Limites de Funções

Bases Matemáticas

2o quadrimestre de 2017

Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 1 /

Visão Geral

1 Limites FinitosLimite para x → ±∞

2 Limites infinitosLimite no pontoLimite para x → ±∞

3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes

4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites

Limites Finitos

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

Assíntotas horizontaisSuponha que

limx→±∞

f (x) = L

Dizemos então que a reta y = L é uma assíntota horizontal de f (x).

Limites Finitos Limite para x → ±∞

Limite para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

1x = 0

2 limx→−∞

2x = 0

3 limx→+∞

2−x = 0

4 limx→+∞

arctan x = π2

5 limx→−∞

arctan x = −π2

Limites infinitos Limite no ponto

Limite para x → a

Assíntotas verticaisSuponha que

limx→a

f (x) = ±∞

Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).

Limite para x → a±

Assíntotas verticaisSuponha que

limx→a±

f (x) = ±∞

Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).

Limites laterais

Exemplos1 lim

x→0+1x = +∞

2 limx→0−

1x = −∞

3 limx→0+

log2 x = −∞

4 limx→0+

log1/2 x = +∞

5 limx→π

2−tan x = +∞

6 limx→π

2+tan x = −∞

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = +∞

limx→a−

f (x) = +∞ = limx→a+

Limite bilateral e limites laterais

Proposição

As afirmações abaixo são equivalentes:

limx→a

f (x) = −∞

limx→a−

f (x) = −∞ = limx→a+

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→±∞

x2 = +∞

2 limx→+∞

x3 = +∞

3 limx→−∞

x3 = −∞

4 limx→+∞

xn = +∞

5 limx→−∞

xn = +∞, se n é par

6 limx→−∞

xn = −∞, se n é ímpar

Limites infinitos Limite para x → ±∞

Limite infinito para x → ±∞

ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:

1 limx→+∞

2x = +∞

2 limx→−∞

2−x = +∞

3 limx→+∞

log2 x = +∞

4 limx→+∞

log1/2 x = −∞

Continuidade

Continuidade Definição e exemplos

Funções Contínuas

Motivação

Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).

Definição

Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se

limx→a

f (x) = f (a)

DefiniçãoAssim, f é contínua em a se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |

|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε

Definição

Uma função é contínua se é contínua em cada ponto de seu domínio.

Exemplos1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]

Exemplo: cos x é contínua

| cos x − cos a| = | − 2 senx + a

x − a

2| = 2| sen x + a

2|| sen x − a

| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)

| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|

2= |x − a|

Continuidade

Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares

Continuidade Resultados importantes

Resultados Importantes

Preservação do sinal

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.

Proposição

Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) > 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o

próprio a).

Proposição - caso geral

Suponha limx→a

f (x) < 0.

Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.

Informalmente:Se lim

x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído

o próprio a).

Exemplo de uso da preservação do sinal

Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 4:

||x − 2| − 3|

Exemplo de uso da preservação do sinal

Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 0:∣∣∣∣12 − sen2 x

∣∣∣∣+ cos2 xx2

assumindo que

limx→0

sen2 x

x2 = 1

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (TVI)

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.

Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .

Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .

Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .

Teorema (TVI) - caso particular

Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Exemplo de aplicação do TVI

Mostre que o polinômio p(x) = x4 +3x3 +1 possui ao menos uma raiz real.

Todo polinômio de grau ímpar possui ao menos uma raiz real.

Mostre que a equação cos x = x possui pelo menos uma solução nointervalo [0, π]

Mostre que a equação 3x = x2 + 4 possui pelo menos uma solução nointervalo [0, 2]

Continuidade da Inversa

Proposição

Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamentecrescente (decrescente).

Cálculo de Limites

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

A expressãolimx→a

f (x) = f (a)

pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular

limx→a

f (x).

Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites

Cálculo direto via continuidade

Exemplos:1 lim

x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20

2 limx→π

sen x = senπ = 0

3 limx→π

cos x = cosπ = −1

4 limx→3

2x = 23 = 8

5 limx→ 1

log2 x = log212 = −1

6 limx→ 1

arccos x = arccos 12 = π

Cálculo de Limites Funções Compostas

Funções Compostas

Ideia intuitivaCalcular

limx→π

9sen x

Sabemos que

limx→π

sen x =12

e também quelimx→ 1

9x = 3.

Podemos concluir quelimx→π

9sen x = 3?

Sim!!!

Funções Compostas

Proposição

Suponha que:1 lim

x→af (x) = b

2 g(x) é contínua em b

Então

limx→a

(g ◦ f )(x) = g(b).

Funções Compostas

Exemplos1 lim

x→2cos(πx) = lim

x→2πcos x = 1

2 limx→3

ln(x2 − 2x − 2) = limx→1

ln x = 0

3 limx→4

√5x − 4 = lim

x→16

√x = 4

4 limx→4

arctan√

5x−4x = lim

x→1arctan x = π

Funções Compostas

Corolário (Importante)

Se f e g são funções contínuas, então g ◦ f é contínua.

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos

Propriedades Algébricas de Limites Finitos

NotaçãoNo que se segue, usaremos

limx→?

para denotar um dos tipos abaixo de limites:

limx→a

, limx→a+

, limx→a−

, limx→+∞

, limx→−∞

Limites de funções e operações algébricas

Sejam dadas duas funções f (x) e g(x) tais que

limx→?

f (x) = F e limx→?

g(x) = G .

Propriedades:1 lim

x→?(f (x) + g(x)) = F + G

2 limx→?

(f (x)− g(x)) = F − G

3 limx→?

c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim

x→?f (x) g(x) = F G

5 Se G 6= 0, limx→?

f (x)g(x) =

Exemplos

1 limx→2

(2x3 + cos(πx)

log4 x

)2 lim

x→1−

(2 arcsen x + |x−2|

x+1 π)

3 limx→+∞

(2−x + arctan x)

Corolário (Importante)

Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):

f (x) + g(x)f (x)− g(x)

cf (x)f (x)g(x)

f (x)g(x)

Observação

Quanto ao limite

limx→?

Denotandolimx→?

f (x) = F e limx→?

g(x) = G .

1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).

Exemplos - com indeterminação

1 limx→3

x2−9x−3

2 limx→a

x2−a2

x−a (derivada de x2 em a)

3 limx→2

√x−√

2x−2

4 limx→a

√x−√a

x−a (derivada de√x em a)

Exemplos - com indeterminação

1 limx→2

3√x− 3√2x−2 (derivada de 3

√x em x = 2)

2 limx→1

√x−1√

2x+3−√

3 limx→2

x3−x2−x−2x2−4

Exemplos - mudança de variável (função composta)

1 limx→−1

3√x+2−1x+1 , tomando u = 3

√x + 2

2 limx→π

cos2 x+3 cos x+2cos x+1

Cálculo de Limites Teorema do Confronto

Teorema do Confronto

TeoremaSe

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

elimx→?

f (x) = L = limx→?

entãolimx→?

g(x) = L.

Cálculo de Limites Infinitésimos e Infinitos

Infinitésimos e Infinitos

limx→?

f (x) limx→?

1f (x)

0+ +∞0− −∞+∞ 0+

−∞ 0−

Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites

Limites finitos e infinitos

Soma e Diferença

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

(f (x) + g(x))

F ±∞ ±∞

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

(f (x)− g(x)) limx→?

(g(x)− f (x))

F ±∞ ∓∞ ±∞

Limites finitos e infinitos

Produto e Quociente

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

f (x).g(x) limx→?

f (x)g(x)

F > 0 ±∞ ±∞ 0±

F < 0 ±∞ ∓∞ 0∓

0 ±∞ Ind. 0

Limites Infinitos

Soma e Diferença

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

(f (x) + g(x)) limx→?

(f (x)− g(x))

±∞ ±∞ ±∞ Ind.±∞ ∓∞ Ind. ±∞

Limites Infinitos

Produto e Quociente

limx→?

f (x) limx→?

g(x) limx→?

f (x).g(x) limx→?

f (x)g(x)

±∞ ±∞ +∞ Ind.±∞ ∓∞ −∞ Ind.

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