ y = 1 ex∧ y = 0. Um elemento y nestas condições é chamado de complemento de x.Observe que se y é complemento de x, então x é complemento de y. Se umelemento x possui um único complemento, então denotamos tal complementopor x.

Não é difícil ver que 1 = 0 e 0 = 1. No entanto, esclarecemos que nemtodos os elementos de um reticulado precisam possuir complemento, e queos complementos podem não ser únicos.

Com efeito, considere os reticulados representados pelos seguintes diagra-mas:

No primeiro caso, por exemplo, observe que a é complemento de b1 e b2 nãotem complemento. No segundo caso, todos os elementos têm complemento.Em especial, cada elemento yi tem por complementos os elementos xi e x.

Este exemplo motiva a seguinte

De�nição 2.5.1 Um reticulado com máximo e mínimo será dito comple-mentado quando existirem complementos de todos os seus elementos.

Sejam R um reticulado distributivo e x ∈ R. Suponha que existam em Rdois complementos para x, digamos, x1 e x2. Temos então

x ∧ x1 = 0 = x ∧ x2 e x ∨ x1 = 1 = x ∨ x2.

Tendo em vista a Lei de corte, concluímos que x1 = x2, ou seja, nenhumelemento de um reticulado distributivo possui mais do que um complemento.

Ainda sob a hipótese de distributividade, temos que se x, y ∈ R são taisque x = y, vem

x ∨ x = 1 = x ∨ y e x ∧ x = 0 = x ∧ y

o que implica x = y.

Teorema 2.5.2 Se os elementos a e b de um reticulado distributivo têmcomplementos, então também a ∧ b e a ∨ b têm complementos e valem asseguintes igualdades (chamadas de Leis de De Morgan):

a ∧ b = a ∨ b e a ∨ b = a ∧ b.

Demonstração. Das igualdades

(a ∧ b) ∧ (a ∨ b) = a ∧ [b ∧ (a ∨ b)]= a ∧ [(b ∧ a) ∨ (b ∧ b)]= a ∧ [(a ∧ b) ∨ 0]

= a ∧ a ∧ b= 0 ∧ b = 0

(a ∧ b) ∨ (a ∨ b) = [(a ∧ b) ∨ a] ∨ b= [(a ∨ a) ∧ (b ∨ a)] ∨ b= [1 ∧ (b ∨ a)] ∨ b= (b ∨ a) ∨ b= (b ∨ b) ∨ a= 1 ∨ a = 1

conclui-se que a ∨ b é complemento de a ∧ b. Dualmente, demonstra-se quea ∧ b é complemento de a ∨ b. �

Do Teorema 2.5.2 resulta imediatamente que se a e b são complementadose a ≤ b, então b = a ∨ b = a ∧ b, isto é, b ≤ a. O teorema também esclareceque num reticulado distributivo com máximo e mínimo, o conjunto dos ele-mentos complementados constitui um subreticulado, que é, evidentemente,distributivo e complementado. Este tipo de estrutura recebe a seguinte

De�nição 2.5.3 Uma álgebra de Boole (ou álgebra booleana) é um reticu-lado distributivo e complementado.

Exemplo 2.5.4 P(E) é uma álgebra de Boole. De fato, lembre que da Teo-ria dos Conjuntos, a união é distributiva com relação a interseção. Ademais,se X ⊆ E, então E −X é o complemento de X em P(E).

Exemplo 2.5.5 Dn é uma álgebra de Boole se, e somente se, n é livre dequadrado. Com efeito, lembremos que Dn é distributivo (Exemplo 2.4.8). Sen é livre de quadrado, então n = p1p2 . . . pm, onde pi ∈ N, i = 1, . . . ,m , sãoprimos distintos. Logo, se x ∈ Dn, não é difícil ver que x é o quociente dadivisão de n por x.

Reciprocamente, suponha Dn uma álgebra booleana e suponha, por ab-surdo, que n não seja livre de quadrado. Neste caso, n será divisível peloquadrado de pelo menos um dos primos de sua decomposição, ou seja, n =pk1p2 . . . pm, com k ≥ 2. Como, evidentemente, p1 ∈ Dn, devemos ter

mdc(p1, p1) = p1 ∧ p1 = minDn = 1,

ou seja, p1 e p1 são relativamente primos. Por outro lado,

n = p1 ∨ p1 = mmc(p1, p1) = p1p1

e daí, p1 = pk−11 p2 . . . pm, sendo k−1 ≥ 1, o que nos leva a uma contradição.

Exemplo 2.5.6 Toda álgebra de Boole totalmente ordenada é uma cadeiacom dois elementos. De fato, dado a ∈ A, devemos ter a ∈ A, e assimpodemos considerar, sem perda de generalidade, a ≤ a. Neste caso, a =a ∨ a = 1, e daí a = a = 1 = 0. Da mesma forma, se a ≤ a, então a = 1.Portanto, A = {0, 1}.

Exemplo 2.5.7 O produto cardinal de duas álgebras de Boole é uma álgebrade Boole. Observe que (a, b) = (a, b).

De posse desse arcabouço, vamos relacionar duas estruturas que aparen-temente são dissociadas, mas que, na verdade, estão intimamente ligadas.Precisamente, vamos mostrar que uma álgebra de Boole induz uma estru-tura de anel de Boole com unidade, e reciprocamente.

Comecemos considerando (A,+, ·) um anel de Boole com unidade, ouseja, um anel em que todo elemento é idempotente (veja a Seção 1.3), e arelação

a ≤ b se a · b = a, para a, b ∈ A.

• a ≤ a, pois a = a2 = a · a;

• Se a ≤ b e b ≤ a, então a · b = a e b · a = b. Logo, a = a · b = b · a = b;

• Se a ≤ b e b ≤ c, então a · b = a e b · c = b. Daí, a = a · b = a · (b · c) =(a · b) · c = a · c, e portanto a ≤ c.

Logo �≤� é uma relação de ordem. Sendo 1 a unidade e 0 o elementoneutro aditivo de A, então 1 · a = a e 0 · a = 0 para todo a ∈ A. Porconseguinte, vale

0 ≤ a ≤ 1, para todo a ∈ A,

isto é, A como conjunto ordenado possui máximo e mínimo. Tem-se tambémque vale 2a = 0 para todo a ∈ A.

• Encontrando expressões para ∨ e ∧ em termos das operações �+� e �·�do anel A: dados a, b ∈ A, temos

(a · b) · a = a · b e (a · b) · b = a · b,

ou seja, a · b ≤ a e também a · b ≤ b. Supondo c ∈ A tal que c ≤ a ec ≤ b, então

c · (a · b) = (c · a) · b = c · b = c,

isto é, c ≤ a · b. Portanto, a ∧ b = a · b.

Observe agora que

a · (a+ b+ a · b) = a · a+ a · b+ a · a · b = a+ 2(a · b) = a,

e que, analogamente, b · (a+ b+a · b) = b. Logo, a+ b+a · b é uma cotasuperior para {a, b} em A. Supondo d ∈ A tal que a ≤ d e b ≤ d, vem

(a+ b+a · b) ·d = a ·d+ b ·d+(a · b) ·d = a+ b+a · (b ·d) = a+ b+a · b,

donde a+ b+ a · b ≤ d. Portanto, a ∨ b = a+ b+ a · b. Logo, (A,≤) éum reticulado.

• Distributividade. Suponha a, b, c ∈ A satisfazendo

a ∨ c = b ∨ c e a ∧ c = b ∧ c.

Logo, a · c = b · c e

a+ c+ a · c = b+ c+ b · c,

donde a + c = b + c e portanto a = b. Tendo em vista a lei de corte,concluímos que A é um reticulado distributivo.

• Complementos. Para todo a ∈ A, tem-se a = 1− a. De fato,

a ∧ (1− a) = a · (1− a) = a− a2 = a− a = 0

a ∨ (1− a) = a+ (1− a) + a · (1− a) = 1

Este desenvolvimento justi�ca que (A,≤) é uma álgebra de Boole.Vamos proceder agora com a construção inversa. A partir de uma álgebra

de Boole A, e de�nindo as operações

+ : A× A −→ A

(a, b) 7−→ a+ b = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b)e

· : A× A −→ A(a, b) 7−→ a · b = a ∧ b

mostraremos que (A,+, ·) é um anel booleano com unidade. É útil observarque

(a ∨ b) ∧ (a ∨ b) = {(a ∨ b) ∧ a} ∨ {(a ∨ b) ∧ b}= {(a ∧ a) ∨ (b ∧ a)} ∨ {(a ∧ b) ∨ (b ∨ b)}= {(0 ∨ (b ∧ a)} ∨ {(a ∧ b) ∨ 0}= (b ∧ a) ∨ (a ∧ b)

ou seja, sempre que conveniente, poderemos utilizar

a+ b = (a ∨ b) ∧ (a ∨ b).

Assim, dados a, b, c ∈ A, vem:

• Comutatividade de �+�.

a+ b = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b) = (b ∧ a) ∨ (b ∧ a) = b+ a;

• Existência de elemento neutro para �+�.

a+ 0 = (a ∧ 1) ∨ (a ∧ 0) = a ∨ 0 = a;

• Existência de opostos aditivos.

a+ a = (a ∧ a) ∨ (a ∧ a) = 0 ∨ 0 = 0;

logo, −a = a;

• Associatividade de �+�.

a+ (b+ c) = a+ [(b ∧ c) ∨ (b ∧ c)]= {a ∧ [(b ∧ c) ∨ (b ∧ c)]} ∨ {a ∧ [(b ∧ c) ∨ (b ∧ c)]}= {a ∧ [(b ∧ c) ∧ (b ∧ c)]} ∨ {a ∧ [(b ∧ c) ∨ (b ∧ c)]}= {a ∧ [(b ∨ c) ∧ (b ∨ c)]} ∨ {a ∧ [(b ∧ c) ∨ (b ∧ c)]}= {a ∧ [((b ∨ c) ∧ b) ∨ ((b ∨ c) ∧ c)]} ∨ {[a ∧ (b ∧ c)] ∨ [a ∧ (b ∧ c)]}= {a ∧ [(b ∧ b) ∨ (c ∧ b) ∨ (b ∧ c) ∨ (c ∧ c)]} ∨ {[a ∧ b ∧ c] ∨ [a ∧ b ∧ c]}= {a ∧ [0 ∨ (c ∧ b) ∨ (b ∧ c) ∨ 0]} ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c)= {a ∧ [(c ∧ b) ∨ (b ∧ c)]} ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c)

= (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c)= {(a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c)} ∨ {(a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c)}= {[(a ∧ b) ∨ (a ∧ b)] ∧ c} ∨ {[(a ∧ b) ∨ (a ∧ b)] ∧ c}

= {[(a ∧ b) ∨ (a ∧ b)] ∧ c} ∨ {[(a ∧ b) ∧ (a ∧ b)] ∧ c}= {[(a ∧ b) ∨ (a ∧ b)] ∧ c} ∨ {[(a ∨ b) ∧ (a ∨ b)] ∧ c}= [(a+ b) ∧ c] ∨ [(a+ b) ∧ c]= (a+ b) + c.

• Comutatividade de �·�.

a · b = a ∧ b = b ∧ a = b · a;

• Existência de elemento neutro para �·�, ou unidade.

1 · a = 1 ∧ a = a;

• Associatividade de �·�.

(a · b) · c = (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) = a · (b · c);

• Distributividade de �·� com relação a �+�.

(a · b) + (a · c) = [(a ∧ b) ∧ (a ∧ c)] ∨ [(a ∧ b) ∧ (a ∧ c)]= [(a ∧ b) ∧ (a ∨ c)] ∨ [(a ∨ b) ∧ (a ∧ c)]= (a ∧ b ∧ a) ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ a ∧ c) ∨ (b ∧ a ∧ c)= 0 ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ 0 ∨ (b ∧ a ∧ c)= (a ∧ b ∧ c) ∨ (b ∧ a ∧ c)= [a ∧ (b ∧ c)] ∨ [a ∧ (b ∧ c)]= a ∧ [(b ∧ c) ∨ (b ∧ c)]= a · (b+ c);

• Idempotência. a2 = a · a = a ∧ a = a.

Capítulo 3

Reticulados de Subgrupos

Neste capítulo vamos estudar o comportamento dos reticulados de subgru-pos. Em especial, vamos investigar propriedades inerentes de um grupo Ga partir da coleta de informações de seu reticulado de subgrupos R(G), taiscomo distributividade, modularidade, dualidade, dentre outras. Buscaremos,também, interpretar alguns resultados da Teoria de Grupos utilizando a lin-guagem de reticulados.

3.1 Resultados Preliminares

Sendo G um grupo, introduzimos anteriormente que R(G) é um reticulado,onde

H ∧N = H ∩N e H ∨N = 〈H ∪N〉

para H,N ≤ G. Particularmente, conforme a Observação 1.2.31, se H ou Né normal em G, então H ∨N = HN .

Sendo NEG, vimos que o intervalo [N,G] em R(G) representa os subgru-pos de G que contêm N . Assim, se H ∈ [N,G], devemos ter N EH, e assimfaz sentido falar no quociente H/N . Podemos então associar biunívocamente

[N,G] −→ R(G/N)H 7−→ H/N

e esta aplicação é um isomor�smo de conjuntos ordenados. Este desenvol-vimento pode ser interpretado como sendo o Teorema da Correspondência(Teorema 1.2.34) em linguagem de reticulados de subgrupos.

Vimos também que se H ≤ G, então R(H) é um subreticulado de R(G)(Exemplo 2.1.15).

Observação 3.1.1 Considerando o grupo cíclico in�nito C∞ = 〈g〉, temosque para cada n ∈ N, existe um subgrupo da forma 〈gn〉. Observe que sen 6= m, então 〈gn〉 6= 〈gm〉. Portanto, R(C∞) é in�nito.

Lema 3.1.2 Seja G um grupo. Então R(G) é �nito se, e somente se, G é�nito.

Demonstração. Supondo R(G) �nito, então G deve ser um grupo de torção.De fato, se não for, existe g ∈ G de sorte que o(g) = ∞. Logo, 〈g〉 é cíclicoin�nito e assim R(〈g〉) é in�nito (conforme a observação anterior), o que éuma contradição.

Portanto, sendo 〈x1〉, . . . , 〈xm〉 todos os subgrupos cíclicos de G, vem

G =m⋃

〈xi〉.

A partir desta igualdade e observando que cada um destes subgrupos é �nito(pois G é de torção), concluímos que G é �nito.

Corolário 3.1.3 Se G é um grupo cujos únicos subgrupos são G e {e}, entãoG é �nito de ordem prima.

Demonstração. Sendo R(G) �nito, então G é �nito, pelo lema anterior. To-mando agora g ∈ G − {e}, então segue da hipótese que G = 〈g〉, e assim Gé cíclico. Logo, se n divide |G|, com 1 < n < |G|, então existe H ⊆ G, com|H| = n (Teorema 1.2.26), e daí {e} 6= H 6= G, o que é um absurdo. �

Conforme foi dito no Exemplo 1.1.25, os átomos de R(G) são exatamenteos subgrupos de ordem prima de G, se existirem. De fato, se H é um átomode R(G), então os únicos subgrupos de H são {e} e H. Assim, pelo corolárioanterior, H é �nito de ordem prima.

Observação 3.1.4 Sejam G1 e G2 grupos isomorfos e

ϕ : G1 −→ G2

g 7−→ ϕ(g)

um isomor�smo. Temos que se K1 ≤ G1, então ϕ(K1) ≤ G2. Reciproca-mente, se K2 ≤ G2, então ϕ−1(K2) ≤ G1. Ademais, se H,N ≤ G, tem-se

H ≤ N ⇐⇒ ϕ(H) ≤ ϕ(N).

ϕR : R(G1) −→ R(G2)H 7−→ ϕR(H) = ϕ(H)

é um isomor�smo de reticulados. Portanto, R(G1) ' R(G2).

3.2 Reticulados Distributivos e Grupos Cícli-cos

Nesta seção vamos denotar por Cn um grupo cíclico de ordem n, para n ∈ N,e C∞ um grupo cíclico in�nito.

Lema 3.2.1 Se n ∈ N, então R(Cn) ' Dn.

Demonstração. Dado n ∈ N, consideremos a aplicação

ϕ : R(Cn) −→ Dn

H 7−→ ϕ(H) = |H|

Tendo em vista o Teorema de Lagrange (Teorema 1.2.22), temos que ϕ estábem de�nida e é uma aplicação isótona. Ademais, a sobrejetividade e a inje-tividade decorrem de propriedades básicas de grupos cíclicos �nitos (Teorema1.2.26).

Tomemos K1 e K2 subgrupos de Cn tais que |K1| divide |K2|. Neste caso,existe K3 ≤ K2, com |K1| = |K3|. Assim, com base no Teorema 1.2.26,ítem (b), devemos ter K1 = K3 e portanto K1 é subgrupo de K2. Logo, ϕ−1

também é isótona e ϕ é um isomor�smo de reticulados. �

Corolário 3.2.2 Sejam p, n ∈ N, com p primo. Então. R(Cpn) é umacadeia.

Demonstração. Observando que todos os dividores de pn são da forma pk,com k ≤ n, e que pk1 divide pk2 , para k1 ≤ k2, temos que Dpn é uma cadeia.Aplicando o teorema anterior, tem-se Dpn ' R(Cpn), donde R(Cpn) é umacadeia. �

Lema 3.2.3 Denotemos por D∞ o conjunto N0 = N ∪ {0} ordenado pelarelação de divisibilidade. Então R(C∞) ' D′∞.

Demonstração. Considerando C∞ = 〈g〉, de�na a aplicação

ϕ : D∞ −→ R(C∞)n 7−→ ϕ(n) = 〈gn〉

Temos que ϕ é sobrejetora, pois todo subgrupo de C∞ é da forma 〈gn〉, comn ∈ N0. Além disso, como no lema anterior, a injetividade também decorrede propriedades básicas de grupos cíclicos (Teorema 1.2.26).

Sejam dados agora n,m ∈ N0. Então

n divide m⇐⇒ ∃ q ∈ Z tal que m = nq ⇐⇒ 〈gm〉 ≤ 〈gn〉

donde concluímos que ϕ e ϕ−1 são bijeções antítonas, e portanto ϕ é umanti-isomor�smo de reticulados. �

Lema 3.2.4 Sejam G um grupo abeliano e A,B,C ≤ G. Supondo g ∈ G,a1, a2 ∈ A, b ∈ B e c ∈ C tais que a1b = a2c e 〈g〉 = 〈a1, a2, b, c〉, então

〈g〉 = (A ∧ 〈g〉)(B ∧ 〈g〉) = (A ∧ 〈g〉)(C ∧ 〈g〉).

Demonstração. Vamos nos ater apenas à primeira igualdade, uma vez que asegunda igualdade é veri�cada de modo inteiramente análogo.

É imediato que (A ∧ 〈g〉)(B ∧ 〈g〉) ≤ 〈g〉. Reciprocamente, observe quea1, a2 ∈ A ∧ 〈g〉 e b ∈ B ∧ 〈g〉. Usando agora a hipótese

a1b = a2c,

tem-se c = a−12 a1b e portanto, c ∈ (A ∧ 〈g〉)(B ∧ 〈g〉). Segue então que〈g〉 = 〈a1, a2, b, c〉 ≤ (A ∧ 〈g〉)(B ∧ 〈g〉). �

Teorema 3.2.5 (Ore) R(G) é distributivo se, e somente se, G é localmentecíclico.

Demonstração. Suponha R(G) distributivo e sejam a, b ∈ G arbitrários.Primeiramente, note que se x ∈ 〈a〉 ∧ 〈b〉, então x comuta com a e com b,e portanto, x deve comutar com qualquer elemento de 〈a, b〉. Assim, tem-se〈a〉 ∧ 〈b〉 ≤ Z(〈a, b〉), donde

〈ab〉 ∨ (〈a〉 ∧ 〈b〉) = 〈ab〉(〈a〉 ∧ 〈b〉).

Além disso, como

〈ab〉 ∨ 〈a〉 = 〈a, b〉 = 〈ab〉 ∨ 〈b〉

�camos com

〈ab〉 ∨ (〈a〉 ∧ 〈b〉) = (〈ab〉 ∨ 〈a〉) ∧ (〈ab〉 ∨ 〈b〉) = 〈a, b〉. (3.1)

Daí, pelo 2◦ Teorema de Isomor�smo, vem

〈a, b〉〈a〉 ∧ 〈b〉

=〈ab〉 ∨ (〈a〉 ∧ 〈b〉)〈a〉 ∧ 〈b〉

=(〈ab〉)(〈a〉 ∧ 〈b〉)〈a〉 ∧ 〈b〉

' 〈ab〉〈ab〉 ∧ (〈a〉 ∧ 〈b〉)

onde na primeira igualdade usamos (3.1). Como 〈ab〉 é cíclico, então

〈ab〉〈ab〉 ∧ (〈a〉 ∧ 〈b〉)

é cíclico, e portanto o grupo quociente

〈a, b〉〈a〉 ∧ 〈b〉

também é cíclico. Ademais, como 〈a〉 ∧ 〈b〉 ≤ Z(〈a, b〉), temos que 〈a, b〉 éabeliano. Dados x, y ∈ G, devemos mostrar que 〈x, y〉 é cíclico. Se não for,temos d(〈x, y〉) = 2 e daí 〈x, y〉 ' G1×G2, com Gi cíclico. Neste caso, devemexistir c, d ∈ G tais que

• 〈x, y〉 = 〈c〉〈d〉 = 〈c, d〉;

• 〈c〉 ∧ 〈d〉 = {e}, onde �e� denota o elemento neutro de G.

Neste caso, 〈c, d〉/〈c〉 ∧ 〈d〉 ' 〈c, d〉, e assim 〈c, d〉 é cíclico. Logo, 〈x, y〉 écíclico. Assim, a hipótese de não ciclicidade leva-nos a uma contradição.

Reciprocamente, suponha G localmente cíclico e sejam A,B,C ∈ R(G).Como G é abeliano, é su�ciente mostrar que A(B ∧ C) = AB ∧ AC. Cla-ramente, A(B ∧ C) ≤ AB ∧ AC. Tomemos, então, x ∈ AB ∧ AC. Logo,x = ab = a′c, onde a, a′ ∈ A, b ∈ B e c ∈ C.

Por hipótese, existe g ∈ G tal que 〈a, a′, b, c〉 = 〈g〉, e assim pelo Lema3.2.4 devemos ter

〈g〉 = (A ∧ 〈g〉)(B ∧ 〈g〉) = (A ∧ 〈g〉)(C ∧ 〈g〉).

Se A∧〈g〉 = {e}, então a = a′ = e e x = b = c ∈ B∧C. Se B∧〈g〉 = {e}ou C ∧ 〈g〉 = {e}, então x ∈ A. Portanto, se um desses três subgrupos fortrivial, então x ∈ A(B ∧ C) e o teorema estará mostrado. Suponha entãoque nenhum deles seja trivial e consideremos n, r e s os respectivos índicesde A ∧ 〈g〉, B ∧ 〈g〉 e C ∧ 〈g〉 em 〈g〉. Assim, pelo Teorema 1.2.26, ítem (b),mdc(n, r) = 1 = mdc(n, s) e daí mdc(n, rs) = 1, donde

〈g〉 = 〈gn〉〈grs〉 ≤ (A ∧ 〈g〉)(B ∧ C ∧ 〈g〉) ≤ A(B ∧ C).

Neste caso, como x ∈ 〈g〉, temos x ∈ A(B ∧ C), o que nos dá

AB ∧ AC ≤ A(B ∧ C).

Portanto, AB ∧ AC = A(B ∧ C) e R(G) é distributivo. �

Seja P um conjunto ordenado. Dizemos que P satisfaz a condição maxi-mal se todo subconjunto não vazio de P possui elemento maximal.

Lema 3.2.6 Seja G um grupo. R(G) satisfaz a condição maximal se, esomente se, todo subgrupo de G é �nitamente gerado.

Demonstração. Suponha que R(G) satisfaz a condição maximal e considereH um subgrupo de G que não é �nitamente gerado. De�namos

FGH = {K subgrupo próprio de H/ K é �nitamente gerado}.

Claramente, FGH é não vazio (pois os subgrupos cíclicos de H pertencema este conjunto), e assim deve existir algum elemento maximal em FGN .Sendo K1 um tal elemento, tomemos x ∈ H−K1. Mas, sendo S ⊆ K1 �nito,tal que 〈S〉 = K1, temos

〈S ∪ {x}〉 ∈ FGH .

e K1 ( 〈S ∪ {x}〉, o que é uma contradição.Reciprocamente, suponha que todo subgrupo de G é �nitamente gerado e

suponha, por absurdo, que ∅ 6= P ⊆ R(G) não satisfaz a condição maximal.Assim, se H1 ∈ P , deve existir H2 ∈ P tal que H1 ( H2. Como H2 não émaximal em P , existe H3 ∈ P tal que H2 ( H3. Como este processo podecontinuar inde�nidamente, temos

H1 ( H2 ( H3 ( . . . ( Hn ( Hn+1 ( . . .

uma cadeia ascendente de subgrupos de G. Mas, neste caso,

H =∞⋃n=1

é um subgrupo de G. Logo, existem g1, . . . , gk ∈ G, com gi ∈ Hni, tais que

H = 〈g1, . . . , gk〉.

Considerando n0 = max{n1, . . . , nk}, tem-se gi ∈ Hn0 , para todo i = 1, . . . , k.Logo, H ⊆ Hn0 , e portanto

Hn0 = Hn0+1 = Hn0+2 = · · ·

o que é um absurdo. �

Teorema 3.2.7 G é cíclico se, e somente se, R(G) é distributivo e satisfaza condição maximal.

Demonstração. Se G é ciclíco, então todo subgrupo de G também é cíclico,logo, �nitamente gerado. Portanto, R(G) satisfaz a condição maximal (lemaanterior). Ademais, como G é localmente cíclico, pelo Teorema de Ore (Te-orema 3.2.5) temos que R(G) é distributivo.

Reciprocamente, se R(G) é distributivo e satisfaz a condição maximal,então G é localmente cíclico (Teorema de Ore) e todo subgrupo de G (par-ticularmente o próprio G) é �nitamente gerado (lema anterior). Logo, G écíclico. �

Corolário 3.2.8 G ' C∞ se, e somente se, R(G) ' D′∞.

Demonstração. Se G ' C∞ é imediato do Lema 3.2.3 que R(G) ' D′∞. Reci-procamente, se R(G) ' D′∞, então R(G) é distributivo. Ademais, como todosubconjunto não vazio de números naturais possui elemento minimal comrespeito à relação de divisibilidade (a ordem de D∞), então todo subcon-junto de D′∞ tem elemento maximal. Logo, D′∞ satisfaz a condição maximal,e portanto G ' C∞. �

Desse modo, veri�camos que existe, a menos de isomor�smo, um únicogrupo G tal que R(G) ' R(C∞), a saber, o próprio C∞. No entanto, para osgrupos cíclicos �nitos a situação pode ser bem diferente: existem m,m′ ∈ N,

tais que Dm ' Dm′ , e consequentemente R(Cm) ' R(Cm′), mas m 6= m′.Podemos justi�car esta asserção utilizando diagramas de Hasse. Por exemplo,para todo grupo abeliano G cuja ordem é pq, com p e q primos distintos, odiagrama de Hasse de R(G), assim como o de Dpq, é da forma:

Mais geralmente, o que determina o isomor�smo entre Dm e Dm′ é aigualdade do número de fatores primos e dos seus respectivos expoentesnas decomposições de m e m′ . Assim, para cada grupo cíclico �nito Cn

existe uma in�nidade de grupos cíclicos C não isomorfos a Cn, mas queR(C) ' R(Cn).

3.3 Reticulados Modulares e Grupos Abelianos

Diremos que um grupo G é modular se R(G) for modular.

Observação 3.3.1 Sejam G um grupo onde todo subgrupo é normal eH,N ≤ G. Então

H ∨N = 〈H,N〉 = HN.

Lema 3.3.2 (Lei Modular de Dedekind) Sejam G um grupo e H1, H2 eH3 subgrupos de G tais que H1 ⊆ H3. Então

(H1H2) ∩H3 = H1(H2 ∩H3).

Demonstração. Como H1 ⊆ H3 e H2 ∩ H3 ⊆ H3, é imediato queH1(H2 ∩ H3) ⊆ H3. Além disso, como H2 ∩ H3 ⊆ H2, então segueH1(H2 ∩H3) ⊆ H1H2, donde H1(H2 ∩H3) ⊆ (H1H2) ∩H3.

Tomando agora h ∈ (H1H2)∩H3, então h ∈ H3 e h = h1h2, com h1 ∈ H1

e h2 ∈ H2. Dado que H1 ⊆ H3, temos h1 ∈ H3 e portanto, h2 ∈ H3. Logo,h2 ∈ H2 ∩H3 e assim h ∈ H1(H2 ∩H3). �

A Lei Modular de Dedekind não exige hipóteses sobre a natureza do gruposob o qual tem suporte, e portanto é válida em qualquer situação. Por outrolado, se G é um grupo onde todo subgrupo é normal, conforme vimos naobservação anterior, teremos

H1H2 = H1 ∨H2

para H1, H2 ≤ G. Neste caso, a Lei supracitada pode ser reescrita como

(H1 ∨H2) ∧H3 = H1 ∨ (H2 ∧H3)

que exprime exatamente a condição de modularidade.

Exemplo 3.3.3 Se G é abeliano, então R(G) é modular pois todo subgrupode G é normal. Porém, a recíproca não vale, como veremos a seguir.

Exemplo 3.3.4 Consideremos o conjunto

Q8 = {1,−1, i,−i, j,−j, k,−k}

onde 1 = Id4 e

0 −1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

0 0 −1 00 1 0 11 0 0 00 −1 0 0

0 0 0 −10 0 −1 00 1 0 01 0 0 0

Considerando também o produto usual de matrizes, observe que 1 é o ele-mento neutro e

· i j k

i −1 k −jj −k −1 ik j −i −1

Conforme a tabela acima, temos que Q8 é multiplicativamente fechado.Ademais, a partir das igualdades

i · (−i) = j · (−j) = k · (−k) = 1

veri�camos que Q8 também é fechado a inversos. Portanto, Q8 é um subgrupode GL4(R), normalmente conhecido como Grupo dos Quatérnios.

Observe que o(−1) = 2 e o(i) = o(j) = o(k) = 4. Ancorados nestesapontamentos, vamos identi�car os subgrupos próprios de Q8, que devem serde ordem 2 ou 4 (Teorema de Lagrange).

Caso 1. 〈−1〉 = {1,−1} é o único subgrupo de ordem 2. De fato, qualqueroutro subconjunto com dois elementos de Q8 não é um subgrupo, vistoque −1 é o único elemento de ordem 2 em Q8.

Caso 2. 〈i〉 = 〈−1〉 = {1,−1, i,−i}, 〈j〉 = 〈−j〉 = {1,−1, j,−j} e 〈k〉 =〈−k〉 = {1,−1, k,−k} são seus únicos subgrupos de ordem 4. Em ver-dade, estes são os únicos subgrupos cíclicos de quatro elementos de Q8.Neste caso, se existisse um outro subgrupo de ordem 4, deveria ser iso-morfo ao Grupo de Klein, e portanto deveria conter três subgrupos deordem 2, o que nos leva a uma contradição.

Concluímos, então, que R(Q8) possui o seguinte diagrama de Hasse:

Observe que Q8 é não abeliano, mas seu reticulado de subgrupos é modu-lar, pois não possui uma cópia do Pentágono (Teorema 2.4.16).

Exemplo 3.3.5 Considere o Grupo Diedral

D4 = 〈a, b; a4 = b2 = 1, bab = a−1〉.Temos os seguintes subgrupos:

• Ordem 2: H1 = 〈a3b〉, H2 = 〈ab〉, H3 = 〈a2〉, H4 = 〈b〉, H5 = 〈a2b〉.

• Ordem 4: H6 = 〈a2, ab〉, H7 = 〈a〉, H8 = 〈a2, b〉.Logo, o diagrama de Hasse de R(D4) será:

Observe que este diagrama contém uma cópia do Pentágono (por exemplo,o subreticulado {{e}, H2, H5, H6, D4}), e assim, pelo Teorema 2.4.16, R(D4)não é modular.

Lema 3.3.6 Seja R um reticulado. Então são equivalentes:

i) R é modular.ii) Para quaisquer a,m ∈ R, a aplicação

ϕa,m : [a ∧m, a] −→ [m, a ∨m]ξ 7−→ ϕa,m(ξ) = ξ ∨m

é um isomor�smo.iii)Para quaisquer a,m ∈ R, a aplicação

ψa,m : [m, a ∨m] −→ [a ∧m, a]ξ 7−→ ψa,m(ξ) = ξ ∧ a

é um isomor�smo.iv) Para quaisquer a,m ∈ R, valem

ψa,m ◦ ϕa,m = Id[a∧m,a] e ϕa,m ◦ ψa,m = Id[m,a∨m].

Demonstração. i) =⇒ iv) Suponha R modular e a,m ∈ R. Se x ∈ [a∧m, a],então a ∧m ≤ x ≤ a e assim

ψa,m(ϕa,m(x)) = ψa,m(x ∨m) = (x ∨m) ∧ a = x ∨ (m ∧ a) = x.

Da mesma forma, se z ∈ [m, a ∨m], então m ≤ z ≤ a ∨m e assim

ϕa,m(ψa,m(z)) = ϕa,m(z ∧ a) = (z ∧ a) ∨m = m ∨ (a ∧ z) = (m ∨ a) ∧ z = z.

iv) =⇒ i) Sejam x, z,m ∈ R tais que x ≤ z. Então x ∨ (m ∧ z) ∈ [z ∧m, z],e assim,

x ∨ (m ∧ z) = ψz,m(ϕz,m(x ∨ (m ∧ z)))= ψz,m((x ∨ (m ∧ z)) ∨m)

= ((x ∨ (m ∧ z)) ∨m) ∧ z= (x ∨ ((m ∧ z) ∨m)) ∧ z= (x ∨m) ∧ z.

Portanto, R é modular.Por simplicidade, vamos denotar a partir de agora ϕa,m e ψa,m apenas por

ϕ e ψ, respectivamente.

ii) =⇒ iv) Seja x ∈ [a ∧m, a]. Então x ≤ (x ∨m) ∧ a. Daí,

x ∨m ≤ ((x ∨m) ∧ a) ∨m.

Por outro lado, como m ≤ x ∨m e (x ∨m) ∧ a ≤ x ∨m, �camos com

((x ∨m) ∧ a) ∨m ≤ x ∨m.

Portanto, ((x ∨m) ∧ a) ∨m = x ∨m. Além disso, (x ∨m) ∧ a ∈ [a ∧m, a], eassim

ϕ(x) = x ∨m = ((x ∨m) ∧ a) ∨m = ϕ((x ∨m) ∧ a).Como ϕ é injetiva, devemos ter x = (x ∨m) ∧ a = ψ(ϕ(x)).

Tomando agora z ∈ [m, a ∨ m], temos (z ∧ a) ∨ m ≤ z e, como ϕ ésobrejetiva, existe x ∈ [a ∧ m, a] tal que z = ϕ(x) = x ∨ m. Segue quex ≤ z ∧ a e z = x ∨m ≤ (z ∧ a) ∨m. Logo, z = (z ∧ a) ∨m e assim

z = (z ∧ a) ∨m = ϕ(ψ(z)).

Portanto, (iv) ocorre.

É imediato que iv) =⇒ ii) e iv) =⇒ iii). Basta observar que ϕ e ψ sãoisótonas para quaisquer a,m ∈ R, e inversas uma da outra, supondo que vale(iv).

iii) =⇒ iv). Para x ∈ [a ∧ m, a], temos x ≤ (x ∨ m) ∧ a. Como ψ é so-brejetiva, existe c ∈ [m, a ∨ m] tal que x = ψ(c) = c ∧ a. Segue daí quex ∨m ≤ c, e assim (x ∨m) ∧ a ≤ c ∧ a = x. Portanto,

x = (x ∨m) ∧ a = ψ(ϕ(x)).

Tomando agora z ∈ [m, a ∨m], então (z ∧ a) ∨m ≤ z, e assim,

((z ∧ a) ∨m) ∧ a ≤ z ∧ a.

Como z ∧ a ≤ ((z ∧ a) ∨m) ∧ a, concluímos

ψ(z) = z ∧ a = ((z ∧ a) ∨m) ∧ a = ψ((z ∧ a) ∨m),

(observe que (z ∧ a) ∨m ∈ [m, a ∨m]), e assim, como ψ é injetiva, �camoscom z = (z ∧ a) ∨m = ϕ(ψ(z)). �

Observação 3.3.7 Se R é modular, o lema acima estabelece que

[m, a ∨m] ' [a ∧m, a]

para quaisquer a,m ∈ R.

Teorema 3.3.8 Seja G um grupo modular. Então o conjunto T (G) de todosos elementos de ordem �nita de G é um subgrupo de G.

Demonstração. Tomando a, b ∈ T (G), pela Observação 3.3.7 obtemos

[〈ab〉 ∧ 〈a〉, 〈ab〉] ' [〈a〉, 〈ab〉 ∨ 〈a〉] e [〈a〉, 〈a〉 ∨ 〈b〉] ' [〈a〉 ∧ 〈b〉, 〈b〉].

Como 〈ab〉 ∨ 〈a〉 = 〈a, b〉 = 〈a〉 ∨ 〈b〉, devemos ter

[〈ab〉 ∧ 〈a〉, 〈ab〉] ' [〈a〉 ∧ 〈b〉, 〈b〉]

e portanto, [〈ab〉 ∧ 〈a〉, 〈ab〉] é um reticulado �nito, uma vez que 〈b〉 é �nitoe daí R(〈b〉) é �nito. Assim, tem-se que o quociente

〈ab〉〈ab〉 ∧ 〈a〉

é �nito (veja a Seção 3.1). Como 〈ab〉 ∧ 〈a〉 é �nito, segue que 〈ab〉 é �nitoe daí ab tem ordem �nita. Ademais, como o(g−1) = o(g), para todo g ∈ G,temos que T (G) é fechado a inversos. Portanto T (G) é um subgrupo de G.�

3.4 Grupos Abelianos e Duais

Por simplicidade, se G e G1 são grupos e δ : R(G) −→ R(G1) é uma duali-dade, então também diremos que δ é uma dualidade entre G e G1. Denota-remos por G′ um dual do grupo G.

Teorema 3.4.1 Se um grupo G tem um dual, então G é um grupo de torção.

Demonstração. Considere δ uma dualidade entre G e G′ e suponha, porabsurdo, que existe algum elemento z ∈ G de ordem in�nita. De�nindoZ = 〈z〉 e Zi = 〈z2

i〉, com i ∈ N, tem-se

Z > Z1 > Z2 > · · · > Zn > Zn+1 > · · ·

uma cadeia decrescente de subgrupos de G, onde∧i∈N

Zi =⋂i∈N

Zi = {e}.

Desse modo,

δ(Z) < δ(Z1) < δ(Z2) < · · · < δ(Zn) < δ(Zn+1) < · · ·

é uma cadeia ascendente de subgrupos de G′, e assim⋃

i∈N δ(Zi) é subgrupode G′. Logo,

G′ = δ({e}) = δ(∧i∈N

Zi) =∨i∈N

δ(Zi) =⋃i∈N

δ(Zi). (3.2)

Considerando o subgrupo maximal W = 〈z3〉 de Z, temos que δ(Z) émaximal em δ(W ). Daí, se w ∈ δ(W ) − δ(Z), então 〈δ(Z), w〉 ≤ δ(W ) e〈δ(Z), w〉 contém propriamente δ(Z). Portanto, δ(W ) = 〈δ(Z), w〉. Alémdisso, como w ∈ G′, por (3.2) deve existir k ∈ N para o qual w ∈ δ(Zk), eassim

δ(W ) = 〈δ(Z), w〉 ≤ 〈δ(Z), δ(Zk)〉 = δ(Zk)

o que nos dá Zk ≤ W . Mas, z2k 6∈ 〈z3〉 = W . Portanto, temos uma contra-

dição. �

Corolário 3.4.2 O grupo cíclico in�nito não possui dual.

Dado um grupo abeliano �nito A (com notação multiplicativa), vamosdenotar por A∗ = Hom(A,C) o conjunto de todos os homomor�smos de Ano grupo multiplicativo dos complexos C∗. Para σ, τ ∈ A∗, de�namos

� : A∗ × A∗ −→ A∗

(σ, τ) 7−→ σ � τ

onde (σ � τ)(x) = σ(x)τ(x), para todo x ∈ A. Temos que A∗, munido daoperação �, é um grupo abeliano. Observe que o elemento neutro de A∗ é aaplicação constante σ(x) = 1.

Lema 3.4.3 Seja A um grupo abeliano �nito. Então:

a) (A∗,�) ' A.b) Se e 6= x, então existe σ ∈ A∗ tal que σ(x) 6= 1.

Demonstração. a) Pela estrutura dos grupos abelianos �nitos, temos

A = 〈a1〉 · · · 〈an〉

com ai ∈ A, de modo que cada elemento g ∈ A tenha uma expressão únicana forma g = ak11 . . . aknn , conforme a Observação 1.2.45. Sejam o(ai) = ni

e εi ∈ C∗ um elemento de ordem n1 (isto é, uma ni-ésima raiz primitivacomplexa da unidade). Assim, para cada y = ay11 . . . aynn ∈ A de�namos

χy : A −→ C∗ax11 . . . axn

n 7−→ χy(ax11 . . . axn

n ) = εx1y11 . . . εxnyn

Seax11 . . . axn

n = ak11 . . . aknn

em A, então axii = akii e daí

x1 ≡ k1 (mod ni) para todo i = 1, . . . n.

Logo, xiyi ≡ kixi (mod ni), donde

εxiyii = εkiyii para todo i = 1, . . . n.

Portanto, χy está bem de�nida.Escrevendo agora x = ax1

1 . . . axnn e t = at11 . . . a

tnn elementos de A, vem

χy(xt) = χy(ax1+t11 . . . axn+tn

= ε(x1+t1)y11 . . . ε(xn+tn)yn

= (εx1y11 . . . εxnyn

n )(εt1y11 . . . εtnynn )

= χy(x)χy(t),

donde χy ∈ A∗. Consequentemente, a aplicação

χ: A −→ A∗

y 7−→ χ(y) = χy

está bem de�nida e é um homomor�smo de grupos, ou seja, χy1y2 = χy1�χy2 .Tome σ ∈ A∗. Então

σ(ai)ni = σ(ani

i ) = σ(e) = 1,∀i = 1, . . . , n

ou seja, σ(ai) é uma ni-ésima raiz da unidade em C. Logo, deve existir yi ∈ Zsatisfazendo σ(ai) = εyii . Desse modo, sendo y = ay11 . . . aynn ,

σ(ax11 . . . axn

n ) = εx1y11 . . . εxnyn

n = χy(ax11 . . . axn

para todo ax11 . . . axn

n . Desse modo, σ = χy e χ é sobrejetiva.Se z = az11 . . . aznn ∈ Kerχ, então 1 = χz(ai) = εzii para cada i = 1, . . . n.

Como εi é ni-ésima raiz primitiva da unidade, segue que ni divide zi, o quenos dá azii = e para cada i = 1, . . . , n. Logo, z = e e daí χ é injetiva. Por-tanto, (A∗,�) ' A, como queríamos.

b) Se x = ax11 . . . axn

n 6= e, então existe i ∈ {1, . . . , n} para o qual axii 6= e.

Assim, ni - xi e εxii 6= 1. Diante disto, basta observar que para a = ai, χa

satisfaz χa(x) = εxii 6= 1. �

Teorema 3.4.4 Todo grupo abeliano �nito é auto-dual.

Demonstração. Seja A um grupo abeliano �nito. Nosso objetivo é construiruma dualidade entre A e A∗.

Primeiramente, para X ≤ A e S ≤ A∗ vamos de�nir

⊥(X) = {σ ∈ A∗;σ(x) = 1,∀x ∈ X}

e>(S) = {a ∈ A;σ(a) = 1,∀σ ∈ S}.

É fácil ver que ⊥(X) ≤ A∗ e >(S) ≤ A, e daí segue a boa de�nição dasaplicações

⊥ : R(A) −→ R(A∗) e > : R(A∗) −→ R(A)X 7−→ ⊥(X) S 7−→ >(S)

Dado X ≤ A, note que se x ∈ X e σ ∈ ⊥(X), então σ(x) = 1. Assim,x ∈ >(⊥(X)), o que nos dá X ≤ >(⊥(X)). Tomando agora z ∈ A − Xarbitrário, temos que z 6= e no grupo quociente A/X. Pelo lema anterior,existe, portanto, τ ∈ (A/X)∗ tal que τ(z) 6= 1. Então, se α : A −→ A/X é aprojeção canônica, a aplicação composta

σ = τ ◦ α : A −→ C∗

pertence a A∗ e satisfaz σ(x) = τ(α(x)) = τ(e) = 1 para todo x ∈ X, eσ(z) = τ(z) 6= 1. Portanto, σ ∈ ⊥(X) e z 6∈ >(⊥(X)). Isto mostra que

>(⊥(X)) = X.

A�rmação. ⊥ é uma bijeção antítona.

Sejam X1, X2 ∈ R(A) de sorte que ⊥(X1) = ⊥(X2). Então

X1 = >(⊥(X1)) = >(⊥(X2)) = X2.

Logo, ⊥ é injetiva. Como A e A∗ são isomorfos, devemos ter |R(A)| =|R(A∗)|, donde concluímos que ⊥ é sobrejetiva (observe que R(A) e R(A∗)são �nitos), e portanto ⊥ é uma bijeção, sendo > a sua inversa.

Consideremos agora S1 ≤ S2 ≤ A∗. Temos que se a ∈ >(S2), entãoσ(a) = 1, para todo σ ∈ S2. Em particular σ(a) = 1, para todo σ ∈ S1.Portanto, >(S2) ≤ >(S1). Ademais, observando que se X ≤ Y ≤ A eσ ∈ ⊥(Y ), então σ(x) = 1, para todo x ∈ Y . Particularmente, σ(x) = 1, paratodo x ∈ X, donde concluímos que ⊥(Y ) ≤ ⊥(X) e assim, �ca estabelecidaa equivalência

X ≤ Y ⇐⇒ ⊥(Y ) ≤ ⊥(X),

e a a�rmação está bem posta.

De posse dessas informações, é possível enunciar o seguinte resultado:sejam ψ um isomor�smo entre A∗ e A e

ρ: R(A∗) −→ R(A)M 7−→ ρ(M) = ψ(M).

Temos que ρ é um isomor�smo de reticulados. Portanto, a composição

δ = ρ ◦ ⊥ : R(A) −→ R(A)

é uma dualidade. �

3.5 Alguns Teoremas de Classi�cação

3.5.1 Reticulados de Subgrupos e o Grupo de Klein

Teorema 3.5.1 Seja G um grupo. Então R(G) é isomorfo ao Reticulado deKlein se, e somente se, G é isomorfo ao Grupo de Klein.

Demonstração. Suponha R(G) isomorfo ao reticulado de Klein. Cientes deque R(G) possui três átomos, os quais correspondem a subgrupos de ordemprima, devemos ter |G| divisível por no máximo três primos distintos.

Caso 1. Suponha que |G| seja divisível por três primos distintos, digamosp1, p2 e p3. Pelo Teorema de Cauchy existem H1, H2, H3 ≤ G tais que

|Hi| = pi.

Sendo estes únicos com suas respectivas ordens são portanto normaisem G. Ademais, como

Hi ∩Hj = {e}temos que H = H1H2 ≤ G de sorte que |H| = p1p2 e contém propria-mente H1 e H2. Assim, devemos ter H = G, o que é um absurdo poisp3 - p1p2.

Caso 2. Suponha |G| divisível por dois primos distintos, digamos p1 e p2.Então podemos supor, sem perda de generalidade, H1, H2, H3 ≤ G taisque

|H1| = |H2| = p1 e |H3| = p2.

Sendo H3 único com sua ordem, este deve ser normal em G. Daí,procedendo ipsis litteris ao Caso 1, temos que H = H1H3 ≤ G deordem p1p2 e contém propriamenteH1 eH3. Logo, H = G e |G| = p1p2,o que nos leva a um absurdo. De fato, sendo np1 = 2, pelo 3◦ Teoremade Sylow, vem

2 ≡ 1 (mod p1)

donde p1 = 1.

Dessa forma, temos que G é um p-grupo, para algum p primo. Ademais,como a maior cadeia em G tem comprimento 2, concluímos que |G| = p2.

Como R(G) não é uma cadeia, temos que R(G) não é cíclico e daí todox ∈ G − {e} tem ordem p. Assim, consideremos H1, . . . , Hn os subgruposdistintos de G de ordem p (os átomos de R(G)). Neste caso

(Hi − {e}) ∩ (Hj − {e}) = ∅

para i 6= j, e portanto,

G− {e} =n⋃

(Hi − {e}).

Logo p2−1 = n(p−1), ou seja, n = p+1. Mas como R(G) possui três átomos,tem-se n = 3 e assim p = 2. Consequentemente, G é um grupo abeliano deordem 4 com três subgrupos intermediários de ordem 2, caracterizando-seportanto, como o Grupo de Klein.

A recíproca é imediata (ver Exemplo 2.1.9). �

3.5.2 Reticulados de Subgrupos e Cadeias

Seja p primo. Vimos no Corolário 3.2.2 que R(Cpn) é uma cadeia para todon ∈ N. Também estabelecemos no Exemplo 1.2.33 que R(Cp∞) é uma cadeiain�nita. Com base nestas considerações, podemos nos indagar sobre o com-portamento dos grupos cujo reticulado de subgrupos são cadeias. É possívelestabelecer um critério ou classi�cação para estes grupos?

Vislumbrando responder esta problemática, suponha inicialmente G umgrupo tal que R(G) é uma cadeia �nita (digamos de comprimento n). ComoR(G) possui um único átomo e G é �nito, então |G| = pn, para algum pprimo. Ademais, sendo R(G) distributivo, temos que G é localmente cíclico,donde concluímos que G é um grupo cíclico de ordem pn.

Seja R(G) uma cadeia in�nita e adotemos para G a notação aditiva.

A�rmação 1. G é localmente cíclico (em decorrência do Teorema de Ore).

A�rmação 2. G é um grupo de torção e todos os elementos têm ordempotência de um único primo p.

Suponha, por absurdo, g ∈ G de ordem in�nita. Então R(〈g〉) ' D′∞(Lema 3.2.3). Neste caso, R(G) possui um subreticulado que não é umacadeia, o que é um absurdo.

Assim, sejam g1, g2 ∈ G e suponha, por absurdo, p e q primos distintosdivisores de o(g1) e o(g2), respectivamente. Então

p divide |〈g1〉| e q divide |〈g2〉|.

Logo, pelo Teorema de Cauchy (Teorema 1.2.40), existem subgrupos de or-dens p e q em G, e portanto átomos distintos em R(G), o que é um absurdo.

A�rmação 3. Para cada n ∈ N existe g ∈ G tal que o(g) = pn.

Seja g ∈ G. Sendo o(g) = pn, tomemos Hn = 〈g〉 ≤ G. Observe que|Hn| = o(g) = pn. Assim, se K ≤ G, com |K| = pn e K 6= Hn, entãoK ( Hn e Hn ( K, o que é um absurdo pois R(G) é uma cadeia. Portanto,Hn é o único subgrupo de G de ordem np. Além disso, se k ∈ {0, 1, . . . , n},então o((pn−k)g) = pk e daí Hk = 〈pn−kg〉 é o único subgrupo de G de ordempk. Dessa forma, construímos uma cadeia

{e} = H0 ( H1 ( H2 ( · · · ( Hn−1 ( Hn.

Supondo {o(g)/g ∈ G} limitado, tomemos g0 ∈ G de ordem máxima, diga-mos o(g0) = pn0 , e Hn0 = 〈g0〉. Se x ∈ G, então o(x) = pm, com m ≤ n0.Neste caso, |〈x〉| = pm donde 〈x〉 = Hm ( Hn0 . Logo, G ⊆ Hn0 , o que é umabsurdo pois G é in�nito.

Assim, {o(g)/g ∈ G} é ilimitado e existem

{e} = H0 ( H1 ( H2 ( · · · ( Hn−1 ( Hn ( · · · .

Sendo Hn = 〈αn〉, existe αn+1 ∈ Hn+1 tal que Hn+1 = 〈αn+1〉 e αn = pαn+1.De fato, consideremos Hn+1 = 〈g〉, com o(g) = pn+1. Assim, existe k ∈ Z desorte que αn = kg. Logo, pelo Teorema 1.2.26, ítem (e), temos

pn = o(αn) =pn+1

mdc(k, pn+1)=⇒ mdc(k, pn+1) = p.

Daí, k = ap, com mdc(a, p) = 1. Nestas condições,

αn = kg = p(ag),

e novamente pelo Teorema 1.2.26, ítem (e), podemos então tomar

αn+1 = ag.

Por indução, podemos construir uma sequência

e = α0, α1, α2, . . . , αn, . . .

tais que αn = pαn+1 e Hn = 〈αn〉. Ademais, se n,m ∈ N, então

αn = pmαn+m.

Consideremos agora o subgrupo do grupo aditivo dos racionais

A = {a/pn; a ∈ Z, n ≥ 0}

e a aplicação

ϕ : A −→ Ga/pn 7−→ ϕ (a/pn) = aαn.

Dados a/pn e b/pm em A (suponhamos n ≤ m) tais que

a/pn = b/pm,

devemos ter b = apm−n. Escrevendo m = m′+ n, onde m′ = m− n, segue-se

bαm = apm−nαm = apm′αn+m′ = aαn,

ou seja, ϕ (a/pn) = ϕ (b/pm). Portanto, ϕ está bem de�nida. Observe tam-bém que

ϕ (a/pn + b/pm) = ϕ

(apm + bpn

)= (apm + bpn)αn+m

= apmαn+m + bpnαn+m

= aαn + bαm

= ϕ (a/pn) + ϕ (b/pm) ,

e assim ϕ é um homomor�smo de grupos, com Kerϕ = Z. Ademais, sex ∈ G, então x ∈ Hi para algum i ∈ N, ou seja, x = nαi, para algum n ∈ N.Veja que n/pi ∈ A satisfaz ϕ(n/pi) = x. Portanto, ϕ é sobrejetiva.

Assim, pelo Teorema Fundamental dos Homomor�smos, temos

donde concluímos que G é um p-grupo de Prufer.Temos então o seguinte resultado:

Teorema 3.5.2 Seja G um grupo tal que R(G) é uma cadeia. Então:

a) R(G) é �nito se, e somente se, G é um grupo cíclico de ordem pn, paraalgum p primo.b) R(G) é in�nito se, e somente se, G é um p-grupo de Prufer, para algump primo.

3.5.3 Reticulados de Subgrupos e Álgebras de Boole

Mostramos no Exemplo 2.5.5 que Dn é uma álgebra de Boole se, e somentese, n é livre de quadrado. Assim, com base no Lema 3.2.1, podemos assegurarque os reticulados de subgrupos de grupos cíclicos �nitos com ordem livre dequadrado são álgebras de Boole. Mas, seriam estes os únicos grupos �nitoscom tal propriedade? A resposta é a�rmativa.

Teorema 3.5.3 Seja G um grupo �nito. Então R(G) é uma álgebra de Boolese, e somente se, G é um grupo cíclico com ordem livre de quadrado.

Demonstração. Suponha R(G) uma álgebra de Boole. Então R(G) é distri-butivo e portanto, pelo Teorema de Ore, G é localmente cíclico. Sendo �nito,G deve ser cíclico. Logo, apoiando-se novamente no Lema 3.2.1, devemos terR(G) ' Dn, com n = |G|, donde G é um grupo cíclico cuja ordem é livre dequadrado.

A recíproca é imediata do comentário anterior. �

3.5.4 Reticulados que Não São Reticulados de Subgru-pos

Para encerrar este trabalho, vamos dar alguns exemplos de reticulados quenão representam reticulados de subgrupos de nenhum grupo.

Teorema 3.5.4 Não existe nenhum grupo cujo reticulado de subgrupos sejao Pentágono.

Demonstração. Suponha, por absurdo, que exista um grupo G nestas condi-ções e considere o seguinte diagrama:

Como o Pentágono possui dois átomos, no caso os subgrupos H e N ,então |G| deve ser divisível no máximo por dois primos, digamos p e q, onde|H| = p e |N | = q.

Caso 1. Se p 6= q, então H e N são únicos com suas respectivas ordens.Assim, L = HN ≤ G, com |L| = pq e L contém propriamente H e N .Logo, L = G e |G| = pq, o que contesta a existência de K.

Caso 2. Se p = q, então G é um p-grupo. Ademais, como a maior cadeia emR(G) tem comprimento 3, então |G| = p3. Mas observe que N não estácontido em algum subgrupo de ordem p2, o que contraria o 1◦ Teoremade Sylow.

Em ambos os casos, temos um absurdo. �

Teorema 3.5.5 O dual de R(Q8) não é reticulado de subgrupos de nenhumgrupo.

Demonstração. Suponha, por absurdo, que exista um grupo G tal que R(G)seja o dual de R(Q8) e considere o seguinte diagrama:

Por 3.5.1, N é isomorfo ao Grupo de Klein. Daí, |H1| = |H2| = |H3| = 2, eportanto G deve ser um 2-grupo. Além disso, como a maior cadeira em Gtem comprimento 3, concluímos que |G| = 23 = 8.

Destacando que R(G) não é isomorfo a R(Q8), então, pelo Teorema 3.4.4,G não pode ser abeliano. Assim, resta-nos apenas duas opções (de acordocom a classi�cação dos grupos de ordem 8 que pode ser encontrada em [2],páginas 172− 175):

• G é isomorfo ao Grupo dos Quatérnios, o que já vimos ser um absurdopois R(Q8) não é auto-dual.

• G é isomorfo ao grupo D4, o que é um absurdo pois R(D4) possui cincoátomos (ver Exemplo 3.3.5).

Em ambos os casos temos uma contradição. �

Teorema 3.5.6 Não existe um grupo de sorte que o seu reticulado de sub-grupos tenha o seguinte diagrama de Hasse:

Demonstração. Suponha, por absurdo, que exista um grupo G cujo reticu-lado de subgrupo tenha tal diagramação. Como este reticulado possui apenasum átomo, devemos ter |G| = pn, para algum p primo e n ∈ N. Mas, comoa maior cadeia em R(G) tem comprimento 3, �camos com |G| = p3 (1◦ Teo-rema de Sylow). Observe agora que R(G) não possui subreticulado isomorfoao Reticulado de Klein e nem ao Pentágono. Assim, R(G) é distributivodonde concluímos que G é localmente cíclico (Teorema de Ore). Sendo �-nito, concluímos que G deve ser um grupo cíclico de ordem p3, para algum pprimo. Mas, neste caso, R(G) deveria ser uma cadeia, o que nos leva a umabsurdo. �

Bibliogra�a

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Introdução à Teoria dos Reticulados e Reticulados de Subgrupos

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