Matemática Aplicada

UNIDADE II

RESUMO DE APOSTILA

Educação a Distância – EaD

Professor: Flávio Brustoloni

Matemática Aplicada

Cronograma: Turma ADG 0096

Matemática Aplicada

Data Atividade

20/122º Encontro

1ª Avaliação Disciplina

13/12 1º Encontro

24/013º Encontro

2ª Avaliação Disciplina

31/014º Encontro

3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

Unidade 2

A TEORIA DOS JOGOS

Objetivos da Unidade:

• Compreender os conceitos e definições da teoria dos jogos, conhecer os tipos de jogos, suas operações e suas aplicações;

• Resolver problemas do cotidiano envolvendo a teoria dos jogos;

• Aplicar o conceito da teoria dos jogos em problemas do cotidiano.

Conceitos e Definições sobre a Teoria dos Jogos

Tópico 1

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1 Introdução

A teoria dos jogos representa um método para ampliar os dados necessários para uma tomada de decisão. Historicamente,

a teoria dos jogos vem evoluindo e modelos de jogos são aplicados em Administração, Ciências Políticas, Estratégias Militares, Economia,

Engenharia e outras áreas de atuação do homem.

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Tópico 1

Unid. 1

35

2 Conceitos Básicos

O que é um jogo?

“Um jogo seria uma representação formal que permitiria a análise de

situações em que agentes interagem entre si, agindo racionalmente”.

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Tópico 1

Unid. 1

37

2 Conceitos Básicos

* Interações: são situações entre vários agentes dentro de uma

determinada situação. Por exemplo, vários vendedores de

eletrodomésticos têm várias estratégias de vendas para atingirem

suas metas.

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Tópico 1

Unid. 1

37

2 Conceitos Básicos

* Agentes: um agente é qualquer pessoa que participa do jogo, portanto

tem tomada de decisão. Um agente não pode estar ao mesmo tempo nos

dois lados do jogo.

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Tópico 1

Unid. 1

37

2 Conceitos Básicos

* Racionalidade: os agentes são racionais quando empregam os

métodos adequados aos objetivos que almejam, sejam quais forem estes objetivos. Podemos afirmar que a

racionalidade é fundamental para a melhor compreensão das regras e dos

limites da teoria dos jogos.

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Tópico 1

Unid. 1

37

2 Conceitos Básicos

* Comportamento Estratégico: partindo-se do princípio de que todos

os jogadores usam estratégias diferentes entre si, a utilização da

racionalidade e do poder de decisão de cada jogador terá influências

decisivas nos resultados dos jogos entre empresas ou instituições.

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Tópico 1

Unid. 1

38

2 Conceitos BásicosUm exemplo de jogo em Administração:

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Tópico 1

Unid. 1

38

Uma montadora de automóveis está decidindo se reduz o preço de seu modelo de carro com menores vendas. Como em geral há poucas montadoras de automóveis com

participação significativa no mercado, isso significa que sua decisão terá consequências sobre as vendas das empresas que produzem

modelos concorrentes ao seu.

2 Conceitos Básicos

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Tópico 1

Unid. 1

38

Ela deverá levar isso em consideração, pois sua decisão de reduzir o preço de seu modelo

poderá levar as empresas competidoras a também reduzirem seus preços. Por outro lado,

as outras empresas devem considerar a possibilidade e a empresa em questão reduzir o preço de seu modelo cujas vendas não vão

bem, ao definirem os preços de seus modelos.

Modelando um Jogo

Tópico 2

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2 Modelando um Jogo

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Tópico 2

Unid. 1

43

A lógica do processo inicia-se com o conceito de modelo.

Entendemos como modelos determinísticos os modelos sem incerteza. Aqueles em que há trabalhos com causa e

efeito conhecendo as variáveis. Já os probabilísticos envolvem as tendências,

estimativas ou probabilidades que decorrem da Estatística.

2 Modelando um Jogo

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Tópico 2

Unid. 1

44

Num jogo, sempre temos que ter estratégia e rever posições para tomar

a decisão correta. Para obtermos o melhor resultado possível, devemos

sempre interagir com os demais jogadores para não sermos

surpreendidos.

2 Modelando um Jogo

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Tópico 2

Unid. 1

44

Temos uma preciosa informação sobre as regras do jogo: “você pode mudar as

regras do jogo. Mas lembre-se: as outras pessoas também podem mudar as regras, não presuma que as suas

regras prevalecerão sempre”.

2 Modelando um Jogo

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Tópico 2

Unid. 1

44

Duas lojas A e B baixam seus preços abaixo do ponto de equilíbrio a atuam na

faixa de prejuízo (as duas lojas). Está estabelecido o paradigma perde-perde,

pois as duas perderão nesta promoção. No entanto, a falta de habilidade na

negociação pode prejudicar a continuidade dos negócios no futuro. O objetivo de

qualquer negócio é o lucro e não o prejuízo.

O Jogo e suas Variáveis

Tópico 3

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2 Introdução à Probabilidade

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Tópico 3

Unid. 1

51

Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo

repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados

imprevisíveis.Ex.: Analisar a duração de vida de

uma lâmpada.

2 Introdução à Probabilidade

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Tópico 3

Unid. 1

52

Para cada experimento aleatório E, definimos o espaço amostral S, o

conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.

Evento é o conjunto de resultados de um experimento. Em particular, é um subconjunto do espaço amostral S. É representado por letras maiúsculas do

nosso alfabeto.

2 Introdução à Probabilidade

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Tópico 3

Unid. 1

52

A probabilidade P de um acontecimento A, é igual ao quociente

entre o número de casos deste acontecimento n (A) e o universo

total de casos possíveis n (T).

P = n(A) / n(T)

3 Leis da Probabilidade

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Tópico 3

Unid. 1

52

Há duas categorias de combinação:

• “ambos” implica P(A e B) P (A,B) (multiplicação)

• “um ou outro” implica P(A ou B) P (A + B) (adição)

3 Leis da Probabilidade

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Tópico 3

Unid. 1

52

Entendemos por probabilidade a razão entre o número possível de

possibilidades de um fato acontecer (nA) e o número total de

possibilidades (nT).

P = n(A) / n(T)

3 Leis da ProbabilidadeExemplos

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Tópico 3

Unid. 1

52

1) Uma caixa contém 8 parafusos dos quais 3 são defeituosos. Retirado um parafuso, qual a probabilidade do mesmo:

a) ser defeituoso? P = 3/8 = 0,375 (37,5%)b) não ser defeituoso? P = 5/8 = 0,625 (62,5%)

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Tópico 3

Unid. 1

53

2) Uma caixa contém 9 fichas, sendo 5 delas do tipo A. Retirada uma ficha, qual a probabilidade desta:

a) ser do tipo A? P = 5/9 = 0,555 (55,5%)b) não ser do tipo A? P = 4/9 = 0,444 (44,4%)

3 Leis da ProbabilidadeExemplos

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Tópico 3

Unid. 1

53

3) Numa empresa há 6 contadores, 8 engenheiros e 6 administradores.

Fazendo-se um par de profissionais, qual a probabilidade de:

3 Leis da ProbabilidadeExemplos

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Tópico 3

Unid. 1

53

a) Ambos serem engenheiros?

3 Leis da ProbabilidadeExemplos

p (E,E) = 8 / 20 . 7/19 = 56/380 = 0,147 (14,7%)

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Tópico 3

Unid. 1

53

b) Um ser contador e outro administrador?

3 Leis da ProbabilidadeExemplos

p (C,A) = 6 / 20 . 6 / 19 = 36/380 = 0,094 (9,4%)

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Tópico 3

Unid. 1

53

c) Um ser contador e outro engenheiro?

3 Leis da ProbabilidadeExemplos

p (C,A) = 6 / 20 . 8 / 19 = 48/380 = 0,126 (12,6%)

4 Variáveis Aleatórias Discretas

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Tópico 3

Unid. 1

54

Suponha que as notas obtidas em um exame com a participação de 10 pessoas

foram:

50, 60, 60, 70, 70, 90, 100, 100, 100, 100

4 Variáveis Aleatórias Discretas

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Tópico 3

Unid. 1

54

Primeiro vamos calcular a média das notas:

Média = (50.1 + 60.2 + 70.2 + 90.1 + 100.4)/10Média = 800/10 = 80 = E(x)

4 Variáveis Aleatórias Discretas

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Tópico 3

Unid. 1

54

De forma similar, definimos a variância de uma tabela de probabilidades como sendo a soma

ponderada dos quadrados das diferenças entre cada resultado e o valor esperado (média). Isto é, se m denota o valor esperado, então para se ter

uma ideia de como as notas se distribuem, podemos calcular a diferença entre cada nota e a

média das notas.

4 Variáveis Aleatórias Discretas

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Tópico 3

Unid. 1

54

50 – 80 = (-30) | 60 – 80 = (-20) | 70 – 80 = (-10) | 100 – 80 = 20

Portanto a variância será:

[(-30)2.1 + (-20)2.2 + (-10)2.2 + (10)2.1 + (20)2.4] / 10 = 320

A raiz quadrada da variância será o desvio padrão da distribuição de notas:

Desvio padrão = √320 = 17,89

4 Variáveis Aleatórias Discretas

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Tópico 3

Unid. 1

55

Exemplo1: Uma possível aposta no jogo de roleta consiste em apostar U$ 1 no “vermelho”. Os dois possíveis resultados são: “perde U$ 1”

e “ganha U$ 1”. Estes são os resultados e suas probabilidades. (Observação: uma roleta em Las Vegas tem 18 números vermelhos, 18

números pretos e dois números verdes). Calcule o valor esperado e a variância do

“ganho”.

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Tópico 3

Unid. 1

55Roleta em Las Vegas

4 Variáveis Aleatórias Discretas

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Tópico 3

Unid. 1

55

E(x) = (-1) .20 / 38 + 1. 18/38 = -0,0526

1ª Possibilidade: Perder 20 (18 pretos + 2 verdes) sobre total (38 posições)

Apostar U$ 1 no vermelho.

2ª Possibilidade: Ganhar 18 (18 vermelhos) sobre total (38 posições)

Conclusão: poderemos ganhar e perder nas apostas, mas a longo prazo perderemos 0,0526 de dólar a cada aposta.

4 Variáveis Aleatórias Discretas4.1 As Partes da Estratégia

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Tópico 3

Unid. 1

62

Como mudar o jogo? As maiores oportunidades e os maiores ganhos reais

ocorrem quando se joga o jogo certo.As partes, não se separam do todo. Quando o

autor fala em partes, está falando em interações, agentes, racionalidade,

comportamento estratégico entre outros elementos que compõem um jogo.

4 Variáveis Aleatórias Discretas4.1 As Partes da Estratégia

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Tópico 3

Unid. 1

63

Exemplo: “Trazendo fregueses”:

1. Eduque o mercado.2. Pague os fregueses para jogarem.3. Subsidie alguns fregueses, e outros fregueses pagantes se seguirão.4. Experimente você mesmo. Torne-se seu próprio freguês a fim de expandir o mercado, garantir a demanda e alcançar a escala.”

4 Variáveis Aleatórias Discretas4.1 As Partes da Estratégia

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Tópico 3

Unid. 1

63

Exemplo: “Trazendo fornecedores”:

1. Pague-os para jogarem.2. Forme uma coligação de compra para tornar-se um comprador maior.3. Experimente você mesmo: torne-se seu próprio fornecedor para garantir o suprimento e ficar mais competitivo.

Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

PRÓXIMA AULA:

Matemática Aplicada

3º Encontro da Disciplina2ª Avaliação da Disciplina

(10 Questões objetivas – SEM CONSULTA)