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LÓGICA MATEMÁTICA

Prof. Esp. Fabiano Taguchi

fabianotaguchi@gmail.comhttp://fabianotaguchi.wordpress.com

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Álgebra de Boole

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ÁLGEBRA DE BOOLE

O inglês George Boole é considerado o pai da lógica

simbólica, foi ele quem desenvolveu o sistema formal para raciocínio lógico, conhecido como álgebra

booleana.

ÁLGEBRA DE BOOLE

Em sua obra The Mathematical Analysis ofLogic, Boole percebeu que uma álgebra deobjetos poderia ser construída e ter váriasinterpretações.

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ÁLGEBRA DE BOOLE

◉ Arquitetura de computadores◉ Modelagem de circuitos (hardware)◉ Minimização de circuitos

PROPRIEDADES

ADIÇÃO LÓGICA

1. A + 0 = A2. A + 1 = 13. A + A = A4. A + A = 1

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PROPRIEDADES

MULTIPLICAÇÃO LÓGICA

1. A . 0 = 02. A . 1 = A3. A . A = A4. A . A = 0

PROPRIEDADES

COMUTATIVIDADE

1. A + B = B + A2. A . B = B . A

DISTRIBUTIVA

1. A . (B + C ) = A . B + A . C

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PROPRIEDADES

ASSOCIATIVIDADE

1. A + (B + C) = (A + B) + C = (A + C) + B2. A . (B . C) = (A . B) . C = (A . C) . B

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

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OPERAÇÕES DERIVADAS

EXEMPLO DE FUNÇÕES LÓGICAS

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EXEMPLO DE FUNÇÕES LÓGICAS

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Circuitos digitais e portas lógicas

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PORTAS LÓGICAS

Representa recursos físicos capazes de realizaroperações lógicas. Sendo que:

◉ Nível lógico 0 (ausência de tensão)◉ Nível lógico 1 (presença de tensão)

PORTA LÓGICA AND

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PORTA LÓGICA AND

Quando as duas entradas são 0 (interruptoresdesligados), a saída também é 0 (lâmpadaapagada).

PORTA LÓGICA AND

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PORTA LÓGICA AND

PORTA LÓGICA NAND

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PORTA LÓGICA NAND

A porta lógica NAND é uma porta lógica ANDcom a saída negada.

Os níveis lógicos da saída (S) da tabela verdade NAND é a negação dos níveis lógicos da saída

(S) da tabela verdade AND.

PORTA LÓGICA NAND

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PORTA LÓGICA NAND

PORTA LÓGICA OR

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PORTA LÓGICA OR

Quando as entradas são 0 (interruptoresdesligados) a saída (S) também é 0 (lâmpadasapagadas).

PORTA LÓGICA OR

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PORTA LÓGICA OR

PORTA LÓGICA NOR

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PORTA LÓGICA NOR

A porta lógica NOR é uma porta lógica OR coma saída negada.

Os níveis lógicos da saída (S) da tabela verdade NOR é a negação dos níveis lógicos da saída

(S) da tabela verdade OR.

PORTA LÓGICA NOR

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PORTA LÓGICA NOR

PORTA LÓGICA NOT

O nível lógico da saída (S) é a negação do nível lógico da entrada.

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PORTA LÓGICA NOT

PORTA LÓGICA EXclusive OR

A saída será 1 se apenas uma entrada for 1.

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PORTA LÓGICA EXclusive OR

PORTA LÓGICA EXclusive NOR

É uma porta lógica EX-OR com a saída negada

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PORTA LÓGICA EXclusive NOR

CIRCUITOS LÓGICOS

Consiste em um conjunto de portas lógicas econexões que simbolizam uma equaçãobooleana.

Por sua vez estes circuitos executam alguma função ou operação através de portas lógicas.

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EXEMPLO

CIRCUITOS LÓGICOS

Dada uma função booleana é possível desenharum circuito lógico que a implementa. Os passosusados para montagem do circuito são osmesmos usados durante a avaliação daexpressão.

Linhas simples representam os fios

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CIRCUITOS LÓGICOS

PASSOS:

1. Identificar as variáveis independentes;

2. Cada uma delas terá uma linha (fios);

3. Desenho das portas lógicas necessárias naordem: parênteses, negação, AND e OR.

CIRCUITOS LÓGICOS

EXEMPLO:

Construir o circuito lógico para função booleana:F = A + BC

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CIRCUITOS LÓGICOS

EXEMPLO:

Construir o circuito lógico para função booleana:F = AB + BC

CIRCUITOS LÓGICOS

EXEMPLO:

Construir o circuito lógico para função booleana:F = (A+B)(B+C)

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EXERCÍCIOS

Converta as seguintes proposições paraexpressões lógicas da álgebra de Boole econstruir a tabela verdade:a) (p v ~q) ^ r ^ ~pb) (~p ^ q) v qc) (~p ^ q) v (p ^ ~q)d) ~(p ^ q) v r

EXERCÍCIOS

Dada a tabela ao lado, encontre o resultado dasexpressões:a) A + B + Cb) A + B . Cc) A . B. Cd) (B + A) . Ce) C + A . Bf) B + C . A + Bg) A + B . C + A . B

A B C

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

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EXERCÍCIOS

Construa circuitos lógicos com as expressõesabaixo:a) A + B + Cb) A + B . Cc) A . B. Cd) (B + A) . Ce) C + A . Bf) B + C . A + Bg) A + B . C + A . B