Post on 25-Jul-2015
Inequações do Primeiro Grau
Quando comparamos dois números reais a e b , somente uma das três afirmações é verdadeira: a < b ou a = b ou a > b Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade. Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas ver dadeiras: 4 é menor que 7 4 < 7 32 é maior que 11 32 > 11 - 12 é menor que 0 - 12 < 0 7/2 é maior que 2/3 7/2 > 2/3 Vejamos agora algumas sentenças abertas representad as por desigualdades:
O dobro de um número é maior que 8 2x > 8
O consecutivo do triplo de um número é menor que m enos 14 3x + 1 < - 14
A metade do triplo de um número não é maior que 5
Se o número não é maior que cinco, ele pode se r menor ou igual a cinco
O quádruplo de um número adicionado a sua metade n ão é menor que 0
Se a expressão não é menor que zero, ela pode ser maior ou igual a zero A essas sentenças abertas denominamos
Inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas expressões algébricas.
A letra x em cada uma das desigualdades é denominada incógnita ou variável e cada expressão algébrica são os membros da inequação . O membro à direita é o 1º membro e a expressão si tuada à esquerda é o 2º membro da inequação. Todas as quatro inequações apresentadas são Inequações do primeiro grau , já que o grau da variável x é 1.
Solução de uma Inequação
Consideremos, como exemplo, a inequação Se a expressão 3x + 7 precisa ser maior que 16 3x precisa ser maior que 9. E dessa forma, x preci sa ser maior que 3. Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjun to dos naturais ou o conjunto dos números inteiros, x poderá ser qualquer inteiro maior que 3. { 4; 5; 6; 7; ... }
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjun to dos números racionais, x poderá ser qualquer racional maior que 3.
{ 3,01; ... 3,012;..., 3,333...;.... 4;... 4, 3; . ... } Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjun to dos números reais, x poderá ser qualquer real ma ior que 3.
{ 3,01; ... 3,011 ;... 4;... ; ...7, 81; ... }
Sentido de uma Inequação
As inequações: 5x + 7 > 3 e 2 + 5x > 0 têm o mesmo sentido , pois possuem o mesmo sinal de desigualdade .
As inequações: 2x - 7 < - 2 e 4x < 7 têm o mesmo sentido , pois possuem o mesmo sinal de desigualdade .
As inequações: x + 11 > 1 e 1 - 7x < 1 têm sentidos contrários , pois possuem sinais diferentes de desigualdade .
As inequações: 8 - x < - 3x e 6x > 11 têm sentidos contrários , pois possuem sinais diferentes de desigualdade .
Propriedades das Desigualdades
Propriedade I - Uma desigualdade não se altera que quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número a
ambos de seus membros.
Consideremos a desigualdade 7 > 4. Se adicionarmos 3 unidades a cada membro, teremos : 7 + 3 > 4 + 3 10 > 7 Se diminuirmos 4 unidades de cada membro, teremos : 7 - 4 > 4 - 4 3 > 0 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo s entido. Consideremos a desigualdade - 5 < 2. Se adicionarmos 1 unidade a cada membro, teremos : - 5 + 1 < 2 + 1 - 4 < 3 Se diminuirmos 2 unidades de cada membro, teremos : - 5 - 2 < 2 - 2 - 7 < 0 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo s entido.
Propriedade II - Uma desigualdade não se altera que quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros
por um mesmo número positivo.
Consideremos a desigualdade 6 > 4. Se multiplicarmos cada membro por 8, teremos : 6 x 8 > 4 x 8 48 > 32 Se dividirmos cada membro por 2, teremos : 6 : 2 > 4 : 2 3 > 2 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo s entido. Consideremos a desigualdade - 8 < 10. Se multiplicarmos cada membro por 3, teremos : - 8 x 3 < 10 x 3 - 24 < 30 Se dividirmos cada membro por 4, teremos : - 8 : 4 < 10 : 4 - 2 < 2,5 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo s entido.
Propriedade III - Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros
por um mesmo número negativo.
Consideremos a desigualdade 12 > 5. Se multiplicarmos cada membro por - 7 , teremos : 1 2 x (- 7) > 5 x (- 7) - 84 < - 35 Se dividirmos cada membro por - 2, teremos : 12 : (- 2) > 5 : (- 2) - 6 < - 2,5 Em ambos os casos as desigualdades mudaram de senti do. Consideremos a desigualdade - 4 < 12. Se multiplicarmos cada membro por - 2, teremos : - 4 x ( - 2 ) < 12 x ( - 2 ) 8 > - 24 Se dividirmos cada membro por - 1 , teremos : - 4 : ( - 1 ) < 10 : ( - 1 ) 4 > - 10 Em ambos os casos as desigualdades mudaram de senti do.
Resolução de uma Inequação do Primeiro Grau.
Sistemas de Inequações do Primeiro Grau
Respostas dos Exercícios Propostos
Inequações do Primeiro Grau
Inequações Fracionárias do Primeiro Grau
Uma inequação do primeiro grau é fracionária quando possuir incógnita em denominador. Sua resolução se rá feita de forma bastante diferenciada de uma equação fracionária do primeiro grau. Para resolvê-la precisamos analisar os sinai s da fração algébrica resultante. 1º Caso : O numerador é um número real qualquer e o denomina dor é uma expressão ou ( função ) do primeiro grau :
Montando o Quadro de Sinais
Na primeira linha analisaremos a variação de sin ais da função numerador, na segunda linha analisare mos a variação de sinais da função denominador e na terceira linha apresenta remos a variação de sinais do quociente resultante. No alto do quadro teremos as raízes da expressão algébrica numerador ( fun ção numerador ) e da expressão algébrica denominad or ( função denominador ), escritas como numa reta de números reais. E montando o quadro, teremos: