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LAJE PROTENDIDA
MODELAGEM E VERIFICAÇÕES
Julio Fernando Pacher Majul
Projeto de Graduação apresentado ao
curso de Engenharia Civil da Escola
Politécnica, Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador (es): Benjamin Ernani Diaz
Cláudia Ribeiro Eboli
Rio de Janeiro
Junho de 2011
ii
LAJE PROTENDIDA
MODELAGEM E VERIFICAÇÕES
Julio Fernando Pacher Majul
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DE DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL
DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinada por
___________________________________
Dr. Benjamin Ernani Diaz
Prof. Emérito, Dr. Ing., da EP/UFRJ
(Orientador)
___________________________________
Prof. Cláudia Ribeiro Eboli
Professora Associada, D. Sc., da EP/UFRJ
(Co-orientador)
___________________________________
Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos
Prof. Associado, D. Sc., da EP/UFRJ
___________________________________
Prof. Arthur V. Da Costa e Silva
Prof. Assistente da EP/UFRJ
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
JUNHO de 2011
iii
Pacher Majul, Julio Fernando
Laje Protendida – Modelagem e Verificações/ Julio
Fernando Pacher Majul. Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola
Politécnica, 2011.
VII, 69 p.: il., 29,7 cm.
Orientador (es): Benjamin Ernani Diaz, Cláudia Ribeiro
Eboli
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso
de Engenharia Civil, 2011.
Referências Bibliográficas: p. 43
1. Modelagem em elementos finitos de uma laje
protendida para análise linear elástica. I – Diaz, Benjamin
Ernani; Eboli, Cláudia Ribeiro. II – Universidade Federal do Rio
de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III –
Título.
iv
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeço a Deus por estar sempre ao meu lado nas horas
que mais precisei, nos momentos difíceis, nos momentos de angústia e nos momentos
de felicidade. Agradeço também a Ele por ter me dado a família que tenho.
Agradeço aos meus pais, minha mãe Clarice e meu pai Adolfo, pois sem eles e
sem a oportunidade que eles me deram de ter uma boa educação, um bom estudo,
não estaria onde estou hoje. Nas horas em que pensei desistir da faculdade e de tudo,
jogar tudo para o alto, eles sempre estiveram ao meu lado, me apoiando e dando força
para poder continuar lutando pelos meus objetivos sem perder a Fé e sem perder o
rumo.
Aos meus irmãos José, Alfredo, Nicolás e a minha cunhada Natália por
também estarem sempre me apoiando e acreditando que eu sou capaz de conseguir
aquilo pelo que luto.
Aos meus amigos: Patrícia, Jefferson, Thiago, Diego, Pedro, Rodrigo, Silvia,
Érika, Rodrigo, Camila, Rafael, Daniele, PH, Baia e todos aqueles que sempre me
apoiaram para nunca desistir e sempre persistir, pois afinal, sem eles muitas coisas
desandariam no percurso chamado Faculdade.
Ao meu Professor e orientador Ernani Diaz pelos ensinamentos, pelo apoio,
pela força e pela paciência ao longo da elaboração do meu projeto final.
A minha super e querida professora Cláudia Eboli, pelo apoio, pela força e pela
ajuda, pois ela sempre estava disposta a me ajudar em tudo o que eu precisava,
nunca se negou e nunca disse não às coisas que eu pedia ou precisava, sempre me
recebia com a maior disposição para tirar dúvidas e sempre tinha ouvidos para,
inclusive, escutar desabafos.
Ao meu professor e ex-chefe Arthur pelos ensinamentos que obtive dele sem
os quais muitas coisas seriam diferentes hoje em dia.
Aos funcionários da secretaria do DME pela ajuda e apoio durante todo o
curso.
A todos o único que tenho a dizer é: MUITO OBRIGADO POR TUDO!!!
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para obtenção do Grau de Engenheiro Civil.
Laje Protendida.
Modelagem e Verificações.
Julio Fernando Pacher Majul.
Junho de 2011.
Orientador (es): Benjamin Ernani Diaz
Cláudia Ribeiro Eboli
Curso: Engenharia Civil.
No presente trabalho será apresentada a modelagem de uma laje protendida
em elementos finitos para análise linear elástica em um programa estrutural comercial.
Serão analisadas seções críticas em estados limites de solicitações normais, punção e
fissuração.
vi
Abstracts of Undergraduate Project presented to POLI / UFRJ as a partial
fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.
Prestressed Concrete Flat Slab
Modeling and Checking
Julio Fernando Pacher Majul
June 2011
Advisors: Benjamin Ernani Diaz
Cláudia Ribeiro Eboli
Course: Civil Engineering
The modelling of a prestressed slab in finite elements for linear structural
analysis with the help of a commercial program is presented. Critical sections will be
analyzed for ultimate limit states related to bending - axial design and shear design, as
well as, for serviceability limit states regarding cracking checking.
vii
Sumário
Capítulo 1 - Introdução ............................................................................................... 1
Capítulo 2 – Descrição do Projeto ............................................................................. 2
2.1 Fôrmas ................................................................................................................ 2
2.2 Materiais .............................................................................................................. 3
2.3 Ações ....................................................................................................................8
2.3.1 Ações permanentes ...................................................................................8
2.3.2 Ações variáveis ..........................................................................................9
Capítulo 3 – Análise Linear Elástica .........................................................................10
3.1 Malha em Elementos Finitos ...............................................................................10
3.2 Propriedades dos materiais .................................................................................12
3.3 Carregamentos ....................................................................................................12
3.3.1 Combinação no ELU ................................................................................12
3.3.2 Combinação no ELS ................................................................................13
3.3.3 Ação dos cabos da direção X ( ) .........................................................13
3.3.4 Ação dos cabos da direção Y ( ) .........................................................20
Capítulo 4 – Verificações nos Estados Limites .......................................................26
4.1 Estado Limite Último de Solicitações Normais ....................................................26
4.2 Estado Limite Último de Punção .........................................................................34
4.3 Estado Limite de Verificação de Fissuras............................................................37
4.4 Determinação das flechas da laje .......................................................................39
Capítulo 5 – Conclusão ..............................................................................................40
Referências Bibliográficas ........................................................................................43
Anexo A .......................................................................................................................44
Anexo B .......................................................................................................................64
1
1. INTRODUÇÃO
Neste trabalho será apresentada a modelagem para análise elástica e
verificações de seções críticas nos estados limites referentes a solicitações normais,
punção e fissuração, de uma laje protendida com sistema aderente.
A escolha do tema Lajes Protendidas surgiu devida à necessidade de atender
às solicitações do meu pai, pois lhe ofereceram a representação deste tipo de sistema
de construção no Paraguai. Com isto decidi aprofundar meus conhecimentos neste
tipo de solução estrutural. Tomei como projeto base o livro Design Fundamentals of
Post-Tensioned Concrete Floors do Post-Tensioning Institute.
O trabalho é desenvolvido em 5 capítulos. No capítulo 2, será apresentado o
projeto do pavimento estudado, definindo-se os materiais utilizados, os desenhos de
fôrma e os desenhos de distribuição dos cabos. Serão relacionadas as propriedades
do aço e do cabo de protensão adotadas e algumas recomendações pertinentes da
Norma NBR 6118:2003.
No capítulo 3, será apresentado o modelo em elementos finitos utilizado na
análise elástica com auxílio do programa SAP 2000. Serão apresentados aspectos
referentes à definição dos apoios, modelagem dos capitéis, modelagem dos cabos de
protensão, etc.
No capítulo 4, serão feitas verificações nos estados limites últimos de
solicitações normais e de punção e estado limite de abertura de fissuras, para as
situações críticas.
As conclusões e sugestões para novas pesquisas serão apresentadas no
capítulo 5.
2
2. DESCRIÇÃO DO PROJETO
2.1. Fôrmas
A laje considerada tem 26 cm de espessura e capitéis de 50 cm de espessura.
As dimensões em planta são as apresentadas na figura 2.1. Está apoiada em 16
pilares e em 5 paredes, com distância entre eixos de apoios variando de 9m a 10m ,no
sentido do eixo X, e de 8.5m a 11m no sentido do eixo Y.
Figura 2.1 – Planta de fôrma (dimensões em cm).
3
Figura 2.2 – Dimensões dos capitéis nos apoios (dimensões em cm).
2.2. Materiais
Concreto
O concreto adotado foi o da classe C35.
Aços
O aço da armadura passiva utilizada é o aço CA – 50.
O aço da armadura ativa adotado é o CP190 - RB
4
Tabela 2.1 - Propriedades das cordoalhas de 7 fios – Aço CP190 RB.
Tipo de cordoalha Ø 12,7 mm
Área mínima (mm2) 98,6
Área aproximada média (mm2) 101,4
Massa nominal (kg/m) 0,775
Carga de ruptura (kN) 187,3
Tensão característica de ruptura – fptk (MPa)
1900
Tensão característica convencional de escoamento – fpyk (MPa)
1710
Módulo de elasticidade (GPa) 196
Foram usadas cordoalhas aderentes com as propriedades apresentadas na
tabela 2.1. Na protensão aderente para a laje utilizam-se bainhas corrugadas, de
preferência chatas, sendo os cabos injetados com calda de cimento.
Força de protensão por cordoalha no ELU
Esta força de acordo com a Norma NBR 6118 é 146 kN.
Força de protensão máxima na ancoragem e força para em serviço
A força inicial na ancoragem por cordoalha é segundo a NBR 6118:
Considerando uma perda por atrito com um coeficiente de atrito entre cabo e
bainha igual a temos:
A força inicial estimada para é .
A força de protensão para será dada por:
Onde:
- Coeficiente de segurança da resistência do aço;
- é a soma dos ângulos de desvio, em radianos.
Distribuição dos cabos
o Cabos na direção X
5
As 158 cordoalhas da direção X estão localizadas nas faixas sobre os apoios,
conforme apresentado na figura 2.3.
Figura 2.3 – Quantidade de cordoalhas nas faixas.
As ancoragens no eixo 1 são centradas em relação ao plano médio da laje e
tem ângulo de saída positivo e variável, conforme será mostrado no capítulo 3. Nas
extremidades do eixo 5, as ancoragens são horizontais e centradas. As ancoragens no
interior do painel são ancoragens mortas, horizontais e com excentricidade máxima
perto à face superior.
o Cabos na direção Y
6
As cordoalhas da direção Y estão distribuídas nas 7 faixas conforme
apresentadas na figura 2.4.
7
Figura 2.4 – Disposição dos cabos distribuídos na direção y.
8
As ancoragens nos eixos F e G são centradas e horizontais. No eixo A, vale o
mesmo, com exceção daquelas nas faixas 6 e 7, que têm ângulo negativo de saída.
As ações permanentes da protensão, carga equivalente e efeitos de
extremidade são apresentados no capítulo 3.
2.3. Ações
As cargas utilizadas são as da publicação de Bijan O. Aalami & Alla Bommer.
2.3.1. Ações permanentes
A carga permanente consiste em:
Peso próprio da laje ( onde e
);
Carga permanente de revestimento e outros equipamentos instalados
na laje com valor de 0.7 kN/m2;
Carga permanente de divisórias (paredes) igual a 1kN/m2;
Carga permanente total de 250 kN atuando em uma área efetiva com
dimensões de 190 x 360 cm², conforme ilustra a figura 2.5.
Figura 2.5 – Posição da área efetiva para cargas concentradas localizadas.
9
2.3.2. Ações variáveis
As ações variáveis consideradas são:
Carga acidental distribuída de 2.34 kN/m2;
Carga acidental total de 100 kN atuando na mesma área mostrada na
figura 2.5.
10
3. ANÁLISE LINEAR ELÁSTICA
3.1. Malha em Elementos Finitos
A análise linear elástica foi feita com o auxílio do programa estrutural comercial
SAP 2000. O plano médio da laje foi modelado em uma malha com elementos de
casca de 20 cm x 20 cm com efeito de membrana e de flexão. A malha de 42755
elementos foi gerada com o auxílio do programa Autocad e exportada para o programa
de análise.
Para a região dos capitéis foram elaborados 3 modelos. No primeiro modelo foi
feito um engrossamento simétrico da laje nas regiões que formam os capitéis. No
segundo modelo os elementos, que estão na região dos capitéis, foram replicados no
sentido negativo do eixo z, formando-se assim, duas lajes com espessura total de 50
cm. Nos nós destas 2 lajes foram colocados links (barras rígidas sem consideração de
pesos adicionais) para uni-las estruturalmente. Finalmente no terceiro modelo, o qual
foi utilizado para as verificações, foi feito um deslocamento do plano médio da laje, no
sentido negativo do eixo z, dos elementos que formam os capitéis e aumentada a
espessura da laje para 50 cm. Todos os dimensionamentos foram feitos com o terceiro
modelo.
Apoios
As paredes e pilares foram modelados como apoios pontuais, restringindo-se o
deslocamento z dos nós mais próximos do eixo destes, conforme mostra a tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Localização dos apoios
P1 P2 P3 P4 P5 P6
x (m) 80.68 90.68 80.68 90.68 100.7 109.88
y (m) 72.48 73.68 65.48 65.48 62.08 67.48
P7 P8 P9 P10 P11 P12
x (m) 76.68 109.88 80.68 90.68 100.7 109.68
y (m) 57.48 57.48 47.48 47.68 47.68 47.68
P13 P14 P15 P16
x (m) 76.68 85.68 98.68 109.9
y (m) 38.48 36.48 38.48 36.48
Eixo da parede 1
y (m) 73.39
Eixo da parede 2 Eixo da parede 3
x (m) 71.88 y (m) 55.18
Eixo da parede 4 Eixo da parede 5
x (m) 90.78 y (m) 25.58
11
Em todos os pilares, foi considerada uma área enrijecida de 40 x 40 cm²,
prescrevendo-se a espessura de 2 m e peso específico nulo.
Para eliminar os deslocamentos de corpo rígido, foram considerados apoios
pontuais restringindo as translações em X e Y, conforme mostra a figura 3.2.
Figura 3.1 – Malha de elementos finitos.
12
Figura 3.2 – Área enrijecida em torno dos apoios e restrições do deslocamento de
corpo rígido (sem escala)
3.2. Propriedades dos materiais
Propriedades do concreto
As propriedades do concreto, de acordo com a NBR 6118, são as seguintes:
Peso específico 25 kN/m³;
Coeficiente de dilatação térmica 10-5 /K;
Módulo de Elasticidade ;
Coeficiente de Poisson 0,2.
3.3. Carregamentos
3.3.1. Combinações no ELU
Carregamento g:
Carregamento q:
13
Carregamento de protensão para :
Os carregamentos e são descritos no item 3.3.3 e 3.3.4.
A combinação no ELU é:
3.3.2. Combinação no ELS
Não foram considerados os fatores de redução para a verificação de fissuração
conforme a NBR 6118.
3.3.3. Ação dos cabos da direção X ( )
Cada cabo é formado de trechos parabólicos, positivos e negativos, de flecha
e comprimento .
O ponto de inflexão entre 2 trechos foi tomado a uma distância do eixo do
apoio igual a 15% do vão ( ).
A carga distribuída equivalente a cada grupo de cabos das faixas apresentadas
na figura 3.3 é obtida por:
Onde:
108 kN – força da cordoalha para ;
- número de cabos na faixa;
- comprimento da parábola;
- largura da faixa em que foi aplicada a carga.
14
Figura 3.3 – Faixa de cabos na direção X.
Os sinais das cargas distribuídas e concentradas, forças e momentos, seguem
a convenção de sinais dos eixos globais, com o eixo z para cima.
n 10 10 10 10 16 16 16 16 16
b (m) 0.4 0.4 0.4 0.4 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8
f (m) - 0.12 0.045 0.145 0.045 0.145 0.014 - -
Lp (m) - 7.65 2.85 7 3 7 1.5 7.5 -
q (kN/m²) - 44.291 -119.67 63.92 -86.4 51.1347 -107.5 - -
FAIXA A - Carga distribuída equivalente
Trecho da
parábolaA1 vão 1 A2 vão 2 A3 vão 3 A4 vão 4 A5
15
No traçado dos cabos, os trechos parabólicos contíguos possuem
descontinuidades na tangente no ponto comum. Para corrigir este efeito, serão
aplicadas cargas concentradas nos pontos de inflexão, em sentido contrário.
O ideal, desde o início, seria eliminar estas forças adicionais. Na publicação de
Alexandre A. Emerick são apresentadas fórmulas para determinar as flechas dos
traçados dos cabos sem estas forças adicionais.
Para os cabos da faixa A temos:
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.05 0.05 0.095 0.04 0.04 -0.095 0.05 0.05 0.095 0.05
sin α 0.056 -0.0693 -0.067 0.074 0.079 -0.081 -0.06 0.06
P *sin α (kN) -64.64 -79.673 76.67 84.74 -90.36 -93.64 69 110.4
ΔP (kN) -3.01 -5.62 -24.64 -42.06
vão 2 A3Trecho
parabólico
Correção no ponto de inflexão
A1 vão 1 A2
I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.05 -0.095 0.05 0.05 0.087 0.095 0.095 0.095 0.095 0.095 0.095 0.095
sin α 0.0829 -0.0829 -0.069 0.00867 0 0 0 0
P *sin α (kN) -152.46 -152.46 126.3 15.9467 0 0 0 0
ΔP (kN) -26.11 15.95 0 0
Trecho
parabólico
vão 3 A4 vão 4 A5
Correção no ponto de inflexão
Onde:
- excentricidade do cabo;
- ponto inicial do trecho parabólico;
- ponto médio do trecho parabólico;
- ponto final do trecho parabólico;
- forças adicionais nos pontos de inflexão.
O ângulo (em radianos) no ponto inicial e final de cada cabo foram obtidos da
seguinte equação:
Simplificando a equação acima obtemos:
16
Onde:
– ângulo da tangente nos pontos extremos da parábola;
– cota no ponto de inflexão considerado.
As tabelas das demais faixas de cabos sobre os apoios encontram-se no
anexo A.
Efeitos de extremidades
A ancoragem no eixo 1 é centrada com o plano médio da laje e tem ângulo de
saída positivo, o que implica em uma força inclinada em relação à horizontal. Essa
força foi decomposta em uma força horizontal e vertical para a aplicação como forças
de extremidade.
As forças foram calculadas como se segue:
Onde:
- força aplicada na direção x;
- força aplicada na direção z;
- número de cabos na faixa;
- força de protensão por cabo para ;
- largura do elemento (0,20 m);
- ângulo de saída na ancoragem.
Tais forças foram aplicadas como forças nodais, isto é, cada nó recebe metade
da carga no bordo do elemento com largura de 0,20 m.
17
60.833 kN
2
30.4165 kN Metade 15.20825 kN
540 kN Metade 270 kN
Força total horizontal
Número de elementos
Força vertical nos nós
Força horizontal
Força inclinada na ancoragem do eixo 1
Ângulo 3.229 graus 0.056357 rad
1728 kN
4
432 kN Metade 216 kN
164.16 kNm
41.04 kNm Metade 20.52 kNmMomento nos nós
Força na ancoragem do eixo 5
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força horizontal
Momento total
A figura 3.4 mostra os carregamentos no SAP 2000, definidas por forças por
unidades de área.
18
Figura 3.4 – Cargas equivalentes dos cabos da direção X (parte 1).
19
Figura 3.5 – Cargas equivalentes dos cabos da direção X (parte 2).
20
3.3.4. Ação dos cabos da direção Y ( )
Para esta direção os cabos serão considerados uniformemente distribuídos.
A ação dos cabos nesta direção foi calculada da mesma forma que a dos
cabos da direção X.
As tabelas a seguir apresentam as cargas distribuídas equivalentes e forças
nos pontos de inflexão na faixa 1 (figura 3.6). Para as demais faixas, as tabelas
encontram-se no anexo A. De novo, seria importante adotar flechas mais adequadas
nos traçados dos cabos de modo a evitar estas forças adicionais nos pontos de
inflexão.
Efeitos de extremidade
As ancoragens nos eixos A, F e G nesta direção têm ângulo de saída nulo em
relação ao plano médio da laje e os efeitos de extremidades são cargas aplicadas no
plano. Os cabos das faixas 6 e 7 no eixo A têm excentricidade máxima positiva e
ângulo de saída negativo.
As figuras 3.7 e 3.8 mostram as cargas equivalentes aplicadas no modelo
como forças por unidade de área, tanto no sentido para cima como para baixo.
21
Figura 3.6 – Distribuição das cordoalhas no painel da laje.
22
n 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
b (m) 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5
f (m) - 0.117 0.047 0.145 0.04 0.155 0.042 0.14 0.052 0.105 0.003
Lp (m) - 5.1 2.25 6.3 2.85 7 2.7 5.6 2.25 5.3 0.8
q (kN/m²) - 4.32 8.91 3.51 4.73 3.04 5.53 4.29 9.86 3.59 4.50
vão 3 Apoio 4 vão 4 vão 5 Apoio 6
Faixa 1 - Carga distribuída equivalente
Apoio 5Trecho da parábola Apoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.043 0.043 0.094 0.049 0.049 -0.0949 0.04 0.04 0.095 0.045
sen α 0.082941 -0.0998 -0.088 0.082667 0.089937 -0.08708 -0.07544 0.07193
P *sen α (kN) -44.79 -53.89 47.52 44.64 -48.57 -47.02 40.74 38.84
ΔP (kN) -6.37 -3.93 -6.29 -4.36
Correção no ponto de inflexão
Trecho parabólicoApoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
I M F I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.045 -0.095 0.045 0.045 0.095 0.04 0.04 -0.094 0.045 0.045 0.093 0.039 0.039 -0.094 -0.0267 -0.0267 -0.0067 0
sen α 0.08 -0.08 -0.07593 0.07963 0.096607 -0.09839 -0.088 0.093333 0.087981 -0.06319 -0.06663 -0.00012
P *sen α (kN) -43.2 -43.2 41.00 43.00 -52.1679 -53.1321 47.52 50.40 -47.51 -34.12 35.98 -0.07
ΔP (kN) -2.20 -9.17 -5.61 2.89 1.86 -0.07
Apoio 6
Correção no ponto de inflexão
Trecho parabólicovão 3 Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5
Força no cabo 540 kN
Quantidade de elementos 23
Força horizontal 23.47826 kN Metade 11.73913 kN
Efeito de extremidade no eixo F
23
Força no cabo 540 kN
Numero de quadrados 23
Força horizontal 23.47826 kN Metade 11.73913 kN
Força de ancoragem no eixo A
24
Figura 3.7 – Cargas equivalentes dos cabos da direção Y (parte 1).
25
Figura 3.8 – Cargas equivalentes dos cabos da direção Y (parte 2)
26
4. VERIFICAÇÕES NOS ESTADOS LIMITES
4.1. Estado Limite Último de Solicitações Normais
Para a direção X a laje foi armada como sendo de Concreto Armado na região
onde não existe armadura de protensão. Na região onde há armadura de protensão foi
verificado se a quantidade de cabos existente é suficiente ou se há necessidade de
armadura passiva adicional. As áreas de armadura mínima passiva também são
avaliadas.
O dimensionamento à flexão-composta com grande excentricidade é
apresentado em forma de tabelas e segue a nomenclatura definida na figura 4.1.
d'
d
x = kxd
0,85fcd cd
MSd
As
As' 'sd
sd
0,8x
z = kzd
R’sd
zs = (d – d’)
Rsd
yt
NSd
NSd
MSdi
Rcd
Figura 4.1 – Esquema resistente à Flexão Composta Reta.
As forças e estão indicadas na figura acima com a sua orientação
matemática.
Os esforços solicitantes de cálculo normal na seção podem ser obtidos por:
Considerando-se sempre os momentos com os sinais da figura 4.1, os
momentos reduzidos ao CG da armadura de tração são obtidos por:
Onde:
- esforços solicitantes de cálculo referidos ao CG da seção;
– esforços solicitantes de cálculo referidos ao CG da armadura de
tração;
- resultante de compressão no concreto (para compressão o sinal é
negativo);
27
- resultante da armadura de compressão (para compressão o sinal é
negativo;
- resultante da armadura de tração;
- braço de alavanca interno de ;
- braço de alavanca interno de ;
– distância do CG de ao CG da seção.
As áreas necessárias de armadura passiva são obtidas de:
Onde:
- força de protensão por cabo no estado limite último conforme já descrito no
capítulo 2.
A armadura mínima é obtida pela seguinte expressão de acordo com a NBR
6118:
Onde:
Para
28
- área da seção transversal da armadura longitudinal de tração;
- área da seção transversal do cabo de protensão;
- largura e altura da seção considerada, respectivamente;
- taxa geométrica mínima de armadura longitudinal;
- taxa geométrica da armadura de protensão;
– taxa geométrica de armadura aderente passiva.
Para as seções sobre os apoios:
hcapitel 0.5 m
d' 0.035 m
d 0.465 m
yi 0.215 m
Os esforços solicitantes e foram obtidos da combinação das ações
retirando os efeitos isostáticos dos cabos
multiplicados por 0,9, onde:
– esforços de cargas permanentes;
- esforços de cargas variáveis;
- esforços totais de protensão no sentido xx;
- esforços totais de protensão no sentido yy.
29
B2 633.80 1358.89 1222.62 0.226 0.395 0.842 1222.62 0.00 -3122.73 0 3756.53 0
B3 395.98 1624.06 1538.92 0.272 0.500 0.800 1470.33 68.59 -3952.5 -159.522 4508.00 0.000367
D2 659.60 1517.84 1376.03 0.255 0.458 0.817 1376.03 0.00 -3623.61 0 4283.21 0
E4 192.77 1869.69 1828.24 0.272 0.500 0.800 1470.33 357.91 -3952.5 -832.359 4977.63 0.001914
kxSeçãoNsd
(kN/m)
Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd
A's
(m²/m)kz
MRdc
(kNm/m)
MRds
(kNm/m)
Rcd
(kN/m)
R'sd
(kN/m)
Rsd
(kN/m)
O cálculo da armadura de tração é apresentado a seguir.
B2 3756.53 146.61 26 19 0.80 3 439.83 0.001012
B3 4508.00 146.61 31 20 1.00 11 1612.71 0.003709
D2 4283.21 146.61 30 21 1.00 9 1319.49 0.003035
E4 4977.63 146.61 34 22 1.00 12 1759.32 0.004046
Força
complementar
(kN/m)
As CA-50
(m²/m)Seção
Rsd
(kN/m)
Pi
(kN/cabo)
Cabos
necessários/m
Cabos
existentesDirferença/mFaixa (m)
Para as seções no vão, sobre a faixa de apoios:
hlaje 0.26 m
d' 0.035 m
d 0.225 m
yi 0.095 m
30
Entre C2 e C3 2037.91 395.75 202.15 0.160 0.262 0.895 202.15 0.00 -1003.81 0.00 3041.72 0.000000
Entre B3 e B4 1771.11 324.11 155.85 0.123 0.197 0.921 155.85 0.00 -751.792 0.00 2522.90 0.000000
Entre D2 e D3 1900.50 409.29 228.74 0.181 0.302 0.879 228.74 0.00 -1156.5 0.00 3057.00 0.000000
Entre E3 e E4 1835.22 371.22 196.87 0.156 0.255 0.898 196.87 0.00 -974.256 0.00 2809.48 0.000000
A's (m²/m)kzMRdc
(kNm/m)
MRds
(kNm/m)
Rcd
(kN/m)
R'sd
(kN/m)
Rsd
(kN/m)kxSeção
Nsd
(kN/m)
Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd
O cálculo da armadura de tração é apresentado a seguir.
Entre C2 e C3 3041.72 146.61 21.00 32 1.40 -2 0.00 0.000000
Entre B3 e B4 2522.90 146.61 18.00 23 1.00 -5 0.00 0.000000
Entre D2 e D3 3057.00 146.61 21.00 19 0.80 -3 0.00 0.000000
Entre E3 e E4 2809.48 146.61 20.00 38 1.60 -4 0.00 0.000000
Faixa (m)SeçãoRsd
(kN/m)
Pi
(kN/cabo)
Cabos
necessários/m
Cabos
existentesDirferença/m
Força
complementar
(kN/m)
As CA-50
(m²/m)
Para as seções entre apoios de linhas diferentes:
As seções entre apoios e nos vãos entre linhas diferentes de pilares foram dimensionadas como Concreto Armado e os esforços
normais não foram levados em conta a favor da segurança. Estes trechos não possuem cabos de protensão. Os esforços e são
obtidos diretamente das combinações das ações.
31
Entre B3 e C3 0.00 -39.67 -39.67 0.031 0.047 0.981 39.67 0.00 -179.688 0.000000 179.69 0.000413 0.000000
Entre D4 e E4 0.00 -161.97 -161.97 0.128 0.205 0.918 161.97 0.00 -784.173 0.000000 784.17 0.001804 0.000000
Entre A4 e B4 0.00 19.34 19.34 0.015 0.023 0.991 19.34 0.00 -86.7424 0.000000 86.74 0.000200 0.000000
Entre D3 e E3 0.00 119.93 119.93 0.095 0.148 0.941 119.93 0.00 -566.594 0.000000 566.59 0.001303 0.000000
Seção Nsd (kN/m)Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd R'sd (kN/m)
Rsd
(kN/m)
As - tração
(m²/m)
A's
(m²/m)kx kz
MRdc
(kNm/m)
MRds
(kNm/m)
Rcd
(kN/m)
Para o vão entre os apoios de linhas diferentes:
Entre B2-B3 e C2-C3 0.00 125.65 125.65 0.099 0.156 0.938 125.65 0.00 -595.533 0.00 595.53 0.001370 0.000000
Entre D4-D5 e E4-E5 0.00 36.91 36.91 0.029 0.044 0.983 36.91 0.00 -166.96 0.00 166.96 0.000384 0.000000
Entre a parede 1 e B4-B5 0.00 65.61 65.61 0.052 0.079 0.969 65.61 0.00 -301.08 0.00 301.08 0.000692 0.000000Entre A2-A3 e B2-B3 0.00 51.64 51.64 0.041 0.062 0.975 51.64 0.00 -235.301 0.00 235.30 0.000541 0.000000
R'sd (kN/m)Rsd
(kN/m)
As - tração
(m²/m)
A's
(m²/m)kx kz
MRdc
(kNm/m)
MRds
(kNm/m)
Rcd
(kN/m)Seção
Nsd
(kN/m)
Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd
32
A seguir são mostradas as tabelas das verificações feitas para a direção Y.
Para esta direção os esforços e foram obtidos das coCmbinações das
ações eliminando os esforços isostáticos de
protensão na direção yy multiplicado pelo coeficiente 0,9.
Para as seções sobre os apoios:
33
B2 -1213.65 1169.84 1430.77 0.265 0.482 0.807 1430.77 0.00 -3812.381 0 2598.73 0
B3 -1236.80 1534.58 1800.49 0.272 0.500 0.800 1470.33 330.16 -3952.50 -767.8186 3483.52 0.001766
D2 -1260.05 1518.58 1789.49 0.272 0.500 0.800 1470.33 319.16 -3952.50 -742.2343 3434.68 0.001707
E4 -1683.35 1869.45 2231.37 0.272 0.500 0.800 1470.33 761.04 -3952.50 -1769.861 4039.01 0.004071
A's
(m²/m)kz
MRdc
(kNm/m)
MRds
(kNm/m)Rcd (kN/m)
R'sd
(kN/m)
Rsd
(kN/m)kxSeção
Nsd
(kN/m)
Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd
O cálculo da armadura de tração é apresentado a seguir.
B2 2598.73 146.61 18.00 2 16.00 2345.76 0.005395
B3 3483.52 146.61 24.00 4 20.00 2932.20 0.006744
B4 3434.68 146.61 24.00 4 20.00 2932.20 0.006744
B5 4039.01 146.61 28.00 5 23.00 3372.03 0.007756
Força
complementar
(kN/m)
As CA-50
(m²/m)Seção
Rsd
(kN/m)
Pi
(kN/cabo)
Cabos
necessários/m
Cabos
existentesDirferença/m
34
As tabelas das verificações das demais seções da direção Y encontram-se no
anexo B.
Com objetivo acadêmico, no final do anexo B encontra-se o exemplo de
dimensionamento à flexão de uma seção para o caso do sistema de monocordoalha
engraxada, sem aderência.
4.2. Estado Limite Último de Punção
As verificações ao puncionamento foram feitas para duas seções consideradas
as mais críticas. As verificações estão conforme prescreve a Norma NBR 6118, itens
19.5.2.1, 19.5.3.1 e 19.5.3.2, e as tabelas a seguir mostram tais verificações.
Para a superfície crítica C:
Seção Fsd (kN) dx (m) dy (m) d (m)Largura do
pilar (m)
Superfície
C (uo) - m
τSd
(kN/m²)
τRd2
(kN/m²)
Apoio D2 5860.81 0.465 0.45 0.4575 0.75 3 4270.17 5805
Apoio E4 7661.14 0.465 0.45 0.4575 0.75 3 5581.89 5805
Verificação
Não há ruptura nas bielas
Não há ruptura nas bielas
Onde:
- Força ou reação de punção de cálculo;
- são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;
- altura útil da laje ao longo do contorno crítico considerado;
- perímetro do contorno C ao longo dos bordos do pilar;
- tensão de cisalhamento solicitante de cálculo;
- tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite para verificação da
compressão diagonal do concreto na ligação laje – pilar.
Para a estimativa da altura útil foi utilizada a seguinte equação:
Para a tensão de cisalhamento de cálculo:
Para a tensão de cisalhamento resistente no perímetro C:
35
Onde:
Com em megapascal.
Os esforços foram retirados das combinações das ações
.
Para a superfície crítica C’, referente ao exame da necessidade de
armadura transversal, seguem-se os cálculos:
36
Seção Fsd (kN) dx (m) dy (m) d (m)
Largura
do pilar
(m)
Superfície
C (u) - m
τSd
(kN/m²)
As - X
(m²)As - Y (m²)
Largura
do capitel
(m)
ρx ρy ρτRd1
(kN/m²)
Apoio D2 5860.81 0.465 0.45 0.4575 0.75 10.32 1241.33 0.004059 0.005628 3.20 0.002537 0.003518 0.077810 1399.76
Apoio E4 7661.14 0.465 0.45 0.4575 0.75 10.32 1622.64 0.000000 0.005829 4.00 0.000000 0.002915 0.053986 1239.18
Superfície crítica C'
Verificação
Não há necessidade de Arm. de punção
Há necessidade de Arm. de punção
Onde:
– perímetro do contorno C’;
- área total de armadura existente na seção e na direção considerada;
- são as taxas de armadura nas duas direções ortogonais igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de para
cada um dos lados;
- taxa geométrica de armadura de flexão aderente;
- tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para que a laje possa prescindir de armadura transversal para resistir à forca
cortante por unidade de comprimento.
37
Os parâmetros e foram obtidos como segue:
4.3. Estado Limite de Abertura de Fissuras
A verificação da fissuração foi feita com o auxílio do programa CRACK3L,
preparado por B. Ernani Diaz, que segue as orientações para a determinação de
aberturas de fissuras de acordo com o código modelo do CEB 1978.
O programa calcula inicialmente a força normal e o momento de fissuração no
Estádio I para os quais a tensão no concreto atinge a resistência a tração. Com a força
normal e o momento de fissuração, são calculadas no estádio II as tensões no
concreto e no aço. Em seguida são determinadas as tensões no concreto e no aço sob
os esforços máximos de serviço no estádio II. Evidencia-se que o programa determina
numericamente as tensões no aço para as cargas de utilização no estádio II usando
um processo iterativo. Em seguida é seguido o procedimento descrito no CEB 1978
para determinação da abertura de fissuras de peças de concreto armado sujeitas à
força normal e momento fletor.
Os dados de entrada fornecidos ao programa são: dados geométricos da
seção de concreto, área total de aço, o fck do concreto, módulo de elasticidade do aço,
relação entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade do concreto,
cobrimento, espaçamento entre barras, diâmetro da barra adotada, esforço normal e
momento atuante no ELS e o tirante fictício calculado conforme mostrado no CEB
1978.
Não foram reduzidas as cargas variáveis nas combinações de esforços, como
prevê a Norma NBR 6118, por meio dos fatores ψ.
As saídas do programa CRACK3L são apresentadas a seguir:
38
De acordo com a NBR 6118, tabela 13.3: “Para o concreto protendido nível 1
(protensão parcial): para pós-tração com CAA I ou II e combinação
freqüente.”
Como observa-se na saída do programa, as setas indicam as aberturas das
fissuras, o que leva a concluirmos de que a laje não atende ao prescrito na Norma
NBR 6118, pois as fissuras são maiores do que as aceitáveis. Entretanto as
combinações adotadas estão muito a favor da segurança.
Na saída do programa existem duas verificações de aberturas de fissuras.
Foram consideradas duas seções para se ter a certeza de que a laje não atende às
exigências normativas. Estas duas seções são sobre os apoios E4 e D2.
39
4.4. Determinação das flechas da laje
Foi feito um exame das flechas da laje com o programa SAP.
Verificou-se que as flechas, no canto inferior e à direita da laje do piso, as
flechas obtidas foram muito elevadas,
A nossa opinião sobre este problema é que os cabos introduzidos no modelo
não correspondem ao projeto desenvolvido na publicação citada.
Com a utilização de um número baixo de cabos nesta região, as flechas
obtidas não foram satisfatórias.
Nesta região, também, os esforços obtidos ocasionaram situações
inadequadas ao dimensionamento da laje.
40
5. CONCLUSÃO
Este trabalho de final do curso tinha como tema básico o estudo de lajes
protendidas. A escolha da laje para desenvolvimento do trabalho de fim de curso foi
feita com base numa publicação americana dos autores Bijan O. AAlami e Allan
Bommer (“Design Fundamentals of Post–Tensioned Concrete Floors” do Post-
Tensioning Institute – Phoenix, Arizona). Apesar da fôrma irregular da laje escolhida, o
projeto parecia simples, pois já existia um anteprojeto do traçado dos cabos de
protensão. Entretanto como pôde ser visto e avaliado ao longo do texto, o projeto
apresentou vários aspectos que envolveram certo grau de complexidade na análise e
no dimensionamento. É de se notar que estes pontos examinados não ficam explícitos
nas publicações já apresentadas na literatura nacional sobre o assunto.
Inicialmente deve-se enfatizar que a verificação da laje foi feita supondo uma
aderência total para a armadura de protensão.
Mesmo já existindo um anteprojeto da laje, com indicações para se obter as
cargas verticais equivalentes dos cabos, foi necessário estudar com cuidado a
geometria dos cabos para se se definir as características das parábolas do traçado
dos cabos, com as suas excentricidades máximas, os pontos de inflexão e analisar as
regiões de cruzamento dos cabos nas duas direções. O número de cabos dispostos no
anteprojeto não pôde ser definido com grande precisão em vista da documentação
existente pouco clara. A irregularidade da distribuição dos pilares e a presença de
paredes estruturais aumentaram a complexidade do traçado, obrigando a variação no
número dos cabos ao longo das faixas sobre os apoios e a adoção de ancoragens
mortas ao longo da laje. A ação da protensão, em cada direção, foi introduzida no
modelo SAP através de cargas distribuídas equivalentes e de esforços de
extremidade. A irregularidade do traçado se reflete diretamente na definição destes
carregamentos de grande complexidade. Sendo o projeto original americano, foram
também necessárias adaptações, como o número de cabos e o valor das forças
iniciais de protensão, para atender às exigências da NBR6118.
Nas análises efetuadas, por simplificação, não foi considerado um modelo
espacial no sentido vertical com a interação da flexão dos pilares e paredes.
Na verificação do estado limite último, nas regiões com armadura ativa, foi
imposto descontar dos resultados, obtidos na análise pelo SAP (N, M), a parcela
isostática da ação de protensão. Para tanto, foram desenvolvidas planilhas que
41
permitiram racionalizar a tarefa tanto para avaliação das solicitações, bem
como, para a verificação da armadura ativa e o dimensionamento da armadura
passiva necessária.
Mostrou-se ser mais interessante aplicar expressões fechadas para as flechas
dos traçados dos cabos do que corrigir os problemas de falta de continuidade das
tangentes dos traçados por meio de forças concentradas adicionais.
Foram introduzidos no modelo os capitéis conforme indicação da fôrma do
projeto apresentado na publicação de B. O. Aalami e A. Bommer. A presença dos
capitéis alterou os esforços do modelo SAP preliminar em elementos de casca para a
laje lisa, como era previsto. Três alternativas de modelagem da região dos capitéis
foram desenvolvidas e estudadas. Inicialmente foi aumentada a espessura da laje
simetricamente. Num segundo modelo foi criada uma outra laje no trecho do capitel
para baixo com uma união estrutural das duas lajes por meio de links. Finalmente no
terceiro modelo foi deslocado o plano do capitel para baixo e aumentada a espessura
da laje.
O modelo que se mostrou mais adequado foi aquele em que o plano médio da
laje foi deslocado para o plano médio da região do engrossamento. O
dimensionamento à punção mostrou que, mesmo com a presença de capitéis, é
necessário projetar armadura para resistir à punção em alguns casos.
Ficam como sugestões para novos trabalhos: a verificação do estado limite de
força cortante; a avaliação das perdas imediatas e diferidas da protensão; a
verificação e dimensionamento de armaduras nas regiões de introdução da protensão
e principalmente o dimensionamento da laje com armadura de protensão sem
aderência.
Interessante, também, seria acrescentar no modelo os pilares e as paredes,
estudar a distribuição das forças de membrana, especialmente na direção na qual os
cabos estão concentrados na região dos pilares e o estudo da necessidade de
armaduras de suspensão ao longo dos bordos da laje.
Outra sugestão ainda seria o desenvolvimento de modelo em elementos de
volume para analisar a distribuição das tensões em uma laje com engrossamento na
região de capitéis.
42
Contudo, pode-se concluir ao final desta verificação de que o projeto de uma
laje protendida pode conduzir a uma obra simples, de execução rápida, vencendo
grandes vãos e com redução do prazo da obra, pois a laje não apresenta vigas. Mas a
análise da estrutura deve ser bastante precisa, levando-se em conta várias
considerações que são de importância para obter uma verificação cuidadosa e que
atenda a todos os aspectos de segurança da estrutura que deve resistir às cargas que
atuam sobre a laje com as condições normativas impostas.
43
7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABNT NBR 6118:2003; Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos.
AALAMI, BIJAN O. & BOMMER, ALLAN; Design Fundamentals of Post-
Tensioned Concrete Floor; PTI, POST-TENSIONING INSTITUTE; Phoenix, Arizona,
1999.
CAUDURO, EUGENIO LUIZ; Manual para a Boa Execução de Estruturas
Protendidas Usando Cordoalhas de Aço Engraxadas e Plastificadas; Belgo, 2ª edição.
COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON; Code-modèle CEB-FIP pour
les structures em béton; Paris, 1978.
EMERICK, ALEXANDRE ANOZÉ; Projetos e execução de Lajes Protendidas;
Editora Interciência, Rio de Janeiro, 2005.
SAP 2000; versão 14.1.0; Structural Analysis Program; Computers and
Structures, Inc., Berkeley, California.
44
Anexo A
45
Tabelas de cargas equivalentes, da correção nos pontos de inflexão e dos
efeitos de extremidade dos cabos concentrados sobre as demais linhas dos apoios na
direção X.
Para a faixa de apoios B:
n 19 19 19 19 23 23 23 23 23
b (m) 0.8 0.8 0.8 0.8 1 1 1 1 1
f (m) - 0.12 0.04 0.155 0.035 0.155 0.035 0.115 0.005
Lp (m) - 7.65 2.85 7 3 7 3 7.5 1
q (kN/m²) - 42.08 -101.05 64.91 -77.28 62.86 77.28 40.63 99.36
B5
FAIXA B - Carga distribuída equivalente
Trecho da
parábolaB1 vão 1 B2 vão 2 B3 vão 3 B4 vão 4
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.05 0.05 0.095 0.06 0.06 -0.095 0.06 0.06 0.095 0.06
sen α 0.0562 -0.0693 -0.0596 0.0526 0.0886 -0.089 -0.047 0.0467
P *sen α (kN) -115.3 -142.16 122.4 108 -181.7 -181.7 95.76 95.76
ΔP (kN) -19.76 -73.75 -85.99 -124.25
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
B1 vão 1 B2 vão 2 B3
I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.06 -0.095 0.06 0.06 0.095 0.06 0.06 -0.095 -0.02 -0.02 -0.005 0
sen α 0.08857 -0.089 -0.047 0.0467 0.072 -0.051 -0.04 0
P *sen α (kN) -220.01 -220 115.92 115.92 -178.85 -125.9 99.36 0
ΔP (kN) -104.09 -62.93 -26.50 0
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
vão 3 B4 vão 4 B5
115.3682 kN
4
28.84204 kN Metade 14.42102 kN
513 kN Metade 256.5 kN
Força de ancoragem no eixo 1
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força vertical nos nós
Força horizontal nos cabos
Ângulo 3.223 graus 0.056252 rad
2484 kN
5
496.8 kN Metade 248.4 kN
Força de ancoragem no eixo 5
Força horizontal
Quantidade de elementos
Força total nos cabos
46
Para a faixa de apoios C:
n 32 32 32 32 32 42 22 22 22
b (m) 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.8 1 1 1
f (m) - 0.117 0.043 0.145 0.012 - 0.002 0.115 0.005
Lp (m) - 4.25 2.4 7.7 1.65 - 1.5 7.5 1
q (kN/m²) - 127.92 -147.43 48.30 -87.046 - 16.90 38.86 95.04
FAIXA C - Carga distribuída equivalente
Trecho da
parábolaC1 vão 1 C2 vão 2 C3 vão 3 C4 vão 4 C5
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.045 0.045 0.095 0.06 0.06 -0.095 0.04 0.04 0.08 0.095
sen α 0.1 -0.1212 -0.0771 0.06458 0.0779 -0.0727 -0.0636 -0.003
P *sen α (kN) -345.6 -418.79 266.4 223.2 -269.3 -251.35 219.93 -13.745
ΔP (kN) -152.39 -46.10 -31.42
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
C1 vão 1 C2 vão 2 C3
I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.095 0.095 0.095 0.095 0.08 0.06 0.06 -0.095 -0.02 -0.02 -0.005 0
sen α 0.01667 0.03 0.072 -0.0507 -0.04 0
P *sen α (kN) -75.6 71.28 -171.07 -120.38 95.04 0
ΔP (kN) -99.79 -25.34 0
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
vão 3 C4 vão 4 C5
343.9093 kN
7
49.1299 kN Metade 24.56495 kN
493.7143 kN Metade 246.8571 kN
Força de ancoragem no eixo 1
Ângulo 5.711 graus 0.099676 rad
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força vertical nos nós
Força horizontal nos cabos
2376 kN
5
475.2 kN Metade 237.6 kN
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força horizontal
Força de ancoragem no eixo 5
47
Para a faixa de apoios D:
P 108 kN
n 19 19 19 19 19 19 19 19 19
b (m) 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8
f (m) - 0.12 0.04 0.155 0.035 0.155 0.035 0.115 0.005
Lp (m) - 7.65 2.85 7 3 7 3 7.5 1
q (kN/m²) - 42.08 -101.05 64.91 -79.8 64.91 -79.8 41.95 -102.6
FAIXA D - Carga distribuída equivalente
Trecho da
parábolaD1 vão 1 D2 vão 2 D3 vão 3 D4 vão 4 D5
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.05 0.05 0.095 0.06 0.06 -0.095 0.06 0.06 0.095 0.06
sen α 0.0562 -0.069 -0.06 0.0526 0.0886 -0.089 -0.047 0.047
P *sen α (kN) -115.3 -142.2 122.4 108 -181.7 -181.7 95.76 95.76
ΔP (kN) -19.76 -73.75 -85.99 -85.99
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
D1 vão 1 D2 vão 2 D3
I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.06 -0.095 0.06 0.06 0.095 0.06 0.06 -0.095 -0.02 -0.02 -0.005 0
sen α 0.0886 -0.089 -0.047 0.0467 0.072 -0.051 -0.04 0
P *sen α (kN) -181.7 -181.7 95.76 95.76 -147.7 -104 82.08 0
ΔP (kN) -85.99 -51.98 -21.89 0
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
vão 3 D4 vão 4 D5
115.1536 kN
4
28.7884 kN Metade 14.3942 kN
513 kN Metade 256.5 kN
Força de ancoragem no eixo 1
Ângulo 3.217 graus 0.056147 rad
Força total no cabos
Quantidade de elementos
Força vertical nos nós
Força horizontal nos cabos
2052 kN
4
513 kN Metade 256.5 kN
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força horizontal
Força de ancoragem no eixo 5
48
Para a faixa de apoios E:
P 108 kN
n 18 18 18 18 18 38 38 38 38
b (m) 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.6 1.6 1.6 1.6
f (m) - 0.115 0.045 0.15 0.04 0.155 0.035 0.11 0.0075
Lp (m) - 4.25 2.1 6.3 3.3 9.1 3.6 7.9 2.45
q (kN/m²) - 123.77 -198.37 73.47 -71.40 38.41 -55.42 36.17 -25.64
FAIXA E - Carga distribuída equivalente
Trecho da
parábolaE1 vão 1 E2 vão 2 E3 vão 3 E4 vão 4 E5
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.04 0.04 0.095 0.06 0.06 -0.095 0.05 0.05 0.095 0.06
sen α 0.09882 -0.1176 -0.0952 0.07619 0.09683 -0.0937 -0.0515 0.04545
P *sen α (kN) -192.113 -228.71 185.143 148.114 -188.23 -182.06 100.145 186.545
ΔP (kN) -43.56 -40.11 -81.91 -93.07
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
E1 vão 1 E2 vão 2 E3
I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.06 -0.095 0.06 0.06 0.095 0.06 0.06 -0.095 -0.03 -0.03 -0.0075 0
sen α 0.0681 -0.0681 -0.03889 0.03889 0.06709 -0.0443 -0.0245 0
P *sen α (kN) -279.61 -279.61 159.6 159.6 -275.33 -181.82 100.506 0
ΔP (kN) -120.01 -115.73 -81.32 0
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
vão 3 E4 vão 4 E5
191.1869 kN
4
47.79672 kN Metade 23.89836 kN
486 kN Metade 243 kN
Força de ancoragem no eixo 1
Ângulo 5.644 graus 0.098506 rad
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força vertical nos nós
Força horizontal nos cabos
4104 kN
8
513 kN Metade 256.5 kN
Força nas cordoalhas
Quantidade de elementos
Força horizontal
Força de ancoragem no eixo 5
49
Para a faixa de apoio G:
P 108 kN
n 20 20 20
b (m) 0.8 0.8 0.8
f (m) - 0.125 0.0087
Lp (m) - 8.5 1.5
q (kN/m²) - 37.37 -83.52
FAIXA E - Carga distribuída equivalente
Trecho da
parábolaE1 vão 1 E2
I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.06 0.06 0.0862 0.095
sen α 0.05176 -0.0659 -0.0465 -0.0001
P *sen α (kN) -111.812 -142.31 100.512 -0.288
ΔP (kN) -41.79 -0.29
Trecho
parabólico
E1 vão 1 E2
Correção no ponto de inflexão
111.6527 kN
4
27.91317 kN Metade 13.95659 kN
540 kN Metade 270 kN
Força de ancoragem na parede 4
Ângulo 2.963 graus 0.051714 rad
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força vertical nos nós
Força horizontal nos cabos
Na ancoragem do eixo 5, os cabos estão com excentricidade máxima positiva,
as quais, além das forças horizontais e verticais provocaram momentos devidos à
excentricidade.
2160 kN
4
540 kN Metade 270 kN
205.2 kNm
51.3 kNm Metade 25.65 kNm
Quantidade de elementos
Força horizontal
Momento total
Momento nos nós
Força de ancoragem no eixo 5
Força total nos cabos
50
A seguir são mostradas as tabelas de cargas equivalentes, correção das forças
nos pontos de inflexão e forças nas ancoragens, correspondentes às posições dos
cabos nas extremidades.
Para a Faixa 2:
51
n 30 30 30 30 18 18 18 18 18 18 18
b (m) 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4
f (m) - 0.11 0.0525 0.14 0.0575 0.137 0.0575 0.13 0.055 0.097 0.0088
Lp (m) - 4.56 2.25 6.75 2.94 7 2.7 5.6 2.25 4.9 1.74
q (kN/m²) - 14.59 28.60 8.47 11.01 4.63 13.05 6.86 17.97 6.68 4.81
Faixa 2 - Carga distribuída equivalente
Trecho da parábola Apoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3 vão 3 Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
Para 18 cabos de extremo a extremo temos que e:
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.03 0.03 0.095 0.055 0.055 -0.095 0.035 0.035 0.095 0.04
sen α 0.0899 -0.1031 -0.10444 0.08222 0.08593 -0.08 -0.0799 0.07653
P *sen α (kN) -174.79 -200.37 203.04 159.84 -167.04 -155.52 155.39 148.78
ΔP (kN) 2.67 -7.20 -0.13 -2.58
Correção no ponto de inflexão
Trecho parabólicoApoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
I M F I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.04 -0.095 0.045 0.045 0.095 0.03 0.03 -0.095 0.04 0.04 0.095 0.04 0.04 -0.095 -0.045 -0.045 -0.0113 0
sen α 0.07786 -0.07929 -0.0796 0.09074 0.09107 -0.0946 -0.0978 0.09778 0.09286 -0.05816 -0.05172 0
P *sen α (kN) -151.35 -154.13 154.8 176.4 -177.04 -183.99 190.08 190.08 -180.51 -113.07 100.552 0
ΔP (kN) 0.67 -0.64 6.09 9.57 -12.52 0.00
Correção no ponto de inflexão
Trecho parabólicovão 3 Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
52
Para os 12 cabos adicionais observa-se que :
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.03 0.03 0.095 0.055 0.055 -0.095 -0.035 -0.035 -0.0088 0
sen α 0.0899 -0.1031 -0.10444 0.08222 0.07556 -0.0489 -0.0476 0
P *sen α (kN) -116.53 -133.58 135.36 106.56 -97.92 -63.36 61.71 0.00
ΔP (kN) 1.78 8.64 -1.65 0.00
Correção no ponto de inflexão
Trecho parabólicoApoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
O total das forças de correção nos pontos de inflexão é resumido a seguir:
ΔP (kN) 0.67 -0.64
vão 5 - Apoio 6
-12.52
Apoio 4 - vão 4 vão 4 - Apoio 5 Apoio 5 - vão 5
6.09 9.574.45
Apoio 2 - vão 2 vão 2 - Apoio 3 Apoio 3 - vão 3
1.44 -1.78 -2.58
vão 3 - Apoio 4vão 1 - Apoio 2
1296 kN
47
27.57 kN Metade 13.78723 kN
Força de ancoragem no eixo F
Força nos cabos
Numero de quadrados
Força horizontal
1296 kN
47
27.57 kN Metade 13.79 kN
Numero de quadrados
Força horizontal
Força de ancoragem no eixo A
Força nos cabos
53
Para a Faixa 3:
n 23 23 23 23 23 17 17 17 17 17 17
b (m) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
f (m) - 0.105 0.055 0.1425 0.0123 0 0.016 0.1375 0.055 0.095 0.0088
Lp (m) - 3.72 2.26 7.42 2.74 5.32 2.7 7.28 2.72 5.43 1.68
q (kN/m²) - 30.16 42.80 10.29 6.51 0.00 6.45 7.62 21.84 9.46 9.16
Faixa 3 - Carga distribuída equivalente
Trecho da
parábolaApoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3 vão 3 Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
Para 17 cabos de extremidade verifica-se que :
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.02 0.02 0.095 0.06 0.06 -0.095 0.015 0.015 0.0773 0.095
sen α 0.10753 -0.1183 -0.115 0.07965 0.07749 -0.0654 -0.0618 0.00336
P *sen α (kN) -197.42 -217.16 211.221 146.23 -142.28 -120.01 113.38 6.16
ΔP (kN) -5.94 3.95 -6.63 6.16
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
Apoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
I M F I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.095 0.095 0.095 0.095 0.0835 0.02 0.02 -0.095 0.045 0.045 0.095 0.035 0.035 -0.095 -0.045 -0.045 -0.0113 0
sen α 0 0 -0.0107 0.0663 0.06662 -0.0735 -0.0772 0.08456 0.08103 -0.0516 -0.0536 0
P *sen α (kN) 0.00 0.00 19.72 121.72 -122.32 -134.93 141.75 155.25 -148.77 -94.67 98.3571 0
ΔP (kN) -0.60 6.82 6.48 3.68 0.00
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
vão 3 Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
54
Para os 6 cabos adicionais o valor da força é :
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.02 0.02 0.095 0.065 0.065 -0.095 -0.035 -0.035 -0.0088 0
sen α 0.10753 -0.1183 -0.1128 0.07301 0.07278 -0.0458 -0.0255 0
P *sen α (kN) -69.68 -76.65 73.12 47.31 -47.16 -29.69 16.55 0.00
ΔP (kN) -3.53 0.15 -13.14 0.00
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
Apoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
As forças de correção nos pontos de inflexão são resumidas a seguir:
ΔP (kN) 6.48 3.68
vão 4 - Apoio 5 Apoio 5 - vão 5 vão 5 - Apoio 6
-0.60 6.82
vão 1 - Apoio 2 Apoio 2 - vão 2 vão 2 - Apoio 3 Apoio 3 - vão 3 vão 3 - Apoio 4 Apoio 4 - vão 4
-9.47 4.10 -19.77 6.16 0.00
1836 kN
25
73.44 kN Metade 36.72 kN
Força de ancoragem no eixo A
Força total nos cabo
Quantidade de elementos
Força horizontal total
2484 kN
25
99.36 kN Metade 49.68 kN
Quantidade de elementos
Força horizontal total
Força de ancoragem no eixo F
Força total nos cabo
55
Para a faixa 4:
A faixa 4 foi divida em dois trechos, um à direita e outro à esquerda, decorrente da abertura existente na laje, conforme mostra a figura
3.5.
n 24 24 24 24 24
b (m) 5 5 5 5 5
f (m) - 0.1225 0.0085 0.0955 0.0123
Lp (m) - 10.33 3.34 7.11 1.52
q (kN/m²) - 4.76 3.16 7.83 22.08
Faixa 4 - Carga distribuída equivalente (à esquerda da abertura)
Trecho da
parábolaApoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
Para 24 cabos à esquerda da abertura temos :
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.055 0.055 0.095 0.035 0.035 -0.095 -0.034 -0.034 -0.0085 0
sen α 0.04211 -0.05276 -0.05389 0.065868 0.063432 -0.04402 -0.04474 0
P *sen α (kN) -109.15 -136.75 139.69 170.73 -164.42 -114.11 115.96 0.00
ΔP (kN) 2.94 6.32 1.85 0.00
Apoio 3
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
Apoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2
2592 kN
25
103.68 kN Metade 51.84 kN
Força na ancoragem esquerda
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força horizontal
56
2592 kN
25
103.68 kN Metade 51.84 kN
Quantidade de elementos
Força horizontal
Força na ancoragem direita
Força total nos cabos
n 15 15 15 15 15
b (m) 5 5 5 5 5
f (m) - 0.1225 0.0475 0.0975 0.0087
Lp (m) - 8.1 2.74 6.12 1.98
q (kN/m²) - 4.84 16.40 6.75 5.75
Faixa 4 - Carga distribuída equivalente (à direita da abertura)
Trecho da
parábolaApoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
Para 15 cabos à direita da abertura temos e:
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.055 0.055 0.095 0.04 0.04 -0.095 -0.035 -0.035 -0.00875 0
sen α 0.053704 -0.06728 -0.06387 0.074818 0.07598 -0.05147 -0.03535 0
P *sen α (kN) -87.00 -109.00 103.47 121.20 -123.09 -83.38 57.27 0.00
ΔP (kN) -5.53 -1.88 -26.11 0.00
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
57
1620 kN
25
64.8 kN Metade 32.4 kN
Força na ancoragem esquerda
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força horizontal
1620 kN
25
64.8 kN Metade 32.4 kN
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força horizontal
Força na ancoragem direita
Para a faixa 5:
n 24 24 24 24 24 24
b (m) 5 5 5 5 5 5
f (m) - 0.125 0.0525 0.1292 0.0325 0.02
Lp (m) - 11.05 3.3 6.3 1.97 3.48
q (kN/m²) - 4.25 19.99 13.50 34.73 6.85
Apoio 3Trecho da
parábolaApoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2
Faixa 5 - Carga distribuída equivalente (à esquerda da abertura)
vão 3
Para 24 cabos à esquerda da abertura temos e:
58
I M F I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.06 0.06 0.095 0.025 0.025 -0.093 0.045 0.045 0.095 0.08 0.08 0.02 0
sen α 0.03982 -0.0507 -0.053 0.07424 0.0781 -0.0844 -0.0838 0.04822 0.04598 0
P *sen α (kN) -103.21 -131.36 137.45 192.44 -202.42 -218.88 217.10 124.99 -119.17 0.00
ΔP (kN) 6.10 -9.99 -1.78 5.82 0.00
vão 3
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
Apoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
2592 kN
25
103.68 kN Metade 51.84 kN
Força na ancoragem esquerda
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força horizontal
2592 kN
25
103.68 kN Metade 51.84 kN
Quantidade de elementos
Força horizontal
Força na ancoragem direita
Força nos cabos
n 24 24 24 24 24
b (m) 5 5 5 5 5
f (m) - 0.1089 0.0648 0.0977 0.005
Lp (m) - 5.77 2.6 7.33 1.58
q (kN/m²) - 13.57 39.75 7.54 8.31
Trecho da
parábolaApoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
Faixa 5 - Carga distribuída equivalente (à direita da abertura)
59
Para 24 cabos à direita da abertura temos e:
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.035 0.035 0.095 0.055 0.055 -0.095 -0.035 -0.035 -0.0088 0
sen α 0.07192 -0.0841 -0.0846 0.06923 0.06958 -0.045 -0.0443 0
P *sen α (kN) -186.43 -217.87 219.32 179.45 -180.34 -116.69 114.84 0.00
ΔP (kN) 1.45 -0.90 -1.86 0.00
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
2592 kN
25
103.68 kN Metade 51.84 kN
Força na ancoragem esquerda
Força nos cabos
Força horizontal
Quantidade de elementos
2592 kN
25
103.68 kN Metade 51.84 kNForça horizontal
Quantidade de elementos
Força nos cabos
Força na ancoragem direita
60
Para a faixa 6:
n 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18
b (m) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
f (m) - 0.125 0.05 0.1175 0.0238 0 0 0 0.0108 0.1375 0.0726
Lp (m) - 10.4 3.3 6.86 2.71 5.77 2.38 5.33 2.66 7.02 3.02
q (kN/m²) - 3.59 14.28 7.77 10.08 0.00 0.00 0.00 4.75 8.68 24.76
Faixa 6 - Carga distribuída equivalente
Trecho da
parábolaApoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3 vão 3 Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.06 0.06 0.095 0.03 0.03 -0.095 0.015 0.015 0.0788 0.095
sen α 0.0423 -0.054 -0.052 0.0697 0.0707 -0.0663 -0.0646 0.00561
P *sen α (kN) -82.25 -104.68 100.15 135.491 -137.44 -128.94 125.68 10.90
ΔP (kN) -4.53 -1.95 -3.26 10.90
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
Apoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
I M F I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.095 0.095 0.095 0.095 0.095 0.095 0.095 0.095 0.095 0.095 0.0783 0.015 0.015 -0.095 0.05 0.05 0.095 0
sen α 0 0 0 0 0 0 -0.005 0.06511 0.06766 -0.0776 -0.0762 0.10927
P *sen α (kN) 0 0 0.00 0.00 0 0 9.65 126.58 -131.54 -150.92 148.05 212.42
ΔP (kN) 0.00 0.00 0.00 -4.96 -2.87 212.42
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
vão 3 Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
61
5 graus 0.087266 rad
169.4308 kN
25
6.777231 kN Metade 3.388615 kN
77.76 kN Metade 38.88 kN
Força na ancoragem esquerda
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força vertical nos nós
Força horizontal
Ângulo
5 graus 0.087266 rad
169.4308 kN
25
6.777231 kN Metade 3.388615 kN
77.76 kN Metade 38.88 kN
Força na ancoragem direita
Quantidade de elementos
Força vertical nos nós
Força horizontal
Ângulo
Força total nos cabos
62
Para a faixa 7:
n 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18
b (m) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
f (m) - 0.1225 0.0515 0.132 0.0575 0.1315 0.0575 0.1325 0.0575 0.129 0.0785
Lp (m) - 9.66 3.31 7.42 3.02 6.61 2.76 6.23 2.53 5.23 3.00
q (kN/m²) - 4.08 14.62 7.46 19.61 9.36 23.48 10.62 27.94 14.67 27.13
Faixa 7 - Carga distribuída equivalente
Trecho da
parábolaApoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3 vão 3 Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0 0 0 0 -0.095 0.055 0.055 0.095 0.032 0.032 -0.095 0.042 0.042 0.095 0.033
sen α 0.04503 -0.0564 -0.0553 0.06918 0.06981 -0.07251 -0.0732 0.07914
P *sen α (kN) -87.54 -109.68 107.478 134.494 -135.71 -140.95 142.26 153.85
ΔP (kN) -2.20 -1.22 1.31 1.21
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
Apoio 1 vão 1 Apoio 2 vão 2 Apoio 3
I M F I M F I M F I M F I M F I M F
z (m) 0.033 -0.095 0.04 0.04 0.095 0.035 0.035 -0.095 0.042 0.042 0.095 0.032 0.032 -0.095 0.03 0.03 0.095 0
sen α 0.07852 -0.0806 -0.0815 0.08514 0.08459 -0.0868 -0.0877 0.09565 0.09675 -0.096 -0.0967 0.11667
P *sen α (kN) -152.64 -156.76 158.48 165.52 -164.44 -168.81 170.58 185.95 -188.08 -186.59 187.92 226.80
ΔP (kN) 1.72 1.08 1.77 -2.13 1.33 226.80
Correção no ponto de inflexão
Trecho
parabólico
vão 3 Apoio 4 vão 4 Apoio 5 vão 5 Apoio 6
63
5 graus 0.087266 rad
169.4308 kN
25
6.777231 kN Metade 3.388615 kN
77.76 kN Metade 38.88 kN
Força na ancoragem esquerda
Ângulo
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força vertical nos nós
Força horizontal
5 graus 0.087266 rad
169.4308 kN
25
6.777231 kN Metade 3.388615 kN
77.76 kN Metade 38.88 kNForça horizontal
Força na ancoragem direita
Ângulo
Força total nos cabos
Quantidade de elementos
Força vertical nos nós
64
Anexo B
65
As demais verificações para a direção Y estão mostradas a seguir.
Para as seções entre os apoios da mesma linha:
Entre E4 e E5 0.00 -78.46 -78.46 0.062 0.095 0.962 78.46 0.00 -362.45 0.00 362.45 0.000000
Entre B3 e B4 0.00 -129.8 -129.80 0.103 0.161 0.936 129.80 0.00 -616.65 0.00 616.65 0.000000
Entre D2 e D3 0.00 -101.15 -101.15 0.080 0.124 0.951 101.15 0.00 -472.95 0.00 472.95 0.000000
Entre E3 e E4 0.00 6.46 6.46 0.005 0.008 0.997 6.46 0.00 -28.80 0.00 28.80 0.000000
R'sd
(kN/m)
Rsd
(kN/m)A's (m²/m)kx kz
MRdc
(kNm/m)
MRds
(kNm/m)
Rcd
(kN/m)Seção
Nsd
(kN/m)
Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd
O cálculo da armadura de tração é apresentado a seguir.
Entre E4 e E5 362.45 146.61 3.00 4 0.00 0.00 0.000000
Entre B3 e B4 616.65 146.61 5.00 5 0.00 0.00 0.000000
Entre D2 e D3 472.95 146.61 4.00 4 0.00 0.00 0.000000
Entre E3 e E4 28.80 146.61 1.00 5 0.00 0.00 0.000000
SeçãoRsd
(kN/m)
Pi
(kN/cabo)
Cabos
necessários/m
Cabos
existentesDirferença/m
Força
complementar
(kN/m)
As CA-50
(m²/m)
Para as seções entre os apoios de linhas diferentes:
Entre D4 - E4 0.00 57.20 57.20 0.045 0.068 0.973 57.20 0.00 -261.37 0.00 261.37 0.000000
Entre A4 - B4 0.00 213.44 213.44 0.169 0.279 0.888 213.44 0.00 -1067.88 0.00 1067.88 0.000000
Entre D3 - E3 0.00 242.76 242.76 0.192 0.324 0.870 242.76 0.00 -1239.63 0.00 1239.63 0.000000
Entre C2 - D2 0.00 125.89 125.89 0.099 0.156 0.938 125.89 0.00 -596.75 0.00 596.75 0.000000
A's (m²/m)kzMRdc
(kNm/m)
MRds
(kNm/m)Rcd (kN/m)
R'sd
(kN/m)
Rsd
(kN/m)kxSeção
Nsd
(kN/m)
Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd
66
O cálculo da armadura de tração é apresentado a seguir.
Entre D4 - E4 261.37 146.61 2.00 4 0.00 0.00 0.000000
Entre A4 - B4 1067.88 146.61 8.00 4 4.00 586.44 0.001349
Entre D3 - E3 1239.63 146.61 9.00 5 4.00 586.44 0.001349
Entre C2 - D2 596.75 146.61 5.00 2 3.00 439.83 0.001012
SeçãoRsd
(kN/m)
Pi
(kN/cabo)
Cabos
necessários/m
Cabos
existentesDirferença/m
Força
complementar
(kN/m)
As CA-50
(m²/m)
Para o vão entre os apoios de linhas diferentes:
Entre E4-E5 e D4-D5 0.00 89.79 89.79 0.071 0.109 0.956 89.79 0.00 -417.28 0.00 417.28 0.000000
Entre C2-C3 e D2-D3 0.00 84.94 84.94 0.067 0.103 0.959 84.94 0.00 -393.72 0.00 393.72 0.000000
Entre A4-A5 e B4-B5 0.00 96.89 96.89 0.077 0.118 0.953 96.89 0.00 -451.99 0.00 451.99 0.000000
Entre E4-E5 e a parede 5 0.00 362.23 362.23 0.272 0.500 0.800 344.25 17.98 -1912.50 -94.63 2007.13 0.000218
A's (m²/m)kzMRdc
(kNm/m)
MRds
(kNm/m)
Rcd
(kN/m)
R'sd
(kN/m)
Rsd
(kN/m)kxSeção
Nsd
(kN/m)
Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd
O cálculo da armadura de tração é apresentado a seguir.
Entre E4-E5 e D4-D5 417.28 146.61 3.00 4 0.00 0.00 0.000000
Entre C2-C3 e D2-D3 393.72 146.61 3.00 4 0.00 0.00 0.000000
Entre A4-A5 e B4-B5 451.99 146.61 4.00 4 0.00 0.00 0.000000
Entre E4-E5 e a parede 5 2007.13 146.61 14.00 4 10.00 1466.10 0.003372
SeçãoRsd
(kN/m)
Pi
(kN/cabo)
Cabos
necessários/m
Cabos
existentesDirferença/m
Força
complementar
(kN/m)
As CA-50
(m²/m)
67
Dimensionamento de uma seção sem aderência
Para o caso de protensão não aderente, os cabos utilizados são
monocordoalhas engraxadas e plastificadas com material de PEAD, polietileno de alta
densidade, extremamente resistente, extrudado diretamente sobre a cordoalha já
engraxada em toda a sua extensão, o que permite a livre movimentação da cordoalha
no seu interior.
O dimensionamento com armadura de protensão não aderente é mostrado
como segue e as equações utilizadas para determinação dos esforços da seção,
conforme mostra a figura 4.1, foram as mesmas que as utilizadas para o
dimensionamento com aderência.
Força de protensão por cordoalha
De acordo com a Norma NBR 6118:
Considerando uma perda total no tempo de 15% a força de protensão, no
tempo infinito, será:
Para a direção X:
68
B2 -1213.65 1169.84 1430.77 0.265 0.482 0.807 1430.77 0.00 -3812.38 0 2598.73 0
A's
(m²/m)kz MRdc (kNm/m)
MRds
(kNm/m)Rcd (kN) R'sd (kN) Rsd (kN)kxSeção
Nsd
(kN/m)
Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd
Para o cálculo da armadura de tração a Norma NBR 6118, item 17.2.2, estabelece que: “Para armaduras ativas não aderentes, na falta
de valores experimentais e de análises não-lineares adequadas, os valores do acréscimo das tensões para estruturas usuais de edifícios estão
apresentados a seguir:”
Para elementos com relação vão/altura útil maior que 35 (que é o nosso caso) temos que:
Onde a expressão acima é expressa em MPa e:
Onde:
- são definidos em megapascal;
- é a taxa geométrica da armadura ativa;
- é a largura da mesa de compressão;
- é a altura útil referida à armadura ativa.
69
B2 2598.73 19 0.0000986 0.0018734 2.8 0.0014389 151082.52 115.00 129.90 20 1 130.69 0.00
ρp Δσp (kPa)Rsd (kN)Cabos
existentes
Área de 1
cabo (m²)Ap (m²) bc
Força
complementar
(kN)
As CA-50
(m²/m)P (kN) Pi (kN)
Cabos
necessáriosDiferença
Para a direção Y:
B2 633.80 1358.89 1222.62 0.226 0.395 0.842 1222.62 0.00 -3122.73 0 3756.53 0.008640 0
As - tração (m²) A's (m²/m)kzMRdc
(kNm/m)
MRds
(kNm/m)Rcd (kN) R'sd (kN) Rsd (kN)Seção
Nsd
(kN/m)
Msd
(kNm/m)
Msdi
(kNm/m)kmd kx
O cálculo da armadura de tração é apresentado a seguir.
B2 3756.53 2 0.0000986 0.000197 2.8 0.0001515 840283.98 115.00 197.85 19 17 3360.82 0.007730
As CA-50
(m²/m)Rsd (kN)
Cabos
existentes
Área de 1
cabo (m²)Ap (m²) bc ρp Δσp (kPa) P (kN) Pi (kN)
Cabos
necessáriosDiferença
Força
complementar
(kN)