Post on 07-Apr-2016
Laboratório de Física Corpuscular - aula expositiva 5 - 2008.1 - IF - UFRJ
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Algumas Distribuições de Probabilidade e Estatística de Contagem
Prof. Marcelo Sant’AnnaSala A-310 (LaCAM) e-mail: mms@if.ufrj.br
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Motivação: o quanto seus dados são confiáveis?
Barras de erro !
Dentro de que faixa você espera que seus dados concordem com outros dados experimentais e com bons modelos teóricos ?
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Caracterização dos dadossoma
N
iixS
1e a média experimental N
Sxe
É freqüentemente conveniente representar o conjunto de dados por uma distribuição de freqüências correspondente F(x). O valor de F(x) é a freqüência relativa com que o número aparece no conjunto de dados. Por definição F(x) = (número de ocorrências do valor x)/(número de medidas (N)) A distribuição é automaticamente normalizada, ou seja,
1)( xF
É possível calcular a média experimental usando a função distribuição
)( xxFx e
eii xx Há uma contribuição igual dos desvios positivos e negativos, de modo que
N
i1
0
o desvio de qualquer ponto da média é dado por
“problema”: o que fazer?
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Se no entanto, tomarmos os quadrados de cada desvio, resultará sempre em um número positivo. Podemos então introduzir a variância experimental como
N
iNs
1
22
11
se um número infinito de medidas fosse acumulados ou quando se conhecem todos os valores possíveis da população
2
1
2 1
N
ii xx
N
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Alguns Modelos estatísticos A distribuição binomial
)1(1 pp
nNnN
n
NN ppnN
pp
1)1(1
0
Defino nNnNn pp
nN
P
1
pNPnnN
n
Nn
0
)1(0
22 ppNPnnN
n
Nn
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Distribuição de Poisson
e
nP
n
n !
Se o valor médio =Np de uma distribuição binomial é muito pequeno, ela se reduz a distribuição de Poisson:
N
nnPn
0
22
N
nnPnn
0
1
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Distribuição de Gaussiana (ou Normal)
2
21
2
1,,
x
exP
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Estatística de Contagem
Admitimos que durante um intervalo de tempo t muito curto a probabilidade de registrar um entre N possíveis eventos é muito pequena.
Esta probabilidade será proporcional a N e a t
tNtP ),1(
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Estatística de Contagem
),0(),0(1),0(),0( ttPNtPtNtPttP
),0(),0(),0( tPNt
tPttP
tNtP ),1(
),1(1),0(),0( tPtPttP
ttP
dtNtPtdP
0
),0(
1 ),0(),0(
0tNo limite ),0(),0( tPNdttdP
tNetP ),0(
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Estatística de Contagem
tNtnPtnPtNtnPttnP ),1(),(),(),(
),1(),(),(),( tnPNtnPNt
tnPttnP
tNtP ),1(
),1(),1(),1(1),(),( tPtnPtPtnPttnP
0tNo limite ),1(),(),( tnPNtnPN
dttndP
Qual a solução?
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Estatística de Contagem
),1(),(),(),( tnfeNtnfeNtnfeNedttndf tNtNtNtN
),1(),(),( tnPNtnPNdttndP
tNetnftnP ),(),(Tentamos solução do tipo:
),1(),( tnfNdttndf
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Estatística de Contagem
111 ngtNNngNtNn nn
),1(),( tnfNdttndf
)(),( ngtNtnfn
Nova substituição. Tentamos solução do tipo:
1 ngngn
!
),(netNCtnP
tNn
Ou seja:
Uma vez que: 1)0,0( P
!
!111 n
nnng
ng
!nCng
!
),(netNtnP
tNn
Poisson!
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Estatística de Contagem
!),(
netNtnP
tNn
Poisson com = N t e, portanto,
tN 11
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Prática
Análise estatística do erro em suas contagens na experiência a seguir
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