George Boole (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

22/03/2015 George Boole (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

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Stanford Encyclopedia of PhilosophyGeorge BoolePublicado pela primeira vez Wed 21 de abril de 2010; revisãosubstantiva Mon 14 de abril de 2014

George Boole (18151864) foi um matemático Inglês e um dosfundadores da tradição algébrica na lógica. Ele trabalhou comoprofessor na Inglaterra e desde 1849 até sua morte, como professorde matemática na Universidade da rainha, Cork, na Irlanda. Elerevolucionou a lógica através da aplicação de métodos de campoentão emergente de álgebra simbólica à lógica. Onde a lógicatradicional (aristotélica) contou com catalogar os silogismos válidos

de várias formas simples, o método de Boole desde algoritmos gerais em uma linguagem algébrica queaplicada a uma variedade infinita de argumentos de complexidade arbitrária. Estes resultados apareceram emduas grandes obras, a análise matemática da Logic (1847) e as leis do pensamento (1854).

1. Vida e Obra2. O Contexto e Fundo da Obra de Boole Em Logic3. A Análise Matemática da Lógica (1847)4. As Leis do Pensamento (1854)5. desenvolvimentos posteriores

5.1 Objeções à Álgebra da Lógica de Boole5.2. Reconstrução moderna do sistema de Boole

6. Métodos de Boole6.1 Os três métodos de Análise argumento usado por Boole na LT6.2. Método Geral de Boole para Primários Proposições6.3. Método Geral de Boole para Proposições secundárias

BibliografiaFerramentas AcadêmicosOutros recursos da InternetEntradas Relacionadas

1. Vida e Obra

George Boole nasceu 2 de novembro de 1815 em Lincoln, Lincolnshire, Inglaterra, em uma família de meiosmodestos, com um pai que era, evidentemente, mais de um bom companheiro do que um bom chefe defamília. Seu pai era um sapateiro, cuja verdadeira paixão estava a ser um diletante dedicado no campo daciência e da tecnologia, alguém que gostava de participar de Instituição dos Mechanics Lincoln; este foiessencialmente uma comunidade clube social que promove a leitura, discussões e palestras sobre ciência. Foifundada em 1833, e em 1834 o pai de Boole tornouse o curador de sua biblioteca. Este amor deaprendizagem foi claramente herdada por Boole. Sem o benefício de uma elite escolaridade, mas com umafamília de suporte e acesso a livros excelentes, em particular de Sir Edward Bromhead, FRS, que morava aapenas alguns quilômetros de Lincoln, Boole foi capaz de ensinarse, essencialmente, línguas estrangeiras e

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matemática avançada.

A partir de 16 anos de idade, era necessário que Boole para encontrar um emprego remunerado, já que seupai não era mais capaz de fornecer para a família. Depois de 3 anos de trabalho como professor em escolasparticulares, Boole decidiu, com a idade de 19, para abrir sua própria pequena escola em Lincoln. Ele seriaum professor para os próximos 15 anos, até 1849, quando tornouse professor na Universidade de o recéminaugurado da rainha em Cork, na Irlanda. Com pesadas responsabilidades para seus pais e irmãos, énotável que ele, no entanto, encontrou tempo durante os anos como um professor para continuar a suaprópria educação e para iniciar um programa de pesquisa, principalmente em equações diferenciais e cálculodas variações conectado com as obras de Laplace e Lagrange (que ele estudou no original em francês).

Há uma crença generalizada de que Boole foi principalmente uma realidade lógicoin, ele tornouse ummatemático reconhecido bem antes que ele tivesse escrito uma única palavra sobre a lógica, o tempo todocorrendo sua escola particular para cuidar de seus pais e irmãos. Capacidade de Boole para ler em francês,alemão e italiano colocálo em uma boa posição para iniciar estudos matemáticos graves quando, aos 16anos de idade, ele leu de Lacroix Calcul Différentiel , um presente de seu amigo Reverendo GS Dickson deLincoln. Sete anos mais tarde, em 1838, ele escreveria seu primeiro trabalho matemático (embora não seja oprimeiro a ser publicado), "On certos teoremas no cálculo das variações", com foco em melhorar osresultados que tinha lido em de Lagrange Méchanique Analítica.

No início de 1839 Boole viajou para Cambridge para se encontrar com o jovem matemático Duncan F.Gregory (18131844), que foi o editor da Cambridge Mathematical Journal ( CMJ ) Gregory haviafundado essa revista em 1837 e editado até que sua saúde falhou em 1843 (ele morreu no início de 1844,com a idade de 30). Gregory, embora apenas 2 anos fora de seu diploma em 1839, tornouse um orientadorimportante Boole. Com o apoio da Gregory, que incluiu treinamento Boole sobre como escrever um artigomatemático, Boole entrou na arena pública da publicação matemática em 1841.

Publicações matemáticas de Boole abrangem os 24 anos 18411864, o ano em que ele morreu depneumonia. Se quebrar esses 24 anos em três segmentos, os primeiros 6 anos (18411846), o segundo 8anos (18471854), e os últimos 10 anos (18551864), descobrimos que seu trabalho na lógica erainteiramente em meados dos 8 anos.

Em seus primeiros seis anos de carreira, Boole publicou 15 trabalhos matemáticos, mas todos os dois noCMJ e seu sucessor 1846, The Cambridge e Dublin Mathematical Journal . Ele escreveu sobre temasmatemáticos padrão, principalmente equações diferenciais, a integração eo cálculo das variações. Boole fezsucesso no início usando o novo método simbólico em análise, um método que levou uma equaçãodiferencial, dizer:

d 2 y / d x 2 d y / d x 2 y = cos ( x ),

e escreveuo o Operador forma ( y ) = cos ( x ). Este foi (formalmente) feito fazendo com que:

D = d / d x , D 2 = d 2 / d x 2 , etc.

conduzindo a uma expressão da equação diferencial como:

( D 2 D 2) y = cos ( x ).

Agora álgebra simbólica entrou em jogo, simplesmente tratar o operador D 2 D 2, como se fosse umpolinômio ordinário em álgebra. 1841 papel de Boole "na integração de Equações diferenciais lineares com



coeficientes constantes" deu uma boa melhora com o método de Gregory para resolver tais equaçõesdiferenciais, uma melhoria com base em uma ferramenta padrão em álgebra, o uso de frações parciais.

Em 1841 Boole também publicou seu primeiro artigo sobre invariantes, um papel que iria influenciarfortemente Eisenstein, Cayley e Sylvester para desenvolver o assunto. Arthur Cayley (18211895), o futuroprofessor Sadlerian em Cambridge e um dos matemáticos mais prolíficos da história, escreveu sua primeiracarta aos Boole em 1844, cumprimentandoo por seu excelente trabalho sobre invariantes. Ele se tornou umamigo pessoal, alguém que iria para Lincoln para visitar e ficar com Boole nos anos anteriores Boole mudouse para Cork, na Irlanda. Em 1842 Boole começou uma correspondência com Augustus De Morgan (18061871), que deu início a uma outra vida amizade.

Em 1843, o mestreescola Boole terminou um longo artigo sobre equações diferenciais, que combina umasubstituição exponencial e variação de parâmetros com a separação dos símbolos método. O papel eramuito longo para o CMJ Gregory, e mais tarde De Morgan, encorajouo a apresentálo para a RoyalSociety. O primeiro árbitro rejeitou o papel de Boole, mas o segundo recomendase para a medalha de ouropara o melhor trabalho matemático escrito nos anos 18411844, e essa recomendação foi aceite. Em 1844,a Royal Society publicou o jornal de Boole e concedeulhe a Medalha deprimeira Medalha de Ouro Ouroconcedido pela Sociedade para um matemático. No ano seguinte, Boole ler um documento na reunião anualda Associação Britânica para o Avanço da Ciência, na Universidade de Cambridge, em Junho de 1845. Istolevou a novos contatos e amigos, em especial William Thomson (18241907), o futuro Lord Kelvin.

Não muito tempo depois de começar a publicar artigos, Boole estava ansioso para encontrar uma maneirade se inscrever com uma instituição de ensino superior. Ele considerou freqüentando a Universidade deCambridge para obter um diploma, mas foi informada de que o cumprimento dos vários requisitosprovavelmente iria interferir seriamente com seu programa de pesquisa, para não mencionar os problemas daobtenção de financiamento. Finalmente, em 1849, obteve um cargo de professor em uma nova aberturauniversidade em Cork, na Irlanda. Nos anos foi professor em Cork (18491864) que, ocasionalmente, deinquirir sobre a possibilidade de uma posição de volta à Inglaterra.

O trecho oito anos 18471854 começa e termina com dois livros de Boole na lógica matemática. AlémBoole publicou mais 24 artigos sobre matemática tradicional, durante este período, enquanto apenas umartigo foi escrito sobre lógica, que sendo em 1848. Ele foi premiado com um LL.D. honorário grau pelaUniversidade de Dublin, em 1851, e este foi o título que ele usou ao lado de seu nome em seu livro 1854 nalógica. 1847 O livro de Boole, Análise Matemática da Lógica , será referido como MAL ; o livro de 1854,leis do pensamento , como LT .

Durante os últimos 10 anos de sua carreira, 18551864, Boole publicou 17 artigos sobre matemática e doislivros de matemática, um de equações diferenciais e um em equações de diferenças. Ambos os livros foramconsiderados o estado da arte e utilizada para instrução em Cambridge. Também durante este tempo honrassignificativas vieram em:

1857 Fellowship of the Royal Society1858 Membro Honorário da Cambridge Philosophical Society1859 Grau de DCL, honoris causa de Oxford

Infelizmente, o seu senso de dever levouo a pé através de uma tempestade no final de 1864, e, em seguida,palestras com a roupa molhada. Pouco tempo depois, em 08 de dezembro de 1864 em Ballintemple, CountyCork, na Irlanda, ele morreu de pneumonia, com a idade de 49. Um outro artigo sobre matemática e umlivro revisto em equações diferenciais, dando uma atenção considerável a soluções singulares, forampublicados pós mortem.



O leitor interessado em um excelente e completo relato da vida pessoal de Boole é referido Desmond deMacHale George Boole, sua vida e obra de 1985, uma fonte a que este artigo está em dívida.

1815 Nascimento em Lincoln, Inglaterra1830 Sua tradução de um poema grego impresso em um jornal local1831 Lê de Lacroix Calcul DifférentielMESTREESCOLA1834 Abre sua própria escola1835 Dá endereço público sobre as realizações de Newton1838 Grava primeiro trabalho de matemática1839 Visitas Cambridge para atender Duncan Gregory, editor da Cambridge Mathematical Journal (

CMJ )1841 Os primeiros quatro publicações matemáticas (todas no CMJ )1842 Inicia correspondência com Augustus De Morgan eles se tornam amigos ao longo da vida1844 Correspondência com Cayley começa (iniciada por Cayley) eles se tornam amigos ao longo da vida1844 Medalha de Ouro da Sociedade Real para um trabalho sobre equações diferenciais1845 Dá palestra na reunião anual da Associação Britânica para o Avanço da Ciência, e atende William

Thompson (mais tarde Lord Kelvin) eles se tornam amigos ao longo da vida1847 Publica Análise Matemática da Lógica1848 Publica seu único documento sobre a álgebra da lógicaPROFESSOR DE MATEMÁTICA

1849 Aceita posição como professor de Matemática na Universidade de a nova rainha em Cork, Irlanda1851 Honorary Degree, LL.D., do Trinity College, Dublin1854 Publica Leis do Pensamento1855 O casamento com Mary Everest, sobrinha de George Everest, InspectorGeral da Índia após a quem

Mt. Everest é nomeado1856 Nascimento de Mary Ellen Boole1857 Eleito para a Royal Society1858 Nascimento de Margaret Boole1859 Publica Equações Diferenciais ; utilizado como um manual em Cambridge1860 Nascimento de Alicia Boole, que irá cunhar a palavra "polytope"1860 Publica Equações às Diferenças ; utilizado como um manual em Cambridge1862 Nascimento de Lucy Everest Boole1864 Nascimento de filha Ethel Lilian Boole, que iria escrever The Gadfly , um livro extraordinariamente

popular na Rússia após a revolução de 19171864 Morte de pneumonia, Cork, Irlanda

2. O Contexto e Fundo da Obra de Boole Em Logic

Para entender como Boole desenvolveu, em tão pouco tempo, sua impressionante álgebra da lógica, é útilpara entender as linhas gerais do trabalho sobre os fundamentos da álgebra que tinha sido empreendidaspelos matemáticos filiados à Universidade de Cambridge em 1800, antes da começando de matemáticacarreira de publicação de Boole. Uma excelente referência para ler mais ligado a esta seção é a sourcebookanotada De Kant a Hilbert por Ewald (1996).

O século 19 foi inaugurado em Inglaterra com a matemática no marasmo. Os matemáticos ingleses tinhamrivalizou com os matemáticos continentais sobre as questões de prioridades no desenvolvimento do cálculo,resultando no Inglês seguinte notação de Newton, e os do continente seguinte ao da Leibniz. Um dosobstáculos a serem superados na atualização Inglês matemática foi o fato de que os grandes



empreendimentos de álgebra e análise tinha sido construída sobre alicerces duvidosos, e havia matemáticosingleses que estavam bastante vocal sobre essas deficiências. Em álgebra comum, foi a utilização de númerosnegativos e números imaginários que causaram preocupação. A primeira grande tentativa entre os Inglês paraesclarecer os problemas de fundação da álgebra era de George Peacock Treatise on Algebra de 1830 (asegunda edição apareceu como dois volumes, 1842/1845). Ele dividiu o assunto em duas partes, a primeiraparte sendo álgebra aritmética , álgebra dos números positivos (que não permitiram a operações como asubtração nos casos em que a resposta não seria um número positivo). A segunda parte foi álgebrasimbólica , o que não era regido por uma interpretação específica, como foi o caso para a álgebraaritmética, mas por leis. Em álgebra simbólica não havia restrições à utilização de subtração, etc.

A terminologia da álgebra foi um pouco diferente no século 19 do que é usado hoje. Em particular, eles nãousam a palavra "variável"; a letra x em uma expressão como 2 x + 5 foi chamado de símbolo , daí o nome"álgebra simbólica". Neste artigo um prefixo, por vezes, ser adicionado, como em número símbolo ousímbolo de classe , para enfatizar a interpretação pretendida de um símbolo.

Pavão acredita que, para que a álgebra simbólica de ser um assunto útil suas leis tinham de estarestreitamente relacionado com os de álgebra aritmética. Para este efeito, ele apresenta o seu princípio dapermanência de formas equivalentes , um princípio de conexão resulta em álgebra aritmética àqueles emálgebra simbólica. Este princípio tem duas partes:

(1) Os resultados gerais em álgebra aritmética pertencem às leis da álgebra simbólica.

(2) Sempre que uma interpretação do resultado da álgebra simbólica fazia sentido no contexto daálgebra aritmética, o resultado daria um resultado correto na aritmética.

Uma utilização fascinante de álgebra foi introduzido em 1814 por FrançoisJoseph Servois (17761847)quando ele abordou equações diferenciais, separando a parte do operador diferencial da parte com a funçãosujeito, tal como descrito no exemplo dado acima. Esta aplicação de álgebra capturou o interesse de DuncanGregory, que publicou uma série de artigos sobre o método da separação dos símbolos , ou seja, aseparação em operadores e objetos, no CMJ . Ele também escreveu sobre o fundamento da álgebra, e foi afundação de Gregory que Boole abraçou, quase literalmente. Gregory tinha abandonado o princípio dePeacock da permanência de formas equivalentes a favor de duas leis simples. Infelizmente essas leis, ficoumuito aquém do que é necessário para justificar até mesmo alguns dos resultados mais elementares deálgebra. Em "Sobre o fundamento da álgebra", de 1839, o primeiro de quatro artigos sobre este tema por DeMorgan, que apareceu nas Transações da Cambridge Philosophical Society , encontrase umahomenagem à separação dos símbolos na álgebra, ea afirmação de que moderno algebristas geralmenteconsideram os símbolos como operadores denotando (por exemplo, a operação de derivativo) em vez deobjetos, como números. A nota de rodapé:

Professor Peacock é o primeiro, creio eu, que claramente explicado a diferença entre o que euchamei o técnico e os ramos lógicas de álgebra.

Créditos do Pavão com sendo a primeira a separar (que agora são chamados), o sintático e os aspectossemânticos de álgebra. No segundo artigo fundações (em 1841) De Morgan propôs o que ele consideravaser um conjunto completo de oito regras para trabalhar com álgebra simbólica.

3. A Análise Matemática da Lógica (1847)

O caminho de Boole a lógica fama começou de uma forma curiosa. No início de 1847 foi estimulado a lançarsuas investigações sobre a lógica por uma disputa trivial, mas muito público entre De Morgan e filósofo



escocês Sir William Hamilton (para não ser confundido com o matemático irlandês Sir William RowanHamilton). Esta disputa girava em torno de quem merecia o crédito pela ideia de quantificar o predicado (porexemplo, "All Um é tudo B "," All Um alguma B ", etc.). Dentro de alguns meses Boole tinha escrito suamonografia de 82 páginas, Análise Matemática da Lógica , dando uma abordagem algébrica à lógicaaristotélica. (Alguns dizem que esta monografia e livro de De Morgan Lógica Formal apareceu no mesmodia, em novembro de 1847.)

O capítulo começa com Introdução Boole rever o método simbólico. O segundo capítulo, os primeirosprincípios, permite que o símbolo 1 representam o universo que "compreende todas as classes possíveis deobjetos, existente ou não." Letras maiúsculas X , Y , Z aulas, ... denotados. Então, sem dúvida, fortementeinfluenciado por seu trabalho muito bem sucedido usando técnicas algébricas sobre os operadoresdiferenciais, e de acordo com de De Morgan 1839 afirmação de que Algebristas preferiu interpretarsímbolos como operadores, Boole introduziu o símbolo eletivo x correspondente à classe X , o símboloeletivo y correspondente a Y , etc. Os símbolos eletivos indicados eleitorais operadores, por exemplo aeleição operador vermelho quando aplicado a uma classe elegeria (selecione) os itens vermelhos na classe.(Podese simplesmente substituir os símbolos eletivos por seus símbolos de classe correspondente e têm ainterpretação utilizado na LT em 1854.)

Então Boole introduziu a primeira operação, a multiplicação x y de símbolos eletivos. O padrão notação xy para multiplicação também tinha um significado padrão para os operadores (por exemplo, operadoresdiferenciais), ou seja, aplicada uma y para um objecto e, em seguida, x é aplicada ao resultado. (Naterminologia moderna, esta é a composição dos dois operadores.) Assim, como apontado por Hailperin(1986), parece provável que esta convenção de notação estabelecida entregou Boole sua definição demultiplicação de símbolos eletivos como a composição dos operadores. Quando se muda para o uso declasses em vez de operadores eletivas, como na LT , a multiplicação correspondente de duas classesresultados em sua interseção.

A primeira lei em MAL foi a lei distributiva x ( u + v ) = x u + x v , onde Boole disse que u + vcorrespondeu dividindo uma classe em duas partes. Esta foi a primeira menção de adição. Na p. 17 Booleacrescentou a lei comutativa x y = y x e o direito idempotent x 2 = x (que Boole chamado o direitoíndice ). Uma vez que estas duas leis de Gregory foram garantidos, Boole acreditava que ele tinha o direitode utilizar plenamente a álgebra comum de seu tempo, e de fato se vê Taylor série e multiplicadores deLagrange em MAL . A lei de símbolos de classe idempotente, x 2 = x , era diferente das duas leisfundamentais da álgebrait simbólica apenas aplicadas aos símbolos eletivos individuais, não em geral, paratermos compostos que se pode construir a partir desses símbolos. Por exemplo, não se faz, em geral, têm ( x+ y ) 2 = x + y no sistema de Boole, já que, por álgebra comum com símbolos de classe idempotente, issoimplicaria 2 x y = 0, e depois x y que faria = 0, força x e y para representar as classes disjuntos. Mas não éo caso de que cada par de classes é separado.

Boole focado na lógica aristotélica em MAL , com os seus quatro tipos de proposições categóricas e umacoleção aberta de proposições hipotéticas. No capítulo de expressão e interpretação, Boole disse que,necessariamente, a classe não X é expressa por 1 x . Esta é a primeira aparição de subtração . Então eledeu equações para expressar as proposições categóricas (veja na Seção 6.2 abaixo). O primeiro a serexpresso era All X é Y , para o qual ele usou x y = x , que ele então convertidos em x (1 y ) = 0. Esta foi aprimeira aparição de 0 em MAL não foi apresentado como o símbolo para a classe vazia. Na verdade, aclasse vazia não apareceu no MAL . Evidentemente, uma equação E = 0 desempenhou o papel de umpredicado em MAL , afirmando que a classe denotada por E simplesmente não existia. (Na LT , a classevazia seria indicado por 0.) Boole foi além dos fundamentos da álgebra simbólica que Gregory havia usadoem 1844, acrescentou 1.841 regra única de De Morgan de inferência, que as operações equivalentes



realizadas sobre temas equivalentes produzir resultados equivalentes.

No capítulo sobre as conversões, como a conversão por LimitaçãoAll X é Y , portanto Alguns Y é X Booleencontrado a classificação aristotélica defeituoso na medida em que não tratou complementos, como não X, em pé de igualdade com o chamado Aulas X , Y , Z , etc, com sua versão estendida da lógica aristotélicaem mente (que dão não X igual faturamento), ele deu (30 p.) um conjunto de três regras de transformaçãoque permitiram uma para construir todos os doisline válido argumentos categóricos (desde que você aceite aconvenção não escrita que nomes simples, como X e não X denotado classes nãovazios).

Quanto silogismos, Boole não se importou com a classificação aristotélica em Figuras e Moods como elespareciam um tanto arbitrária e não particularmente adequado para a definição algébrica. Sua primeiraobservação foi que o raciocínio silogístico era apenas um exercício de eliminação , ou seja, o meio termo foieliminado para dar a conclusão. A eliminação foi bem conhecida na teoria algébrica de equações, Boolesimplesmente emprestado um resultado padrão para usar em seu álgebra de lógica. Se as premissas de umsilogismo envolveu as classes X , Y e Z , e um queria eliminar y , então Boole colocar as equações para asduas instalações em forma:

um y + b = 0

um ' y + b '= 0.

O resultado de eliminar y em álgebra comum deu a equação

um b ' um ' b = 0,

e é isso que Boole usado em sua álgebra da lógica para derivar a equação de conclusão. Embora aconclusão é realmente correta, infelizmente este resultado a eliminação seria fraco demais para sua álgebra dalógica, se ele só usou suas primárias traduções em equações. Nos casos em que ambas as premissas foramtraduzidas como equações da forma ay = 0, a conclusão eliminação acabou sendo 0 = 0, apesar de lógicaaristotélica pode exigir uma conclusão nãotrivial. Este foi o motivo Boole introduziu as traduçõesequacionais alternativas de proposições categóricas, para ser capaz de obter todos os silogismos aristotélicosválidos (ver p 32).. Com essa convenção, de usar traduções secundárias quando necessário, descobriuseque os únicos casos que levaram a 0 = 0 foram aqueles para os quais as premissas não pertencia a umsilogismo válido.

Boole enfatizado que, quando uma premissa cerca de X e Y é traduzida para uma equação que envolve x , ye v , a compreensão era que v estava a ser utilizado para expressar "um", mas apenas no contexto em queapareceu na premissa. Por exemplo, "Algum X é Y "tem a tradução primária v = x y , o que implicou osecundário tradução v x = v y . Isso também pode ser lido como "Some X é Y ". Outra consequência da v =x y é v (1 x ) = v (1 y ). No entanto, não foi autorizado a ler este como "Some não X não é Y ", já que vnão apareceu com 1 x na premissa. Uso de Boole de v na tradução de proposições em equações, bemcomo a sua utilização na resolução de equações, tem sido um osso de longa data de discórdia.

Boole analisou as sete formas de silogismos hipotéticos que estavam na lógica aristotélica, a partir dosilogismo disjuntivo para o dilema Destructive Complex, e apontou que seria fácil para criar muitos maisdesses formulários. No Postscript para MAL , Boole reconheceu que a lógica proposicional utilizado umsistema de dois valores, mas ele não oferecem uma lógica proposicional para lidar com isso.

Começando com as Propriedades de capítulos de funções electivas, Boole desenvolveu teoremas gerais paratrabalhar com equações em sua álgebra da lógicao Teorema de Expansão e as propriedades dosconstituintes são discutidos neste capítulo. Até este ponto o seu único foco era mostrar que a lógica



aristotélica poderia ser tratado por métodos algébricos simples, principalmente através do uso de umteorema eliminação emprestado de álgebra comum.

Era natural que Boole querer resolver equações em sua álgebra da lógica uma vez que este tinha sido umobjetivo principal da álgebra comum, e levou a muitas perguntas difíceis (por exemplo, como resolver umaequação de grau 5). Felizmente para Boole, a situação em sua álgebra da lógica era muito mais simples: elesempre poderia resolver uma equação, e encontrar a solução era importante para as aplicações do seusistema, para tirar conclusões em lógica. Uma equação foi resolvido em parte usando expansão após arealização de divisão. Este método de solução foi o resultado de que ele era o mais orgulhosolo descritocomo resolver uma equação eletiva para um dos seus símbolos em termos dos outros, e é isso que Boolereivindicado (no capítulo Introdução de MAL ) seria oferta "os meios de uma análise perfeita de qualquerconjunto concebível de proposições, ...". Em LT Boole continuaria a considerar esta ferramenta como odestaque de seu trabalho.

Último exemplo (p. 78) de Boole em MAL usado uma técnica bem conhecida para o tratamento decondições de restrição na análise chamado Lagrange Multiplicadoreseste método, assim como seu uso dasérie de Taylor, foi evidentemente considerado um exagero, se não um pouco duvidoso, e não aparece emLT (série Taylor se apresentou em uma nota de rodapé na LT Boole não tinha desistido completamentesobre eles).

4. As Leis do Pensamento (1854)

Segundo livro lógica de Boole, uma investigação das leis do pensamento em que se fundamentam asteorias matemáticas de Lógica e Probabilidades , publicado em 1854, foi um esforço para corrigir eaperfeiçoar o seu livro de 1847 sobre a lógica. A segunda metade deste livro 424 página apresentou a teoriada probabilidade como um excelente tema para ilustrar o poder de sua álgebra da lógica. Boole discutiu apossibilidade teórica de usar a teoria da probabilidade (reforçada por sua álgebra da lógica) para descobriras leis fundamentais que regem a sociedade por meio da análise de grandes quantidades de dados social.

Boole disse que iria usar letras simples, como x para representar as classes, embora mais tarde ele tambémiria usar letras maiúsculas como V . O universo era uma classe; e havia uma classe descrito como tendo"nenhum ser" a que chamamos a classe vazia . A operação de multiplicação foi definido para sercruzamento, e isso levou a sua primeira lei, x y = y x . Próxima (algumas páginas depois), ele deu a leiidempotent x 2 = x . A adição foi introduzido como a agregação quando as aulas eram disjuntos. Eledeclarou a lei comutativa para adição, x + y = y + x , ea lei distributiva z ( x + y ) = z x + z y . Depois,seguiu x y = y + x e z ( x y ) = z x z y .

Seria de esperar que Boole estava construindo em direção a uma base axiomática por sua álgebra da lógica,assim como no MAL , evidentemente tendo percebido que as três leis em MAL não foram suficientes. Naverdade ele fez discutir as regras de inferência, que adicionando ou subtraindo igual de igual para igual dáigual para igual, e é igual a multiplicação por iguais dá iguais. Mas, então, o desenvolvimento de umaabordagem axiomática chegou a um fim abrupto. Não houve discussão sobre se estes axiomas e regras eramsuficientes para construir a sua álgebra da lógica. Em vez disso, ele simplesmente e brevemente notavelmente,sem muita fanfarra, apresentou uma radicalmente nova fundação para sua álgebra da lógica.

Ele disse que desde que os únicos números idempotentes foram de 0 e 1, este sugeriu que a álgebra corretoa ser usado para a lógica seria a álgebra comum dos números ordinários modificados restringindo ossímbolos para os valores 0 e 1. Ele afirmou que, neste artigo, é chamado de O Estado de 0 e 1 , que uma leiou argumento realizada em lógica sse depois de ser traduzido em forma equational que detinha na álgebra



comum com este 0,1restrição às interpretações possíveis (ou seja, valores) dos símbolos . Boole usaria essaregra para justificar suas principais teoremas (expansão, redução, eliminação) e para nenhum outro fim. Osprincipais teoremas, por sua vez cedeu o Método Geral de Boole para analisar as consequências deinstalações proposicional.

No Capítulo V, ele discutiu o papel da uninterpretables em sua obra; como justificativa (parcial) para o usode medidas não interpretáveis em álgebra simbólica Ele apontou para o uso bem conhecido de √1. Noscapítulos seguintes, ele deu o Teorema de expansão, a nova força total Eliminação Teorema, um TeoremaRedução, eo uso de divisão para resolver uma equação.

Depois de muitos exemplos e resultados para casos especiais de resolução de equações, Boole virousepara o tema da interpretabilidade de uma função lógica. Boole já tinha afirmado que cada equação éinterpretável (convertendoo em um conjunto de equações constituintes). No entanto termos interpretávelnão precisam ser, por exemplo, 1 + 1 não é interpretável.

Capítulo de Boole em proposições secundárias era essencialmente o mesmo que no MAL excepto quemudou de usar "os casos em que X é verdadeiro "para" os tempos em que X é verdadeiro ". No capítuloXIII Boole selecionou alguns argumentos conhecidos de Clarke e Spinoza, sobre a natureza de um sereterno, para colocar sob a lupa de sua álgebra da lógica, começando com o comentário:

2. A principal dificuldade prática deste inquérito será composto, e não na aplicação do métodopara as instalações, uma vez determinado, mas em determinar quais são as instalações.

Uma conclusão foi:

19. Não é possível, eu acho, para subir a partir da leitura dos argumentos de Clarke e Spinozasem uma profunda convicção da inutilidade de todos os esforços para estabelecer, inteiramentea priori, a existência de um Ser Infinito, Seus atributos, e Sua relação com o universo.

No capítulo final na lógica, capítulo XV, Boole apresentou sua análise das conversões e silogismos da lógicaaristotélica. Ele considerou essa lógica antiga de ser um fraco, tentativa fragmentada a um sistema lógico.Este capítulo muito negligenciada é bastante interessante, pois é o único capítulo em que ele analisouproposições particulares, fazendo uso essencial de cartas adicionais, como " v "para codificar" alguns ". Estetambém é o capítulo onde ele detalhou (infelizmente incompleto) as regras para trabalhar com "alguns".

Resumidamente, Boole deu ao leitor um resumo da lógica aristotélica categórica tradicional, e analisados alguns exemplos simples usando técnicas ad hoc com sua álgebra da lógica. Em seguida, ele lançou emprovar um resultado abrangente, aplicando seu método geral para o par de equações:

v x = v ' y w z = w ' y ,

observando que as instalações de muitos silogismos categóricos podem ser colocados sob esta forma. Seuobjetivo era eliminar y e encontrar expressões para x , 1 x e v x em termos de z , v , v ', w , w '. Isso levoua três equações envolvendo grandes expressões algébricas. Boole omitido quase todos os detalhes de suaderivação, mas resumiu os resultados em termos de resultados estabelecidos da lógica aristotélica. Emseguida, ele observou que os restantes silogismos categóricos são tais que suas instalações podem serapresentadas sob a forma:

v x = v ' y



w z = w '(1 y ),

e isso levou a um outro triplo de grandes equações.

5. desenvolvimentos posteriores

5.1 Objeções à Álgebra da Lógica de Boole

Muitas objeções ao sistema de Boole foram publicados ao longo dos anos; três entre a preocupação maisimportante:

o uso de medidas não interpretáveis em derivações,o tratamento de determinadas proposições de equações eo método de lidar com divisão.

Olhamos para uma objeção diferente, ou seja, no litígio Boole / Jevons sobre a adição de X + X = X comouma lei. Em Leis do Pensamento , p. 66, Boole disse:

A expressão x + y parece realmente não interpretável, a menos que se supor que as coisasrepresentadas por x e as coisas representadas por y são totalmente separadas; que eles seabraçam nenhum indivíduo em comum.

[Os detalhes a seguir são de "O desenvolvimento das teorias da lógica matemática e os princípios damatemática, William Stanley Jevons," por Philip Jourdain, de 1914.]

Em uma carta 1863 a Boole relativo a um projecto de um comentário sobre o sistema de Boole que Jevonsestava considerando para seu próximo livro ( lógica pura , 1864), Jevons disse:

É certamente óbvio, no entanto, que x + x é equivalente apenas para x , ...

Notação de Professor Boole [processo de subtração] é incompatível com uma lei autoevidente.

Se meu ponto de vista estar certo, o seu sistema venha a ser considerada como umacombinação mais notável de verdade e erro.

Boole respondeu:

Assim, a equação x + x = 0 é equivalente à equação x = 0; mas a expressão x + x não éequivalente à expressão x .

Jevons respondeu perguntando se Boole podia negar a verdade de x + x = x .

Boole, claramente exasperado, responde:

Para ser mais explícito, agora, no entanto, respondem que não é verdade que em Logic x + x =x , embora seja verdade que x + x = 0 é equivalente a x = 0. Se eu não escrevo mais, não é apartir de qualquer falta de vontade de discutir o assunto com você, mas simplesmente porque senós divergem sobre este ponto fundamental, é impossível que devemos concordar em outros.

Esforço final de Jevons para obter Boole para entender a questão era:



Eu não tenho dúvida de que ele está aberto para que você mantenha ... [que x + x = x não éverdade] de acordo com as leis do seu sistema, e com essa explicação o seu sistemaprovavelmente é perfeitamente coerente com a própria ... Mas a questão tornase então ummais largose o seu sistema corresponde à lógica do pensamento comum?

Nova lei de Jevons, X + X = X , resultou da sua convicção de que "+" deve denotar o que hoje chamamosde união, onde os membros do X + Y é dada por uma sociedade inclusiva "ou". Boole simplesmente não verqualquer forma de definir X + Y como uma classe, a menos que X e Y foram disjuntos, como já referimos.

Várias explicações têm sido dadas a respeito de porque Boole não podia compreender a possibilidade desugestão de Jevons. Boole teve claramente o conceito semântico da união, ele expressa a união de X e Ycomo x + ( y x ), uma união de duas classes disjuntos, e apontou que os elementos desta classe são os quepertencem a nenhum X ou Y ou ambos. Então, como ele poderia deixar tão completamente para ver apossibilidade de tomar união para sua operação fundamental + em vez de sua operação de união parcialcurioso?

A resposta é simples: a lei x + x = x teria destruído sua habilidade de usar ordinária álgebra: a partir de x +x = x se tem, por álgebra comum, x = 0. Isso forçaria cada símbolo da classe, para denotar a classe vazia .Proposta de lei de Jevons x + x = x simplesmente não era verdade, se um foi cometido a fazer a funçãoálgebra comum como a álgebra da lógica.

5.2. Reconstrução moderna do sistema de Boole

Dado o enorme grau de sofisticação alcançado em álgebra moderna no século 20, é bastante surpreendenteque uma extensão de álgebratotal preservando o direito da álgebra parcial de Boole de aulas não apareceuaté o livro, de 1976, o atraso de Theodore Hailperin foi provavelmente causado por leitores não acreditandoque Boole estava usando álgebra comum. Extensão do Hailperin era olhar para bulas do universo comnúmeros inteiros, ou seja, cada elemento do universo é marcado com um número inteiro. Cada rotulagem douniverso cria um multiset (talvez se devesse dizer multiclasse ), constituído por aqueles elementosmarcados onde o rótulo é diferente de zeroum pode pensar o rótulo de um elemento como descrevendoquantas cópias do elemento são no multiset. Aulas de Boole correspondem aos multijogos onde todos osrótulos são 1 (os elementos que não estão na classe têm o rótulo 0). Os elementos nãointerpretação deBoole tornou interpretável, quando visto como multiconjuntos que são dadas por bulas do universo ondealguns etiqueta é não 0 ou 1.

Para adicionar dois multiconjuntos simplesmente se adiciona os rótulos em cada elemento do universo. Damesma forma para a subtração e multiplicação. (Para o leitor familiarizado com álgebra abstrata moderna,podese tomar a extensão da álgebra parcial de Boole ser Z U , onde Z é o anel de inteiros, e U é o universodo discurso.) O multiconjuntos correspondentes às classes são precisamente o idempotentes multisets.Acontece que as leis e os princípios Boole estava usando em sua álgebra da lógica espera para este sistema.Por isso significa métodos de Boole são provou ser correta para a álgebra da lógica da universaisproposições. A análise de Hailperin não se aplica a determinadas proposições. 2009 papel de FW Brownpropõe que se pode evitar multiconjuntos, trabalhando com o anel de polinômios Z [X] Modulo um certoideal.

Boole não conseguiu encontrar uma tradução que trabalhou tão limpa para as proposições particulares comopara as proposições universais. Em 1847 Boole utilizadas as duas traduções seguintes, a segunda mais umaconsequência do primeiro:

Alguns X s são Y ............ s. v = x y e v x = v y .



Inicialmente, ele usou o símbolo v para capturar a essência de "alguns". Mais tarde, ele usou outros símbolos,bem como, e também ele usou v com outros significados (como para os coeficientes em uma expansão). Umdos problemas com o seu esquema de tradução com v era que, por vezes, uma necessária "notas demargem" para manter o controle de qual classe (s) a v foi anexado quando foi introduzido. As regras paratraduzir a partir de equações com v está de volta às declarações particulares nunca foram claramenteformulada. Por exemplo, no Capítulo XV vêse uma derivação de x = v v ' y que é então traduzido comoAlgum X é Y . Mas ele não tinha regras para quando um produto de v 's carrega a importação de "alguns".Tais problemas desvirtuar o sistema de Boole; suas explicações deixar dúvidas a respeito de que osprocedimentos são legítimos em seu sistema quando se trata de declarações particulares.

Há um ponto em que mesmo Hailperin não foi fiel à obra de Boole, ou seja, ele usou semântica moderna ,onde os símbolos simples x , y , etc., pode consultar a classe vazia, bem como a uma classe nãovazia. Comsemântica moderna não se pode ter a Conversão por limitação que detinha na lógica aristotélica: a partir deAll X é Y segue Alguns Y é X . Em sua Lógica Formal de 1847, De Morgan apontou que todos osescritores sobre a lógica tinha assumido que as classes referidas em uma proposição categórica foram nãovazia. Esta restrição dos símbolos de classe para as classes nãovazias, e duplamente para as classes nãouniverso, será chamado semântica aristotélicos . Boole evidentemente havia seguido essa convençãoaristotélica, porque ele derivou todos os resultados aristotélicos, como a conversão por limitação. Ainterpretação adequada (fiel ao trabalho de Boole) do sistema de Boole requer semântica aristotélicas paraos símbolos de classe x , y , z , ...; Infelizmente, parece que a literatura publicada sobre o sistema de Boolenão foi capaz de notar isso.

6. Métodos de Boole

Enquanto estiver lendo esta seção, sobre os detalhes técnicos dos métodos de Boole, o leitor pode acharque é útil consultar o

suplemento de exemplos de dois livros de Boole.

Estes exemplos foram aumentados com comentários explicando, em cada passo de uma derivação de Boole,que aspecto de seus métodos está sendo empregado.

6.1 Os três métodos de Análise argumento usado por Boole na LT

Boole utilizados três métodos para analisar os argumentos em LT :

(1) O primeiro foi o puramente manipulações algébricas ad hoc que foram utilizados (em conjunto com umaversão fraca da Eliminação Teorema) sobre os argumentos aristotélicos em MAL .

(2) Em segundo lugar, na seção 15 do capítulo II da LT , encontrase o método que, neste artigo, é chamadade Regra de 0 e 1.

Os teoremas da LT se combinam para produzir o resultado mestre,

(3) Método Geral de Boole (neste artigo será sempre a que se refere ao uso de letras maiúsculas primeiroBoole apenas o chamou de "um método").

Ao aplicar o método ad hoc, ele usou partes da álgebra comum juntamente com o idempotent lei x 2 = xpara manipular equações. Não houve procedimento préestabelecido para seguirsucesso com este métododependia habilidades intuitivas desenvolvidos através da experiência.

http://plato.stanford.edu/entries/boole/examples.html



O segundo método, o Estado de 0 e 1, é muito poderoso, mas isso depende do que está sendo dado umconjunto de equações premissa e uma equação de conclusão. É uma tabela de verdade como método (masBoole nunca desenhou uma mesa na aplicação do método) para determinar se o argumento está correto.Boole apenas utilizado este método para estabelecer os teoremas que justificaram sua Vulgarmente, mesmoque ele é uma excelente ferramenta para os argumentos simples como silogismos. A Regra de 0 e 1 é umafigura um tanto sombria em LT ele não tem nome, e nunca é referido por seção ou número da página. Aversão precisa da Regra de Boole de 0 e 1 que produz resultados de Boole é dada em Burris eSankappanavar de 2013.

O terceiro método para analisar argumentos foi o destaque do trabalho de Boole na lógica, seu MétodoGeral (discutida imediatamente após isso). Este é o que ele usou para todos, mas os exemplos mais simplesda LT ; para os exemplos mais simples, ele recorreu ao primeiro método de técnicas algébricas ad hoc,porque, por um especialista na manipulações algébricas, usálos é, geralmente, muito mais eficiente do quepassar pelo processo geral.

A versão final (a partir de LT ) de seu método geral de análise de argumentos é, sumariamente, a:

(1) converter (ou traduzir) as proposições em equações,

(2) aplicar uma sequência prescrita de processos algébricos das equações, processos que rendimentodesejado equações conclusão, e, em seguida,

(3) converter as conclusões equacionais em conclusões proposicional, rendendo as consequências desejadasda coleção original de proposições.

Com este método Boole tinha substituído a arte de raciocinar a partir de proposições premissa paraproposições de conclusão por um procedimento algébrico mecânica de rotina.

Em LT Boole dividido proposições em dois tipos, primário e secundário. Estes correspondem a, mas nãosão exatamente o mesmo que, a divisão aristotélica em proposições categóricas e hipotéticas. Primeirovamos discutir o seu Método Geral aplicada a proposições primárias.

6.2. Método Geral de Boole para Primários Proposições

Boole reconheceu três formas de proposições primárias:

Todos X é YTodos os X é tudo YAlguns X é Y

Estes eram a sua versão das proposições categóricas aristotélicas, onde X é o termo sujeito e Y o termopredicado. Os termos X e Y pode ser nomes complexos, por exemplo, X pode ser X 1 ou X 2 .

PASSO 1: Os nomes são convertidos em termos algébricos como se segue:

Condições MAL LT

universo 1 p. 15 1 p. 48

classe vazia 0 p. 47

Não X 1 x p. 20 1 x p. 48



X e Y x y p. 16 x y p. 28

X ou Y (inclusive)x + y (1 x )

x y + x (1 y ) + y (1 x )p. 56

X ou Y (exclusive) x (1 y ) + y (1 x ) p. 56

Vamos chamar as letras x , y , ... símbolos de classe (como observado anteriormente, a álgebra de 1800não usar a palavra variáveis ).

PASSO 2: Ter nomes convertidos para os termos em termos algébricos, um em seguida, converte asproposições em equações, utilizando a seguinte:

Proposições primárias MAL (1847) LT (1854)

Todos X é Y x (1 y ) = 0 p. 26 x = v y p. 64, 152

N X é Y x y = 0 (Não primária)

Todos os X é tudo Y (Não primária) x = y

Alguns X é Y v = x y v x = v y

Alguns X não é Y v = x (1 y ) (Não primária)

Boole usou as quatro proposições categóricas como suas formas primárias em 1847, mas em 1854 eleeliminou as formas proposicionais negativos, observando que se poderia alterar "não Y "para" não Y ".Assim, em 1854, ele iria expressar "Não X é Y "por" All X não é Y ", com a tradução

x (1 (1 y )) = 0,

o que simplifica a x y = 0.

PASSO 3: Após a conversão das instalações em forma algébrica tem um conjunto de equações, dizem

p 1 = q 1 , p 2 = q 2 , ..., p n = q n .

Expresse estes como equações com 0, no lado direito, isto é, como

r 1 = 0, r 2 = 0, ..., r n = 0,

com

r 1 : = p 1 q 1 , r 2 : = p 2 q 2 , ..., r n : = p n q n .

PASSO 4: (redução) [ LT (. p 121)]



Reduzir o sistema de equações

r 1 = 0, r 2 = 0, ..., r n = 0,

a uma única equação r = 0. Boole tinha três métodos diferentes para fazer isso, ele parecia ter umapreferência por soma dos quadrados:

r : = r 1 2 + · · · + r n 2 = 0.

Etapas 1 a 4 são obrigatórias no Método Geral de Boole. Depois de executar essas etapas, há várias opçõespara continuar, dependendo do objetivo.

PASSO 5: (eliminação) [ LT (. p 101)]

Suponha que um quer a conclusão equational mais geral derivada de r = 0, que envolve alguns, mas nãotodos, dos símbolos de classe na r . Então se quer eliminar certos símbolos. Suponha r envolve os símbolosde classe

x 1 , ..., x j e y 1 , ..., y k .

Em seguida podese escrever r como r ( x 1 , ..., x j , y 1 , ..., y k ).

Procedimento de Boole para eliminar os símbolos x 1 , ..., x j de

r ( x 1 , ..., x j , y 1 , ..., y k ) = 0

para se obter

s ( y 1 , ..., y k ) = 0

foi como se segue:

1. Forma possíveis todas as expressões de r ( um 1 , ..., um j , y 1 , ..., y k onde) um 1 , ..., um j são cadaum 0 ou 1, então

2. multiplicar todas estas expressões em conjunto para obter s ( y 1 , ..., y k ).

Por exemplo, eliminando x 1 , x 2 de

r ( x 1 , x 2 , y ) = 0

dá

s ( y ) = 0

onde

s ( y ): = r (0, 0, y ) · r (0, 1, y ) · r (1, 0, y ) · r (1, 1, y ).

Passo 6: (desenvolvimento, ou expansão) [ MAL (pp 60.), LT (pp 72, 73).]



Dado uma duração de, digamos, r ( x 1 , ..., x j , y 1 , ..., y k ), podese expandir o termo diz respeito a umsubconjunto de símbolos de classe. Para expandir em relação a x 1 , ..., x j dá

r = soma dos termos

r ( um 1 , ..., um j , y 1 , ..., y k ) · C ( um 1 , x 1 ) · · · C ( um j , x j ),

onde um 1 , ..., um j faixa sobre todas as sequências de 0 e 1 de comprimento j , e em que o C ( um i , x i )são definidas por:

C (1, x i ): = x i , e C (0, x i ): = 1 x i .

Boole disse que os produtos:

C ( um 1 , x 1 ) · · · C ( um j , x j )

foram os constituintes de x 1 , ..., x j . Há 2 j constituintes diferentes para j símbolos. As regiões de umdiagrama de Venn dão uma maneira popular para visualizar constituintes.

Passo 7: (DIVISÃO: a solução para um símbolo de classe) [ MAL (. p 73), LT (pp 86, 87).]]

Dada uma equação r = 0, suponhamos que se deseja resolver esta equação para um dos símbolos declasse, digamos x , em termos de os outros símbolos de classe, dizem que são y 1 , ..., y k . Para resolver:

r ( x , y 1 , ..., y k ) = 0

para x , primeiro vamos:

N ( y 1 , ..., y k ) = r (0, y 1 , ..., y k )

D ( y 1 , ..., y k ) = r (1, y 1 , ..., y k ) r (0, y 1 , ..., y k ).

Então:

x = s ( y 1 , ..., y k ) (*)

onde s ( y 1 , ..., y k ) é:

(1) a soma de todos os constituintes

C ( um 1 , y 1 ) · · · C ( um k , y k ),

onde a 1 , ..., a k faixa sobre todas as seqüências de 0s e 1s para que:

N ( um 1 , ..., um k ) = D ( um 1 , ..., um k ) ≠ 0,

mais

(2) a soma de todos os termos do formulário



V a 1 ... um k · C ( a 1 , y 1 ) · · · C ( um k , y k )

para as quais:

N ( um 1 , ..., um k ) = D ( um 1 , ..., um k ) = 0.

O V a 1 ... um k são parâmetros, denotando as classes arbitrárias (semelhante ao que se vê no estudo deequações diferenciais lineares, um assunto em que Boole era um especialista).

Para a equação (*) para x contíguo os lateraiscondições (que chamaremos de equações constituintes )

C ( um 1 , y 1 ) · · · C ( um k , y k ) = 0

sempre que

D ( um 1 , ..., um k ) ≠ N ( um 1 , ..., um k ) ≠ 0.

Notese que um é para avaliar os termos:

D ( um 1 , ..., um k ) e N ( um 1 , ..., um k )

usando a aritmética comum. Assim, resolver uma equação r = 0 para um símbolo de classe x dá umaequação

x = s ( y 1 , ..., y k ),

talvez com equações constituintes lateralcondição.

PASSO 8: (interpretação) [ MAL pp. 6465, LT (Cap. VI, esp. pp. 8283)]

Suponhamos que a equação r ( y 1 , ..., y k ) = 0 foi obtido pelo método de Boole de uma dada colecção deequações premissa. Em seguida, esta equação é equivalente ao conjunto de equações constitutivas

C ( um 1 , y 1 ) · · · C ( um k , y k ) = 0

para que r ( um 1 , ..., um k ) não é 0. Uma equação constituinte meramente afirma que uma certaintersecção das classes originais e seus complementos está vazio. Por exemplo,

y 1 (1 y 2 ) (1 y 3 ) = 0

expressa a proposição "Todos Y 1 é Y 2 ou Y 3 ", ou equivalentemente," All Y 1 e não Y 2 é Y 3 . "É rotinapara converter equações constituintes em proposições.

6.3. Método Geral de Boole para Proposições secundárias

Proposições secundários foram a versão de Boole das proposições que se encontra no estudo de silogismoshipotéticos na lógica aristotélica, afirmações como "Se X ou Y , então Z ". Os símbolos X , Y , Z , etc. dasproposições secundárias não se referiu às aulas , mas sim que eles referidos (primárias) proposições. Emsintonia com a natureza incompleta do tratamento aristotélico de proposições hipotéticas, Boole não dar umadescrição precisa de formas possíveis para suas proposições secundárias.



A chave (mas não é original) de que Boole utilizado foi simplesmente que se pode converter proposiçõessecundárias em proposições primárias. Em MAL ele adotou a convenção encontrado em Whately (1826),que recebem um símbolo proposicional X , o símbolo x irá indicar "os casos em que X é verdadeiro ",enquanto que em LT Boole deixe x denote "os tempos para o qual X é verdadeiro ". Com isso, a proposiçãosecundário "Se X ou Y , então Z "tornase simplesmente" Todos os x ou y é z ". A equação x = 1 é atradução equational de " X é verdadeiro "(em todos os casos, ou para todos os tempos), e x = 0 diz que " Xé falsa "(em todos os casos, ou para todos os tempos).

Com este esquema de tradução, é evidente que o tratamento de Boole de proposições secundárias podemser analisadas pelos métodos que ele havia desenvolvido para proposições primárias. Esta foi a lógicaproposicional de Boole.

Boole trabalhou apenas com proposições aristotélicas em MAL , usando a divisão tradicional em categoricalse hipóteses. Não se consideram " X e Y "," X ou Y ", etc., em proposições categoriais, apenas emproposições hipotéticas. Em LT esta divisão foi substituído pelo semelhante, mas mais geral primária contra aclassificação secundária, onde era permitido o sujeito eo predicado se tornar nomes complexos, bem como onúmero de proposições em um argumento tornouse sem restrições. Com isso, os paralelos entre a lógicadas proposições primárias e secundárias de proposições que ficou claro, com uma diferença notável, ou seja,parece que as proposições secundárias sempre se traduz em proposições primária universal.

Proposições secundárias MAL (1847) LT (1854)

X é verdadeiro x = 1 p. 51 x = 1 p. 172

X é falsa x = 0 " x = 0 "

X e Y x y = 1 " x y = 1 "

X ou Y (inclusive) x + y x y = 1 p. 52

X ou Y (exclusive) x 2 x y + y = 1 p. 53 x (1 y ) + y (1 x ) = 1 p. 173

Se X , então Y x (1 y ) = 0 p. 54 x = v y p. 173

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Ferramentas Acadêmicos

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Entradas Relacionadas

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