Reticulados algebricos unimodulares aplicadosa Teoria da Informacao

Agnaldo J. FerrariUFLA - Depto. de Ciencias Exatas

37200-000, Lavras, MG

E-mail: ferrari@dex.ufla.br,

Joao E. StrapassonFaculdade de Ciencias Aplicadas, FCA, UNICAMP,

13484-350, Limeira, SP

E-mail: joao.strapasson@fca.unicamp.br,

Sueli I. R. CostaDepto. de Matematica, IMECC, UNICAMP,

13083-859, Campinas, SP

E-mail: sueli@ime.unicamp.br.

Resumo: Neste trabalho apresentamos a construcao de uma famılia de reticulados unimodu-lares rotacionados em dimensao potencia de 2, obtidos via teoria algebrica dos numeros, comdiversidade maxima, representando constelacoes de sinais que sao boas para o Canal Rayleighcom desvanecimento. Uma expressao para a distancia produto mınima destes reticulados e obtidaatraves de propriedades algebricas e, alem disso, esta famılia apresenta distancia produto mınimamaior comparada as outras famılias conhecidas na literatura, evidenciando assim a eficienciapara o referido canal.

Palavras-chave: Reticulados, Diversidade, Distancia produto, Canal, Transmissao de sinais.

Introducao

Recentemente tem-se observado um grande avanco na area das Telecomunicacoes, cuja fi-nalidade e desenvolver sistemas que fornecam servicos de excelente qualidade, a altas taxas detransmissao/armazenamento e com baixa probabilidade de erro.

Um sistema de comunicacao pode ser considerado como um conjunto de equipamentos emeios fısicos com a finalidade de transportar uma informacao de uma fonte ate um destinatariousando um canal de comunicacao. Um canal e um meio fısico por onde a informacao e transmi-tida/armazenada e esta sujeito a varios tipos de ruıdos, imperfeicoes e interferencias que geramdistorcoes. Um canal muito usado na transmissao de sinais e o Canal Rayleigh com desvane-cimento, caracterizado pela propagacao por multiplos percursos formados pela reflexao e/oudifracao do sinal transmitido [4].

Em relacao a probabilidade de erro na transmissao de sinais, pela Teoria dos Codigos Cor-retores de Erros [13], ao transmitirmos uma informacao, o canal pode gerar uma distorcao,possibilitando, assim, a mensagem recebida ser diferente da mensagem enviada. Desse modo,essa teoria surgiu da necessidade de detectar e recuperar a mensagem enviada ao receptor, cons-truindo, desta forma, codigos com pequena probabilidade de ocorrerem erros. Uma maneira deprojetar uma constelacao de sinais e representar cada sinal como um ponto em um espaco eucli-

535

diano n-dimensional. O processo de projetar um conjunto de palavras-codigo pode ser reduzidoa um problema geometrico de alocacao de pontos em uma regiao de um espaco. Os codigosconstruıdos a partir de reticulados constituem numa das tecnicas de alocacao de pontos.

Constelacoes de sinais tendo a estrutura de reticulados sao consideradas importantes paraa transmissao de sinais pois as estruturas algebricas e geometricas dos reticulados facilitam noprocesso de codificacao e decodificacao. Usualmente o problema de encontrar boas constelacoesde sinais para o Canal Rayleigh com desvanecimento esta associado a busca por reticulados comdiversidade maxima e distancia produto mınima grande ([3], [5]).

Exposicao do problema

Para os reticulados em geral, a distancia produto mınima e usualmente dificil de calcular.Nosso objetivo e trabalhar com reticulados associados a corpos de numeros que possuam di-versidade maxima, pois nestes casos uma expressao para a distancia produto mınima pode serobtida atraves das propriedades algebricas dos referidos corpos. A seguir apresentamos concei-tos basicos relativos a reticulados e Teoria algebrica dos numeros que sao necessarios para odesenvolvimento do nosso trabalho. As referencias utilizadas sao [3], [12], [14] e [16].

Definicao 1: Sejam v1, v2, · · · , vm um conjunto de vetores linearmente independentes noespaco vetorial Rn. O conjunto

Λ =

{m∑i=1

αivi; αi ∈ Z}

e chamado um reticulado de posto m, e o conjunto {v1, v2, · · · , vm} e chamado uma base doreticulado Λ.

Definicao 2: Seja {v1, v2, · · · , vm} uma base para o reticulado Λ. A matriz M = (vij), ondevi = (vi1, · · · , vin), para i = 1, · · · ,m, e chamada uma matriz geradora para o reticulado Λ.

Definicao 3: Seja M uma matriz geradora para o reticulado Λ. A matriz G = MM t echamama uma matriz de Gram para o reticulado Λ, em que t denota a transposicao.

Definicao 4: Seja Λ ⊆ Rn um reticulado e x = (x1, · · · , xn) ∈ Λ. A diversidade de Λ edefinida por

div(Λ) = min06=x∈Λ

#{i | xi 6= 0, i = 1, . . . , n}.

Definicao 5: Sejam Λ ⊆ Rn um reticulado com diversidade maxima n e x = (x1, · · · , xn) ∈Λ. A distancia produto mınima de Λ e definida por

dmin(Λ) = min06=x∈Λ

n∏i=1

|xi|.

Teorema 1: Seja K um corpo de numeros de grau n e OK o anel dos inteiros algebricos docorpo K. Todo ideal fracionario nao nulo A de OK e um Z-modulo livre de posto n.

Teorema 2: Dado K um corpo de numeros de grau n, existem exatamente n homomorfismosdistintos {σi}ni=1 de K em C que fixam o corpo Q.

Observacao 1: Um homomorfismo σi e dito real se σi(K) ⊂ R, e o corpo K e dito totalmente

536

real se σi e real para todo i = 1, 2, · · · , n.

Definicao 6: Sejam K um corpo de numeros de grau n e x ∈ K. Os valores

N(x) = NK|Q(x) =n∏i=1

σi(x) e Tr(x) = TrK|Q(x) =n∑i=1

σi(x)

sao chamados Norma e Traco de x na extensao K|Q, respectivamente.

Teorema 3: Se K e um corpo de numeros de grau n e x ∈ OK, entao N(x), T r(x) ∈ Z.

Definicao 7: Seja {w1, w2, · · · , wn} uma Z-base de OK. O inteiro

dK = (det[σj(wi)]ni,j=1)

2

e chamado de discriminante do corpo K.

Definicao 8: Seja A um ideal de OK. A Norma do ideal A e definida por

N(A) = |OK/A|,

a cardinalidade do anel quociente OK por A.

Observacao 2: Se A e um ideal principal de OK, isto e, A = αOK, entao N(A) = |N(α)|.

Definicao 9: O codiferente da extensao K|Q e o ideal fracionario de OK dado por

∆(K|Q)−1 = {x ∈ K; Tr(xα) ∈ Z, ∀α ∈ OK}.

Metodo utilizado

A fim de reproduzir reticulados que sejam novas leituras de reticulados conhecidos na lite-ratura, usamos resultados da Teoria Algebrica dos Numeros, mais especificamente, o propositoe construir reticulados via o anel dos inteiros algebricos de um corpo de numeros totalmentereal atraves do homomorfismo torcido, pois neste caso os reticulados obtidos possuem diversi-dade maxima, representando assim constelacoes de sinais eficientes para o Canal Rayleigh comdesvanecimento. As referencias utilizadas sao [10] e [15].

Definicao 10: Sejam K um corpo de numeros totalmente real e α ∈ K tal queαi = σi(α) > 0 para todo i = 1, 2, · · · , n. O homomorfismo σα : K → Rn dado porσα(x) = (

√α1σ1(x), · · · ,√αnσn(x)) e chamado de homomorfismo torcido. Quando α = 1 e

chamado de homomorfismo de Minkowski.

Teorema 4: Se A ⊆ OK e um Z-modulo livre de posto n com Z-base {w1, · · · , wn}, entao aimagem Λ = σα(A) e um reticulado no Rn com base {σα(w1), · · · , σα(wn)}, ou equivalentementecom matriz geradora M = (σα(wij))

ni,j=1, onde wi = (wi1, · · · , win), para i = 1, · · · , n.

Observacao 3: Se α ∈ OK, entao αAA ⊆ ∆(K|Q)−1, em que A denota a conjugacaocomplexa de A, assim, σα(A) e um reticulado inteiro. Portanto, podemos reproduzir versoes dealguns reticulados conhecidos na literatura, tais como, Zn, Dn, An, E6, E8, K12, entre outros.

Teorema 5: Se A ⊆ OK e um Z-modulo livre de posto n e K e um corpo totalmente real,entao o reticulado Λ = σα(A) possui diversidade maxima.

Teorema 6: A matriz de Gram associada a matriz geradora M do reticulado Λ = σα(A) edada por

G = MM t = (TrK|Q(αwiwj))ni,j=1

537

.

Teorema 7: A distancia produto mınima do reticulado Λ = σα(A) e dada por

dmin(Λ) =√NK|Q(α) min

06=x∈A|NK|Q(x)|.

Corolario 1: Se A e ideal principal de OK, entao

dmin(Λ) =√det(Λ)/|dK|.

Resultados obtidos

Nesta secao apresentamos a construcao de uma famılia de reticulados unimodulares rotaci-onados via subcorpos maximais reais de corpos ciclotomicos. As referencias utilizadas sao [2],[6], [7] e [9].

Definicao 11: Um elemento ζ = ζm ∈ C e chamado uma raiz m-esima da unidade se ζm = 1,m inteiro, m ≥ 1, e e dito raiz primitiva m-esima da unidade se ζm = 1, mas ζd 6= 1 paraqualquer 1 ≤ d ≤ m.

Definicao 12: Dizemos que L e o m-esimo corpo ciclotomico se L e a adjuncao de Q e umaraiz primitiva m-esima da unidade, L = Q(ζ).

Teorema 8: O anel dos inteiros de L = Q(ζ) e OL = Z[ζ].

Teorema 9: Se L = Q(ζ), entao K = Q(ζ+ ζ−1) e o subcorpo maximal real de L, o anel dosinteiros de K e OK = Z[ζ + ζ−1] e [K : Q] = ϕ(m)/2, onde ϕ e a funcao de Euler.

Tomando K = Q(ζ + ζ−1), onde ζ = ζm, m = 2r.3.5, r ≥ 1, temos que n = [K : Q] = 2r+1,|dK| = 2(r−1)2

r+132

r53.2

r−1, e segue o seguinte resultado

Proposicao 1 [2]: Se A = OK e α = 2−2(ζ2r−1

+ζ−2r−1

)−(ζ2r+ζ−2

r)+3(ζ3.2

r−1+ζ−3.2

r−1),

entao o reticulado1√

2r−1.3.5σα(A), r = 1, 2, e uma versao rotacionada do reticulado Z2r+1

.

Portanto, reproduzimos versoes rotacionadas dos reticulados Z4 e Z8. Sao conhecidas algu-mas construcoes de Z4 e Z8 rotacionados com diversidade maxima cuja raiz n-esima da distanciaproduto mınima e apresentada abaixo

dimensao A B C

4 0.43899 0.38555 0.415538 0.29382 0.26106 0.29382

Tabela 1: Distancia produto mınima de Z4e Z8

- comparacao

A coluna A refere-se a construcao obtida por Oggier [11] atraves do metodo de kruskemper,os reticulados obtidos sao os que apresentam a melhor distancia produto mınima conhecida naliteratura nas respectivas dimensoes. A coluna B refere-se a construcao obtida por Andrade etal. [1] atraves do subcorpo maximal real da extensao ciclotomica Q(ζ2r). A coluna C refere-sea nossa construcao via subcorpo maximal real de Q(ζ2r.3.5).

538

Proposicao 2 [2]: Se A = OK e α = 2−2(ζ2r−1

+ζ−2r−1

)−(ζ2r+ζ−2

r)+3(ζ3.2

r−1+ζ−3.2

r−1),

entao o reticulado1√

2r−1.3.5σα(A), r ≥ 3, e uma versao rotacionada do reticulado Z8 ⊕Er8 , em

que Er8 denota a soma direta das 2r−2 − 1 copias do reticulado E8.

Observacao 4: Nas proposicoes 1 e 2, o uso do software Mathematica foi de fundamentalimportancia na realizacao da maioria dos calculos.

Algumas famılias de reticulados rotacionados com diversidade maxima e boa distancia pro-duto mınima em dimensao potencia de 2 foram estudadas para transmissao sobre o Canal Ray-leigh com desvanecimento ([1], [8]). Um comparativo entre a raiz n-esima da distancia produtomınima dessas construcoes e a nossa construcao e apresentado abaixo

dimensao A B C

16 0.13339 0.18064 0.2077632 0.09130 0.12636 0.1469164 0.06352 0.08886 0.10388128 0.04455 0.06266 0.07345256 0.03137 0.04425 0.05194512 0.02214 0.03127 0.036721024 0.01564 0.02210 0.025972048 0.01105 0.01562 0.018364096 0.00781 0.01104 0.012988192 0.00552 0.00781 0.0091816384 0.00390 0.00552 0.00649

Tabela 2: Distancia produto mınima em dimensao potencia de 2 - comparacao

A coluna A refere-se a construcao de uma famılia de reticulados Dn rotacionados obtidapor Jorge et al. [8] via subcorpo maximal real da extensao ciclotomica Q(ζ2r). A coluna Brefere-se a construcao de uma famılia de reticulados Zn rotacionados obtida por Andrade et al.[1] atraves do subcorpo maximal real da extensao ciclotomica Q(ζ2r). A coluna C refere-se anossa construcao via subcorpo maximal real de Q(ζ2r.3.5).

Conclusoes

Pela Tabela 1, nota-se que a distancia produto mınima do reticulado Z4 (via Q(ζ2r.3.5))esta bem proxima do maior valor conhecido na literatura e a distancia produto mınima doreticulado Z8 (via Q(ζ2r.3.5)) equipara-se ao maior valor conhecido. Pela Tabela 2, conclui-se que a distancia produto mınima dos reticulados Z8 ⊕ Er8 , onde Er8 denota a soma diretadas 2r−2 − 1 copias do reticulado E8, supera a maior distancia produto mınima em dimensaopotencia de 2 conhecida na literatura (coluna B). Uma perspectiva futura seria construir famıliasde reticulados rotacionados com diversidade maxima e boa distancia produto mınima em outrasdimensoes.

Referencias

[1] A. A. Andrade, C. Alves, T. B. Carlos,“Rotated Lattices via the Cyclotomic FieldQ(ζ2r)”.International Journal of Applied Mathematics, v. 19, n. 3, pp. 321-331, 2006.

[2] A. J. Ferrari, “Reticulados algebricos: Abordagem matricial e simulacoes”. Tese de Douto-rado, IMECC-UNICAMP, 2012.

539

[3] E. B. Fluckiger, F. Oggier, E. Viterbo, “New Algebraic Constructions of Rotated Zn-latticeConstellations for the Rayleigh Fading Channel”. IEEE Transactions on Information The-ory, v. 50, n. 4, pp. 702-714, 2004.

[4] S. Benedetto, E. Biglieri, “Principles of Digital Transmission With Wireless Applications”.Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York, 1999.

[5] J. Boutros, E. Viterbo, C. Rastello, J. C. Belfiore, “Good Lattice Constellations for BothRayleigh Fading and Gaussian Channels”. IEEE Transactions on Information Theory, v.42, n. 2, pp. 502-518, 1996.

[6] J. C. Interlando, J. O. D. Lopes, T. P. N. Neto, “The discriminant of abelian number fields”.Journal of Algebra and its Applications, v. 5, n. 1, pp. 35-41, 2006.

[7] C. H. S. Jesus, “Discriminante dos subcorpos de corpos ciclotomicos de condutores potenciade um primo ımpar”. Tese de Doutorado, UFPB, 2007.

[8] G. C. Jorge, A. J. Ferrari, S. I. R. Costa, “Rotated Dn-lattices”. Journal of Number Theory,v.132, pp. 2397-2406, 2012.

[9] D. A. Marcus, “Numbers Fields”. Springer-Verlag, New York, 1977.

[10] F. Oggier, “Algebraic Methods for Channel Coding”. Tese de doutorado, Ecole Polytechni-que federale de Lausanne, 2005.

[11] F. Oggier, E. B. Fluckiger, “Best rotated cubic lattice constellations for Rayleigh fadingchannel”. Proc. Int. Symposium of Information Theory - ISIT 2003, Yokohama, Japan,2003.

[12] P. Samuel, “Algebraic Theory of Numbers”. Hermann, Paris, 1967.

[13] C. Shannon, “Mathematical Theory of Communication”. Bell Systems Technical Journal,v. 27, pt. I: pp. 379-423; pt. II: pp. 623-656, 1948.

[14] I. Stewart, D. Tall, “Algebric Number Theory”. Chapman & Hall, New York, 1987.

[15] E. Viterbo, F. Oggier, “Algebraic Number Theory and Code Design for Rayleigh FadingChannels”, Foundations and Trends in Communications and Information Theory, v. 1, n.3,2004.

[16] L. Washington, “Introduction to cyclotomic fields”. Springer-Verlag, New York, 1982.

540