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Limites de Funções
Bases Matemáticas
2o quadrimestre de 2017
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 1 /
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Visão Geral
1 Limites FinitosLimite para x → ±∞
2 Limites infinitosLimite no pontoLimite para x → ±∞
3 ContinuidadeDefinição e exemplosResultados importantes
4 Cálculo de LimitesUso de continuidade para cálculo de limitesFunções CompostasPropriedades Algébricas de Limites FinitosTeorema do ConfrontoInfinitésimos e InfinitosPropriedades Algébricas de Limites
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Limites Finitos
Limites Finitos
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Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
Assíntotas horizontaisSuponha que
limx→±∞
f (x) = L
Dizemos então que a reta y = L é uma assíntota horizontal de f (x).
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Limites Finitos Limite para x → ±∞
Limite para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
1x = 0
2 limx→−∞
2x = 0
3 limx→+∞
2−x = 0
4 limx→+∞
arctan x = π2
5 limx→−∞
arctan x = −π2
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Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a
Assíntotas verticaisSuponha que
limx→a
f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
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Limites infinitos Limite no ponto
Limite para x → a±
Assíntotas verticaisSuponha que
limx→a±
f (x) = ±∞
Dizemos então que a reta x = a é uma assíntota vertical de f (x).
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Limites infinitos Limite no ponto
Limites laterais
Exemplos1 lim
x→0+1x = +∞
2 limx→0−
1x = −∞
3 limx→0+
log2 x = −∞
4 limx→0+
log1/2 x = +∞
5 limx→π
2−tan x = +∞
6 limx→π
2+tan x = −∞
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Limites infinitos Limite no ponto
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = +∞
e
limx→a−
f (x) = +∞ = limx→a+
f (x)
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Limites infinitos Limite no ponto
Limite bilateral e limites laterais
Proposição
As afirmações abaixo são equivalentes:
limx→a
f (x) = −∞
e
limx→a−
f (x) = −∞ = limx→a+
f (x)
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Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosA partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→±∞
x2 = +∞
2 limx→+∞
x3 = +∞
3 limx→−∞
x3 = −∞
4 limx→+∞
xn = +∞
5 limx→−∞
xn = +∞, se n é par
6 limx→−∞
xn = −∞, se n é ímpar
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Limites infinitos Limite para x → ±∞
Limite infinito para x → ±∞
ExemplosAinda a partir do gráfico de algumas funções clássicas, podemos observar:
1 limx→+∞
2x = +∞
2 limx→−∞
2−x = +∞
3 limx→+∞
log2 x = +∞
4 limx→+∞
log1/2 x = −∞
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Continuidade
Continuidade
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Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Motivação
Dependência contínua dos dados iniciais:"Pequenas" variações de x em torno de a, acarretam "pequenas"variações de f (x) em torno de f (a).
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Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Dada uma função f (x), tome a ∈ Dom f . A função f é contínua em a se
limx→a
f (x) = f (a)
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Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
DefiniçãoAssim, f é contínua em a se
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |
|x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε
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Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Definição
Uma função é contínua se é contínua em cada ponto de seu domínio.
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Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplos1 f (x) = ax + b é contínua [Exercício]2 f (x) = cos x é contínua [demonstração a seguir]
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Continuidade Definição e exemplos
Funções Contínuas
Exemplo: cos x é contínua
| cos x − cos a| = | − 2 senx + a
2sen
x − a
2| = 2| sen x + a
2|| sen x − a
2|
| sen u| ≤ 1, ∀ u ∈ R⇒ | cos x − cos a| ≤ 2| sen x − a
2|
| sen u| ≤ |u| ∀ u ∈ R (IMPORTANTE)
| cos x − cos a| ≤ 2|x − a|
2= |x − a|
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Continuidade Definição e exemplos
Continuidade
Funções clássicas são contínuas (em seus domínios)1 funções polinomiais (constantes, afins, quadráticas etc)2 funções racionais3 funções polinomiais ou racionais envolvendo radicais4 funções exponenciais e logarítmicas5 funções trigonométricas e suas inversas6 funções modulares
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Continuidade Resultados importantes
Resultados Importantes
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Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) > 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e positiva em um ponto de seu domínio, f ainda é positivaem uma vizinhança desse ponto.
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Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição
Suponha f (x) contínua e f (a) < 0.Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).
Informalmente:Se f é contínua e negativa em um ponto de seu domínio, f ainda énegativa em uma vizinhança desse ponto.
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Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) > 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é positivo, f (x) é positiva em uma vizinhança de a (excluído o
próprio a).
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Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Proposição - caso geral
Suponha limx→a
f (x) < 0.
Então existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x ∈ (a− δ, a+ δ)\{a}.
Informalmente:Se lim
x→af (x) é negativo, f (x) é negativa em uma vizinhança de a (excluído
o próprio a).
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Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 4:
||x − 2| − 3|
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Continuidade Resultados importantes
Preservação do sinal
Exemplo de uso da preservação do sinal
Escreva a expressão abaixo sem o uso de módulo,para x suficientemente próximo de 0:∣∣∣∣12 − sen2 x
x2
∣∣∣∣+ cos2 xx2
assumindo que
limx→0
sen2 x
x2 = 1
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Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI)
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f , com f (a) 6= f (b).Ponha m := min{f (a), f (b)} e M := max{f (a), f (b)}.
Então, para todo y ∈ (m,M), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = y .
Em outras palavras:Se f é contínua, u, v ∈ Im f e u < v , então [u, v ] ⊂ Im f .
Informalmente:Se uma função contínua atinge dois valores distintos u < v , então atingetodos os valores entre u e v .
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Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Teorema (TVI) - caso particular
Seja f (x) contínua e seja [a, b] ⊂ Dom f . Se f (a).f (b) < 0, então existec ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
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Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Mostre que o polinômio p(x) = x4 +3x3 +1 possui ao menos uma raiz real.
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Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Todo polinômio de grau ímpar possui ao menos uma raiz real.
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Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Mostre que a equação cos x = x possui pelo menos uma solução nointervalo [0, π]
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 32 /
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Continuidade Resultados importantes
Teorema do Valor Intermediário
Exemplo de aplicação do TVI
Mostre que a equação 3x = x2 + 4 possui pelo menos uma solução nointervalo [0, 2]
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 33 /
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Continuidade Resultados importantes
Continuidade da Inversa
Proposição
Seja f : [a, b]→ [c , d ] contínua e estritamente crescente (decrescente).Então f é inversível, f −1 : [c , d ]→ [a, b] é contínua e estritamentecrescente (decrescente).
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Cálculo de Limites
Cálculo de Limites
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Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
A expressãolimx→a
f (x) = f (a)
pode ser usada para verificar se a função f é contínua em a,ou, caso já saibamos que f é contínua em a, para calcular
limx→a
f (x).
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Cálculo de Limites Uso de continuidade para cálculo de limites
Cálculo direto via continuidade
Exemplos:1 lim
x→3(x3−2x2+5x−4) = 33−2 ·32+5 ·3−4 = 27−18+15−4 = 20
2 limx→π
sen x = senπ = 0
3 limx→π
cos x = cosπ = −1
4 limx→3
2x = 23 = 8
5 limx→ 1
2
log2 x = log212 = −1
6 limx→ 1
2
arccos x = arccos 12 = π
3
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Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Ideia intuitivaCalcular
limx→π
6
9sen x
Sabemos que
limx→π
6
sen x =12
e também quelimx→ 1
2
9x = 3.
Podemos concluir quelimx→π
6
9sen x = 3?
Sim!!!
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Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Proposição
Suponha que:1 lim
x→af (x) = b
2 g(x) é contínua em b
Então
limx→a
(g ◦ f )(x) = g(b).
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Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Exemplos1 lim
x→2cos(πx) = lim
x→2πcos x = 1
2 limx→3
ln(x2 − 2x − 2) = limx→1
ln x = 0
3 limx→4
√5x − 4 = lim
x→16
√x = 4
4 limx→4
arctan√
5x−4x = lim
x→1arctan x = π
4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 40 /
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Cálculo de Limites Funções Compostas
Funções Compostas
Corolário (Importante)
Se f e g são funções contínuas, então g ◦ f é contínua.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 41 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
NotaçãoNo que se segue, usaremos
limx→?
para denotar um dos tipos abaixo de limites:
limx→a
, limx→a+
, limx→a−
, limx→+∞
, limx→−∞
.
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Limites de funções e operações algébricas
Sejam dadas duas funções f (x) e g(x) tais que
limx→?
f (x) = F e limx→?
g(x) = G .
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 43 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades:1 lim
x→?(f (x) + g(x)) = F + G
2 limx→?
(f (x)− g(x)) = F − G
3 limx→?
c f (x) = c F , onde c ∈ R4 lim
x→?f (x) g(x) = F G
5 Se G 6= 0, limx→?
f (x)g(x) =
FG
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 44 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos
1 limx→2
(2x3 + cos(πx)
log4 x
)2 lim
x→1−
(2 arcsen x + |x−2|
x+1 π)
3 limx→+∞
(2−x + arctan x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 45 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Corolário (Importante)
Se f (x) e g(x) são contínuas,então também são contínuas (em seus domínios):
f (x) + g(x)f (x)− g(x)
cf (x)f (x)g(x)
f (x)g(x)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 46 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Observação
Quanto ao limite
limx→?
f (x)
g(x)
Denotandolimx→?
f (x) = F e limx→?
g(x) = G .
1 Caso G = 0 e F = 0: Indeterminação2 Caso G = 0 e F 6= 0: não há indeterminação (mais adiante).
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 47 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→3
x2−9x−3
2 limx→a
x2−a2
x−a (derivada de x2 em a)
3 limx→2
√x−√
2x−2
4 limx→a
√x−√a
x−a (derivada de√x em a)
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 48 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - com indeterminação
1 limx→2
3√x− 3√2x−2 (derivada de 3
√x em x = 2)
2 limx→1
√x−1√
2x+3−√
5
3 limx→2
x3−x2−x−2x2−4
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 49 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Propriedades Algébricas de Limites Finitos
Exemplos - mudança de variável (função composta)
1 limx→−1
3√x+2−1x+1 , tomando u = 3
√x + 2
2 limx→π
cos2 x+3 cos x+2cos x+1
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 50 /
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Cálculo de Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
TeoremaSe
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
elimx→?
f (x) = L = limx→?
h(x)
entãolimx→?
g(x) = L.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 51 /
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Cálculo de Limites Infinitésimos e Infinitos
Infinitésimos e Infinitos
limx→?
f (x) limx→?
1f (x)
0+ +∞0− −∞+∞ 0+
−∞ 0−
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 52 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites finitos e infinitos
Soma e Diferença
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
(f (x) + g(x))
F ±∞ ±∞
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
(f (x)− g(x)) limx→?
(g(x)− f (x))
F ±∞ ∓∞ ±∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 53 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites finitos e infinitos
Produto e Quociente
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
f (x).g(x) limx→?
f (x)g(x)
F > 0 ±∞ ±∞ 0±
F < 0 ±∞ ∓∞ 0∓
0 ±∞ Ind. 0
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 54 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites Infinitos
Soma e Diferença
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
(f (x) + g(x)) limx→?
(f (x)− g(x))
±∞ ±∞ ±∞ Ind.±∞ ∓∞ Ind. ±∞
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 55 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
Limites Infinitos
Produto e Quociente
limx→?
f (x) limx→?
g(x) limx→?
f (x).g(x) limx→?
f (x)g(x)
±∞ ±∞ +∞ Ind.±∞ ∓∞ −∞ Ind.
Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 56 /
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Cálculo de Limites Propriedades Algébricas de Limites
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Bases Matemáticas Limites de Funções2o quadrimestre de 2017 57 /
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