Post on 11-Feb-2018
Profª Msc. Débora de Oliveira Bastos
IFRS – Campus Rio Grande
FURG
MATEMÁTICA I – CÁLCULO I
para Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização.
2 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
IFRS – Campus Rio Grande
DISCIPLINA CARÁTER CÓDIGO
MATEMÁTICA I obrig 11
CRÉDITOS LOCALIZAÇÃO NO QSL CH TOTAL PRÉ-REQUISITOS EIXO DE FORMAÇÃO
05 1o período 75h Fundamentos
de Matemática
Fundamentos
EMENTA
Plano coordenado: Distância entre Pontos. Equação da Reta. Equação da
Circunferência, Trigonometria: Razões Trigonométricas no Triângulo
Retângulo, Identidades, Circulo Trigonométrico. Aplicações. Funções de
uma variável real Função Exponencial e Logaritmo. Limites: Definição e
Propriedades. Limites Algébricos, Trigonométricos e Transcendentes.
Derivada: definição Propriedades e Cálculo.
BIBLIOGRAFIA
1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P. e EDWARDS, Bruce H. Cálculo
com Aplicações. Editora LTC, 4. Ed.
2. HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um curso
moderno e suas aplicações. Editora LTC, 6. Ed.
3. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper
& Row do Brasil,1982.
Programa.
1. Sistemas de Coordenadas no Plano. Sistema de Coordenadas no Plano.
Representação de Pontos no Plano. Distância entre dois pontos no
Plano. Cálculo do Coeficiente Angular da Reta. Equação da Reta.
Posições relativas da reta no plano. Interseção de retas. Distância
de um Ponto a uma Reta. Distância entre Retas Paralelas. Equação de
Circunferência. Equação da Parábola. Equação da Elipse. Equação da
Hipérbole.
2. Funções. Definição. Domínio, Imagem e Gráfico. Funções Clássicas
nos Reais: Identidade, Linear, Quadrática, Valor Absoluto. Operações
Algébricas com Funções. Composição de Funções. Função Inversa. Função
Logaritmo e Exponencial. Funções Trigonométricas Inversas.
3. Limites. Ideia Intuitiva. Definição e Propriedades. Cálculo de
Limites Algébricos. Limites Trigonométricos. Limites ao Infinito.
Limites Transcendentes. Continuidade de Funções.
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4. Derivadas. Definição e Propriedades. Interpretação Geométrica.
Regras de Derivação. Derivação da Função Composta. Derivada das
Funções Trigonométricas. Derivada das Funções Inversas. Derivada das
Funções transcendentes. Derivadas de Ordem Superior.
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Unidade A Geometria Analítica Básica.
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Geometria Analítica
A Geometria analítica tem como objetivo estudar os entes geométricos,
mas com as facilidades da álgebra, possível através da análise de
equações. Estudaremos o ponto, a reta, o círculo, a parábola, a hipérbole
e a elipse, inseridos no sistema de referência de coordenadas clássico:
O plano cartesiano.
1. Plano Cartesiano
O plano cartesiano é composto por dois
eixos ortogonais, cuja intersecção é a
referência principal do sistema: a origem O
(0,0). As coordenadas dos pontos são
determinadas a partir do deslocamento, em
relação à origem, necessário até o ponto.
Cada ponto é localizado por duas
coordenadas.
P(xp, yp)
1ª coordenada – abscissa – x
2ª coordenada – ordenada - y
Os eixos dividem o plano cartesiano em
quatro partes, chamados quadrantes.
Orientados no sentido anti-horário como na
figura ao lado.
Deslocamento à esquerda da origem: x < 0.
Deslocamento à direita da origem: x > 0.
Deslocamento abaixo da origem: y < 0.
Deslocamento acima da origem: y > 0.
Ponto pertence ao eixo ox: y = 0. Veja ponto A na figura acima.
Ponto pertence ao eixo oy: x = 0. Veja ponto B na figura acima.
Exemplo: Representar os pontos, a seguir, no plano cartesiano: A(1,2),
B(2,1), C(3, 1), D(0,1), E(3,0), F(2,1), G(4,3), H(1,0) e I(0,5).
I Q II Q
III Q IV Q
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2. Distância entre dois pontos no plano.
Distância entre quaisquer dois objetos é a medida do menor caminho que
liga esses dois objetos. No caso dos objetos serem pontos, o menor
caminho entre eles é determinado por um segmento de reta.
Notação: d(A,B) Lê-se: Distância entre A e B.
Exemplo: Determinar a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5).
Para generalizar o processo, a fim de obter uma fórmula para a distância
entre dois pontos, analisaremos a seguinte situação hipotética:
Considerando dois pontos não
alinhados horizontalmente, nem
verticalmente, podemos obter um
triângulo retângulo, definido pelas
coordenadas de A e de B. Sempre
podemos determinar a medida dos
catetos:
Cateto horizontal: xb – xa.
Cateto vertical: yb – ya.
Assim pelo Teorema de Pitágoras:
d(A,B)² = (xb xa)²+ (yb ya)²
e portanto:
)²yy()²xx()B,A(dabab
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Exemplos: 1. Calcule a distância entre os pontos:
(a) A(1,2) e B(2,1).
(b) C(3,1) e D(0,1).
2. Qual é a medida do raio do círculo, cujo centro é o ponto C(3,1) e
passa pelo ponto P(4,2)?
2.1. Propriedades das distâncias.
i. d(A,B) > 0
ii. d(A,B) = d(B,A).
iii. d(A,B) = 0 A B iv. d(A,B) < d(A,C) + d(C,B)
Esta última propriedade é conhecida como Desigualdade
Triangular, pois se refere a existência de um triângulo
conhecidos as medidas de seus lados. Ilustrando a
propriedade iv: se fizermos o caminho direto de A até
B é sempre menor que chegar ao ponto B, passando por
outro ponto C.
Exemplo: Existe triângulo que tenhas lados 1, 2 e 5?
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3. Ponto médio de um segmento.
Se M é ponto médio do segmento AB,
então d(A,M)= d(M,B) e M AB.
Vemos facilmente que as coordenadas
do ponto médio do segmento AB, em
que A(1,3) e B(5,1) é M(3,2). O
intuito da Geometria Analítica é não
depender de esboços e gráficos.
Precisamos pensar genericamente para
definir uma fórmula que encontre as
coordenadas do ponto médio, conhecidas as coordenadas dos extremos.
Como xm deve ficar a mesma
distância de xa e xb esta
distância é 2
xxab
, mas essa
medida não é xm, pois a
abscissa do ponto M deve ser
considerada o deslocamento em
relação à origem, então
xm = xa + 2
xxab
=
2
xxx2aba
xm = 2
xxba
Analogamente, para obter a ordenada do ponto M, partimos da distância
de ym a yb, acrescentando a distância a yb.
2
yyy2
2
yyyy
babba
bm
2
yyba
2
yy,
2
xx M
baba
Exemplo: 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento A(3,1)
e B(5,3).
2. Determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M(2,1) é o ponto
médio do segmento AB, em que A(4,0).
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4. Estudo da Reta
Os pontos A (1,2), B(2,3) e C(4,5), pertencem a mesma reta?
Trace uma reta passando por A e B e C estará
nela. A questão é que não podemos nos basear
em gráficos, mesmo que bem feitos.
Devemos caracterizar a reta para afirmarmos
que A, B e C estão alinhados. Que condição
satisfazem?
Um conjunto de pontos pertence a uma mesma
reta se a taxa de variação x
y
entre dois
quaisquer de seus pontos é constante.
Taxa de variação entre A e B: 11
1
12
23
xx
yy
x
y
ab
ab
Taxa de variação entre B e C: 12
2
24
35
xx
yy
x
y
bc
bc
Taxa de variação entre A e C: 13
3
14
25
xx
yy
x
y
ac
ac
Concluímos o porquê dos pontos A, B e C estarem alinhados.
A taxa de variação x
y
de uma reta, como é constante, independe dos
pontos escolhidos e é chamada de coeficiente angular da reta. Observe a
figura abaixo:
Notação do coeficiente angular: a.
Sendo A(xa,ya) e B(xb, yb), temos:
a = x
y
ab
ab
xx
yya
Observe que AB é a hipotenusa de um
triângulo retângulo, tal que um dos ângulos
internos é .
y é o cateto oposto a .
x é o cateto adjacente a .
Portanto o coeficiente angular é: a = tan.
Em que é o ângulo formado entre a reta e o sentido positivo do eixo ox.
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Exemplos: 1. Determinar o coeficiente angular da reta que contém os
pontos A(3,1) e B(1,4).
2. Determinar o coeficiente angular da reta, cujo gráfico é:
5. Equações da Reta
Vamos estudar três tipos de equação de reta: Equação fundamental,
reduzida e geral.
a. Equação fundamental da reta.
Conhecidos dois pontos A(xa, ya) e
B(xb, yb) e considerando um ponto
P(x,y) que representará todos os
pontos alinhados com A e B, obteremos
uma equação que mostra como a
variável y se relaciona com a
variável x se P pertence à reta r.
Sabemos que a taxa de variação,
coeficiente angular, é constante para
quaisquer dois pontos da reta r.
Calculamos o coeficiente angular,
usando a taxa de variação entre A e B:
ab
ab
xx
yya
(1)
Por sua vez, a taxa de variação entre os pontos A e P fica:
a
a
xx
yya
(2)
Obteremos a equação fundamental da reta, pela expressão (2), a qual já
conhecemos o valor de a pelo resultado da expressão (1). Multiplicando
a equação em cruz, chegamos a:
r: y – ya = a(x – xa)
r
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Equação fundamental da reta r, conhecidos um ponto A(xa, ya) e o
coeficiente angular, a, da mesma.
Exemplo: Determinar a equação fundamental da reta que contém os pontos
A(2,1) e B(4,7).
b. Equação reduzida da reta.
É a equação mais conhecida, na forma:
y = ax + b
Em que a = tan, é coeficiente angular da reta.
E b? Notamos que se substituirmos x = 0,
na equação, obtemos y = b. Ou seja, o
ponto P(0,b) pertence à reta e também
pertence ao eixo oy, pois x=0. Portanto P
é o ponto de intersecção da reta com o
eixo oy. O coeficiente b é chamado linear e podemos observá-lo facilmente
no gráfico.
Exemplo: 1. Determine a equação reduzida da reta, cujo gráfico é:
2. Determine a equação reduzida da reta, que contém os pontos A(1,2) e
B(4,6).
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c. Equação geral da reta.
Este tipo de equação é usada na fórmula da distância entre ponto e reta,
por isso precisamos conhecer este formato:
mx + ny + k = 0
Em que m, n e k são constantes reais e m e n não são nulas
simultaneamente.
Para quem sabe calcular determinantes de ordem 3, podemos obter a
equação geral da reta diretamente, conhecidos dois de seus pontos A(xa,ya)
e B(xb,yb) pela equação envolvendo determinante:
0
1yx
1yx
1yx
bb
aa
Obtemos este formato apenas manipulando qualquer equação da reta
algebricamente.
Exemplo: Obtenha a equação geral das retas nos casos abaixo:
(a) y – 1 = 3(x+2)
(b) 4
1x
4
3y
(c) Que contém os pontos A(3,1) e B(1,3).
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6. Intersecção entre retas
Determinar a intersecção entre as retas
r e s é encontrar o ponto P comum às duas
retas, ou melhor, um ponto pertencente
ao mesmo tempo à reta r e à reta s. Isso
quer dizer que as coordenadas do ponto P
satisfaz ao mesmo tempo à equação de r e
à equação de s. O que equivale a resolver
o sistema com as equações das duas retas.
Se as retas possuem um ponto em comum
dizemos que elas são concorrentes.
Exemplo: Determine o ponto de interseção entre os pares de reta abaixo:
(a) r: y = 3x+1 s: y = x + 5
(b) r: y = 2x + 5 s: y = 4x + 3
Duas retas sempre têm intersecção? Se tiver intersecção, só em um ponto?
Responder estas perguntas equivale a determinar a posição relativa entre
retas, assunto do próximo item.
7. Posições relativas entre retas
Dadas duas retas r e s, elas podem ocupar apenas três posições relativas
no plano cartesiano. Essas posições são definidas com base no número de
pontos comuns às retas. Observe as figuras abaixo:
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Concorrentes r s Paralelas r // s Coincidentes r s
r s = {P} r s = r s = r
a. Retas paralelas.
Por definição, se procurássemos
resolver o sistema com as equações
de r e de s não encontraríamos
solução. Uma alternativa é pensar
sobre os coeficientes angulares
destas retas.
Considere r: y = arx + br e
s: y = asx + bs.
Em que: ar = tan e as = tan
Se as retas r e s são paralelas:
= tan = tan ar = as
Infelizmente não basta, pois se o coeficiente linear for igualmente
idêntico as retas são coincidentes. Assim a condição de duas retas serem
paralelas dadas suas equações reduzidas é:
r // s ar = as e br bs
b. Retas coincidentes.
Podemos também analisar o sistema com as equações de r e s para determinar
se as equações são de retas coincidentes, que na verdade geometricamente
são uma única reta. Neste caso o sistema possui infinitas soluções.
Em decorrência da análise das retas paralelas, podemos concluir sem
esforço que dadas as equações reduzidas das retas r e s para serem
coincidentes:
r s ar = as e br = bs
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c. Retas concorrentes.
Considerando novamente as
equações reduzidas de r e s:
r: y = arx + br
s: y = asx + bs
Se as retas são concorrentes:
Então:
tan tan Portanto:
ar as Os coeficientes lineares são
irrelevantes. Concluímos então:
r s ar as
Exemplo: Determine a posição relativa entre os pares de reta abaixo:
(a) r: y – 1 = 1(x + 2) s: y – 7 = 1(x – 4)
(b) r: y = x – 4 s: y – 5 = 1(x – 4)
(c) r: y – 3 = 2(x + 1) s: y = 4x - 5
Um caso particular de retas concorrentes é quando as retas fazem um
ângulo de 90º. No próximo item pesquisaremos como determinar a condição
das retas chamadas perpendiculares.
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8. Retas perpendiculares.
Considere as equações reduzidas das
retas r e s:
r: y = arx + br
s: y = asx + bs
Assim:
ar = tan e as = tan (0)
e são ângulos internos de um
triângulo retângulo, logo:
+ = 90º (1)
Já e são ângulos suplementares, pois juntos formam um ângulo raso, ou seja:
+ = 180º (2)
Da relação (1), sabemos que
tan
1tan , ou multiplicando a
expressão em cruz, tantan = 1 (3). Pense nos ângulos de 30º e 60º por exemplo.
Da relação (2), sabemos que tan = tan (4). Pense nos ângulos de 30º e 150º, veja na calculadora se preferir.
Agora substituindo (4) em (3), obtemos:
tan (tan) = 1
Multiplicando a expressão por 1:
tan tan = 1 Que por sua vez por (0):
as ar = 1 Eis a condição de duas retas perpendiculares, dadas as equações
reduzidas das mesmas:
r s as ar = 1
Exemplos: 1. Determine se os pares de retas abaixo são perpendiculares:
(a) r: y = 3x – 1 s: 5x3
1y
(b) r: 5
2x
5
4y s:
5
1x
4
5y
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2. Determine a equação da reta s, perpendicular à reta r: 3
1x2y
e
que intersecciona o eixo oy em P(0,1).
9. Distância entre ponto e reta.
O menor caminho que liga um ponto a
uma reta é um segmento perpendicular
à reta com extremidade neste ponto.
Na figura o segmento PA. Por que
podemos ter certeza que este é o
menor? Pois se considerarmos qualquer
outro segmento que liga P à reta, por
exemplo, PB, os pontos P, A e B formam
um triângulo retângulo, reto em A.
Assim teríamos PB a hipotenusa e PA
um cateto. Sabemos que a hipotenusa
é o maior lado de um triângulo
retângulo, logo PB > PA e assim, PA
é o menor caminho possível.
Como calcular a distância entre o ponto P à reta s? Com o que já
construímos e estudamos, sabemos calcular distância entre dois pontos,
determinar retas perpendiculares, calcular intersecção entre retas. Tudo
isso seria necessário para chegar à distância desejada, seguindo o
roteiro abaixo:
1 – Obter r, perpendicular a s, que contenha P.
2 – Determinar A, o ponto de intersecção entre as retas r e s.
3 – Calcular a distância entre P e A.
4 – Finalmente d(P,A) = d(P,s).
Se seguirmos todos esses passos considerando a equação geral da
reta s: mx + ny + k = 0 e as coordenadas do ponto P(xp,yp), após muitas
manipulações algébricas chegaremos na fórmula da distância entre ponto
e reta:
²n²m
knymx)s,P(d
pp
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Exemplo: Determine a distância do ponto Q(18,0) à reta t: 1x12
5y .
10. Distância entre retas.
Precisamos lembrar que distância entre dois objetos quaisquer é a
medida do menor caminho entre estes dois objetos. Se as retas r e s
forem concorrentes ou coincidentes, já que possuem ponto de intersecção,
o menor caminho que ligas estas retas é apenas um ponto, assim nestes
casos, d(r,s) = 0.
Resta analisar como calcular a distância
entre retas, se estas forem paralelas.
A distância entre as retas r e s, d(r,s),
é o segmento de reta perpendicular a ambas
as retas. Já que são paralelas, desde que
o segmento seja perpendicular a uma, será
automaticamente perpendicular à outra
reta.
Assim podemos escolher um ponto qualquer
de uma reta e calcular a distância até a
outra reta, simplesmente. Para
complementar faremos esse trabalho
generalizando e chegando numa fórmula direta.
Como precisamos da equação geral de cada reta, sendo as duas
paralelas, elas terão o formato:
r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0
Definindo um ponto de r, por exemplo: P(xp,yp). Como é um ponto de
r, satisfaz a equação de r, ou seja, mxp + nyp + kr = 0. Ou ainda:
mxp + nyp = kr Agora temos que calcular a distância do ponto P à reta s.
²n²m
kk
²n²m
knymx)s,P(d
srspp
Portanto a distância entre duas retas paralelas, dadas suas
equações gerais r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0 é:
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²n²m
kk)s,r(d
rs
Exemplo: Determine a distância entre as retas r: 3x - 4y + 15 = 0
e s: 3x – 4y – 15 = 0.
11. Exercícios.
1- Situe no mesmo plano cartesiano os pontos A (2,0), B(2,2), C(4,0),
D(0,2), E(2,4), F(1,4), G(3,2), H(4,2), I(3,4) e J(0,3).
2-6 Responda:
2. Quais são as coordenadas da origem, O, do plano cartesiano?
3. Se um ponto pertence ao III quadrante, qual o sinal da abscissa?
4. Se um ponto pertence ao eixo ox, qual o sinal da ordenada?
5. É possível uma reta ter coeficiente angular nulo? Caso afirmativo,
descreva a característica geométrica da reta. Caso negativo,
justifique.
6. Quais das versões abaixo são equivalentes da fórmula para o cálculo
da distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb)? Justifique.
a. d(A,B) = )²y(y)²x(xabba
b. d(A,B) = )²y(y)²x(xabab
c. d(A,B) = )²y(x)²y(xbbaa
7- A abscissa de P vale o dobro da ordenada de Q. Se que está acima
do eixo x tanto quanto está à esquerda do eixo y e P dista 5 unidades
do eixo das ordenadas, quais são as coordenadas de Q?
8– Sendo A (4,4) um ponto pertencente ao círculo de centro C(2,2),
determine a medida do raio desse círculo.
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9– Determine a de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São
dados: A(2,5), B(2,1) e C(3,a).
10– Dados A(x,3), B(1,4) e C(5,2), obtenha x de modo que A seja
equidistante de B e de C.
11– Qual o perímetro do triângulo, cujos vértices são A(1,2), B(2,6)
e C(5,2)?
12– Em quais itens os pontos dados formam um triângulo?
a. A(0,1), B(12,4) e C
2
3,6 .
b. F 33,2 , G(5,0) e H(1,0).
c. P(1,3), Q(5,6) e R(9,9).
13– Sabendo que o segmento AB, define um diâmetro do círculo de centro
C, determine as coordenadas deste ponto, considerando A(1,3) e B(3,5).
14– Mediana de um triângulo é o segmento que liga cada vértice ao ponto
médio do lado oposto. Considere o triângulo de vértices em A(3,0),
B(3,2) e C(1,4). Determine a medida das três medianas.
15- Determine as equações fundamental, geral e reduzida das retas:
a. r que contém os pontos A(2,3) e B(3,5).
b. s que forma ângulo de 60º com o eixo das abscissas no seu sentido
positivo e passa pelo ponto C(3,-1).
c. t que contém os pontos B(3,5) e C(5,5).
d. u que forma ângulo de 45º com o eixo das abscissas, é decrescente e
intersecciona o eixo oy em y=4.
e. a que contém os pontos B(3,5) e D(3,2).
16- Quando não podemos determinar a equação de qualquer reta na forma:
a. geral?
b. fundamental?
c. reduzida?
Justifique tua resposta.
17- Determine a posição relativa entre os pares de retas indicados,
diferenciando o caso perpendiculares de concorrentes e nesses casos
determine o ponto de intersecção entre as retas.
a. g: 2x+3y=1 e h: 3x-2y=5
b. r: y=3x-2 e s: 3x-y+8=0
c. a: y=5x+9 e b: 5x-2y+7=0
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d. t: 5x4
3y e u: 3x-4y+20=0.
18- Determine a equação da reta s, que é perpendicular a reta r: 3x + 7y = 9 e
que passa pela origem.
19- Qual a distância entre as retas: r: 5x – 3y + 15 = 0 e s: 5x3
5y ?
20- Calcule a medida da altura h, relativa ao lado BC, do triângulo ABC,
cujos vértices são: A(5,1), B(1,5) e C(2,1).
21- No plano cartesiano, os pontos A (1,4) e B(3,6) são simétricos em
relação à reta r. Qual a equação da reta r?
22- Determine as equações das retas que contém as alturas do triângulo
ABC e prove que elas concorrem no mesmo ponto H, chamado de ortocentro
do triângulo. Dados: A(0, -3) B(-4,0) e C(2,1).
23- Mediatriz de um segmento é uma reta que contém o ponto médio do
segmento e é perpendicular a ele. Determine a reta mediatriz relativa
ao segmento de extremos em A (1,4) e B(3,6).
24- Um círculo é tangente a duas retas paralelas, r: 5x + 12y = 12 e
s: 5x + 12y + 28 – 0. Qual é a medida do raio do círculo?