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8/14/2019 Matemtica - Apostila lgebra - Teoria dos Conjuntos
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Teoria dos conjuntos 1
Teoria dos conjuntos
O que so Conjuntos?
Conjunto qualquer coleo de objetos. Os objetos so os elementos do conjunto e dizemosque pertencem ao mesmo. Como exemplo de conjunto podemos citar o Campeonato Brasileirode Futebol, onde seus elementos so os times e que Corinthians, Flamengo e Grmio pertencema esse conjunto. Outro exemplo de conjunto o conjunto dos nmeros mltiplos de 5 (25, 125,625, etc).
Por qu estudamos os conjuntos em Matemtica?
Os Conjuntos fornecem um padro de linguagem para a Matemtica. Quando determinamos ospossveis resultados de uma inequao, a teoria dos conjuntos nos permite compreendermos deforma simples e rpida os valores que nos interessam. Outra aplicao muito importante dosconjuntos na Estatstica, onde o estudo sobre um conjunto de dados coletados permitetomarmos decises quanto a acontecimentos futuros.
Relaes nos conjuntos
Sejam os conjuntos:a c d
A d B d C f b e f e
e
Matematicamente eles ficam da seguinte forma:A={a, b, c, d, e}
B={d, e, f}C={d, e, f}
Dizemos que:
apertence ao conjunto A. Matematicamente:a ADo mesmo modo:
f B(l-se fno pertence ao conjunto A).
Quando o conjunto possui infinitos valores, como o conjunto dos nmeros pares, utilizamosmatematicamente:
P={x | x par}(l-se P o conjunto dos x tal que x par).
Para que um conjunto seja igual a outro, todos os elementos do primeiro devem ser iguais aosdo segundo. Caso um ou mais dos elementos no seja igual, os conjuntos so diferentes. Assim,no nosso exemplo:
B = CA B
Diz-se conjunto-universo ao conjunto do qual se faz o estudo. Se estivermos analisando oconjunto de crianas que passam fome, seu conjunto-universo poder ser o Brasil, a frica, acidade de So Paulo, etc.Diz-se ainda conjunto unitrio o conjunto formado por apenas um elemento, e conjunto vazioo formado pornenhum elemento. Matematicamente,
D={2} conjunto unitrioT= ou T={ } conjunto vazio
Preste ateno: no se representa o conjunto vazio como A={}; errado.
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NP={0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...} n N (nmeros naturais positivos)NI={1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ...} n N (nmeros naturais mpares)P={2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} (nmeros primos)Operaes em N:Adio: n, m N n+m N
Multiplicao:
n, mN
n.mN(disso resulta que N fechado em relao adio e multiplicao).
Nmeros Inteiros ZResultam da adio do conjunto dos nmeros menores que zero. So representados por:
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Subconjuntos de Z:Z*={..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} Z*=Z {0}Z+={0, 1, 2, 3, ...} (inteiros no negativos) Z+=NZ+*={1, 2, 3, 4, ...} (inteiros positivos)Z-={-3, -2, -1, 0} (inteiros no positivos)Z-*={-3, -2, -1} (inteiros negativos)Operaes em Z:
Z fechado em relao adio, multiplicao e subtrao.Diz-se que dois nmeros opostos ou simtricos entre si quando eles possurem mesma distnciada origem:
2 e 2 so opostos entre si.Chama-se mdulo de um nmero a distncia, em unidades, da origem.Por exemplo:| 2 | = 2| -2 | = 2
Nmeros Racionais QEnglobam os nmeros resultantes da operao de diviso de inteiros. So representados por Q:
= ,...2
5,2,1,
4
3,
2
1,0,
4
1,1,
2
3,2,3...,Q
Genericamente,
= *ZqeZp|q
pQ
O conjunto Q fechado para as operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso.Forma decimal:
1,0101 = , 5,1
23 = , 3,0...333,0
31 == , 450,0...0454545,0
221 == (os dois ltimos so
chamados dzima peridica, pois so uma diviso cujo quociente possui infinitas casasdecimais).Como atingir a forma fracionria (frao geratriz) de um nmero decimal?
No peridicos:
25
19
4:100
4:76
100
7676,0 ===
Peridicos:
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22
1
990
455,499
...0454545,0...54545,4100
...5454545,4100
...0454545,0
:450,0
==
=
=
=
=
x
x
xx
x
x
Nmeros Irracionais ISo nmeros cujas casas aps a vrgula tendem ao infinito sem periodicidade:
...1,414213562 = , ..3,1415926.= Os nmeros racionais no esto contidos nos nmeros irracionais.
Nmeros Reais R a reunio do conjunto dos racionais com os irracionais.
= ,...,3,2,3,2
3
,1,0,3
1
,1,2,2,2
5
,3...,R
{ }{ }{ }
{ }{ }0|R*R
0|R*R
0|RR
0|RR
0RR*
=
=
=
=
+
+
xx
xx
xx
xx
Obs.: vale para os racionais, irracionais e, conseqentemente, para os reais, os conceitos denmeros opostos entre si e mdulo.Intervalos reais
So conjuntos que representam intervalos de nmeros reais:Exemplos:
{ }ba|RA = xx = [a,b] A .
{ }ba|RB