Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis

Cálculo II

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por

Lyxfyxyx

),(),( 00

),(lim

Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Limite

O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L.

Lyxfou

Lyxf

yxyx

yyxx

o

oo

),(lim

),(lim

),(),( 0

Limite de f(x,y)

Propriedades dos Limites

Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M 0.

1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L

2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L

3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M

4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M

5º)

6º) De maneira geral, Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)

Lyxfyxf ),(lim),(lim

Calculando Limites

yzx

yzxxyxyzyzxzyx

2233

122

275lim )1

106)1(22

)1(2.22.2.2)1(2.2.7)1.(2.2.522

33

00

0000lim )2

3333

)0,0(),(

yxyx

yx

0))((lim22

)0,0(),(

yx

yxyxyxyx

Calculando Limites

yxxyx

yx

yxyxxyx

yx

yx

yx

2

00

22

43

3210

lim)3

lim)2

53lim)1

Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:

Calculando Limites

Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:

Calculando Limites

Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos “dois caminhos”.

Exemplo da Regra dos Dois Caminhos

Mostrar que não existe.

Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação

22

22

limyxyx

Regra dos Dois Caminhos

Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta y = x (“dois caminhos”).

(1º caminho)

(2º caminho) 0lim

100lim

22

22

0

22

22

00

yyyy

xx

xyx

yx Os limites são

diferentes, logo não há o limite.

y

x

z

2°caminho1°caminho

Continuidade de Funções de Várias Variáveis

O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo já descrito para funções ordinárias.

Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se lim(x,y)(xo,yo)⃗ f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo).

EXEMPLO:Mostrar que não é contínua em (x,y) = (0,0)24

2

),(yxyxyxf

Propriedades da Continuidade

• f(x,y) + g(x,y) também é contínua.

• f(x,y) . g(x,y) também é contínua.

• f(x,y) / g(x,y) também é contínua.

• u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua.

Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então: