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1a linha 2a linha 3a linha
linha
MATRIZES: INTRODUÇÃO E NOTAÇÃO GERAL
Introdução
A teoria das matrizes tem cada vez mais aplicações em áreas como Economia,
Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo de matriz.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
Aluno Química Inglês Literatura Espanhol
A 8 7 9 8 B 6 6 7 6 C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em literatura, basta procurar o número que fica na
segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Um exemplo de aplicação prática da teoria das matrizes pode ser visto nas próximas
páginas.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no
exemplo, acima, nas colocados entre parênteses ou colchetes:
9 5 4 6 7 6 8 9 8
ou 9 5 8 4
6 7 6 6
8678 8 7 8
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de
cima para baixo e a colunas, da esquerda para a direta:
5 0 033 2
7 4 1
coluna
3a coluna 2a coluna 1a coluna
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Tabelas com m linhas e n colunas (m e n números naturais diferentes de 0) são
denominadas matrizes m x n. Na tabela acima temos uma matriz 3 X 3.
Veja mais alguns exemplos:
3 x 2 tipodo matriz uma é 17 3 30
1 3 2
2 x 2 tipodo matriz uma é 31
21
5 2
Notação Geral
Costuma-se apresentar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna
que o elementos ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m X n é representada por:
mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
a a a a
a a a aa a a aa a a a
A
ou, abreviadamente, A = (aij) m x n’ em que i e j representam, respectivamente, a linha e a
coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2a linha e
da 3a coluna.
2a e 21a 4,a
5a e 1a 2,a :temos,
2 21 4
5 1- 2 A matriz Na
232221
131211
Ou na matriz B = [-1 0 2 5], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 =5.
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Exercícios Resolvidos
1. Determine a matriz A = (aij) 2 x 2 tal que aij = 2i + j.
Solução:
Sendo A do tipo 2 X 2, a matriz associada é da forma:
2221
1211
aaaa
Como aij = = 2i e j, temos:
a11 = 2 . 1 + 1 = 3 (pois i = 1 e j = 1) a21 = 2 . 2 + 1 = 5
a12 = 2 . 1 + 2 = 4 a22 = 2 . 2 +2 = 6
Logo, A =
6543
.
2. Dada a matriz A = (aij) 5 x 7 tal que aij = 4232
2
a a determine, impar é j i se 2ij,par é j i se,i
Solução:
a32 = 2 . 3 . 2 = 12
a42 = - 42 = -16
Logo, a32 + a42 = 12 – 16 a32 + a42 = -4
Exercícios Propostos
1. Determine as seguintes matrizes: a) A = (aij) 2 x 2 tal que aij = (i –j)2
b) B = (bij) 3 x 2 tal que bij = (i – j)3
c) C = (cij) 2 x 3 tal que cij =
j i se j, iji se 2,
d) D = (dij) 3 x 3 tal que dij =
ímpar é j i se ,j ipar é ji se ,ji
22
22
2. Dada a matriz A = (aij) 3 x 3 tal que aij = i2 + 2j –5, calcule a12 + a31.
linha
coluna
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TIPOS DE MATRIZES
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
Matriz Linha: matriz do tipo 1 X n, ou seja, com uma única linha. Por
exemplo, a matriz A = [4 7 -3 1], do tipo 1 X 4.
Matriz Coluna: matriz do tipo m X 1, ou seja, com uma única coluna. Por
exemplo B = .1 3 tipodo,1
21
X
Matriz Quadrada: matriz do tipo n X n, ou seja, com o mesmo número de
linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz C =
1472
é do tipo 2 X 2, isto é quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A
principal é formada pelos elementos aij tal que i = j. Na secundária i + j = n + 1.
Observe a matriz a seguir:
A3 =
675303521
a11 = -1 é elementos da diagonal principal, pois i = j = 1
a 31 = 5 é elementos da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 (3 + 1 = 3 + 1)
Matriz Nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada
por 0 m X n’ . Por exemplo, 0 2 X 3 =
0 0 00 0 0
.
Matriz Identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da
diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In’ sendo
n a ordem da matriz. Por exemplo:
ordem da matriz
diagonal principal
diagonal secundária
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a) I2 =
1001
b) I3 =
100010001
Assim, para uma matriz identidade In = (aij), aij =
j i se 0,ji se 1,.
Matriz Oposta: matriz –A obtida a partir de A trocando-se o sinal de
todos os elementos de A. Por exemplo, se A =
1403
, então – A =
1403
.
Matriz Transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se
ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
Se A = ,12103 2
então At =
1 02312
.
Desse modo, se a matriz A é do tipo m X n, At é do tipo n X m.
Note que a 1a linha de A corresponde à 1a coluna de At e a 2a linha de A corresponde à
2a coluna de At.
Matriz Simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At. Por
exemplo,
A =
846425653
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos
aij = aji.
Exercício Resolvido
Classifique as matrizes dadas quanto ao tipo e à ordem.
a) A =
1031
b) B = 541 c) C =
121
d) D =
100010001
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Solução:
a) A =
1031
matriz quadrada de ordem 2.
b) B = 541 matriz linha do tipo 1 X 3.
c) C =
121
matriz coluna do tipo 3 X 1.
d) D =
100010001
matriz identidade de ordem 3 (I3).
Exercício Propostos
1. Determine o tipo e indique a denominação de cada matriz.
a)
4231
b)
134
c) 431 d)
1000010000100001
e)
000000
2. Dada a matriz A =
4121
, determine a transposta de A.
3. Sendo a matriz A =
320y43c32
simétrica, determine c e y.
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IGUALDADE E MATRIZES E OPERAÇÕES
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m X n, são iguais se, e somente se, todos os
elementos que ocupam a mesma posição são iguais:
A = B aij = bij para todo 1 i m e todo 1 j n
Se A =
b1
02, B =
31
c2 e A = B, então c = 0 e b =3
Operações Envolvendo Matrizes
Adição
Dadas as matrizes A = (aij) m X n e B = (bij) m X n’ chamamos de soma dessas matrizes e
matriz C = (cij) m X n’ tal que cij = aij + bij , para todo 1 i m e todo 1 j n:
A + B = C Exemplo:
101
14521)1(110
10 133221111 3
1100 32
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Subtração
Dadas as matrizes a = (aij) m X n e B = (bij) m X n’ chamamos de diferença entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:
A – B = A + (-B) Observe:
54
2227- 04
(-2)0 1)(32021
7403
2021
7403
-B
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Exercício Resolvidos
1. Calcule x, y e z tal que
z00100
1 4-y 0 x0 1x
2
2
.
Solução:
De igualdade vem:
1z2- jou 2y0 4- y
1xconvém) (não 1ou x 1x01x
2
2
Logo, x = 1, y = 2 e z = 1.
2. Sendo A =
4132
e B =
4213
, calcule:
a) A + B b) A- B c) At + Bt d) (A + B)t
Solução:
a) A + B =
8125
44 2113 32
4 213
4132
b) A – B = A + (- B) =
03 41
44 2113 32
421 3
4132
4 213
4132
c) At + Bt
A =
4132
At =
4312
B =
4 213
Bt =
4 123
Assim:
At + Bt =
4312
+
4 123
=
8215
44 1321 32
d) (A+B)t
Como A + B =
81
25, então (A +B)t =
8215
Comparando os itens c e d, podemos notar que: (A+B)t = At + Bt
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Exercícios Propostos
1. Determine a, b e c tal que
921
c b
a 2
.
2. Determine x, y, z e w nas matrizes
A =
31
21, B =
31
yx e C
wz21
, tal que A = B = C
3. Determine x e y tal que:
7 1 03y 2x
=
2y5x 1 0 5
.
4. Calcule o valor de x tal que
2
2
x2
4 3x-x
.
5. Sendo A = (aij) 2 X 2 tal que aij = i + j, determine x, y e z tal que A =
zx
1y 2.
6. Sendo A =
314201
e B =
124103
, calcule:
a) A + B b) A – B c) B - A
7. Calcule x, y e z tal que
04
2z31771
1y xz2x
.
8. Sendo A = (aij) 3 X 2, com aij = 2i – j, e B = (bij) 3 X 2’ com bij = i2 + j, calcule:
a) A – B b) B - A
9. Dadas as matrizes A =
4101 32
e B =
730432
, determine o valor de :
a) At + Bt b) (A + B)t
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MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dado um número real x e uma matriz A do tipo m X n, o produto de x por A é uma
matriz B do tipo m X n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij =
xaij:
B = xA
Observe o seguinte exemplo: 3 .
03
21603 (-1)373 23
0172
Exercícios Resolvidos
1. Dadas as matrizes A =
3021
e B =
2 014
, determine:
a) 31
A b) –3B c) 2A – 3B
Solução:
a) 31
A = 31
1032
31
331 0
31
231 1
31
3021
b) –3B= -3
60
3123.2- 0 . 3-
3(-1)- 4 . 32014
c) 2A – 3B = 2
00710
60312
6042
2014
)3(3021
22014
33021
2. Determine a matriz X, tal que X + A = 3B, par A =
1042
e B =
2001
.
Solução:
Aplicando as propriedade das matrizes, temos: X = 3B – A
Logo: X = 3
2001
-
1042
=
5045
1042
6003
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3. Sendo A =
032
e B =
201
, determine as matrizes X e Y tal que 3Y – Y = 2A – B e
X + Y = A – B. Solução:
BA YX
B2AY3X
4X = 3A – 2B X = 41
(3A – 2B) = 43
. A - 21
. B =
04923
+
1021
.
1492
De X + Y = A – B, vem:
Y = A – B – X =
1492
201
032
= .
1431
4. Se A =
c3ba
e B =
1024
, determine a, b e c sabendo que 2A = (3B)t.
Solução:
2A = (3B)t 2
c3ba
=
tt
30612
2c62b2a
1024
3
t
36012
2c62b2a
23c32c
0b02b6 a122a
Logo, a = 6, b = 0 e c = 23
Exercícios Propostos
1. Dadas as matrizes A =
201
432 e B =
241 123
, calcule:
a) 5A b) 7B c) 3A – 4B d) -23
A
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60
2. Dadas as matrizes A =
1032
, B =
2340
e C =
1801415
, calcule:
a) 3(A – B) +3 (B – C) + 3 (C- A) b) 2(A + B) –3 (B - C) – 3C
3. Dadas as matrizes A =
452301
e B =
43 1012
, calcule X = 2A – 3Bt.
4. Dadas as matrizes A (aij) 2 X 2 , com aij = i2 e j2, e B = (bij) 2 X 2, com bij = ij , calcule
21
A + Bt.
5. Sendo A =
112010321
e B = -2A, determine a matriz X tal que 2X – 3A = 21
B.
6. Sendo A = (aij) 2 X 2’ em que aij = 2i – j e B = (bij) 2 X 2’ em que bij = j – i, determine X
tal que 3A + 2X = 3B.
7. Sendo A =
2312
e B =
6340
, calcule as matrizes X e Y no sistema
A2Y3XBY2X
8. Se A =
z5yx
e B =
12103
, determine os valores de x, y e z sabendo que 2A =
Bt.
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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos.
O produto das matrizes A = (aij)m X p e B = (bij) p X n é a matriz C = (cij) m X n em que cada
elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Vamos multiplicar a matriz A =
4321
e B =
2431
para entender como se obtém
cada cij:
1a linha e 1a coluna c11
____ ______ _____ .4 21)1.(
24 31-
. 43 21
1a linha e 2a coluna c12
___________
2 . 2 3 . 172431-
. 43 21
2a linha e 1a coluna
_______4.4.(-1) 3
772431-
. 43 21
c21
2a linha e 2a coluna
.2 4 3 . 313
77 2431-
. 43 21
c22
Assim, A . B =
171377
.
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Observe que:
B . A =
4 . 2 .2 4 .3 2 1 . 4 4 . 3 2 . (-1) 3.31).1(
43 21
. 24 31
=
1610108
Portanto, A . B B . A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade
comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes A =
4110 32
e B =
402
321 :
A .B =
13 2- 9- 4 0 2-
18 4 4
.4 4 3 . 1- .0 4 2 . 1- 4(-2) 1 . 1-4 . 1 3 . 0 0 . 1 2 . 0 1(-2) 1 . 0 4 . 3 3 . 2 0 . 3 2 . 2 2)3(1 . 2
402 3 2 1
4110
32
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A
for igual ao número de linhas de B:
A m X p . B p X n = (A . B)m X n
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B (n): se A 3 X 2 e B 2 X 5 , então (A . B) 3 X 5 se A 4 X 1 e B 2 X 3, então não existe o produto
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o produto de
501
. 0 41325
, se existir.
Solução:
Inicialmente, devemos verificar se é possível multiplicar as matrizes. A 1a matriz é do
tipo 2 X 3 e a 2a, do tipo 3 X 1. Como o número de colunas da 1a é igual ao número de linhas
da 2a, o produto é possível e a matriz resultante é do tipo 2 X 1:
=
=
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1 10
5 . 0 0 . 4 1 . 15 (-3).0 21 . 5
501
. 0 41325
2. Determine a matriz X tal que X . A = B, sendo A =
0211
e B =
0624
.
Solução:
Como a matriz X é fator de um produto, é necessário, inicialmente, determinar o seu
tipo.
Assim, se X . A2 X 2 = B2 X 2, então X é do tipo 2 X 2. Logo, X =
dcba
.
Daí:
dcba
.
0624
c2dca2ba
0624
0211
Da igualdade de matrizes, temos
(II) 6 2dc(I) 4 2ba
e 0c2a
Substituindo a = 2 em (I) e c = 0 em (II), vem: 2 + 2b = 4 b =1 e 0 + 2d = 6 d = 3
Logo, X =
3012
.
3. Dada a matriz A =
1 012
, calcule A2 – 2A.
Solução:
A2 – 2A =
1 012
.
1 012
- 2
1 012
=
1 034
-
1010
2 024
Exercícios Propostos
1. Dadas as matrizes A =
7032
e B =
5241
, calcule:
a) A . B c) A2
b) B . A d) B2 – 3B
2. Sendo A =
123 1
e B =
7402
, determine a matriz X tal que A . X = B.
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3. Dadas as matrizes A = [-2 1 0] e B =
42
1
, calcule:
a) A . B b) B . A
4. Sendo A =
2122
, calcule A2 + 4A – 5I2.
5. Seja A = (aij) a matriz 2 X 2 real, definida por aij = 1, se i j; aij = -1, se i > j.
Calcule A2.
MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A’, de mesma ordem,
tal que A . A’ = A’ . A = In, então A’ é matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa
por A-1.
Acompanhe o procedimento para determinar uma matriz inversa.
Exercícios Resolvidos
1. Sendo A =
12
21, determine sua inversa, se existir.
Solução:
Existindo, a matriz inversa é da mesma ordem de A.
Como, para que exista inversa, é necessário que A . A’ = A’ . A = In’ vamos trabalhar
em duas etapas:
1a.) Impomos a condição de que A. A’ = In e determinamos A’:
10
01d2b- c2a-
2db 2ca 1001
dcba
1221
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Da igualdade de matrizes, temos:
0c2a1c2 a
1d2b02db
Resolvendo os sistemas pelo método da adição, vem:
0c2a1c2 a
0c2a24c2a
5c = 2 c = 52
Substituindo o valor obtido para c em uma das equações do sistema, temos:
a + 2c = 1 a + 2 . 52
= 1 a + 54
= 1 a = 1 - 54 a =
51
1d2b04d2b
1d2b02db
5d = 1 d = 51
Substituindo o valor obtido para d em uma das equações do sistema, temos:
b + 2d = 0 b + 2 . 51
= 0 b = - 52
Assim:
A’ =
51
52
52
51
dcba
2a ) Verificamos se A’ . A = I2:
A’ . A =
51
54
52
52
52
52
54
51
1 . 51 2 .
52 2)(
511
52
1522 .
51 2)(
52 1 .
51
12-21
.
51
52
52
51
=
1001
550
055
I2
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66
Portanto, temos uma matriz A’ tal que A . A’ = A’ . A = I2. Assim A’ é a inversa de A e
pode ser representa por:
A-1 =
51
52
52
51
2. Determine, se existir, a inversa da matriz A =
1122
Solução:
Se A . A’ = A’ . A = I2, então A’ = A-1.
Vamos verificar se A . A = I2:
Fazendo A’ =
dcba
, vem:
1001
db ca 2d2b c2a
1001
dcba
. 1122
Da igualdade de matrizes, temos:
(II) 0ca
(I) 21ca
0ca12c2a
Comparando as igualdades (I) e (II), observamos que é impossível obter
simultaneamente a + c = 21
e a + c = 0
Logo, o sistema não tem solução e a matriz A não é inversível.
Exercícios Propostos
1. Calcule, se existir, A-1 em cada caso.
a) A =
4321
b) A =
32
10
2. Dada a matriz A =
14
52, calcule o produto A . A-1.
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3. Sendo A =
2642
, calcule o elemento a’12 da matriz A-1.
4. O produto da inversa da matriz A =
2111
pela matriz I =
1001
é igual a:
a)
1112
. c)
11
12
b)
1112
d)
1112
DETERMINANTES Como vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou
seja, é do tipo n X n).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de
determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são
conhecidas as coordenadas dos seus vértices.
Determinante de 1a ordem
Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11], o seu determinante é o número real
a11:
det M = [a11] = a11
Obs. Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de
módulo.
Por exemplo: M = [5] det M = 5 ou 5 = 5 M = [-3] det M = -3 ou 3 = -3
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Determinante de 2a ordem
Dada a matriz M =
2221
1211
aaaa
, de ordem 2, por definição o determinante associado a
M, determinante de 2a ordem é dado por:
det M =
2221
1211
aaaa
= a11a22 – a12a21
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal
secundária. Veja o exemplo a seguir.
Sendo M = 54 32
, temos:
det M = 54 32
= 2 . 5 – 4 . 3 = 10 – 12 det M = -2
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o valor dos determinantes:
a) 46
31
21-
b) 4,01
210 2
Solução:
a) 46
31
21-
= -21
. 4 – 6 . 31
= 2 – 2 = - 4
b) 4,01
210 2= 10 . 0,4 – (-22)1 = 4 + 4 = 8
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2. Calcule o valor x real na igualdade 3x433x = 0
Solução:
3x433x = 0 3x(x +3) – 4 . 3 = 0 3x2 + 9x – 12 = 0 x2 +3x – 4 =0
x =
253
x = - 4 ou x = 1
Exercícios Propostos
1. Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
a) A =
4215
c) C =
21 321
2342
b) B =
5632 2
d) D =
3-2
14 .
4321
2. Calcule o valor dos seguintes determinantes:
a) 81
34
sen
c)
2731log
813 3
tg
b) 1438log 2
d) 13
2cos1 0
2
3. Calcule o valor de x IR nas igualdades:
a)
21x18
91
31x
= 0 c) 31 3 x tg
b) 22 4 xcos 4 = 0 d) 0
128416xlog 2
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4. Se
4xb1
y32a
, A =
yxba
e B = At, então det (A . B) vale:
a) 8. b)4. c)2. d)-2. e) – 4.
5. O conjunto solução de 1x11
1x1111x1
é:
a) {x IR / x 1}. b) {0,1}. c) {1}. d) {-1} e){0}
DETERMINATES: REGRA DE SARRUS
O cálculo do determinante de 3a ordem pode ser feito por meio de um dispositivo
prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para D = aaaaaa aaa
333231
232221
131211
1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
aaaaaa aaa
333231
232221
131211
3231
2221
1211
aa aa aa
2o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os
dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma
deve ser precedida do sinal positivo):
aaaaaa aaa
333231
232221
131211
3231
2221
1211
aa aa aa
+ (a11a22a23 + a12a23a31 +a13a21a32)
paralela diagonal principal
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3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com
os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a
soma deve ser precedida do sinal negativo):
aaaaaa aaa
333231
232221
131211
3231
2221
1211
aa aa aa
- (a13a22a31 + a11a23a32 +a12a21a33)
Assim:
aaaaaa aaa
333231
232221
131211
3231
2221
1211
aa aa aa
=- (a13a22a31 + a11a23a32 +a12a21a33) +
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o valor do determinante 123214132
.
23 14 32
123214132
= - 47
2. Calcule o valor x na igualdade 03x131x101
Solução:
Aplicando a regra de Sarrus, temos:
3 + 0 + x2 –( -1 + 3x) = 0 x2 +3x – 4 = 0 x = 1 ou x = - 4
2 –18 -8 -3 –8 -12
diagonal secundária paralelas
(a11a22a23 + a12a23a31 +a13a21a32)
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3. Resolva em IR a inequação 10x011xx2
< 0.
Solução:
Aplicando a regra de Sarrus, temos:
2 +0 + 0 -(x2 + x + 0)<0 - x2 – x + 2 <0
Resolvendo a inequação do 2o grau e estudando o seu sinal, vem:
- x2 – x + 2 = 0 x = 2
31x = 1 ou x = -2
Então, S = {x IR/ x < -2 ou x > 1}.
Exercícios Propostos:
1. Sendo A =
231210032
, calcule:
a) det A b) det A’
2. Sendo A = (aij) 3 X 3’ em que aij = 2i –j, calcule det A.
3. Calcule o valor dos seguintes determinantes:
a) 540331
110 b)
3 2 2
3cos
1- 0 1 log
1 1- 2
sen
01-
2
4. Calcule o valor de x real:
a) 0 1x0x
1x3x102x
c) 0331x101x1
-2 1 + - +
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b) x142x
2x04xx311
5. O determinante associado à matriz
2 3412y01 2y
é igual à maior das raízes da
equação x 01 = 2. Determine o menor valor de y.
SISTEMAS LINEARES
Equação Linear
Equação linear é toda equação da forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...anxn = b em que a1, a2,
a3, ... an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2, x3,... xn,
e b é um número real chamado termo independente.
Veja alguns exemplos de equações lineares: 3x – 2y + 4z = 7 - 2x + 4z = 3t – y +4
As equações a seguir não são lineares:
xy – 3z + t = 8 x2 – 4y = 3t – 4 x -2y +z = 7
Sistema Linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
mnmn3m32m21m1
2n2n323222121
1n1n313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxa
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3, ..., rn)
que é simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
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74
Matrizes Associadas a um Sistema Linear
A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas
do sistema.
Em relação ao sistema:
427z4x
0z3y2x
yxa matriz incompleta é: A =
012104132
matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz
incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do
sistema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:
B =
401271 040132
Sistemas Homogêneos
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são
nulos. Veja um exemplo:
03y2
03z4yx0z2y3x
A n-upla (0,0,0, ...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e
recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não
triviais,
Sistema Normal
Um sistema normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e
o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Se m = n e det A 0, então o sistema é normal.
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Exercícios Resolvidos:
1. Verifique quais dos seguintes sistemas são normais:
a)
4z3x2z3y2x
0yx
b)
5wt5zy3yx
c)
74z4y3x15z3y2x
4zyx
Solução:
a)
4z3x2z3y2x
0yx
m = 3, n = 3m = n (I)
det A = 103 132
011
= - 4 0 (II)
De (I) e (II), concluímos que o sistema é normal.
c)
74z4y3x15z3y2x
4zyx
m = 3, n = 3 m = n
det C 443
532111
= 0
Logo, o sistema não é normal.
b)
5wt5zy3yx
m = 3, n = 5 m n
Logo, o sistema não é normal.
2. Determine k R de modo que o sistema
5kyx3ykx
seja normal.
Solução:
1a. condição: det A 0
det A = k11k 0 k2 – 1 0 k 1
2a condição: m = n
No sistema, o número de equações (2) é igual ao número de incógnitas (2).
Logo, o sistema é normal para qualquer k real diferente a 1 a de –1.
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Exercícios Propostos
1. Verifique se os sistemas são normais.
a)
42zyx52z3y2x
1zyx
b)
94y3x0zyx
8z3y2x
2. Determine os valores de k R para que os sistemas sejam normais.
a)
3k12y1)x(k2k4y1)x(k
b)
19z4yxk73z2ykx
1zyx
2
SISTEMAS LINEARES: RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NORMAIS
Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
xi = D
Dix
em que i {1, 2, 3 , n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao
sistema, e ixD é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i
pela coluna formada pelos termos independentes.
A regra de Cramer é um instrumento importante para a resolução de sistemas normais.
Acompanhe a sua aplicação.
Exercícios Resolvidos
1. Resolva, com o auxílio da regra de Cramer, os seguintes sistemas:
a)
33y2x7y2x
b)
62zy3x0zy2x
3zyx
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77
Solução:
a)
33y2x7y2x
D = 3212 = -6 – 2 = -8 0
m = n = 2
Como o sistema é normal, podemos utilizar a regra de Cramer para resolvê-lo.
Substituindo, na matriz incompleta 3212 , a coluna formada pelos termos
independentes, encontramos:
Dx = 32 17 = -21 – 3 = -24
Substituindo, agora, C2 pela coluna dos termos independentes, encontramos:
Dy = 32 72
= 6 – 14 = -8
Assim:
x = 824
DDx
= 3 y = 188
DD y
Logo, (x, y) = (3, 1) é a solução do sistema dado.
b)
62zy3x0zy2x
3zyx
D = 213
112 111
= 3 0
m = n = 3
Como o sistema é normal, podemos utilizar a regra de Cramer:
Dx = 216
110113
= 3 Dy = 263102
131 = -3 Dz =
613012311
= 3
Assim:
x = 33
DDx = 1 y = 1
33
DD y
z = 1
33
DD z
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78
Logo, (x, y, z) = (1, -1, 1) é a solução do sistema dado.
2. Resolva o sistema linear homogêneo
0z3yx0zy2x0z4y3x
Solução:
m = n = 3
D = 131 112
1 43
= 3 + 6 + 4 –1 + 9 +8 = 29 0
O sistema é normal, apresentando uma única solução. Mas, como ele também é
homogêneo e todo sistema homogêneo tem pelo menos a solução trivial (0 ,0, 0), essa será a
solução única.
Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0).
Exercícios Propostos
1. Resolva os seguintes sistemas lineares:
a)
43y2x5y3x
b)
63z2yx02zyx
58zy2x
c)
0zy2x54zy3x
93z2yx
2. Determine o valor de z no sistema:
63z5y 22z3y4x
33zy2x
3. Determine x, y e z no sistema:
0y2x0z5yx
0z2yx3
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79
CLASSIFICAÇÃO E DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Classificação de um sistema quanto ao número de soluções
Resolvendo o sistema
1y2x8yx
, encontramos uma única solução: o par ordenado (3,
5).
Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
No caso do sistema
16y22x8yx
, verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1, 7), (2,
6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
Para
10yx-10yx
, verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as
equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).
Discussão de um sistema linear
Se um sistema tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
a) possível e determinado, se D = det A 0; caso em que a solução é única.
Exemplo:
62zy3x3 n m0zy2x
3zyx
e D = 03 213 112
111
Então o sistema é possível e determinado, tenso solução única.
b) possível e indeterminado, se D = 1xD = 2xD = 3xD = = nxD = 0, para n = 2. Se
n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas
respectivamente proporcionais e termos independentes e termos independentes não-
proporcionais.
Exemplo:
13z4yx2zy2x
12z3yx
D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0
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80
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
c) impossível, Se D = 0 e ixD 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem
solução. Exemplo:
02z3y3x43zy2x
1z2yx
D = 233 312
1 21
= 0, Dx =
230 314
1 21
= 35 0
Como D = 0 e Dx = 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.
Exercícios Resolvidos
1. Verifique para quis valores de k o sistema
2ky2x32yx
é:
a) possível e determinado; b) possível é indeterminado.
Solução:
a) O sistema é possível e determinado se D 0. Assim:
k221
0 k – 4 0 k 4
b) O sistema é possível e indeterminado se D = Dx = Dy = 0.
Como Dy = 2231
= -4 0, então k R tal que o sistema seja possível e
indeterminado.
2. Determine p de modo que o sistema
4ypx32y3x
seja impossível.
Solução:
Para que o sistema impossível, devemos ter D = 0 e Dx 0 ou Dy 0.
Assim:
D = 1p23
= 3 – 2p Dx = 1423
= 3 –8 = -5 Dy = 4p33
= 12 – 3p
Como D = 0, temos: 3 – 2p =0 p = 23
Sendo Dx = - 5 0, o sistema é impossível para p = 23
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81
Exercícios Propostos
1. Classifique o sistema
12z2x13zy2x
5yx
2. Classifique o sistema
43zy2x1yx
32zyx
3. Determine para que valores de m o sistema
my2x32yx
é:
a) impossível; b) possível e indeterminado.
4. Classifique os sistemas a seguir e resolva apenas os possíveis e
determinados:
a)
12yx23yx
b)
13z2yx05z3yx
0zyx
c)
02z3y2x03z5y5x
0z2y3x
d)
52z2y3x3zy2x
3zyx
5. O valor de m para que o sistema
0y4x0ymx
seja indeterminado é:
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
6. O sistema
0z3x03z2yx
0zy2x
a) tem uma única solução. b) não tem soluções reais.
c) tem três soluções distintas. d) tem infinitas soluções reais.
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82
SISTEMAS LINEARES: EQUIVALENTES E ESCALONADOS
Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas:
S1 =
83y2x3yx
e S2 =
5y2x3yx
Verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2
são equivalentes: S1 ~ S2.
Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Por exemplo:
S1 =
(II) 3y2x(I) 23yx
e S2 =
(II) 23y-x(I) 3y2x
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k (k R*),
obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:
S1 =
(II) 0y-x(I) 32yx
3por (II) equaçãoa ndomultiplica
S2 =
(II) 03y-3x(I) 3y2x
S1 S2
c) Adicionado a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse
mesmo sistema por um número k (k R*), obtemos um sistema equivalente ao
anterior
Por exemplo:
Dado S1 =
(II) 1yx(I) 42yx
e substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I)
por –1 com (II), obtemos:
S’1 =
3 -3y-
1y x 42yx
S2 =
33y 42yx
S1 ~ S2, pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os sistemas.
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83
Sistemas escalonados
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o
número de equações (m) é igual de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-
se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso , usamos a técnica de escalonamento, que
facilita a discussão e a resolução de quaisquer sistemas lineares.
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada
equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-
nulo aumenta de equação para equação.
Exemplos:
S1 =
24z 1zy 0zy2x
S2 =
306t2z 1t4zy
6tzyx
S3 =
42zy 14z 2x
S4 =
13wz 5w2z3y2x
Os sistemas S1, S2, S3 e S4 estão na forma escalonada.
Técnica do escalonamento
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1a equação uma das que possuem o coeficiente da 1a
incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os
coeficientes da 1a incógnitas das demais equações.
c) Anulamos todos os coeficientes da 2a incógnita a partir da 3a equação.
d) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne
escalonado. Vamos então aplicar a técnica do escalonamento. Veja os exemplos:
Exemplo 1:
12zy3x3z2yx4z3y2x
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Trocamos de posição a 1a equação com a 2a equação, de modo que o 1o coeficiente de x
seja igual a 1:
12zy3x4z3y2x
3z2yx
1o passo: Anulamos todos os coeficientes da 1a incógnita a partir da 2a equação,
aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:
12zy3x
4z3y2x(-2) 3z2yx
12zy3x23z7y
3z2yx
12zy3x
2z3y7 (-3) 3z2yx
8z5y723z7y
3z2yx
2o passo: Anulamos os coeficientes da 2a incógnita a partir da 3a equação:
8z5y7
2z3y7 (-1) 3z2yx
(III) 6z2 (II) 23z7y (I) 3z 2y x
O sistema está escalonado. Como m = n e a última equação –2z = -6 tem solução única,
o sistema é possível e determinado.
Exemplo 2:
22zy3x1zy2x3z2yx
1o passo: Anulamos todos os coeficientes da 1a incógnita a partir da 2a equação:
22zy3x
1zy2x(-2) 3z2y-x
22zy3x5zy5
3z2y-x
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22zy3x
5z5y (-3) 3z2y-x
7zy5 5zy5
3z2yx
2o passo: Anulamos os coeficientes da 2a incógnita a partir da 3a equação:
75y
5z5y (-1) 3z2y-x
z
(III) 20z (II) 5z5y (I) 3 z 2y -x
Ao escalonar o sistema, notamos que sua última equação 0z = -2 não admite nenhum
valor real para z que satisfaça igualdade. Logo, o sistema é impossível. Observação: Sempre que ao escalonar um sistema linear encontrarmos uma equação do tipo 0x1
+ 0x2+ ... + 0xn = b, com b 0, o sistema será impossível.
Exemplo 3:
6z4y3x42z3y2x
2zyx
1o passo: Anulamos todos os coeficientes da 1a incógnita a partir da 2a equação:
6z-4y3x
42z-y32x(-2) 2zyx
6z-4y3x
0z4y 2zyx
6z-4y3x
0z4y (-3) 2zyx
0z4y 0z4y 2zyx
2o passo: Anulamos os coeficientes da 2a incógnita a partir da 3a equação:
0z4y
0z4y (-1) 2zyx
(III) 00z (II) 0z4y (I) 2 z y x
O sistema está escalonado e sua última equação 0z = 0 é verdadeira para qualquer valor
real de z (infinitas soluções). Logo, o sistema é possível e indeterminado.
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Observação: Neste último exemplo, suprimindo-se a 3a equação 0z = 0, teremos:
04zy 2zyx
Sempre que um sistema na forma escalonada tiver o número de equações menor que o
número de incógnitas (m < n), ele será possível e indeterminado.
Exemplo 4:
1z2y2x2zyx
1o passo: Anulamos o coeficiente da 1a incógnita a partir da 2a equação:
1z2y2x(-2) 2zyx
5z
2zyx
O sistema está escalonado e o número de equações é menor que o número de incógnitas
(m < n), então o sistema é possível e indeterminado. Observação: Note que o mesmo sendo z = 5 solução única, ao substituirmos esse valor em x +y
- z = 2, teremos: x + y – z = -2 x + y = 3, possuindo essa equação infinitas
soluções, tornando assim o sistema possível e indeterminado.
Exercício Proposto
Escalone e classifique os seguintes sistemas lineares:
a)
7z3y2x12zy3x
0z2yx
b)
2z2y2x12zyx
0zy3x
c)
44z9y4x22z3y2x
1zyx
d) 13x27y
3y2x1
SISTEMAS LINEARES: ESCALONAMENTO Apresentaremos neste módulo a resolução de alguns sistemas lineares aplicando a
técnica do escalonamento.
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Exercício Resolvido
Resolva os seguintes sistemas:
a)
7z2yx9z7y2x
82z3yx
b)
57z6y2x12zy3x
6zyx
c)
45zyx194z5y2x
53z2yx
d)
1zy2x6zyx
Solução:
a) Vamos escalonar o sistema:
7z2yx 9z7y2x
(-2) 82z3yx
7z2yx 255zy
(-1) 82z3y-x
153z5y (5) 255zy
82z3y-x
(III) 01428z (II) 255zy (I) 82z3y-x
A última equação do sistema escalonado –28z = -140 tem solução única e como m = n,
o sistema é possível e determinado . Sua solução é:
-28z = -140 z = 5. Substituindo z = 5 em (II), vem:
-y – 5 . 5 = -25 -y – 25 = -25 y = 0
Substituindo z = 5 e y = 0 em (I), temos:
x – 3 . 0 +2 . 5 = 8 x + 10 = 8 x = -2
Portanto, x = -2 y = 0 e z = 5 e S = {(-2, 0, 5)}.
b) Escalonando o sistema, temos:
57z6y2x 12zy3x
(-2) . (-3) . 6zyx
75z4y 175z4y
6z-yx
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24z00y 175z4y
6z-yx
Como a última equação do sistema é sempre falsa, então o sistema é impossível e S =
.
c) Vamos escalonar o sistema:
45zy - x 19z4y52x
(-2) . (-3) . 53z2y-x
92zy
92z-y 53z2y-x
00z0y 92zy 53z2y-x
A última equação do sistema escalonado é verdadeira para qualquer valor real de y e z.
Assim, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções.
Eliminado a última equação do sistema escalonado, temos:
92zy 53z2yx
O sistema está escalonado e m < n. Logo, ele é possível e indeterminado.
Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
Consideramos o sistema em sua forma escalonada.
Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:
GI = n – m = 3 – 2 = 1
Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor ,
supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo z = e
substituindo esse valor na 2a equação, obtemos:
- y - 2 = 9 y = -2 - 9
Substituindo z = e y = - 2 - 9 na 1a equação, temos:
x – 2(- 2 - 9) + 3 = 5 x+ 4 + 18 + 3 5 x = - 7 - 13
Portanto, S = {(- 7 - 13, - 2 - 9, )}.
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d) Vamos escalonar o sistema:
1zy2x.(-2) 6zyx
113zy
6zyx
O sistema está escalonado e m < n. Logo, ele é possível e indeterminado.
GI = n – m = 3 – 2 = 1
De maneira análoga ao exercício anterior vamos resolver o sistema:
z = α
- y - 3α = - 11 - y = 3α - 11 y = 11 - 3α
x + y +z = 6 x + 11 - 3α + α = 6 x - 2α = 6 – 11 x = 2α - 5
Portanto, S = {(2α - 5, 11 - 3α , α )}.
Exercício Proposto
Classifique e resolva os sistemas a seguir:
a)
83zy3x52z2yx
9z3y2x
b)
03zy2x0zy3x0z2yx
c)
343y5x3y3x74yx
d)
7z2y2x3zyx
e) 132x12y
2yx1
f)
1zx02zy13yx
CONTEXTOS, APLICAÇÕES INTERDISCIPLINARIDADE
Uma seção para você ligar a Matemática à realidade da vida e da sociedade
Matrizes, Sistemas Lineares, Eletricidade e Livros No exemplo 1 vamos calculara as correntes de um circuito elétrico usando os conceitos
matemáticos de matrizes e sistemas lineares. No exemplo 2, vamos calcular os preços de três
livros de Matemática de uma determinada livraria com sede e duas filiais e novamente esses
conceitos devem ser usados.
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Exemplo 1
Esse circuito possui:
Dois geradores de forças eletromotrizes (fem) E1 = 27V e E2 = 24V e
resistências internas r1 = 1 ;
Três resistores: R1 = 2 , R2 = 6 e R3 = 3 . Observação: A unidade de medida de fem é o volt (V); a unidade de medida de resistência
elétrica é o ohm ( ).
Resolver um circuito elétrico significa determinar as intensidade das correntes elétrica
que nele circulam; a unidade de medida da corrente elétrica é o ampère (A).
Nesse circuito, temos rês correntes, representadas por i1, i2 e i3.
Para calcular suas intensidade, vamos montar o sistema a seguir, que resulta da
aplicação das 1a e 2a leis de Kirchhoff no circuito da figura acima. Observação: Essas lei são vistas detalhadamente no estudo de Eletrodinâmica, que pertence à
Física.
424i6i- 27 6i 3i0iii
32
2
321
Aplicando a regra de Cramer, temos:
D = 54 460
063111
1iD =
46240627110
= -126
2iD =
42400273101
= -180 3i
D = 2460
2763011
= -54
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Assim:
i1 =
54
126D
D1i i1 = 3
7A , i2 =
54
180D
D2i i2 = A
310
e i3 = D
D3i =
5454
i3 = 1A
Logo, as correntes do circuito são i1 = 37
A, i2 = A3
10 e i3 = 1A
Exemplo 2
Uma coleção de livros de Matemática para o ensino médio é representada por três
livros:
M1 é do 1o ano;
M2 o do 2o ano;
M3 o do 3o ano.
As livrarias A, B e C, em um relatório sobre as vendas diárias, apresentam os seguintes
resultados num determinado dia:
Livraria Total de vendas Valor total recebido
A 1M1 2M2 3M3
R$ 111,00
B 2M1 1M2 2M3
R$ 88,00
C 3M1 2M2 5M3
R$ 181,00
Com base nesse relatório, determine os preços dos livros M1, M2 e M3.
Solução:
Se M1 custar x reais, M2 custar y reais e M3 custar z reais, teremos o seguinte sistema:
1815z2y3x882z1y2x1113z2y1x
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Escalonando o sistema teremos:
20z 38zy 1113z2yx
Assim, z = 20, y = 18 e x = 15.
Logo, M1 custará R$ 15,00; M2 custará R$ 18,00 e M3 custará R$ 20,00.
NÚMEROS COMPLEXOS: INTRODUÇÃO, ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Introdução
Sabemos que N Z Q R, sendo o conjunto R o mais amplo que conhecemos até
agora. Nele não podemos resolver equações do 2o grau em Δ < 0, como x2 + 1 = 0, x2 +4 = 0,
x2 + 5x +7 = 0, isto é, não há solução em R para essas equações.
Durante muitos séculos essas equações ficaram sem solução até que Raffaeli Bombeli,
em 1572, publicou seu tratado de Álgebra, falando sobre raízes quadradas de números
negativos.
Assim, começava a surgir um novo conjunto, chamado de conjunto dos números
complexos e representando por C e no qual aquelas equações (Δ < 0) não tinham solução.
Criou- se também o símbolo i (pois esses números eram chamados imaginários) para ser
usado no lugar de 1
Vamos, então, resolver algumas equações em C para exemplificar.
a) x2 + 1 = 0 x2 = -1 x = 1 x = + i ou x = - i
S = {- i, i}
b) x2 + 25 = 0 x2 = -25 x = 25(-1) 25 x = 5i
S = {-5i, 5i}
c) x2 –2x +2 = 0 x =
2)i1(2
22i2
242
2842 1 i
S = {1 - i, 1 + i} Números como i, 2i, -3i, 2 +3i, 4 – 2i são exemplos de números complexos, ou seja,
todo número da forma z = a +bi ( (a, b R e i = 1 ) é um número complexo:
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C = {z / z = a + bi, a R e b R } Sendo a a parte real (R) e bi a parte imaginária (Im).
Dessa forma, podemos escrever N Z Q R C.
Observações:
1a) i2 = -1 2a) z = a + bi é chamado forma algébrica do número complexo. 3a) Se a = 0, então z = bi, que chamamos de número imaginário puro, ou simplesmente, número
imaginário. 4a) Se b = 0, z = a é real. Igualdade de números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente têm a mesma parte real e a mesma
parte imaginária:
a + bi = c + di a = c e b = d
Adição e subtração de números complexos
Dados dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, temos por definição:
a) z1 + z2 = (a +c) + (b + d)i parte real parte imaginária
a) z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i
parte real parte imaginária Veja os exemplos:
z1 = 3 – 5i e z2 = 4 + 4i
9i-1- i 4)-(-54)-(3z-zi7i 4)5(4)(3zz
21
21
z1 = 2 +3i e z2 = -2 + 4i
6i1012i66i44i)23(3)2(23z2zi44)i(3)(2zz
7i4)(2)(2zz
21
21
21
Exercícios Resolvidos
1. Determine p para que z = (2p +7 ) + 3i seja imaginário puro.
Solução:
Devemos ter: a = 2p + 7 = 0 p = - 27
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2. Sejam os números complexos z1 = k + 3i e z2 = 3 – mi. Determine k e m
para que z1 + z2 = 2(5+2i).
Solução:
z1 + z2 = k + 3i +3 – mi = (k+ 3) + (3 . m) i = 2(5 + 2) = 10 + 4i
R Im R Im
Logo,
1m4m37k103k
Exercícios Propostos
1. Resolva em C as equações:
a) x2 +36 = 0 b) x2 +7x + 10 = 0 c) x2 +2x+2 = 0
2. Encontre a de modo que z = (a2 – 4) + (a – 2)i seja imaginário puro.
3. Determine os números reais m e n tal que (m + n) + (m – n)i = 4 + 2i.
4. O número complexo z = x +(x2 – 4)i é real se, e somente se:
a) x = 0. b) x 0. c) x = 2. d) x 2. e) x 0 e x 2.
5. Determine k e m para que z1 – z2 = 3 +2i, sendo z1 = k + mi e z2 = 2 – 2i.
6. Se z1 = 2 + mi e z2 = 3 + 4i, obtenha m tal que z2 – z1 = z1 – 1 – 3i.
7. Sendo z1 = 2 +3i, z2 = -3 – i e z3 = 4 –2i, determine:
a) z1 –2z2 – z3 b) 2z1 – 3(z3 – z2)
NÚMEROS COMPLEXOS: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Multiplicação de números complexos
Dados dois números complexos, z1 = a +bi e z2 = c + di, temos por definição:
z1z2 = (a +bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci – bci – bd z1z2 =(ac –
bd) + (ad + bc)i.
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Exemplos:
z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – 2i
z1z2 = (2 + 3i) (-1 + 2i) = -2 – 3i + 4i + 6i2 = -2 – 3i + 4i – 6 = -8 + i
z1 = 1 – i e z2 = 3 +4i
z1z2 = (1 - i) (3 + 4i) = 3 + 4i - 3i - 4i2 = 3 + 4i - 3i + 4 = 7 + i
Conjugado
Chamamos de conjugado de z = a + bi o número complexo, indicado por z , tal que:
z = a – bi
Veja:
z1 = 2 – 2i 1z = 2 + 2i
z2 = 3 + 4i 2z = 3 – 4i
z3 = -5 +2i 3z = -5 –2i
Na prática, para obter o conjugado de um número complexo, trocamos o sinal do
coeficiente da parte imaginária.
Observações: Sendo z = a + bi, temos:
1a) z + z é sempre real, pois z + z = a + bi + a – bi = 2a.
2a)z - z é sempre imaginário puro, pois z - z = a + bi – (a – bi) = a +bi – a + bi = 2bi.
3a) z z é sempre real não-negativo, pois z z = (a + bi) (a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 – b2i2 =
a2 +b2.
Propriedades
1a) Se z = a + bi, então z = a – bi z = bia = a + bi: z = z.
2a) O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados: 21 zz = 1z + 2z .
3a) O conjugado do produto é igual ao produto ao produto dos conjugados: 21zz = 1z 2z .
4a) O conjugado de uma potência é igual à potência do conjugado: nz = nz (n N).
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Divisão de números complexos
Dados dois números complexos, z1 = a +bi e z2 = c + di, para obter a forma algébrica do
quociente 2
1
zz
, z2 0, multiplicamos o numerador e o denominador da fração por 2z
(conjugado do denominador).
Esse procedimento, além de não alterar o valor de 2
1
zz
, permite eliminar a parte
imaginária do denominador (pois z2 2z é real), obtendo, desse modo, a forma algébrica.
Observe o exemplo.
Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = 4 + 3i, temos:
.i256
2517
9166i17
9i169i12i6i8
3i43i4.
3i43i2
3i43i2
zz
2
2
2
1
Exercícios Resolvidos
1. Determine o complexo x tal que (1 i) z –(1 + 2) z = 7 + 3i.
Solução:
Sendo z = a + bi, temos z = a – bi
Substituindo na equação, vem:
(1 + i) (a + bi) – (1 +2i) (a – bi)= 7 + 3i a + bi + ai – b – a + bi - 2ai – 2b = 7 +3i
-3b + (2b – a) i = 7 + 3i
3a2b73b
Resolvendo o sistema, obtemos b = 37
e a = 323
. Logo, z = 323
37
. i
2. Efetue:
a) i1i2
b) 2i1i3
i2i1
Solução:
a) i1i2
= 23
21
23i1
i1i2i2
i)i)(1(1i)i)(1(2
2
2
. i
b) 2i1i3
i2i1
=
57i1
53i1
412i6i3
1412ii2
2i12i1.
2i1i3
i2i2.
i2i1
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.i54
52
54i2
Exercícios Propostos
1. Calcule:
a) i1
2i3
b)
i3i2
c) 2i
4i3 d)
5i43i2
5i43i2
2. Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = 1 –2i. Como z1z2 = 15,
então z1 + z2 é igual a:
a) 8. b) 4. c) 4 + 4i. d) 6 + i. e) 8 – 2i.
3. A divisão i12i1
dá como resultado o número:
a) - .i23
21 b)
23
21 . i c) -
23
21 . I d) )
23
21 . i e) –1 + 3i.
4. O quociente de z = 3 + 2i por w = 1 + i é:
a) 3 + 2i. b) 3 – i. c) 5 – i. d) 21
25 . i . e)
23
- i.
5. Se z1 = 2 + 3i e z2 = 3 + 4i, calcule:
a) z1 . 2z . B) 2
1
zz
6. Se z1 = 3 – 2i, z2 = 2 + i e z3 = 1 + i, calcule 3
21
z.zz
.
NÚMEROS COMPLEXOS: POTÊNCIAS DE i E REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Potência de i
Estudando as potências de i( in, n N), temos:
i0 = 1 i6 = i4i2 = 1(-1) = -1 i1 = i i7 = i4i3=1 (-1) = -i i2 = -1 i8 = i4i4 = 1 . 1 = 1 i3 = i2i = -i i9 = i8i = 1 . i = i
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i4 = i2i2 = -1(-1) = 1 i10 = i8i2 = 1(-1) = -1 i5 = i4i = 1 . i = i i11= i10i=-1 . i = -i Então, podemos escrever:
-i1(-i)iiiiii-11(-1)iiiiii
i1.iiiiiii11)(iiiii
34n34n1173
24n24n1062
4n14n951
nn44n840
Portanto, para determinar uma potência de i superior a 4, basta dividir o expoente de i
por 4 e considerar apenas i elevado ao resto dessa divisão. Veja: i9 i82 i123
9 4 i9 = i2.4+1 = i8 . i =1 . i = i 82 4 i82 = i2 = -1 123 4 i123 = i3 = -i
1 2 2 20 03 30
Representação gráfica de um número complexo
Para representar o número complexo z = a + bi num plano (chamado de Argand-Gauss),
marcamos o coeficiente da parte real no eixo Ox e o coeficiente da parte imaginária no eixo
Oy.
Veja:
biaz complexo do afixoou geométrica imagemb)P(a,)(imaginário eixoIm
)( rea eixoOy
OxR
Por exemplo, se z1 = 2 + 3i e z2 = -2 + i, P1 (2, 3) é o afixo de z1 e P2 (-2, 1) é o afixo de
z2. Então, representação desses números é:
Módulo
O módulo ( z ) de um número complexo é a distância de seu afixo à origem do plano de
Argand-Gauss. Assim, se P(a, b) e O(0, 0), temos:
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z = dOP = 22 0)(b0)(a z = 22 ba
Veja alguns exemplos:
z = 2 +3i z = 22 32 = 13 z = -5i z = 22 )5(0 = 5
Argumento
Argumento de um número complexo (arg (z)) é o número θ (0 θ < 360°) tal que:
sen θ = z b
e cos θ = z a
(z 0)
O ângulo θ é considerado no sentido anti-horário, a partir do eixo real (parte positiva)
até encontrar OP .
Exercícios Resolvidos
1. Calcule 13
28243
iii
.
Solução:
i243 = i3 = - i
i28 = i0 = 1
1
i1i
iii
i)1)(i(i
1ii
ii2
2
213
28243
= -1 + i
i13 = i1 = i
2. Represente graficamente e determine o módulo e o argumento dos
seguintes números complexos:
a) z = 2 + 2 3 i b) w = 1 - i
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100
Solução:
a)Representação gráfica
Módulo
z = 22 )32(2 = 124 = 4
Argumento:
sen θ = 23
432
zb
Como 2 + 2 3 i está no 1° quadrante
(0 < θ < 90°), então θ = 60°.
Módulo
w = 22 )1(1 = 2
a)Representação gráfica
Argumento:
Como 1- i está no 4° quadrante, 270° < θ < 360°. Assim:
cos θ = 22
21
wa
θ = 315°
Exercícios Propostos
1. Calcule:
a) i107 b) i100 – i200 c) 12
10033
iii
d) 19
218
iii
e) 18
321
ii
2. A expressão 13
11031
iii
é equivalente a:
a) 1 – i . b) –1 + i. c) 1 + i. d) i. e) – 1 – i.
3. Represente graficamente e determine o módulo e o argumento dos
seguintes números complexos.
a) z = 1 +i b) z = - 1 + i c) z = 3 + i. d) z = -1 + i 3
e) z = -2i f) z = 4 g) z = 2 +2i h) z = -1 - 3
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FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO COMPLEXO
Seja um número complexo z = a + bi, z 0.
Sendo o ângulo θ em radianos, temos:
cos θ = za a = z . cos θ (1)
sen θ = zb b = z . sen θ (2)
Substituindo (1) em (2) em z = a + bi, temos:
z = z .cos θ + i . z . sen θ z = z . (cos θ + i . sen θ )
Que é a forma trigonométrica ou polar de um número complexo.
Exercícios Resolvidos
1. Passe para a forma trigonométrica
a) z = 1 + i b) z = -1 + 3 i.
Solução:
a) z = 1 + i é um complexo que tem representação gráfica no 1° quadrante:
Assim:
z = 11 = 2
cos θ = za
= 22
21
θ 4
rad (0 < θ < 2
)
Então:
z = z . (cos θ +i . sen θ ) = 2 (cos 4
+ i . sen 4
)
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b) z = - 1 + 3 i tem representação gráfica no 2° quadrante (2
rad < θ < rad):
Assim:
z = 22 )3()1( = 4 = 2
cos θ = za
= - 21
θ = 3
2rad (
θ 2
)
Então:
z = 2 ( cos 3
2 + i . sen
32
)
2. Dê a forma trigonométrica de z = (1 + i )4.
Solução:
(1 + i)2 = 12 + 2 . 1 . i + i2 = 1 +2i – 1 = 2i
Logo, (1 + i )4 = [(1 + i)2]2 = (2i)2 = 4i2 = -4
Se z = (1 + i)4 = -4, então a = -4 e b = 0.
Logo, sua representação gráfica é:
Assim, z = 22 0)4( = 4 e θ = rad.
Então: z = z (cos θ + i . sen θ ) = 4 (cos + i . sen )
Exercícios Propostos
1. Passe para a forma trigonométrica:
a) 2 – 2i b) 2 2 + 2 2 i c) –i d) -4
e) -2 3 -2i f) 5i13i)2(2
g) 5i
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2. Dado z = 4i33i4
, determine:
a) seu argumento e seu módulo; b) a forma trigonométrica de z.
3. O número complexo 2 2 i, na forma trigonométrica, é:
a) 2(cos 6
+ i . sen 6
). b) 2(cos 4
+ i . sen 4
).
c) 2(cos 3
+ i . sen 3
). d) 2(cos 4
3 + i . sen
43
).
e) 2(cos 4
5 + i . sen
45
).
4. Dê a forma trigonométrica de:
a) z = ( 1 . i)2 b) z = (1 + 3 i)2 c) z = i1i1
5. O módulo e o argumento de z = 3i valem respectivamente:
a) 3 e b) 9 e 2 c) 3 e 2
d) 3 e - 2
e) nda
6. Qual a forma trigonométrica de um número complexo de módulo 5 e o
argumento 2
3 θ ?
7. Se u = 3 + 2i e v = 1 + i, então vu é:
a) 5. b) 26 c) 29 d) 7. e)15.
8. O módulo do número complexo (1 + 3i)4 é :
a) 256. b) 100. c) 81. d) 64. e) 16.