LEI DE GAUSS

Ewaldo Luiz de Mattos MehlUniversidade Federal do ParanáDepartamento de Engenharia Elétricamehl@ufpr.br

Lei de GaussAGENDA• Revisão: Produto escalar• Quem foi Gauss?• Lei de Gauss – Analogia• Linhas de campo elétrico• Fluxo do campo elétrico• Simetria• Uso da Lei de Gauss para geometrias

simétricas Fio infinito

Revisão: Produto Escalar de dois vetores

Em coordenadas cartesianas:

a

b

cosabba

a

b

090cos abba

sen

cos

aa

ababba 0cosb

20cos aaaaa

zzyyxx

zyxzyx

bababa

bbbaaaba

,,,,

Revisão: Vetor x Escalar

Em coordenadas cartesianas:

aa2 a2

zyxzyx

zyxzyx

aaaaaaa

aaaaaaa

2,2,2,,22

2,2,2,,22

Carl Friedrich Gauss• Braunschweig, 30 de Abril de 1777

 Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855)• Príncipe dos matemáticos• Eletricidade: Lei de Gauss• Estatística: Curva de Gauss• Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel• Astronomia: Lei de Gauss da gravitação• Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton• Cálculo do : Algoritmo de Gauss–Legendre• ...

Lei de Gauss: Analogia

Desejamos medir a “intensidade da chuva” em um dia chuvoso Método 1: obter o volume de água de um pingo de chuva e contar o

número de pingos que caírem sobre uma superfície em um determinado intervalo de tempo Procedimento análogo à aplicação da Lei de Coulomb

Método 2: Estender um tecido seco com uma certa área e, após algum tempo na chuva, remove-lo e torcê-lo, medindo o volume de água resultante Procedimento análogo à aplicação da Lei de Gauss

O método 1 é um procedimento “trabalhoso” ou “microscópico” O método 2 é um procedimento “mais elegante” ou “macroscópico”

Ambos os métodos devem conduzir à MESMA RESPOSTA!

1C 1C 1C

Todas estas representações estão “corretas”, pois os vetores são apenas uma forma de representação gráfica de um fenômeno físico.

Nos desenhos seguintes vamos convencionar que uma carga elétrica de 1C dá origem a um vetor de campo elétrico.

Linhas de Campo Elétrico

8C

Quantas linhas saem da esfera?

8C Þ 8 linhas16C Þ 16 linhas

16C32C 32C Þ 32 linhas

Conclusão: O fluxo é proporcional à carga no interior da esfera

Linhas de Campo Elétrico

8C

Quantas linhas saem da superfície?

8C Þ 8 linhas16C Þ 16 linhas

16C32C 32C Þ 32 linhas

Linhas de Campo Elétrico

Conclusão: A forma da superfície é indiferente, desde que seja FECHADA

8C

Linhas que saem = +Linhas que entram = -

8C Þ 0 linhas16C Þ 0 linhas

16C32C 32C Þ 0 linhasConclusão:Quando a carga envolvida pela superfície fechada é zero, o número efetivo de linhas de campo que cortam a superfície é zero!

Linhas de Campo Elétrico

Superfícies gaussianasNão!

Superfícies gaussianasAtenção!As superfícies gaussianas são imaginárias!Não é necessário que exista um corpo sólido com o formato da superfície!

Lei de Gauss: Analogia gráfica

O número de linhas do campo elétrico que saem de uma superfície fechada (gaussiana) é proporcional à carga elétrica envolvida por esta superfície

S(linhas de campo E) a Carga envolvida pela superfície fechada

N Coulombs Þ aN linhas de campo elétrico

Fluxo do Campo Elétrico• Como visto anteriormente, o número de linhas de campo é

um conceito arbitrário e dependente da convenção gráfica utilizada.

• É melhor portanto definir uma forma mais precisa que expresse a “quantidade” de linhas de campo elétrico que atravessa uma determinada superfície.

• Esta “quantidade” é chamada de Fluxo do Campo Elétrico • Unidade: N.m2/C

1C 1C 1C

Lei de Gauss e Fluxo do Campo Elétrico

() (Fluxo do campo elétrico) proporcional a (Carga envolvida)

proporcional a qenvolvida

o= 8,85 x 10-12 C/N.m2

o

envolvidaenvolvidao

qq

Þ

Constante de permissividade do vácuo

Questão no 1Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico.Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é:

A. maior.B. o mesmo.C. menor, mas não zero.D. zero.E. Não se tem informações suficientes para responder.

+q

Superfície Gaussiana

#1

Superfície Gaussiana

#2

A. maior.B. o mesmo.C. menor, mas não zero.D. zero.E. Não se tem informações suficientes para responder.

+q

Superfície Gaussiana

#1

Superfície Gaussiana

#2

Questão no 1Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico.Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é:

Revisão: Integral de Área

Esta área ficará mais molhada!

dAdA

ChuvaChuva

Esta área ficará mais molhada!

Integral de Área

dA

dA

Chuva Chuva

Como as áreas são iguais, fica evidente que a quantidade de chuva que “molha” cada área retangular depende do ângulo entre a área e a direção de caída da chuva!

Integral de Área

dA dA

Chuva [C] Chuva [C]

Casos extremos• Vetores C e dA em 180°: máximo “molhamento”• Vetores C e dA em 90°: a chuva não molha a superfície

Integral de Área

Fluxo de chuva através de uma área dA

Fluxochuva = CdA (produto escalar de dois vetores) |C|´|dA|´cos() C.dA cos()

Fluxochuva = 0 para 90° cos() = 0

Fluxochuva = -C.dA para =180° cos() = -1

Generalizando:Fluxochuva = C.dA cos() Para -1 < cos() < +1

dA

C

Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral

O Fluxo do Campo Elétrico pode ser calculado através do produto do campo elétrico pela área, considerando-os como vetores:

cos.AEAE

• Caso 2: Se os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é dado pelo produto escalar dos dois vetores:

AE

• Caso 1: Os vetores E e A são paralelos

n̂

n̂n̂

SuperfícieGaussiana

1. Dividir a superfície em pequenos “elementos” de área A2. Para cada elemento de área A calcular o termo:

cos.. AEAE

3. Somar todos os termos calculados anteriormente:

AE

.4. Tomar o limite quando cada elemento de área é infinitesimal:

0A

5. A somatória dos elementos infinitesimais torna-se então a integral, que é o fluxo: AdE

.

Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral

Questão no 2Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura.Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero?

A. Superfície Gaussiana AB. Superfície Gaussiana BC. Superfície Gaussiana CD. Superfície Gaussiana DE. Ambas as superfícies C e DF. Ambas as superfícies A e B

Questão no 2Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura.Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero?

A. Superfície Gaussiana AB. Superfície Gaussiana BC. Superfície Gaussiana CD. Superfície Gaussiana DE. Ambas as superfícies C e DF. Ambas as superfícies A e B

A superfície gaussiana deve ser decomposta por um conjunto de áreas, cada qual representada por um vetor perpendicular ao elemento de área.

Nos cálculos envolvendo Lei de Gauss, o vetor elemento de área sempre aponta “para fora” da superfície gaussiana.

O cálculo do fluxo do campo elétrico é feito através do produto escalar em cada elemento de área:EdA = E.dA cos()

O ‘truque’ é escolher uma superfície gaussiana conveniente, de modo que a integral de área ( ) possa ser facilmente calculada.

n̂

dA

SuperfícieGaussiana

Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral: anote!

Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral: anote!

A escolha da superfície gaussiana geralmente é o maior problema para se

aplicar a Lei de Gauss!

O procedimento é buscar a SIMETRIA

Simetria: Diz-se que um objeto possui simetria em relação a uma determinada operação matemática (ex.: rotação, translação, … ) se um observador não verifica mudança no objeto após a aplicação da operação.Atenção: Simetria é uma noção intuitiva!

Esfera semdefeitos

superficiais

Eixo deRotação

ObservadorSimetria

rotacional

Esfera semdefeitos

superficiais

Eixo deRotação

ObservadorSimetria

rotacional

Cilindrosem defeitossuperficiais

Observador

Tapete mágico

Simetria de Translação

Plano infinitoe sem defeitos

Linear

Superficial

Simbologia para cargas uniformemente distribuídas

Volumétrica

mCl /

2/mCs

3/mCv

ELETROMAGNETISMO - WILLIAM H. HAYT JÚNIOR

Linear

Superficial

Simbologia para cargas uniformemente distribuídas

Volumétrica

mC /

2/mC

3/mC

FÍSICA – HALLIDAY, RESNICK & WALKER

Exemplo de uso da Lei de Gauss:Campo Elétrico produzido por um fio longo com carga uniforme l [C/m]

l C/m

L

Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da estrutura; no caso, um cilindro:

dA

dA

E

dA

E

r

Nas “tampas” do cilindro

E e dA são perpendiculares Então:

Não existe fluxo do campo elétrico através das “tampas” do cilindro!

dA

E

r

Cálculo do Fluxo: 21 tampalateraltampa

21 ... tampalateraltampa AdEAdEAdE

0)90cos(.

0)90cos(.

22

11

tampatampa

tampatampa

dAE

dAE

0.0 lateralAdE

l C/m

L

dA

dA

E E & dA são paralelosEdA = |E|´|dA| = E.dA

Cálculo do Fluxo: 0.0 lateralAdE

l C/m

L

E

A superfície cilíndrica tem uma distância constante do fio. Portanto o Campo Elétrico é constante nesta superfície

Cálculo do Fluxo: 0.0 lateralAdE

E = constante A integral de todos os dA

é a superfície lateral do cilindro: Então:

l C/m

rL

2r

0.0 lateralAdE

Cálculo do Fluxo:

00 lateralAdE

L

2r

πrL2 lateralAd

πrL2E

A Lei de Gauss também pode ser escrita como:

A carga dentro da superfície gaussiana é:

Então:

Cálculo do Campo Elétrico:

o

envolvidaq

l C/m

rL

2rL.ρenvolvidaq

Þ r.L.2L.ρ

o

l

Eo

E r..2

ρl

Discussão do resultado obtido

|E| é proporcional a 1/r A medida que nos afastamos do fio carregado o campo

elétrico fica mais fraco. Intuitivamente correto!

O vetor E aponta no sentido radial do fio carregado Intuitivamente correto!

A intensidade do campo elétrico é proporcional à densidade de carga no fio (l) Fio com maior densidade de carga = campo elétrico

mais intenso Intuitivamente correto!

o

E r..2

ρl