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Lógica e RaciocínioUniversidade da Madeira

http://dme.uma.pt/edu/LeR/

Raciocínio Dedutivo

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O presente powerpoint foi inspirado na aula do Professor Fernando MartínezManrique da Universidade de Granada, Espanha.

(agradecemos o consentimento do professor de disponibilizar este material).

“Como todas as outras artes, a ciência da dedução e análise só pode ser adquirida por meio de um demorado e paciente estudo, e a vida não é tão longa que permita a um mortal aperfeiçoar-se ao máximo nesse campo. “

Sherlock HolmesEm Estudio em Vermelho (A. Conan Doyle)

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O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica

Foi roubado uma importante quantia de dinheiro. O criminoso (ou criminosos) fugiu/fugiram num carro. Scotland Yard decide interrogar aos três suspeitos, Andy, Bill e Carl, e consegue determinar os factos seguintes:(i) No roubo no está implicada nenhuma outra pessoa salvo A, B o C.(ii) C nunca trabalha sem levar a A (e eventualmente a outros) como cúmplice.(iii) B no sabe conduzir.

¿O Andy é culpado ou Inocente?(PENSEM NOS PROXIMOS 10 minutos)

O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica

Nos jogos como este nos é pedido que deduzamos a informação pedida a partir da informação dada.Neste caso a informação pedida édeterminar se A é culpado.Vamos ver um par de formas de razoar para tentar resolver o jogo:

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O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica

1) “Suponhamos que A é inocente”2) Dado que C nunca trabalha sem A, se A é inocente,

então C também deve ser inocente3) Dado que o criminoso fugiu de carro e B não sabe

dirigir, então B não pôde cometer o roubo sozinho: teve que ir ou com A ou com C. Então se A e C são inocentes, B é também inocente.

4) Então, se A é inocente, então concluímos que B e C são também inocentes. Mas sabemos que um deles éculpado.

5) Portanto, não pode ser que A seja inocente

O que é uma dedução?: Um jogo de Lógica

1) Temos 3 possibilidades: A, B o C.2) Se foi A, A é culpado.3) Se foi C, ele fê-lo com A, então A também será

culpado neste caso. 4) Se foi B, ele fê-lo com A ou com C:

-se foi com A, A é culpado.-si foi com C, então (por 3) fê-lo com A, então

A também será culpado neste caso.

5) Por tanto, A é culpado em qualquer caso

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O que é uma dedução?Numa dedução progredimos a partir da informação conhecida até atingir certa informação desconhecida que interessa-nos obter.

A informação conhecida actua como as premissasdum argumento, e as desconhecidas como a conclusão.

O que caracteriza que uma dedução esteja bem feita éque cada passo que demos seja seguro: isto é cada nova informação deve seguir-se das anteriores.

O que é uma dedução?: RegrasÉ possível capturar por meio de regras os passos mas típicos que efectuamos quando levamos a cabo uma dedução.Se uma regra está bem escolhida, vã-nos conduzir desde um certo enunciado E a outro E´ que é consequência lógica de E.O processo pelo qual passamos de E a E’ éuma inferência lógica e a regra utilizada é uma regra de inferência.

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O que é uma dedução?: RegrasHá regras que tentam capturar a “forma natural” de proceder quando raciocinamos. Para isto vamos tomar um conjunto de regras da chamada “dedução Natural”.

A ideia é recolher e sistematizar as regras informais que aplicamos em raciocínios (por exemplo, em raciocínios como o do exemplo)

O que é uma dedução?: RegrasVamos ver um conjunto de regras de inferência básicas o primitivas para a dedução natural.Dado que temos 5 conectivos, vamos definir duas regras relacionadas com cada uma delas, uma de introdução e uma de eliminação da conectiva.Vamos apresenta-las de modo informal para depois formalizar.

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Introdução do ∧ (E)

PremissasO assassino é canhoto.O assassino usa uma Colt 45.

ConclusãoO assassino é canhoto e usa uma Colt 45.

Introdução do ∧ (E)

pq

_______p ∧ q

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Eliminação do ∧ (E)

PremissaO assassino é loiro e mede mais de 1,80m.

ConclusõesO assassino é loiro.O assassino mede mais de 1,80m.

Eliminação do ∧ (E)

p ∧ q_______

pq

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Eliminação do ~ (não)

PremissaNão é o caso que o assassino não sejaestrangeiro.

ConclusãoO assassino é estrangeiro

Dupla Negação ~

~ ~ p_______

p

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Introdução do ∨ (Ou)

PremissaO assassino mede 1,80m

ConclusõesO assassino mede 1,80m ou passa feiras no

Porto SantoO assassino passa feiras no Porto Santo oumede 1,80m

Introdução do ∨ (Ou)

p_______

p ∨ q

p_______

q ∨ p

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Eliminação do ∨ (Ou)

PremissasO assassino fugiu de comboio ou de

autocarro.Se fugiu de comboio, então foi a EspanhaSe fugiu de autocarro, então foi a Espanha

ConclusãoO assassino foi a Espanha

Eliminação do ∨ (Ou)

p ∨ qp → sq → s

_______s

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Eliminação do →(Então /Condicional)

PremissasSe João é o assassino, Matias é o cúmplice.João é o assassino

ConclusãoMatias é o cúmplice.

Eliminação do →(Então /Condicional)

p → qp

_______q

Chamado Modus Ponens

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Introdução do ↔ (Bicondicional)

PremissasSe a vitima foi decapitada, então a cabeça não

ficou ligada ao corpo.Se a cabeça não ficou ligada ao corpo, então a

vitima foi decapitada.Conclusão

A vitima foi decapitada se e somente se a cabeça não ficou ligada ao corpo.

Introdução do ↔ (Bicondicional)

p → qq → p

_______p ↔ q

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Eliminação do ↔ (Bicondicional)

PremissaO corpo esta a feder se e somente se a vitima leva vários dias morta.

ConclusõesSe o corpo esta a feder então a vitima leva vários dias morta.Se a vitima leva vários dias morta entãoo corpo esta a feder.

Eliminação do ↔ (Bicondicional)

p ↔ q _______

p → qq → p

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Premissas e SuposiçõesAs premissas correspondem á informação que

foi-nos dada inicialmente (os dados do problema ou formulas iniciais). Por vezes temos que introduzir informação hipotética para começar um raciocínio: é isto que chamamos suposição. Equivale as ocasiones nas que raciocinamos começando assim: “Suponhamos que...”Há 2 regras de inferência baseadas no uso de suposições:

Premissas e Suposições

Cuidado!As inferências feitas dentro da suposição são valem assumindo as suposições.Exemplo:• Todo peixe respira na agua.• Suponhamos que sou um peixe.• Então posso respirar na agua.

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Introdução do →(Então /Condicional)

(suposição)⎢ Assumamos que chovia na noite do crime.⎢ ….. (inferimos a partir do suposto) …⎢ As pisadas do assassino desapareceram

ConclusãoSe chovia na noite do crime, então as pisadas do assassino desapareceram

Introdução do →(Então /Condicional)

p……q

_______p → q

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Introdução do ~

(suposição)⎢ Assumamos que o assassino matou-me.• ⎢ Os mortos não falam, então não estou a falar.• ⎢ Ao contar este exemplo estou a falar.

⎢ Ou seja, estou a falar e não estou a falarConclusão

O assassino não matou-me.

Introdução do ~

p……

q ∧ ~ q (contradição!)_______

~ pchamada redução ao absurdo

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Regras derivadasAs regras de inferência primitivas são suficientes para fazer todas as derivações que queremos.

Porém, existem sequencias de passos que se repetem muito frequentemente e podem ser abreviados em forma de regra.

Estas regras derivam-se das primitivas, mas facilitam as demonstrações.

Regras de simetria

p ↔ q _______q ↔ p

p ∧ q _______

q ∧ p

p ∨ q _______

q ∨ p

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Modus Tollens

PremissasSe o assassino entrou pela janela, então a

janela estava aberta.A janela não estava aberta

ConclusãoO assassino não entrou pela janela

Modus Tollens

p → q~ q

_______~ p

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Silogismo Disyuntivo o Tollendo Ponens

PremissaO assassino é português ou inglês.O assassino não é português.

ConclusãoO assassino é inglês.

Silogismo Disyuntivo o Tollendo Ponens

p ∨ q~ p

_______q

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Silogismo Hipotético

PremissaSe o assassino fugiu, então foi de carroSe o assassino foi de carro, então viajou a Paris

ConclusãoSe o assassino fugiu, então viajou a Paris

Silogismo Hipotético

p → qq → r

_______p → r

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Equivalências vistas anteriormente

disjunção material~ p ∨ q≈p → q

Lei de De Morgan~ p ∨ ~ q≈~ (p ∧ q)Lei de De Morgan~ p ∧ ~ q≈~ (p ∨ q)

etc…

distributividade(p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)≈p ∨ (q ∧ r)distributividade(p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)≈p ∧ (q ∨ r)

Derivação e Dedução

Normalmente interessa-nos saber se una fórmula qpode obter-se a partir de outras p1, p2,...,pn

Neste caso o que temos que construir é uma derivação desde p1, p2,...,pn até q de forma tal que a cada passo aplicamos uma regra de inferência.

Se conseguimos obter q, diremos que temos deduzido q a partir de p1, p2,...,pn.

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Procedimento de dedução1. Determina-se quais são as premissas e escreve-

se cada premissa numa linha numerada começando pelo 1.

2. Determina-se qual é a conclusão. Isto é o que queremos demonstrar.

3. Aplicam-se as regras de inferência nas premissas, obtendo novas fórmulas que vamos numerando.

4. A dedução acaba quando chegamos a uma linha “fora de toda barra de hipóteses” que contém o que queremos demonstrar.