MD - Aula1 - Declaracoes e Equivalencias Logicas

Matemática DiscretaFormas declarativas e Equivalências lógicas

Prof. Flávio José Mendes Coelhoflaviojmcoelho@gmail.com

Universidade do Estado do AmazonasEscola Superior de Tecnologia - ESTCurso de Engenharia da Computação

Plano de aula

1. Declarações.

2. Formas declarativas básicas.

3. Tabelas-verdade.

4. Operações ⊕, ↔.

5. Tautologias e contradições.

6. Equivalências lógicas.

7. Declarações contrárias, contrapositivas e inversas.

8. Equivalências lógicas fundamentais.

Flávio J. M. Coelho (UEA/EST) Matemática Discreta Eng. da Computação 2 / 35

Declarações

.Definição 1.1.Uma declaração é uma sentença que é verdadeira oufalsa, não ambas..

Exemplo 1.1

As seguintes sentenças são declarações.

1. 2+2 = 4.2. 2+2 6= 4.3.√

4 = 2 e√

5> 2.4. A função seno é periódica e 2π é um inteiro.5. 102 > 210 ou 210 > 102.6. se e > 2, então e2 > 4.7.√−1 é um número real.

Exemplo 1.1

1. 2+2 = 4.2. 2+2 6= 4.3.√

4 = 2 e√

Exemplo 1.1

1. 2+2 = 4.2. 2+2 6= 4.3.√

4 = 2 e√

Exemplo 1.1

1. 2+2 = 4.2. 2+2 6= 4.3.√

4 = 2 e√

Exemplo 1.1

1. 2+2 = 4.2. 2+2 6= 4.3.√

4 = 2 e√

Exemplo 1.1

1. 2+2 = 4.2. 2+2 6= 4.3.√

4 = 2 e√

Exemplo 1.1

1. 2+2 = 4.2. 2+2 6= 4.3.√

4 = 2 e√

Exemplo 1.2

As seguintes sentenças não são declarações.

1. Qual é a soma de 2+2?2. Avalie a soma 2+2.3. Esta sentença é falsa.

Exemplo 1.2

Formas declarativas básicas

FORMA SIGNIFICADO¬p não p (negação de p)p∧ q p e q (conjunção)p∨ q p ou q (disjunção)p→ q se p, então q (implicação)

Tabela-verdade da negação

.p ¬pV FF V

Tabela-verdade da conjunção

.p q p∧qF F FF V FV F FV V V

Tabela-verdade da disjunção

.p q p∨qF F FF V VV F VV V V

Tabela-verdade da implicação

.p q p→ q

F F VF V VV F FV V V

Precedência das operações

.ORDEM OPERAÇÃO

1 (, )2 ¬3 ∧, ∨4 →

Exemplo 1.3

Construa a tabela-verdade para a forma declarativap∧ q→ r.Solução:

p q r p∧q p∧q→ r

F F F F VF F V F VF V F F VF V V F VV F F F VV F V F VV V F V FV V V V V

Exemplo 1.3

Exemplo 1.4

Construa a tabela-verdade para a forma declarativa¬(p∨ q).

Solução:

p q p∨q ¬(p∨q)F F F VF V V FV F V FV V V F

Exemplo 1.4

Solução:

Exemplo 1.4

Solução:

Ou-exclusivo e se e somente se

.Definição 1.2(a) A operação ou-exclusivo ⊕ é definda porp⊕ q = (p∨ q)∧¬(p∧ q).

(b) A operação se e somente se ↔ é definda porp↔ q = (p→ q)∧ (q→ p)..

.sss também é usado para denotar ↔.

Tabelas-verdade de ⊕ e ↔

.p q p⊕q p↔ q

F F F VF V V FV F V FV V F V

Tautologias e contradições

.Definição 1.3(a) Uma tautologia é uma forma declarativa que é sempreverdadeira. Uma tautologia será denotada por v.

(b) Uma contradição é uma forma declarativa que ésempre falsa. Uma contradição será denotada por f..

Exemplo 1.5

Mostre que p∨¬p é uma tautologia.

Solução:

p ¬p p∨¬pF V VV F V

.Todos os valores da coluna p∨¬p são verdadeiros,portanto, p∨¬p é uma tautologia.

Exemplo 1.5

Solução:

Exemplo 1.5

Solução:

Exemplo 1.5

Solução:

Exemplo 1.5

Mostre que p∧¬p é uma contradição.

Solução:

p ¬p p∧¬pF V FV F F

.Todos os valores da coluna p∧¬p são falsos, portanto,p∧¬p é uma contradição.

Exemplo 1.5

Solução:

Exemplo 1.5

Solução:

Exemplo 1.5

Solução:

Equivalência lógica

.Definição 1.4Duas formas declarativas p e q são logicamenteequivalentes, escrito p≡ q (p⇔ q), se e somente se aforma declarativa p↔ q for uma tautologia.

Denota-se a não equivalência lógica de duas declarações pe q por p 6≡ q..

Exemplo 1.6

Verifique que ¬(p→ q)≡ (p∧¬q).

Solução:α β

p q ¬q p→ q ¬(p→ q) p∧¬q α↔ βF F V V F F VF V F V F F VV F V F V V VV V F V F F V

.Desde que ¬(p→ q)↔ (p∧¬q) é uma tautologia,concluímos que ¬(p→ q)≡ (p∧¬q).

Exemplo 1.6

Solução:α β

Exemplo 1.6

Solução:α β

Exemplo 1.6

Solução:α β

Exemplo 1.6

Solução:α β

.Alternativamente, seria suficiente confirmar que ¬(p→ q)e (p∧¬q) possuem uma mesma tabela-verdade.

Exemplo 1.6

Solução:α β

Exemplo 1.6

Solução:α β

Exemplo 1.6

Solução:α β

Exemplo 1.7

A negação de

“Se Ana estuda matemática discreta, ela prova teoremas”.

“Ana estuda matemática discreta e não prova teoremas”.

Exemplo 1.8

Verifique se p∧ (q∨ r)≡ (p∧ q)∨ r.

Solução: considere a seguinte tabela-verdade.α β γ δ

p q r q∨r p∧q p∧α β∨r γ↔ δF F F F F F F VF F V V F F V FF V F V F F F VF V V V F F V FV F F F F F F VV F V V F V V VV V F V V V V VV V V V V V V V

Exemplo 1.8

Solução:Pela tabela-verdade p∧ (q∨ r)↔ (p∧ q)∨ r não é umatautologia. Portanto, p∧ (q∨ r) 6≡ (p∧ q)∨ r.

Formas contrária, contrapositiva e inversa

.Definição 1.5Dada uma forma declarativa p→ q,

(a) sua contrária é q→ p.

(b) sua contrapositiva é ¬q→¬p.

(c) sua inversa é ¬p→¬q..

Exemplo 1.11

Verifique que a declaração se-então não é logicamenteequivalente à sua contrária, mas é logicamenteequivalente à sua contrapositiva.

Solução:

p q ¬p ¬q p→ q q→ p ¬q→¬pF F V V V V VF V V F V F VV F F V F V FV V F F V V V

Exemplo 1.11

Solução:

Exemplo 1.11

Solução:

Exemplo 1.11

Solução:Na tabela-verdade, as colunas para p→ q e q→ p sãodiferentes, ao passo que as colunas para p→ q e ¬q→¬ptem os mesmos valores. Logo,

(p→ q) 6≡ (q→ p), mas (p→ q)≡ (¬q→¬p).

Exemplo 1.11

Solução:Na tabela-verdade, as colunas para p→ q e q→ p sãodiferentes, ao passo que as colunas para p→ q e ¬q→¬ptem os mesmos valores. Logo,

(p→ q) 6≡ (q→ p), mas (p→ q)≡ (¬q→¬p).

Exemplo 1.12

Considere a declaração: “Se existe uma solução, então oprograma termina”.

(a) sua contrária é...“Se o programa termina, então existe uma solução”.

(b) sua contrapositiva é...“Se o programa não termina, então não existe umasolução”.

(c) sua inversa é...“Se não existe uma solução, então o programa nãotermina”.

Exemplo 1.12

Equivalências lógicas básicas

.Prova (Demonstração, verificação)É uma sequência de passos que torna evidente a verdadede uma proposição matemática (declaração).

TeoremaÉ uma proposição matemática (declaração) que foiprovada ser verdadeira.

Provado um teorema, o mesmo pode ser utilizado comoferramenta para provar outros novos teoremas.

Equivalências lógicas básicas

Teorema 1.1Sejam p, q e r, variáveis declarativas.

(a) ¬¬p≡ p Dupla negação(b) (p∧ q)∧ r ≡ p∧ (q∧ r) Associatividade

(p∨ q)∨ r ≡ p∨ (q∨ r)(c) p∧ q ≡ q∧p Comutatividade

p∨ q ≡ q∨p(d) p∧ (q∨ r)≡ (p∧ q)∨ (p∧ r) Distributividade

p∨ (q∧ r)≡ (p∨ q)∧ (p∨ r)(e) ¬(p∧ q)≡ ¬p∨¬q Leis de De Morgan

¬(p∨ q)≡ ¬p∧¬q(f) p∧ (p∨ q)≡ p Regras de absorção

p∨ (p∧ q)≡ p

Interações com tautologias e contradições

Teorema 1.2Seja p uma variável declarativa.

(a) ¬v ≡ f (b) p∧v ≡ p¬f ≡ v p∨v ≡ v

(c) p∧f ≡ f (d) p∧¬p≡ fp∨f ≡ p p∨¬p≡ v

(e) v→ p≡ p (f) p→ f ≡ ¬pp→ v ≡ v f → p≡ v

Exemplo 1.13

Verifique que (p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧¬r)≡ p∧ q.

Solução:

(p∧ q∧ r)∨ (p∧ q∧¬r)≡ ((p∧ q)∧ r)∨ ((p∧ q)∧¬r) Associação≡ (p∧ q)∧ (r∨¬r) Distributividade≡ (p∧ q)∧ t Teorema 1.2(d)≡ p∧ q Teorema 1.2(b) �

Exemplo 1.13

Solução:

Exemplo 1.13

Solução:

Exemplo 1.13

Solução:

Exemplo 1.13

Solução:

Exemplo 1.13

Solução:

Exemplo 1.14

Verifique que p∧ q→¬r∨¬s≡ r∧ s→¬p∨¬q.

Solução:

p∧ q→¬r∨¬s≡ (p∧ q)→ (¬r∨¬s) Precedência≡ ¬(¬r∨¬s)→¬(p∧ q) Contrapositiva (Ex. 1.11)≡ (¬¬r∧¬¬s)→ (¬p∨¬q) Lei de De Morgan≡ (r∧ s)→ (¬p∨¬q) Dupla negação≡ r∧ s→¬p∨¬q Precedência �

Exemplo 1.14

Solução:

Exemplo 1.14

Solução:

Exemplo 1.14

Solução:

Exemplo 1.14

Solução:

Exemplo 1.14

Solução:

Exemplo 1.14

Solução:

BibliografiaBondy, J. A., Murty, U. S. R., Graph Theory. Springer, 2008. Volume244. (Graduate Texts in Mathematics series)

Ferland, K., Discrete Mathematics, Houghton Mifflin Company, 2009.

Houston, K., How to Think like a Mathematician: A Companion toUndergraduate Mathematics, Cambridge University Press, 2009.

Scheinerman, E. R., Matemática Discreta: uma Introdução. Traduçãoda 2a edição americana. São Paulo. Thomson Learning Ltda, 2003.

Szwarcfiter, J. L., Grafos e Algoritmos Computacionais. 2a. edição.Editora Campus, 1987.

Onde obter este material:sites.google.com/site/flaviojmcoelho/disciplinas/md

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