Delegado Federal Raciocinio Logico Kidriki Estruturas Logicas 19-05-09 Parte1 Finalizado Ead

7/31/2019 Delegado Federal Raciocinio Logico Kidriki Estruturas Logicas 19-05-09 Parte1 Finalizado Ead

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RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO

DELEGADO DE POLCIA FEDERAL/ 2009

SUMRIO

1. ESTRUTURAS LGICAS....................................................................................... 2PROPOSIES E SENTENAS ABERTAS, 2CONETIVOS, 2EXERCCIOS, 3OBSERVAES, 4EXERCCIOS, 5GABARITO, 9

2. LGICA DE ARGUMENTAO........................................................................... 9VALIDADE DE UM ARGUMENTO, 9SILOGISMO, 10INFERNCIAS E ANALOGIAS, 10EXERCCIOS, 11QUANTIFICADORES, 14EXERCCIOS, 15GABARITO, 16

3. DIAGRAMAS LGICOS....................................................................................... 17EXERCCIOS, 18GABARITO, 21

4. PRINCPIOS DE CONTAGEM.............................................................................21EXERCCIOS, 23

5. PROBABILIDADES.................................................................................................30CONCEITOS, 30PROBABILIDADE DA UNIO DE EVENTOS (REGRA DO OU), 33PROBABILIDADE DA INTERSECO DE EVENTOS (REGRA DO E), 34PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR, 35EXERCCIOS, 36PROVA : AGENTE DE POLCIA FEDERAL, 46GABARITO, 47

6. RACIOCNIO LGICO INTUITIVO....................................................................48


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Raciocnio Lgico Quantitativo Prof. Cludio da Cunha kidricki

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1. ESTRUTURAS LGICAS

A lgica matemtica, tambm chamada de lgica simblica ou lgicaformal, baseadaem dois princpios:

PROPOSIO E SENTENA ABERTA

De acordo com os princpios dados, podemos dizer que uma proposio em lgica, umaafirmao que admite um nico valor lgico definido: verdadeiro(V) ou falso(F).

Exemplos:a) Porto Alegre uma cidade brasileira (V) .

b) A ma uma fruta (V) .c) 2+1= 5 (F) .

No so consideradas proposies, por no ter um valor lgico definido, por exemplo:a) Que horror !

b) Ser que chove hoje?

c) Ele um ator.d) x um nmero primo.

Sentenas que apresentam um sujeito indeterminado ou uma varivel, como os exemplos c e dacima, so chamadas de sentenas abertas, funes proposicionais ou predicados, com umavarivel.Ao atribuirmos um valor para a varivel, transformamos a sentena aberta em uma proposio(que seria uma sentena fechada).Outra maneira de fechar uma sentena aberta utilizar os quantificadores, como veremosadiante.

Notao: Nos concursos pblicos, as proposies so representadas por letras minsculas p, q, r,

s,... ou por letras maisculas P, Q, R, S, ..., dependendo da banca examinadora. As sentenasabertas com uma varivel so representadas por p(x), q(x), r(x),... ou por P(x), Q(x), R(x), ...,etc.

CONETIVOS

Os conetivos so palavras que ligam proposies simples, originando proposiescompostas. Utilizaremos os cinco conetivos dados a seguir:

1) Princpio da No-ContradioUma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.

2) Princpio de Terceiro ExcludoToda proposio ou verdadeira ou falsa, no havendo uma terceira possibilidade.

e ( ) : conjuno;ou ( ) : disjuno no exclusiva ;ou...ou ( ) : disjuno exclusiva ;

se...ento ( ) : condicional ;se e somente se ( ) : bicondicional.


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Exemplos1) Ma uma fruta e 1+2=42) 2>1 ou 3 0 ou 4 < 0 uma disjuno exclusiva V;4) se 1 > 2, ento 3 < 4 um condicional V;5) se 6 > 8, ento 9 < 8 tambm um condicional V;6) 1+1=3 se e somente se 2+2=5 um bicondicional V.

EXERCCIOS1) (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.A frase dentro destas aspas uma mentira.

A expresso X+Y positiva.O valor de 4 + 3 = 7 .

A proposio p q s verdadeira se as proposies p e q forem ambasverdadeiras.

A proposio p q s falsa se as proposies p e q forem ambas falsas.A proposio p q s verdadeira quando uma e somente uma das proposies p e q

for verdadeira.A proposio p q s falsa quando p verdadeira e q falsa.A proposio p q s verdadeira quando p e q tm valores lgicos iguais.


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Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.( ) Certo( ) Errado02. (CESPE) H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faa seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos.( ) Certo( ) Errado

OBSERVAES1) Nmero de linhas de uma tabela-verdade:

Por exemplo:

1) Uma proposio

Tabela com 2

1

= 2 linhas2) Duas proposies Tabela com 22 = 4 linhas3) Trs proposies Tabela com 23 = 8 linhas, etc.

2) O condicional p q corresponde, na linguagem de conjuntos, a A B (A est contidoem B) .De fato, quando A B, para todo x, o condicional xA xB verdadeiro.

3) O bicondicional p q significa p q e q p (Temos um condicional de ida e umcondicional de volta). A partir da, fcil entender a regra do bicondicional.De fato, de acordo com a regra do e, p q ser V quando os condicionais de ida e de voltaforem ambos V, o que ocorre somente quando p e q tm o mesmo valor lgico: V e V ou F eF.

4) Outras maneiras de ler um condicional e um bicondicional:

No condicional p q , a proposio p chamada de antecedente, hiptese, premissa ou

ainda condio suficiente (CS) para q . A proposio q chamada de conseqente, tese,concluso ou ainda condio necessria (CN) parap .

No bicondicional p q dizemos que p condio necessria e suficiente (CNS) paraqou tambm q condio necessria e suficiente (CNS) parap.

5) Implicao e Equivalncia :

O nmero de linhas de uma tabela-verdade com n proposies igual a 2n.

1) Quando o condicional p q sempre verdadeiro, para quaisquer valores lgicos de p e q ,dizemos que p implica q e escrevemos p q.

2) Quando o bicondicional p q sempre verdadeiro, para quaisquer valores lgicos de p eq, dizemos que p equivale a q e escrevemos p q.

A B


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6) Um alerta sobre o condicional p q :

Exemplo: Decida se vlida ou no a concluso tirada a seguir.Se Joo estudar, ser aprovado no concurso. Logo, se Joo no estudar, no ser aprovado noconcurso.

A concluso no vlida (nv). Se Joo no estudar, Joo poder ser aprovado ou no noconcurso.

EXERCCIOS

03. Considerando as proposies p: 1+1=2 e q: 3+4=5, determine o valor lgico dasproposies seguintes:a) p qb) p qc) pqd) p qe) p q

f) ~(p q)g) ~(p q)h) ~(p q)i) ~(p q)

j) ~p ~q pl) p ~q ~q

04. Em que casos a proposio ~(p e ~q) falsa?

SoluoA proposio dada falsa quando (p e ~q) V, ou seja, quando p V e ~q V, ou ainda,quando p V e q falsa.

05. Complete:a) p q F; q ...b) p q F; q p ...c) p q V; q p ...d) p q V; p q ... e q p ...

06. Dadas as proposies p: 5>>>>2 , q: 3+4=6, r: 3>>>>4 e s, qual o valor lgico da proposio(p ou q) e r s ?

07. (VUNESP) Se voc se esforar, ento ir vencer. Assim sendo:

a) seu esforo condio suficiente para vencer;b) seu esforo condio necessria para vencer;

Um erro muito comum concluir que, sendo verdadeiro o condicional p

q, o condicional~p ~q tambm ser verdadeiro. Isso no verdade!O condicional ~p ~q poder ser verdadeiro ou no.De fato, o condicional p q ser V significa que no ocorre o caso VF, isto , podem ocorrerVV, FV ou FF. No caso de ocorrer FV, ou seja, p falsoe q verdade, o condicional ~p ~qser F. Ok?


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c) se voc no se esforar, ento no ir vencer;d) voc vencer s se se esforar;e) mesmo que se esforce, voc no vencer.

08. (ESAF) Sabe-se que a ocorrncia de B condio necessria para a ocorrncia de C econdio suficiente para a ocorrncia de D. Sabe-se, tambm, que a ocorrncia de D condio necessria e suficiente para a ocorrncia de A. Assim, quando C ocorre,a) D ocorre e B no ocorre

b) D no ocorre ou A no ocorrec) B e A ocorremd) nem B nem D ocorreme) B no ocorre ou A no ocorre

09. (ESAF) Sabe-se que Joo estar feliz condio necessria para Maria sorrir e condiosuficiente para Daniela abraar Paulo. Sabe-se tambm, que Daniela abraar Paulo condio necessria e suficiente para Sandra abraar Srgio. Assim, quando Sandra noabraa Srgio,a) Joo est feliz, e Maria no sorri, e Daniela abraa Paulo.

b) Joo no est feliz, e Maria sorri, e Daniela no abraa Paulo.c) Joo est feliz, e Maria no sorri, e Daniela abraa Joo est feliz, e Maria sorri, e Danielano abraa Paulo.d) Joo no est feliz, e Maria no sorri, e Daniela no abraa Paulo.e) Joo no est feliz, e Maria sorri, e Daniela abraa Paulo.

SoluoPara abreviar, faamos:J: Joo est feliz;M: Maria sorri;D: Daniela abraa Paulo;

S: Sandra abraa Srgio.

Temos aqui os condicionais MJ, JD e o bicondicional D S, que de acordo com oenunciado, so todos verdadeiros.

87687648476VVV

SDeDJeJM

Quando S falso (como dito na questo), D tambm falso (pois o bicondicional D S verdadeiro). Como D falso, J tambm falso (pois o condicional JD verdadeiro ).Como J falso, M tambm falso (pois o condicional MJ verdadeiro).

Logo, a alternativa correta (d).

10. Mostre, usando tabelas-verdade, que so vlidas as regras de negao dadas a seguir:

a) Negao da conjuno e da disjuno (Leis de DE MORGAN)~(p e q) ~p ou ~q~(p ou q) ~p e ~q

b) Negao do condicional~(p q) p e ~ q

c) Negao do bicondicional~(p q) o u p o u q


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SoluoFaremos apenas o item b para ilustrar.

p q ~q pq ~(p q) p e ~qV V F V F F V F V F V V

F V F V F FF F V V F F

Como as tabelas de ~(p q) e p e ~q so iguais, essas proposies so equivalentes .

11. Mostre, novamente usando tabelas-verdade, que vlida a propriedade contrapositiva

p q ~q ~p

12. (VUNESP) Se Rodrigo mentiu, ento ele culpado. Logo:a) se Rodrigo no culpado, ento ele no mentiu;

b) Rodrigo culpado; Cc) se Rodrigo no mentiu, ento ele no culpado;d) Rodrigo mentiu; Me) se Rodrigo culpado, ento ele mentiu.

SoluoNo desenho acima, estamos representando por M o conjunto dosmentirosos e por C o conjuntodos culpados. Basta olhar atentamente o desenho para ver que xCxM, pois M estcontido em C. A alternativa (a) a correta ( a propriedade contrapositiva).

13. (FCC) Um economista deu a seguinte declarao em uma entrevista Se os juros bancrios so altos, ento a inflao baixa .Uma proposio logicamente equivalente do economista :

a) se a inflao no baixa, ento os juros bancrios no so altos.b) se a inflao alta, ento os juros bancrios so altos.c) se os juros bancrios no so altos, ento a inflao no baixa.d) os juros bancrios so baixos e a inflao baixa.e) ou os juros bancrios so baixos, ou a inflao baixa.

14. (ESAF) A negao da afirmao condicional se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva :a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuvab) no est chovendo e eu levo o guarda-chuvac) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuvad) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuvae) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva

15. (CESPE) A proposio simblica (P Q) R possui, no mximo, 4 avaliaes V.

Soluo

Basta fazer a tabela-verdade de (P Q) R.:


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P Q R P Q (P Q) RV V V V V

V V F V VV F V F VF V V F VV F F F FF V F F FF F V F VF F F F F

Vemos na tabela-verdade, que a proposio dada tem 5 avaliaes V. Logo, a afirmao feitaestErrada.

16. (CESPE) Uma expresso da forma ~(A ~B) uma proposio que tem exatamenteas mesmas valoraes V ou F da proposio A B.

Soluo

Fazendo as tabelas-verdade das proposies ~(A ~B) e A B verificamos que elas soiguais.

A B ~B A ~B ~(A ~B) A BV V F F V V V F V V F F

F V F F V VF F V F V V

Logo, a afirmao est Certa.

17. (CESPE) A proposio simbolizada por (A B) (B A) possui uma nicavalorao F.

SoluoVamos construir a tabela-verdade de (A B) (B A) :

A B A B B A (A B) (B A)V V V V V V F F V V

F V V F FF F V V V

De fato, a proposio dada possui uma nica valorao F, como mostra a tabela acima. Aresposta Certo .


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GABARITO- ESTRUTURAS LGICAS

2. LGICA DE ARGUMENTAO

Um argumento lgico uma seqncia de proposies onde a ltima chamadaCONCLUSO e as anteriores PREMISSAS.Representao: p1, p2, p3, ... pn Z cPremissas: p1, p2,p3, ... pn .Concluso: cO smbolo Z l-se logo ou portanto .

VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Observe que, de acordo com a definio dada acima, na anlise da validade de um argumento,temos que verificar apenas, se a validade das premissas tem como conseqncia (ou acarreta) avalidade da concluso. Ou seja, no pode ocorrer premissas verdadeiras e concluso falsa. Da, irrelevante admitir premissas no vlidas. Com base nisso, veja a dica dada a seguir:

Obs.: o argumento do qual estamos falando, o argumento utilizado no raciocnio lgicodedutivo. Existe tambm o argumento utilizado no raciocnio lgico indutivo, para o qual nose aplica o conceito de validade dado acima e no ser estudado aqui.

ExemploConsidere o seguinte argumento: Todo careca gordo. Nenhum gordo alto. Logo, nenhumcareca alto.

Premissas: p1: todo careca gordo; p2: nenhum gordo alto;Concluso: c: nenhum careca alto.Escrevendo em linguagem simblica, teremos: p1 , p2 Z cSupondo as premissas p1 e p2 verdadeiras, teremos, como conseqncia, a concluso c tambmverdadeira. O argumento vlido.

01. Errado02. Certo03. a) F b) V c) V d) F e) F f ) V g) F h) V I) V j) V l) V05.a) F b) V c) V ou F d) V e V06.V07.a08.c09.d13. a14. e

Um argumento considerado vlido quando, sendo verdadeiras todas as premissas, aconcluso tambm verdadeira, ou seja, quando a validade das premissas implica avalidade da concluso. Se as premissas so verdadeiras e a concluso falsa, temos umargumento novlido (tambm chamado desofisma oufalcia).

Para verificar se um argumento vlido, basta supor que todas as premissasso verdadeiras

e verificar se, como conseqncia, a concluso tambm verdadeira.


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SILOGISMO

um argumento com apenas duas premissas .

Exemplos de Silogismosa) Se penso , ento existo. Penso. Logo, existo .

Premissas:p1: Se penso, ento existo, p2: Penso.Concluso: c: Existo.Em linguagem simblica, o argumento fica: p1, p2 Wc.Supondoas premissas p1 e p2 verdadeiras, conclumos que c tambm verdadeira. Argumentovlido.

b) x < 5, x > 0. Logo, x < 5.Premissas: p1 : x < 5, p2 : x > 0.

Concluso: c: x < 5 ( que coincide com a premissa p1).Em linguagem simblica o argumento fica p1, p2 W c .Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras conclumos que c verdadeira. Argumento vlido.

c) x > 1, x < 5. Logo, x = 2.Premissas: p1: x > 1, p2: x < 5 .Concluso: c: x = 2 .Em linguagem simblica temos p1, p2 W c .Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras no podemos concluir que c verdadeira. Argumentono vlido.

INFERNCIAS E ANALOGIAS

Uma inferncia uma concluso obtida a partir de um argumento vlido .

Regras de InfernciaIndicamos a seguir alguns argumentos vlidos que aparecem com muita freqncia na lgica. A

partir deles, podemos inferir a validade de outros argumentos. Por isso eles so conhecidoscomo regras de inferncia.

Simplificao:

p e q Z pp e q Z q

Adio:p Z p ou q

p Z p ou q

Modus Ponens:p q, p Z q

Modus Tollens:p q, ~q Z ~p


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Silogismo Hipottico:p q, q r Zp r

Uma analogia uma concluso obtida por uma comparao entre duas situaes lgicas quetem algumas propriedades semelhantes.

Para fixar idias, digamos que dois objetos A e B tenham 3 propriedades semelhantes a, b e c.Se concluirmos que, como A tem uma quarta propriedade d, B tambm deve ter a propriedade d,estamos fazendo uma analogia . bvio que uma analogia nem sempre verdadeira .

Exemplo: Pedro e Ana, um casal de matemticos, tm um filho Tales, que gosta de matemtica.Ento, Tiago e Luciana, um casal de advogados, tm um filho Cassiano, que deve gostar dedireito .Observe que a concluso, tirada por analogia, no necessariamente verdadeira. Pode ser ouno.

EXERCCIOS

01.(ESAF) Se o jardim no florido, ento o gato mia. Se o jardim florido, ento opassarinho no canta. Ora, o passarinho canta. Logo:a) o jardim florido e o gato mia

b) o jardim florido e o gato no miac) o jardim no florido e o gato miad) o jardim no florido e o gato no miae) se o passarinho canta, ento o gato no mia

Soluo

Essa questo servir de modelo, para mostrar a tcnica que utilizaremos na resoluo dequestes de argumentao lgica em geral.

1) Escrever o enunciado em linguagem simblica, para simplificar. Para isso,criamos umalegenda, como por exemplo:

J: o jardim florido;G: o gato mia;

P: o passarinho canta.Em linguagem simblica o argumento fica assim: ~JG, J~P@ ?

2) Supor todas as premissas verdadeiras para descobrir o valor lgico das proposiescomponentes. Lembre que o condicional se p, ento q s falso no caso VF. Assim, sendo

p verdadeiro, q tambm deve ser verdadeiro, para ser vlido o condicional. Ento:

P verdade ( dica dada no enunciado). Da:J~P verdade e ~P falsoJ falso (para que o condicional seja verdadeiro);~JG verdade e ~J verdadeG verdade (para que o condicional seja verdadeiro);

Logo, a concluso correta a opo c: o jardim no florido e o gato mia.

02.(ESAF) H trs suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, j que podemter agido individualmente ou no. Sabe-se, ainda, que :A) se o cozinheiro inocente, ento a governanta culpada; B) ou o mordomo culpado

ou a governanta culpada, mas no os dois; C) o mordomo no inocente. Logo:a) a governanta e o mordomo so os culpados;


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b) o cozinheiro e o mordomo so os culpados;c) somente a governanta culpada;d) somente o cozinheiro inocente;e) somente o mordomo culpado.

03. (ESAF) Maria magra ou Bernardo barrigudo. Se Lcia linda, ento Csar no careca. Se Bernardo barrigudo, ento Csar careca. Ora, Lcia linda. Logo:a) Maria magra e Bernardo no barrigudo

b) Bernardo barrigudo ou Csar carecac) Csar careca Maria magrad) Maria no magra e Bernardo barrigudoe) Lcia linda e Csar careca.

04. (ESAF) Jos quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo contra fogo, mas no temcerteza se o mesmo est sendo exibido. Seus amigos, Maria , Lus e Jlio tm opiniesdiscordantes sobre se o filme est ou no em cartaz.Se Maria estiver certa, ento Jlio est enganado. Se Jlio estiver enganado, ento Lus

est enganado. Se Lus est enganado, ento o filme no est sendo exibido.Ora, ou o filme Fogo contra fogo est sendo exibido, ou Jos no ir ao cinema.Verificou-se que Maria est certa. Logo:a) o filme Fogo contra fogo est sendo exibido

b) Lus e Jlio no esto enganadosc) Jlio est enganado, mas no Lusd) Lus est enganado, mas no Jlioe) Jos no ir ao cinema.

Soluo1) Escrevendo em linguagem simblica:

M= Maria est certa;

J= Jlio est certo;L= Lus est certo;F= O filme est sendo exibido;Jos= Jos vai ao cinema.

O argumento fica assim: M~J, ~J~L, ~L ~F @ ?

2) Supondo todas as premissas verdadeiras, teremos:

,~48476 V

JM4847648476 VV

FLLJ ~~,~~

M~J verdade e M verdade (dica dada no enunciado) ~J verdade;~J~L verdade e ~J verdade~L verdade;~L ~F verdade e ~L verdade ~F verdade;Como ou F ou ~Jos verdade (dica tambm dada no enunciado) e F falso ~Jos verdade, ou seja,Jos no vai ao cinema e a resposta correta a opo (e).

05. (ESAF) Se Carlos mais velho do que Pedro, ento Maria e Jlia tm a mesma idade.Se Maria e Jlia tm a mesma idade, ento Joo mais moo do que Pedro. Se Joo maismoo do que Pedro, ento Carlos mais velho o que Maria. Ora, Carlos no mais velho

do que Maria. Ento:a) Carlos no mais velho do que Jlia e Joo mais moo do que Pedrob) Carlos mais velho do que Pedro e Maria e Jlia tm a mesma idade


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c) Carlos e Joo so mais moos do que Pedrod) Carlos mais velho do que Pedro e Joo e mais moo do que Pedroe) Carlos no mais velho do que Pedro e Maria e Jlia no tm a mesma idade.

06. (ESAF) Se Beto briga com Glria, ento Glria vai ao cinema. Se Glria vai ao cinema,ento Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, ento Raul briga com Carla. Ora, Raulno briga com Carla. Logo:a) Carla no fica em casa e Beto no briga com Glria.

b) Carla fica em casa e Glria vai ao cinema.c) Carla no fica em casa e Glria vai ao cinema.d) Glria vai ao cinema e Beto briga com Glria.e) Glria no vai ao cinema e Beto briga com Glria.

07. (ESAF) Se Fulano culpado, ento Beltrano culpado. Se Fulano inocente, ento ouBeltrano culpado ou Sicrano culpado, ou ambos so culpados. Se Sicrano inocente,ento Beltrano inocente. Se Sicrano culpado, ento Fulano culpado. Logo,a) Fulano inocente, Beltrano inocente e Sicrano inocente.

b) Fulano culpado, Beltrano culpado e Sicrano culpado.c) Fulano culpado, Beltrano inocente e Sicrano inocente.d) Fulano culpado, Beltrano culpado e Sicrano inocente.e) Fulano inocente, Beltrano culpado e Sicrano culpado.

08. (ESAF) Ana artista ou Carlos carioca. Se Jorge juiz, ento Breno no bonito. SeCarlos carioca, ento Breno bonito. Ora, Jorge juiz. Logo:a) Jorge juiz e Breno bonito

b) Carlos carioca ou Breno bonitoc) Breno bonito e Ana artistad) Ana no artista e Carlos cariocae) Ana artista e Carlos no carioca

09. (ESAF) Se Frederico francs, ento Alberto no alemo. Ou Alberto alemo, ouEgdio Espanhol. Se Pedro no portugus, ento Frederico francs. Ora, nem Egdio espanhol nem Isaura italiana. Logo:a) Pedro portugus e Frederico francs

b) Pedro portugus e Alberto alemoc) Pedro no portugus e Alberto alemod) Egdio espanhol ou Frederico francse) Se Alberto alemo, Frederico Francs

(CESPE)- Julgue os itens subseqentes (Certo ou Errado).

10. correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes:Se Antnio for bonito ou Maria for alta, ento Jos ser aprovado no concurso.Maria alta.Portanto, Jos ser aprovado no concurso .

11. correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes:Se Clia tiver um bom currculo, ento ela conseguir um bom emprego.Ela conseguiu um bom emprego.Portanto, Clia tem um bom currculo.

12. (CESPE) Considere que as afirmativas Se Mara acertou na loteria ento ela ficourica e Mara no acertou na loteria sejam ambas proposies verdadeiras.

Simbolizando adequadamente essas proposies pode-se garantir que a proposio Elano ficou rica tambm verdadeira.


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13. (CESPE) Considere que a proposio Slvia ama Joaquim ou Slvia ama Tadeu sejaverdadeira. Ento pode-se garantir que a proposio Slvia ama Tadeu verdadeira .

14. Examinar a validade dos seguintes argumentos:a) ~p ~q , p W qb) p, p q W q

15. Considerando as proposies p e q, decidir se os argumentos a seguir so vlidos ouno:a) p, q pb) (p q) ~p qc) (p q) p qd) p q, ~q ~p

16.Examine a validade dos seguintes argumentos:a) Se estudo, passo no concurso . No passei no concurso. Logo, no estudei.

b) Se x no par, ento y no primo. Mas x par. Logo, y primo.c) Se a menor que b, ento a no par. Mas a no menor que b. Logo, a par.d) Se a um nmero primo, ento a no divide b. Mas a divide b. Logo, a no umnmero primo.e) Se Porto Alegre est na Itlia, ento Florianpolis no est no Brasil. Mas Florianpolisest no Brasil. Logo, Porto Alegre no est na Itlia.

QUANTIFICADORES

Os quantificadores so elementos lgicos utilizados para indicar se uma propriedade qualquer vlida para todos ou para apenas alguns elementos de um determinado conjunto.Temos 2quantificadores :

-Universal: smbolo . Significa:para qualquer que seja, para todo , para cada , ou simplesmente , todo .

-Existencial: smbolo . Significa:existe pelo menos um , para algum , ou simplesmente algum.

Exemplo: consideremos a sentena aberta p(x): x um nmero par, com xN.

1) Para x=4, p(x) uma proposio verdadeira; para x=3, uma proposio falsa;

2) Quantificando a varivel com o quantificador universal, teremos:

Para qualquer que seja xN, x um nmero par (ou: todo nmero natural x par) , que uma proposio falsa;

3) Quantificando a varivel com o quantificador existencial, teremos :

Para transformar uma sentena aberta p(x), com xA, em uma proposio, temos duas

maneiras:1) Atribuir um valor qualquer a x;2) Quantificar a varivel x.


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Existe pelo menos um xN, tal que x um nmero par (ou: algum nmero natural x par ), que uma proposio verdadeira.

NEGAO DE PROPOSIES QUANTIFICADAS

Exemplo 1)Todo nmero natural primo.Negao: Nem todo nmero natural primo, ou seja, algum nmero natural no primo.

Exemplo 2)Algum gato preto.Negao: Nenhum gato preto, ou seja, todo o gato no preto.

Analisando com ateno os exemplos acima, podemos estabelecer a seguinte

Resumo:

EXERCCIOS

17.Considerando como conjunto universo o conjunto A={1,2,3,4,5} e x um elemento de A,determine o valor lgico das proposies seguintes:

a) Existe pelo menos um x tal que x+3=9b) Para qualquer que seja x, x+3< 9c) Para algum x, x+3 < 5d) Para todo x, x+3 < 6

(CESPE)- Julgue os itens 18 e 19.

18. A proposio funcional Para qualquer x, tem-se que x2 > x verdadeira para todosos valores de x que esto no conjunto

{ 5,25 , 3,

23 , 2,

21 }.

19. A proposio funcional Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3 verdadeira para elementos do conjunto {2,3,9,10,15,16}.

20.(BACEN) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentena: Nenhum pescador mentiroso.a) Algum pescador mentiroso

b) Nenhum mentiroso pescadorc) Todo pescador no mentirosod) Algum mentiroso no pescador

e) Algum pescador no mentiroso

Soluo

Regra prtica: para negar uma proposio quantificada pelos quantificadores universal eexistencial, troca-se o quantificadore nega-se a sentena aberta.

1)Todo A B Negao: Nem todo A B, ou seja, Algum A no B2)Algum A B Negao: Nenhum A B, ou seja,Todo A no B.


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A frase que contradiz a sentena Nenhum pescador mentiroso Pelo menos um pescador mentiroso, isto , Algum pescador mentiroso.Resposta: a

21. D a negao das seguintes proposies:

a) Todos os homens so srios;b) Nenhuma mulher fiel ;c) Alguns homens so infiis.

22. Considere as proposies :

1-toda mulher boa motorista2-nenhum homem bom motorista3-todos os homens so maus motoristas4-pelo menos um homem mau motorista5-todos os homens so bons motoristas .

Qual das alternativas abaixo rene o par de proposies em que uma negao da outra?

a) 2 e 5 b) 1 e 3 c) 3 e 5 d) 2 e 4 e) 4 e 5

23. (ESAF) Dizer que a afirmao todos os economistas so mdicos falsa, do ponto devista lgico, equivale a dizer que a seguinte afirmao verdadeira:a)pelo menos um economista no mdico;

b) nenhum economista mdico;c) nenhum mdico economista;d) pelo menos um mdico no economista;e) todos os no-mdicos so no-economistas.


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GABARITO LGICA DE ARGUMENTAO

3. DIAGRAMAS LGICOS

So inmeros os argumentos que envolvem quantificadores. Esses argumentos, na maioriadas vezes silogismos (duas premissas), so facilmente identificados pelas expresses : TodoA B, Algum A B e Nenhum A B .A maneira mais simples de resolver problemas com esses argumentos, usar os chamadosdiagramas lgicos , que nada mais so, do que os Diagramas de Venn, da Teoria dosConjuntos.

Por exemplo, o argumento:Todo careca gordo. Nenhum gordo alto. Logo, nenhum careca alto, pode serrepresentado por diagramas lgicos da seguinte maneira:C: carecaG: gordoA: alto

G AC

Vemos facilmente pelos diagramas, que o argumento vlido.

Observe bem as dicas dadas a seguir, para us-las nos exerccios:

02. b03. a05. e

06. a07. b08. e09. b10. Certo11. Errado12. Errado13. Errado14. a) nv b) v15. a) v b) v c) nv d) v16. a) v; b) nv; c) nv; d) v; e) v17. a) F b) V c) V d) F

18. Errado19. Errado21. a) Alguns homens no so srios;

b) Algumas mulheres so fiis;c) Todos os homens so fiis.

22. e23. a

C


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Exemplos1) Nenhum estudante ansioso. Joo um msico. Todos os msicos so ansiosos. Logo, Joono um estudante.A = conjunto dos ansiososE= conjunto dos estudantesM= conjunto dos msicos.

SoluoVemos , analisando os diagramas acima vemos , que a concluso Joono um estudante correta e o argumento vlido.

2) Alguns E so P. Todos os H so P. Logo, alguns E so H.

SoluoVemos pelo diagrama que a concluso Alguns E so H no necessariamente correta.

Pode ser ou no. Assim, o argumento no vlido.

EXERCCIOS

01.(IBGE) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejamreligiosos. Pode-se concluir que, se :

a) Cludio no religioso, Cludio no poliglota.b) Antnio no professor, Antnio no religioso.c) Joaquim religioso, Joaquim professor.

Todo A B : desenhe

Algum A B: desenhe

Nenhum A B: desenhe

A B

M AE

H

A B

BA

P

E


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d) Pedro poliglota, Pedro professor.e) Joo religioso, Joo poliglota.

Soluo:

Basta analisar o desenho acima para ver que a alternativa (a) a correta.

02. Se toda mulher feia eficiente, entoa) existem mulheres eficientes

b) existem mulheres feiasc) toda mulher bonita eficiente E Fd) toda mulher ineficiente no feiae) toda mulher eficiente feia

SoluoBasta analisar o diagrama ao lado, para verque ~E~F um condicional verdadeiro(Propriedade contrapositiva novamente).

Resposta.: d

03. (VUNESP) Todo A B, e todo C no B, portanto:a) algum A C;

b) nenhum A C;

c) nenhum A B;d) algum B C;e) nenhum B A.

Soluo fcil ver pelo diagrama que a alternativa correta (b).

04. (ESAF) Todos os jornalistas defendem a liberdade de expresso. Cristina no jornalista. Logo,a) nem todos os jornalistas defendem a liberdade de expresso.

b) no existe jornalista que no defenda a liberdade de expresso.

c) existe jornalista que no defende a liberdade de expresso.d) Cristina no defende a liberdade de expresso.e) Cristina defende a liberdade de expresso.

05. Nenhum fantico inteligente. Tiago colorado.Todos os colorados so inteligentes.Logo:a) Tiago fantico

b) Tiago no fanticoc) Tiago no inteligented) Tiago no coloradoe) Nada se pode concluir

06. (IBGE) Se todo Y Z e existem X que so Y, pode-se concluir que:a)todo Z Y

Prof

Poli

Rel

A

B

C


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b)todo Y Xc)todo X Yd)existem X que so Ze)todo X Z

Soluo

Z

Y X

Vemos pelo diagrama, que a alternativa correta (d).

07. Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se , tambm, que todo B C. Segue-se, portanto, necessariamente quea) todo C Bb) todo C Ac) algum A Cd) nada que no seja C Ae) nenhum A no C

08. (CESPE) A forma de uma argumentao lgica consiste de uma seqncia finita depremissas seguida por uma concluso. H formas de argumentao lgica consideradasvlidas e h formas consideradas invlidas. No quadro abaixo, so apresentadas duasformas de argumentao lgica, uma de cada tipo citada, em que ~ o smbolo de negao.

Forma de argumentao

Vlida Invlida

Premissa 1: x, se p(x), ento q(x) Premissa 1: x, se p(x), ento q(x)Premissa 2: p(c), para algum c Premissa 2: ~p(c), para algum c

Concluso: q(c) Concluso: ~q(c)

A respeito dessa classificao, julgue os itens seguintes.a) A seguinte argumentao invlida.Premissa 1:Todo funcionrio que sabe lidar com oramento conhece contabilidade.Premissa 2: Joo funcionrio e no conhece contabilidade.Concluso: Joo no sabe lidar com oramento.

b) A seguinte argumentao vlida.Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.Concluso: Carlos uma pessoa honesta.

09. Dadas as premissas :Todos os gremistas so fanticos, Existem fanticosinteligentes, pode-se concluir que:a)existem gremistas inteligentes

b)todo gremista inteligentec)nenhum gremista inteligente

d)todo inteligente gremistae)nada se pode concluir


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10. Examine a validade do argumento :Algumas mulheres bonitas so competentes. Todas as mulheres competentes so gordas.Maria bonita. Logo, Maria gorda.

Verifique a validade dos seguintes silogismos:

11. Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, voc certamente vencer. Logo, voc persistente.

12. Para vencer no concurso basta ser estudioso. Ora, todos os alunos do Curso Alfa soestudiosos. Logo, todos os alunos do referido curso vencero no concurso.

13. Todo alemo inteligente. Ora, Fritz alemo. Logo, ele inteligente.

14. Todo macaco animal. Ora, homem animal. Logo, homem macaco.

15. Todo retngulo paralelogramo. Todo quadrado retngulo. Logo, todo quadrado paralelogramo.

16. Todos os alunos so impacientes. Alguns alunos so heris. Logo, alguns heris soimpacientes.

17. Nenhuma criana m. Todas as borboletas so ms. Logo, nenhuma borboleta criana.

18. Algum tringulo issceles tringulo retngulo. Nenhum tringulo retngulo tringulo obtusngulo. Logo, nenhum tringulo issceles tringulo obtusngulo.

19. Algum poltico honesto. Nenhum jogador honesto. Logo, algum poltico no jogador.

GABARITO DIAGRAMAS LGICOS

4. PRINCPIOS DE CONTAGEM

A) PRINCPIO ADITIVO (PA)

04. b 14. nv05. b 15. v07. c 16. v08. a)Errado; b) Errado09. e 17. v10. nv 18. nv

11. nv 19. v12. v13. v


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Exemplos1)Suponha que os conjuntos A, B e C tenham, respectivamente, 8 elementos, 4 elementos e 3elementos, sendo a sua interseco vazia (conjuntos disjuntos). Qual o numero de

possibilidades de escolher um elemento de A ou de B ou de C?

Soluo:Evento E1: escolha de um elemento de A= 8 possibilidades (n1);Evento E2: escolha de um elemento de B= 4 possibilidades(n2);Evento E3: escolha de um elemento de C= 3 possibilidades(n3).De acordo com o Princpio Aditivo (PA), o total de possibilidades 8+4+3= 15 .

2)Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } e B = { 5, 6, 7, 8, 9 }, determine o nmerode possibilidadesa) de escolher um elemento que pertena s ao conjunto A ou s ao conjunto B;

b) de escolher um elemento que pertena ao conjunto A ou ao conjunto B.

SoluoEvento E1: escolha de um elemento que pertena s a A= 4 possibilidades (1,2,3 ou 4);Evento E2: escolha de um elemento que pertena s a B= 3 possibilidades (7,8 ou 9).Total = 4+3 =7 possibilidades.b) Neste caso no podemos aplicar diretamente o Princpio Aditivo, porque os eventos E1:

escolher um elemento de A e E2 : escolher um elemento de B, no tm interseco vazia. Hdois elementos comuns (5 e 6) que so contados duas vezes.O nmero total de possibilidades ser dado por 6 + 5 2 = 9, que o nmero de elementos de

AB.

Notas

a) Veja que o Princpio Aditivo (PA) coincide com o clculo do n de elementos da uma uniode conjuntos, quando os conjuntos tm interseco vazia (conjuntos disjuntos);

b) O Princpio Aditivo (PA) utiliza o conetivo ou, que como j vimos, est associado Unio deConjuntos.

B) PRINCPIO MULTIPLICATIVO (PM)

Se existem n1possibilidades de ocorrer o evento E1, n2possibilidades de ocorrer o evento E2,n3 possibilidades de ocorrer o evento E3, ..., nk possibilidades de ocorrer o evento Ek , e oseventos E1, E2, E3,..., Ek so mutuamente exclusivos (interseco vazia), ento o nmero de

possibilidades de ocorrer o evento E1 ou o evento E2 ou o eventoE3 ... ou o evento Ek igual a

n1+n2+n3+...+nk.

23

4

56

7

89

A B

1


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ExemploVanessa comprou 2 calas, 2 tnis e 3 blusas . Quantas possibilidades que ela tem de vestiruma cala, um tnis e uma blusa usando essas peas novas?

Soluo:

O desenho acima, conhecido como a rvore das Possibilidades, mostra todas as 12possibilidades que Vanessa tem para escolher uma cala, um tnis e uma saia.

Utilizando o Princpio Multiplicativo (PM), chegamos ao mesmo resultando, sem desenhar arvore das possibilidades, o que muito mais rpido e prtico. Ento, pelo PM, temos:

Etapa E1: escolha de uma cala: 2 possibilidades.Etapa E2: escolha de um tnis: 2 possibilidades.Etapa E3: escolha de uma blusa: 3 possibilidades.N de possibilidades para escolher uma cala, um tnis e uma blusa:2.2.3 = 12 possibilidades.

Obs.:O PM utiliza o conetivo e, que est associado Interseco de Conjuntos.

EXERCCIOS

01. Uma pessoa tem na sua geladeira 3 marcas de refrigerante, 5 marcas de cerveja e 4marcas de suco. De quantas maneiras diferentes ela pode escolher um refrigerante ou umacerveja ou um suco?

Se um determinado evento pode ocorrer em ketapas sucessivas e independentes E1, E2,E3,..., Ek, sendo n1, n2, n3,...,nko nmero de possibilidades de ocorrer cada etapa E1, E2, E3,..., Ek,respectivamente, ento o nmero de possibilidades de ocorrerem todas as etapas, ou seja,ocorrer E1 e E2 e E3 e......e Ek, igual ao produto n1.n2.n3....nk.


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Considerando apenas os investimentos mostrados na tabela acima, julgue os itens 02 e 03seguintes.

02. Se um investidor pretende aplicar, simultaneamente, em 3 tipos diferentes de fundo de

investimento e aceita que a taxa de administrao do primeiro seja de 3%, a taxa dosegundo seja de 2% e a do terceiro seja de 1%, ento ele tem mais de 15 formas diferentesde compor suas opes de investimento.Soluo: a tabela mostra

Taxa de administrao = 3%: 4 fundos;Taxa de administrao = 2%: 2 fundos;Taxa de administrao = 1%: 2 fundos.

Pelo Princpio Multiplicativo(PM), teremos um total de 4x2x2 = 16 formas diferentes decomposio.O item est Certo.

03. O nmero mximo de escolhas que um investidor possui para fazer um investimentode risco baixo ou de risco muito baixo igual a 15.

SoluoConsultando novamente a tabela, encontramos

Risco baixo: 5 investimentos;Risco muito baixo: 3 investimentos.Pelo Princpio Aditivo (PA), teremos um total de 5 + 3 = 8 escolhas.O item est Errado.

04. Quantos nmeros naturais de 2 algarismos diferentes podemos formar usando 4, 5, 6 e

7?

(CESPE) O BB oferece aos investidores do mercado financeiro vrios fundos deinvestimento. Alguns deles esto mostrados na tabela abaixo.

Fundo Classificao de risco Taxa de

administraoBB Curto Prazo mil muito baixo 3,00%BB Referenciado DI mil muito baixo 3,00%BB Referenciado DI LPmil

baixo 3,00%

BB Referenciado DI 10 mil muito baixo 2,50%BB Referenciado DI LP 50mil

baixo 1,00%

BB Renda Fixa mil baixo 3,00%BB Renda Fixa LP ndicede Preo 20 mil

alto 1,50%

BB Renda Fixa BnusLongo Prazo baixo 2,00%

BB Renda Fixa 25 mil baixo 2,00%BB Renda Fixa LPPremium 50 mil

mdio 1,00%

BB MultimercadoModerado LP 10 mil

muito alto 1,50%


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Soluo

___ ___ 4 3

Etapas:Escolha do 1 algarismo: 4 possibilidades (ou 4, ou 5, ou 6, ou 7).Escolha do 2 algarismo: 3 possibilidades (porque no podemos repetir o 1 algarismoescolhido).Total: de acordo com o PM, teremos um total de 4.3 = 12 nmeros.

ObservaoAcabamos de calcular o nmero de Arranjos simples de 4 elementos, tomados 2 a 2, que serepresenta porA4,2 .

05. Quantos nmeros naturais de 2 algarismos podem ser formados usando os dgitos 2, 3,4 e 5 ?

Soluo___ ___

4 4

Etapas:Escolha do 1 algarismo: 4 possibilidades.

Escolha do 2 algarismo: 4 possibilidades (porque podemos repetir o 1 algarismo escolhido).Total: de acordo com o PM, termos um total de 4.4 = 16 nmeros.

ObservaoAcabamos de calcular o nmero de Arranjos com Repetio de 4 elementos, tomados 2 a 2,que representado por(AR)4,2 .

06. Existem 5 caminhos diferentes para ir do ponto A ao ponto B. De quantas maneirasdiferentes pode-se ir de A a B e retornar, se o retorno deve ser por um caminho diferentedo utilizado na ida?

a) 9b) 10c) 20d) 22e) 24Resp.: c

07. Uma loteria esportiva tem 14 jogos de futebol. Cada jogo tem 3 possibilidades deresultado: coluna 1, coluna 2 e coluna de meio. Quantos cartes diferentes posso fazer,marcando apenas uma coluna por jogo?Resp.: 314 cartes diferentes.

08. Um retngulo dividido em 6 quadrinhos. De quantas maneiras possvel pintar afigura resultante, cobrindo os quadrinhos de preto ou vermelho?


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SoluoEtapas:Pintura do 1 quadrinho: 2 possibilidadesPintura do 2 quadrinho: 2 possibilidades

.................................................................Pintura do 6 quadrinho: 2 possibilidades.Total:

43421

fatores6

2........2.2.2 = 26 = 64 maneiras possveis.

09. Uma bandeira tem 7 listras. Cada uma deve ser pintada de azul ou vermelho. Dequantas maneiras podemos pintar a bandeira?Resp.: 128

10. Um Bit um dos algarismos 0 ou 1. O nmero de seqncias de 10 Bits ?Resp.: 1024

11. (PUCRS) Sabendo que , num novo municpio, os nmeros de telefones devem ter 6algarismos e no podem comear por zero, ento o nmero mximo de telefones quepodem ser instalados a)106

b) 9.105

c) 10.96

d) 10.95

e) 96

Resp.: b

12. (UFRGS) Se cada placa de carro deve ter 3 letras de um alfabeto de 26 letras, seguidas

de um nmero de 4 algarismos, a totalidade de carros que podem ser emplacados

a) 3!b) 7!c) 26.25.24.10.9.8.7d) 263.104

e) (26!).(10!)Resp.: d

13. (UFRGS) No sistema de emplacamento de veculo que comea a ser implantado,

as placas tm 3 letras como prefixo, podendo haver letras repetidas.Usando apenas vogais,o nmero mximo de prefixos a) 15

b) 35c) 60d) 90e) 125Resp.: e

14. (UFRGS) Os nmeros de telefones de uma cidade so constitudos por 6 dgitos.Sabendo que o primeiro dgito nunca pode ser zero e que os nmeros dos telefones

passaro a ser de 7 dgitos, o aumento possvel na quantidade dos telefones ser dea) 81.103


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b) 90.103

c) 81.104

d) 81.105

e) 90.105

Resp.: d

15. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos, de B a um terceiro pontoC existem 6 caminhos e, de C a um quarto ponto D existem tambm 6 caminhos. Quantoscaminhos existem para ir do ponto A ao ponto D?a) 17

b) 30c) 180d) 680e) 4080Resp.: c

16. Quantos so os nmeros com quatro algarismos distintos, no sistema decimal, que temo algarismo das centenas igual a 5?Resp.: 448 nmeros.

17. (UFSM)- Num acidente rodovirio, aps ouvir vrias testemunhas, conclui-se que omotorista culpado pelo acidente dirigia um carro cuja placa era constituda de 2 vogaisdistintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o 5. Issono facilitou o trabalho da polcia, pois o nmero de placas suspeitas a) 10.800

b) 10.080c) 8.100d) 1.080

e) 524Resp.: b

18. Cinco rapazes e cinco moas vo posar para uma fotografia nos degraus de umaescadaria. De quantas maneiras diferentes podemos posicion-los, de forma que fique umrapaz e uma moa em cada degrau ?a) 32

b) 28 800c) 460 800d) 57 600e) 14 400

Resp.: c

19. (CESGRANRIO) Os clientes de um banco contam com um carto magntico e umasenha pessoal de 4 algarismos distintos entre 1000 e 9999. A quantidade de senhas, em quea diferena positiva entre o 1 algarismo e o ltimo algarismo 3, igual aa) 936

b) 896c) 784d) 768e) 728Resp.: e

20. (CESPE) Em geral, empresas pblicas ou privadas utilizam cdigos para protocolar aentrada e a sada de documentos e processos. Considere que se deseja gerar cdigos cujos


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caracteres pertenam ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5vogais. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem.

1) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a reposio decaracteres, ento podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.

2) Se uma empresa decide no usar as 5 vogais em seus cdigos, que podero ter 1, 2 ou 3letras, sendo permitida a repetio de caracteres, ento possvel obter mais de 1.000cdigos distintos.

3) O nmero total de cdigos diferentes formados por 3 letras distintas superior a15.000.

Soluo:1) Cada cdigo deve ter 4 letras, podendo haver repetio. Ento, a escolha de cada uma das 4letras tem 26 possibilidades e, pelo PM, teremos um total de : 26 26 26 26 = 456.976cdigos distintos .

Item 1:Errado.2) Como no podemos usar vogais, mas permitida a repetio de letras, podemos usar 21letras. Ento, teremos:

-cdigos com 1 letra: 21 possibilidades-cdigos com 2 letras: 21 21 = 441 possibilidades-cdigos com 3 letras: 21 21 21 = 9.261 possibilidades.Total: 21 + 441 + 9.261 = 9. 723 cdigos distintos.

Item 2: Certo.

3) O nmero total de cdigos diferentes, formados por 3 letras distintas , de acordo com oPM, igual a 26 25 24 = 15.600.

Item 3: Certo.

CESPE/UnB

21. Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 decada pas da Amrica do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, ento o nmerode possibilidades diferentes de classificao no 1, 2 e 3 lugares foi igual a 6.

Soluo:-Classificao em 1 lugar: 3 possibilidades-Classificao em 2 lugar: 2 possibilidades-Classificao em 3 lugar: 1 possibilidade.

Pelo PM, teremos um total de 3.2.1 = 6 possibilidades.Resposta: Certo.

22. Permutando os algarismos 1, 2, 3 e 4 de todos os modos possveis, obtemos nmeroscom 4 algarismos. Colocando esses nmeros em ordem crescente, constatamos que o lugarocupado pelo nmero 3 214 oa) 15

b) 17c) 20d) 34

O nmero de pases representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio deJaneiro foi 42, sendo 8 pases da Amrica Central, 3 da Amrica do Norte, 12 da Amricado Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informaes, julgue o item seguinte.


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e) 40Resp.: a

23. Calcule o valor de:

a)!8

!10 b)!20

!18.20 c)!7

!8!9 +

a) 90 b) 1/19 c) 80

24. Simplificando a expresso)!1(

)2()!1(

++

n

nnobtemos:

a) (n+1)b) (n+1)(n+2)c) n(n+2)d) n(n+1)(n+2)

e)1

)2)(1(

++

n

nn

Resp.: d

25. Considerando os anagramas da palavra LIVRO, pergunta-se:a) O nmero total deles;b) Quantos comeam com R?c) Quantos tm a slaba LI ?d) Quantos tm as letras L e I juntas ?

Resp.: a) 120; b) 24; c) 24; d) 48

26. Quantos anagramas da palavra VESTIBULAR tm as letras V, E e Sa) Juntas e nessa ordem?

b) Juntas e em qualquer ordem?Resp.: a) 8! b) 8!.3!

27. (ESAF) Trs rapazes e duas moas vo ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado alado, na mesma fila. O nmero de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nosassentos, de modo que as duas moas fiquem sempre juntas, uma ao lado da outra, iguala:a) 2

b) 4c) 24d) 48e) 120

Resp.: d

28. Tenho 4 livros de matemtica, 5 de fsica e 3 de qumica. De quantos modos diferentesposso colocar esses livros numa prateleira de uma estante, de modo que os livros de umamesma matria fiquem sempre juntos?Resp.: 3!.4!.5!.3!

29. Quatro pares de casais esto sentados em uma fileira de 8 cadeiras. De quantasmaneiras elas podem sentar, se:a) no existir nenhuma restrio;b) sentarem homens juntos e mulheres juntas;c) sentarem homens juntos;

d) sentarem pares de casais juntos.Resp.: a) 8! b) 2!.4!.4! c) 5!.4! d) 4!.2!.2!.2!.2!


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30. (ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contguos em uma mesmafila de teatro. O nmero de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a)homens e mulheres sentem-se em lugares alternados e que b) todos os homens sentem-se

juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas , so, respectivamente:a) 1.112 e 1.152

b) 1.152 e 1.100c) 1.152 e 1.152d) 384 e 1.112e) 112 e 384Resp.: c

31. (ESAF) Chico, Caio e Caco vo ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejamsentar-se , os cinco, lado a lado na mesma fila. O nmero de maneiras pelas quais elespodem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um aolado do outro, igual aa) 16

b) 24c) 32d) 46e) 48Resp.: e

32. (FCC) Considere todos os nmeros de 3 algarismos distintos, escolhidos entre oselementos do conjunto A = {1,2,3,4,5}. Em quantos desses nmeros a soma dos algarismos mpar?a) 8 b) 12 c) 16 d) 24 e) 48Resp.: d

5. PROBABILIDADESCONCEITOS

EXPERIMENTOS ALEATRIOS so experimentos que, mesmo realizados repetidas vezes,nas mesmas condies, apresentam resultados diferentes, sendo impossvel uma previso lgicados resultados.

ESPAO AMOSTRAL (OU CONJUNTO UNIVERSO) o conjunto de todos os resultadospossveis de um experimento aleatrio.

ExemploDetermine o nmero de elementos do Espao Amostral ou Conjunto Universo (U), isto , n(U),nos seguintes experimentos:

01. Jogar um dado e ler o nmero da face voltada para cima.U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(U) = 6

02. Jogar uma moeda e ler a figura da face voltada para cima.U = {Cara, Coroa}n(U) = 2

03. Jogar dois dados e ler os nmeros das faces voltadas para cima.


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U = {(1,1), (1,2),..., (6,6), (2,1), (2,2),..., (3,1), (3,2), ... (6,6)}n(U)= ?

Para determinar n(U) usamos o PM:

=

=

adespossibiliddado

adespossibiliddado

62

61

Total = 6 . 6 = 36 possibilidades. Logo, n(U) = 36 .

03. Jogar um dado e uma moeda e ler as faces voltadas para cima.U = {(1,C),(1,K), (2,c), (2,K), ..., (6,C), (C,K)}, onde C=cara e K=coroa.

=

=

adespossibilidMoeda

adespossibilidDado

2

6

Total = 6 . 2 = 12 possibilidades. Logo, n(U) = 12.

04.Um casal planeja ter 3 filhos. Considerando o sexo (M ou F) dos futuros filhos, quantas soas possibilidades?U = {(M, M, M), (M, M, F), ... , (F, F, F)}.

Total = 2. 2. 2 = 8 possibilidades. Logo, n(U) = 8.

EVENTO qualquer subconjunto do espao amostral.A seguir, vamos definir os principais eventos utilizados na teoria das probabilidades dando umexemplo de cada. Em todos os exemplos dados, consideraremos o experimento aleatrio

lanamento de um dado e leitura do nmero na face voltada para cima . Neste caso, oespao amostral ou conjunto universo ser U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Evento certo o prprio espao amostral.

Exemplo:Evento C: ocorrncia de um nmero menor que 9C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U

Evento impossvel o subconjunto vazio.Exemplo:Evento I: ocorrncia de um nmero maior que 7

I =

Evento unio a unio de dois eventos.Exemplo:Evento A: ocorrncia de um nmero maior que 3:

A = {4, 5, 6}Evento B: ocorrncia de um nmero mpar:

B = {1, 3, 5}Evento A B: ocorrncia de um nmero maior que 3 ou mpar:

A B = {1, 3, 4, 5, 6}.

Evento interseco a interseco de dois eventos.Exemplo:

Evento A: ocorrncia de um nmero par:A = {2, 4, 6}

=

=

=

adespossibilidfilho

adespossibilidfilho

adespossibilidfilho

23

22

21


32/54


32

Evento B: ocorrncia de um nmero mltiplo de 3:B = {3, 6}Evento A B: ocorrncia de um nmero par e mltiplo de 3:

A B = {6}.

Eventos mutuamente exclusivos so dois eventos que tm interseco vazia.Exemplo:Evento P: ocorrncia de um nmero par:

P = {2, 4, 6}evento I: ocorrncia de um nmero mpar:

I = {1, 3, 5}PI =

Eventos complementares (ou contrrios) so dois eventos mutuamente exclusivos cuja unio igual ao espao amostral. Ou seja, so dois eventos A e B tais que A B = e A B = U .

Exemplo:Evento A: ocorrncia de um nmero par:

A = {2, 4, 6};Evento B: no ocorrncia de um nmero par (ou seja, ocorrncia de um nmero mpar):

B = {1,3,5}Vemos que A B = e A B = U .

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

Supondo que num experimento aleatrio, o nmero de elementos do espao amostral n(U) e onmero de elementos do evento A n(A), a probabilidade de ocorrer o evento A o nmero

real P(A) dado por

Notas:a)Na definio acima supomos que todos os elementos do espao amostral sejam

eqiprovveis, isto , tenham a mesma chance de ocorrer;b) bvio que P ( ) = 0 e P(U) = 1;c)0 P(A) 1;d)Em termos de porcentagem, temos 0% P(A) 100%.

EXEMPLOS01. Numa urna h 10 bolas pretas e 30 bolas brancas. Qual a probabilidade de sortearmosa) uma bola preta?

b) uma bola branca?

a) P(P) =4

1

40

10= ou 25%

b) P(B) =4

3

40

30= ou 75%.

02. Num baralho com 52 cartas, h 13 cartas de cada naipe. Qual a probabilidade de tirarmosuma carta do naipe copas?

P(A) =)(

)(

Un

An


33/54


33

P(C) =4

1

52

13= ou 25%

03. Jogando-se dois dados, um vermelho e outro azul, qual a probabilidade de obtermos somaigual a 10?

U = {(1,1), (1,2),..., (6,5), (6,6)}n(U) = 6 . 6 = 36Evento E = {(4,6), (5,5), (6,4)}n(E) = 3

P(E) =12

1

36

3= ou 8,33%

04. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de terem 2 homens e 1 mulher?

n(U) = 2 . 2. 2 = 8Evento E = {(H, H, M), (H, M, H), (M, H, H)}n(E) = 3

P(E) =8

3

05. Um carto da Quina composto por 80 dezenas (de 01 a 80). Qual a probabilidade do sr.Hazharad fazer a quina num carto com 8 nmeros?n(U) = C80,5n(E) = C8,5

P(E) =80,5

8,5

C

C

PROBABILIDADE DA UNIO DE EVENTOS (REGRA DO OU)

Dados dois eventos A e B de um mesmo espao amostral, a probabilidade de que ocorram A ouB dada por

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

Nota: se A e B so eventos mutuamenteexclusivos, ou seja, AB=, ento

P(A B) = P(A) + P(B).

Exemplos1) Numa urna h 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a

probabilidade de retirarmos uma bola com nmero par ou maior que 4?

n (U) = 10

=

=

4quemaiornmerocombolaB

parnmerocombolaA

n(A) = 5, n(B) = 6, n (A B) = 3


34/54


34

P (A ou B) =5

4

10

8

10

3

10

6

10

5==+

2) Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade dacarta escolhida ser um 4 ou um 9?

n(U) = 52

==

==

4n(B)9nmerocartaB

4n(A)4nmerocartaA

n (A B) = 0

P(A ou B) =13

2

52

80

52

4

52

4==+

3) Jogando-se dois dados no viciados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidosseja 4 ou 5?

n(U) = 6 . 6 = 36

==

==

4n(B)(4,1)}(3,2),(2,3),{(1,4),B

3n(A))}1,3(),2,2(),3,1{(A

n (A B) = 0

P(A ou B) =36

70

36

4

36

3=+

PROBABILIDADE DA INTERSECO DE EVENTOS (REGRA DO E)

Dados dois eventos sucessivos A e B de um mesmo espao amostral, a probabilidade de queocorram A e B dada por

P(A B) = P(A).P(B/A)

onde P(B/A) a probabilidade de ocorrer B aps ter ocorrido A.

Notas:a)o nmero P(B/A) chamadoprobabilidade de B condicionada a A;

b)se os eventos A e B so independentes, ou seja, a ocorrncia de A no afeta a probabilidadeda ocorrncia de B, temos P(B/A) = P(B) e a expresso acima fica

P(A B) = P(A).P(B)

Exemplos1) Uma urna contm 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Se sortearmos 2 bolas, uma de cadavez, repondo a primeira na urna, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser

preta?

P(B e P) =92

3020.

3010 =


35/54


35

2) Considerando a mesma situao do exemplo anterior, mas sem reposio da primeira bolasorteada, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?

P(B e P) =87

20

29

20.

30

10=

3) Um lote de peas para automveis contm 60 peas novas e 10 usadas. Uma pea escolhidaao acaso e, em seguida, sem reposio da primeira, uma outra pea retirada. Qual a

probabilidade de as duas peas retiradas serem usadas?

P(u e u) =161

3

69

9.

70

10=

4) Uma moeda lanada duas vezes. Qual a probabilidade de sair coroa nos dois lanamentos?

P(K e K) =4

1

2

1.

2

1=

5) Uma moeda lanada 5 vezes. Qual a probabilidade de sair cara nas 5 vezes?

P(C, C, C, C, e C) =32

1

2

15

=!

"#$

%

6) Tira-se 3 cartas ao acaso, com reposio, de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidadede ser a primeira de paus, a segunda de ouros e a terceira de espadas?

P(p, o, e) =64

1

4

1

52

13

52

13.

52

13.

52

1333

=!

"#$

%=

!

"#$

%=

7) Temos 3 caixas: caixa 1 com 5 bolas brancas e 5 bolas pretas; caixa 2 com 10 bolas azuis e40 bolas verdes; caixa 3 com 16 bolas amarelas e 4 bolas vermelhas. Sorteando uma bola de

cada caixa, qual a probabilidade de sair branca da caixa 1, verde da caixa 2 e amarela da caixa3?

P(B, V, A) =25

8

20

16.

50

40.

10

5= ou 32%

.

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR

Se A e B so dois eventos complementares (contrrios) do mesmo espao amostral U, temos:

P(A) + P(B) = 1 ouB

P(B) = 1 P(A)

Exemplos

1) Qual a probabilidade de sair um nmero diferente de 2 no lanamento de um dado?

A


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36

=

=

2nmeroosairnoB

2nmeroosairA

a) P(A) =6

1b) P(B) = 1 -

6

1=

6

5

2) No lanamento de um dado no viciado, qual a probabilidade de:a) sair um mltiplo de 3;

b) no sair um mltiplo de 3.

=

=

3nmeroosairnoB

3nmeroosairA

a) P(A) =3

1

6

2= b) P(B) = 1 -

3

1=

3

2

3) So lanados dois dados. Calcule a probabilidade dea) se obter uma soma de 7 pontos;

b) no se obter uma soma de 7 pontos.

a) P(A) =6

1

36

6=

c) P(B) = 1 -6

5

6

1=

EXERCCIOS01. (OSECSP) Foram preparadas 90 empadinhas de camaro, sendo que, a pedido, 60delas deveriam ser bem mais apimentadas. Por pressa e confuso de ltima hora, foramtodas colocadas ao acaso, numa mesma travessa para serem servidas. A probabilidades dealgum retirar uma empadinha mais apimentada a) 1/3

b) 1/2

c) 1/60d) 2/3

e) 1/90

Resp.: d

02. (OSECSP)-A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma nica bolade uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, a) 1/3

b) 1/2

c) 1/4

d) 1/12

e) nraResp.: a


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37

03. (FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, aprobabilidade de que ele seja primo a) 1/2

b) 1/3

c) 1/4d) 1/5e) 1/6Resp.: c

04. (CESGRANRIO) A probabilidade de um inteiro n, 1 n 999, ser um mltiplo de 9 a) 1/ 909

b) 1/10c) 2/9d) 1/3e) 1/9

Resp.: e

05. (UFRGS) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meia esto misturados.Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par a) 1/10

b) 1/9c) 1/5d) 2/5e) 1/2Resp.: b

06. (FAMECA) Dois prmios devem ser sorteados entre 25 alunos de escolas superiores,entre os quais 5 cursam Medicina. Qual a probabilidade de 2 dos futuros mdicos seremcontemplados?

a) 1/5b) 2/25c) 1/30d) 2/5e) 9/25Resp.: c

07. (UNIRIO) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um gol cobrado um pnalti so,respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um nico pnalti, a probabilidade detodos errarem a) 3%

b) 5%c) 17%d) 20%e) 25%Resp.: e

08. (FAC. OBJETIVO-SP) Um dado honesto tem seis faces numeradas de 1 a 6. Joga-se

este dado duas vezes consecutivas. A probabilidade de obter um nmero par no primeirolanamento e um nmero maior ou igual a 5 no segundo lanamento


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38

a)1/4b)1/12c)1/8d)2/5e)1/6

Resp.: e

09. (FCC) Uma rifa, em que apenas um nmero ser sorteado, contm todos os nmerosde 1 a 100. Os funcionrios de um cartrio compraram todos os nmeros mltiplos de 8 ou10. A probabilidade de que um desses funcionrios seja premiado no sorteio da rifa dea) 12%

b) 18%c) 20%d) 22%e) 30%

Soluon(U) = 100;Evento A: ser mltiplo de 8;Evento B: ser mltiplo de 10;

A = { 8, 16, 24, ..., 96} n(A) = 96/8 = 12 mltiplos de 8;B = {10, 20, 30, ..., 100}n(B) = 100/10 = 10 mltiplos de 10;n(A B) = ?

Para obter n(A e B), ou seja, n(AB), temos que determinar os mltiplos comuns (mltiplos de8 e de 10) entre 1 e 100. Para isso, calculamos mmc(8,10) = 40 e temos 2 mltiplos comuns

entre 1 e 100: 40 e 80. Da:

P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) =100

12+

100

10-

100

2=

100

20, ou seja, 20%.

Resposta: c

10. Lanando-se um dado trs vezes, a probabilidade de se obter o nmero 3 nas duasltimas jogadas, mas no na primeira, a) 1/216

b) 3/216c) 5/216d) 7/216e) 9/216Resp.: c

11. (UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, trs pessoasso escolhidas ao acaso. A probabilidade de quesejam escolhidos um homem e duas mulheres de:a) 25%

b) 30%c) 33%d) 50%

e) 60%Resp.: e


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12. (UFRGS) Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Seos dados so lanados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos nmeros sorteados seja5 :a) 1/15

b) 2/21c) 1/12d) 1/11e) 1/9Resp.: e

13. (UFRGS) Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de trs bebs. Se aprobabilidade de que cada beb seja menino igual probabilidade de que cada beb sejamenina, a probabilidade de que os trs bebs sejam do mesmo sexo :a) 1/2

b) 1/3c) 1/4

d) 1/6e) 1/8Resp.: c

14. (UFRGS) Uma parteira prev, com 50% de chance de acerto, o sexo da cada crianaque vai nascer. Num conjunto de trs crianas, a probabilidade de acertar pelo menosduas previses dea) 12,5% b) 25% c) 37,5% d) 50% e) 66,6%Resp.: d

15. (PUCSP) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possveis.Algum, querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 at 10 dezenas. Se algum que

escolhe 5 dezenas tem probabilidade x de ganhar, ento quem escolhe 7 dezenas tem queprobabilidade de ganhar?

a) 7xb) 14xc) 21xd) 28xe) 35xResp.: c

16. (ESAF) Maria ganhou de Joo nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de ouro.Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e trs delas de ouro. Mariaguarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jias. Uma noite,arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com Joo, Maria retira, ao acaso, umapulseira de sua pequena caixa de jias. Ela v, ento, que retirou uma pulseira de prata.Levando em conta tais informaes, a probabilidade de que a pulseira de prata que Mariaretirou seja uma das pulseiras que ganhou de Joo igual aa) 1/3 b) 1/5 c) 9/20 d) 4/5 e) 3/5Resp.: a

17. (UFRGS) As mquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem deparafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas mquinas A e B de 15% e de

5%. Foram misturados , numa caixa, 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos


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40

por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenhasido produzido pela mquina A dea) 10%

b) 15%c) 30%d) 50%e) 75%Resp.: e

18. (ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz esto viajando pela Europa. Com asinformaes que dispe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hojeem Paris 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris 2/7, e que aprobabilidade de ambas , Ana e Beatriz , estarem hoje em Paris 1/7. Carlos, ento,recebe um telefonema de Ana informando que ela est hoje em Paris. Com a informaorecebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidadede Beatriz tambm estar hoje em Paris igual aa) 5/7 b) 1/7 c) 2/3 d) 1/3 e) 4/7

Resp.; d

19. (ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 esto matriculados em Francs, 110 emIngls e 40 no esto matriculados nem em Ingls nem em Francs. Seleciona-se, ao acaso,um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculadoem pelo menos uma dessas disciplinas (isto , em Ingls ou em Francs) igual aa) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200Resp.: d

20. (UFRGS) No jogo da Mega Sena so sorteados seis nmeros distintos dentre os queaparecem na figura

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Considere P a probabilidade de que nenhum nmero sorteado em um concurso sejasorteado no concurso seguinte. Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximao paraP :a) 90%

b) 80%c) 70%d) 60%e) 50%Resp.: e


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CESPE (Banco do Brasil)

Quantidade de nmerosescolhidos no volante

Tipos de aposta Valor (emR$)

6 A6 1,007 A7 7,008 A8 28,00

9 A9 84,0010 A10 210,0011 A11 462,0012 A12 924,0013 A13 1.719,0014 A14 3.003,0015 A15 5.005,00

Internet:


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22. A probabilidade do algarismo das dezenas ser igual a 3 P(3) =6

1;

A probabilidade do algarismo das unidades ser igual a 5 P(5) =10

1.

Assim, vemos que P(3) & P(5) e o item estErrado.

23. P(58) =60

1.

Observe que 0,02 =50

1

100

2= (Para no fazer clculos desnecessrios).

Agora fcil ver que60

1 0,27 e o item est Certo.

5) n(U) = 1.405


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45

Evento A: a vtima do sexo feminino .n(A) = 81+42+142+42=307.

Evento B:o acidente ocorreu em um dos estados da regio Sul do Brasil .n(B) = 532+142+188+42 = 904.

Evento (A B): a vtima do sexo feminino e o acidente ocorreu em um dos estados daregio Sul do Brasil.n(A B)= 142+42 = 184.

P(A) =1405

307

P(B) =1405

904

P(A e B ) =1405

184

ComoP(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B), teremos:

P(A ou B) =1405

307+

1405

904-

1405

184= =

+

1405

184904307

1405

1027'0,73, ou seja, 73%.

73% > 70% e o item estErrado.

33. (CESPE) Um baralho comum contm 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus,espadas, copas e ouros. Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contmas figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informaes,

julgue os itens subseqentes.

1) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter umadas figuras citadas no texto igual a 3/13.

2) Sabendo que h 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se quea probabilidade de se extrair uma carta e ela no ser um s de ouros igual a 1/52.

3) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de

paus igual a 11/26.

Soluo:1) n(U) = 52 (Universo)

n(E) = 12 (Evento).

P(E) = 12 / 52 = 3 / 13 e o item est Certo.

2) n(U) = 52n(E) = 51 ( s tem 1 s de ouros no baralho).

P(E) = 51 / 52 e o item estErrado.

3) n(U) = 52


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Evento A: a carta contm uma figura n(A) = 12 ;

Evento B: a carta de paus n(B) = 13 ;

Evento (A B): a carta contm uma figura e de paus

n(A

B) = 3.P(A ou B ) = P(A) + P(B) P(A e B), ou seja:

P(A ou B) =26

11

52

22

52

3

52

13

52

12==+ e o item est Certo.

AGENTE DE POLCIA FEDERAL 2004 (CESPE)

Texto para os itens de 1 a 8

Com base nas informaes apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

1. Se as proposies P e Q so ambas verdadeiras, ento a proposio ( P) ( Q)tambm verdadeira.

2. Se a proposio T verdadeira e a proposio R falsa, ento a proposio R

( T) falsa.

3. Se as proposies P e Q so verdadeiras e a proposio R falsa, ento a proposio(P R) ( Q) verdadeira.

Considere as sentenas abaixo.

Considere que as letras P, Q, R e T representem proposies e que os smbolos , , e sejam operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e, oue ento, respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor

(valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V)oufalso (F) , mas nunca ambos.


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12. O nmero mximo de possveis listas contendo os trabalhos capturar a cora deCerinia e capturar o javali de Erimanto nas duas ltimas posies, em qualquerordem, inferior a 6! 8!.

GABARITO

6. RACIOCNIO LGICO INTUITIVONeste captulo, veremos alguns problemas que podem ser resolvidos com um raciocnio lgicointuitivo, ou seja, um raciocnio que no exige o conhecimento dos smbolos e das regras dalgica matemtica. o que chamamos de problemasdelgica intuitiva.

Para ajudar na soluo desses problemas (que s vezes so muito difceis ), daremos duas dicasgerais.

Exemplo 1(ESAF) -Trs amigas,Tnia,Janete e Anglica,esto sentadas lado a lado em um teatro.Tniasempre fala a verdade; Janete s vezes fala a verdade e Anglica nunca fala a verdade. A queest sentada esquerda diz: Tnia quem est sentada no meio. A que est sentada no meiodiz: Eu sou Janete. Finalmente,a que est sentada direita diz: Anglica quem est sentadano meio. A que est sentada esquerda, a que est sentada no meio e a que est sentada

direita, so, respectivamente,a) Janete,Tnia e Anglica

b) Janete,Anglica e Tniac) Anglica, Janete e Tniad) Anglica,Tnia e Janetee) Tnia,Anglica e Janete

Soluo:Vamos descobrir aposio da Tnia (que sempre fala a verdade).Temos 3 possibilidades: Tnia est esquerda, ou no meio ou direita. Analisamos a seguir,

cada uma das possibilidades:

1. Errado2. Errado3. Certo4. Errado5. Certo6. Certo7. Certo8. Errado9. Certo

10. Certo

11. Errado12. Certo

1) Escrever todas as possibilidades lgicas da questo e analisar uma por uma, descartando ascontradies, as repeties, etc;


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1) Tnia no est sentada esquerda, pois a que est sentada esquerda disse: Tnia quem est sentada no meio (Tnia no mente! );2) Tnia tambm no est sentada no meio, pois a que est sentada no meio disse Eu sou

Janete (Tnia no mente!) ;Logo, Tnia est sentada direita. Como a que est sentada direita ( que a Tnia) disseAnglica quem est sentada no meio , Anglica est sentada no meio realmente e Janete(que sobrou) est sentada esquerda.

Assim, a resposta correta (b) .

Exemplo 2(ESAF)- Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos:Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um delesrespondeu:Armando: Sou inocenteCelso: Edu o culpadoEdu: Tarso o culpadoJuarez: Armando disse a verdade

Tarso: Celso mentiuSabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade,

pode-se concluir que o culpado :a)Armando b)Celso c)Edu d)Juarez e)Tarso

Soluo: Ou Celso mentiu ou Edu mentiu, pois s h 1 culpado. Os demais, ou seja, Armando,Juarez e Tarso disseram a verdade. Ento, de acordo com Tarso, Celso mentiu, donde seconclui queEdu falou a verdade, ou seja, Tarso o culpado.

Resp.: e

Exemplo:Uma pessoa A sabe que uma outra pessoa B sempre fala a verdade ou sempre mente.Com basenessa informao, responda as duas questes seguintes.

I - Aperguntou a B: voc mentiroso? B respondeu clug. O que significa clug?Deduzimos que clug significa no . De fato:- se B fala a verdade, B disse no;- se B mentiroso, B tambm disse no.Logo, sabemos que B respondeu no, mesmo sem saber se B fala a verdade ou mentiroso.

II-Aperguntou a B: voc fala a verdade? B respondeu plug.Podemos deduzir que plug significa sim. De fato:- se B fala a verdade, B disse sim;- se B mentiroso, B tambm disse sim.Descobrimos ento, que B disse sim, mesmo sem saber se B fala a verdade ou mentiroso.

Resumo:

2) Fazer uma pergunta chave do tipo voc mentiroso ? , ou voc fala a verdade ? ,

ou voc culpado?

Se perguntarmos a uma pessoa que sempre fala a verdade ou sempre mente1) Voc mentiroso? A resposta ser sempre NO;

2) Voc fala a verdade? A resposta ser sempre SIM.


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EXERCCIOS

01.(ESAF)- Os carros de Artur, Bernardo e Csar so, no necessariamente nesta ordem, umaBraslia, uma Parati e um Santana. Um dos carros cinza, um outro verde e o outro azul. Ocarro de Artur cinza; o carro de Csar o Santana; o carro de Bernardo no verde e no a

Braslia. As cores da Braslia, da Parati e do Santana so, respectivamente,a) cinza, verde e azul b) azul, cinza e verde c) azul, verde e cinzad) cinza, azul e verde e) verde, azul e cinzaResp.: d

02.(ESAF)- Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas.Oliveira, o mais antigo entre eles, mineiro. H tambm, um paulista, um carioca e um baiano.Paulo est sentado direita de Oliveira. Norton, direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos,que no carioca, encontra-se frente de Paulo. Assim,a) Paulo baiano e Vasconcelos paulista.

b) Paulo carioca e Vasconcelos baiano.c) Paulo paulista e Vasconcelos baiano.

d) Norton carioca e Vasconcelos paulista.e) Norton baiano e Vasconcelos paulista.Resp.: c

03.(VUNESP)- Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Ftima corre tanto quantoJuliana. Logo:a) Ftima corre menos do que Rita

b) Ftima corre mais do que Martac) Juliana corre menos do que Ritad) Marta corre mais do que Julianae) Juliana corre menos do que MartaResp.: b

04.(VUNESP)- Cinco ciclistas apostaram uma corrida.-A chegou depois de B;-C e E chegaram ao mesmo tempo;-D chegou antes de B;-Quem ganhou chegou sozinho.Quem ganhou a corrida foi:a)A b)B c)C d)D e)EResp.: d

05.(ESAF)- Maria tem trs carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros branco, ooutro preto , e o outro azul. Sabe-se que : 1)ou o Gol branco, ou o Fiesta branco; 2)ou oGol preto, ou o Corsa azul; 3)ou o Fiesta azul, ou o Corsa azul; 4)ou o Corsa preto, ouo Fiesta preto.Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta so, respectivamente,a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, pretod) preto, branco, azul e) branco, azul, preto

Soluo:Suponha, na proposio 1, que o Gol branco seja V. Da, da proposio 2 deduzimos que oCorsa azul e da proposio 4 deduzimos que o Fiesta preto.

Resp.: e


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06.(TTN)- Quatro amigos, Andr, Beto, Caio e Denis obtiveram os quatro primeiros lugares emum concurso de oratria, julgado por uma comisso de trs juzes. Ao comunicarem aclassificao final, cada juiz anunciou duas colocaes, sendo uma delas verdadeira e outrafalsa.Juiz 1: Andr foi o primeiro; Beto foi o segundo.Juiz 2: Andr foi o segundo; Denis foi o terceiro.Juiz 3: Caio foi o segundo; Denis foi o quarto.

Sabendo que no houve empates,o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram,respectivamente,a) Andr, Caio, Beto , Denis

b) Beto, Andr, Caio, Denisc) Beto, Andr, Denis, Caiod) Andr, Caio, Denis, Betoe) Caio, Beto, Denis, AndrResp.: d

07.(ESAF)- Ricardo, Rogrio e Renato so irmos. Um deles mdico, outro professor, e ooutro msico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo mdico, ou Renato mdico; 2) ou Ricardo professor, ou Rogrio msico; 3) ou Renato msico ou Rogrio msico; 4) ou Rogrio professor ou Renato professor. Portanto, as profisses de Ricardo, Rogrio e Renato so,respectivamente,a) professor, mdico, msico

b) mdico, professor, msicoc) professor, msico, mdicod) msico, mdico, professore) mdico, msico, professorResp.: e

08. (ESAF)- Trs irms, Ana, Maria e Cludia, foram a uma festa com vestidos de coresdiferentes. Uma vestiu azul a outra branco e a terceira preto. Chegando festa, o anfitrioperguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: Ana a que est de branco. A debranco falou: Eu sou Maria. E a de preto disse: Cludia quem est de branco. Como oanfitrio sabia que Ana sempre diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem eracada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cludia eram, respectivamente,a) preto, branco, azul b) preto, azul, branco c) azul, preto, brancod) azul, branco, preto e) branco, azul, pretoResp.: b

09.(ESAF)- Trs amigos -Lus, Marcos e Nestor- so casados com Teresa, Regina e Sandra(nonecessariamente nesta ordem) . Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os trs

fizeram as seguintes declaraes:Nestor: Marcos casado com TeresaLus: Nestor est mentindo, pois a esposa de Marcos ReginaMarcos: Nestor e Lus mentiram, pois a minha esposa Sandra

Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-seque as esposas de Lus, Marcos e Nestor so, respectivamente:a) Sandra, Tereza, Regina

b) Sandra, Regina, Teresac) Regina, Sandra, Teresad) Teresa, Regina, Sandrae) Teresa, Sandra, ReginaDica : procure descobrir quem o marido da Teresa (que disse a verdade).Resp.: d


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10.(ESAF)- Uma empresa possui andrides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem averdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Intelignciaartificial, est examinando um grupo de cinco andrides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta epsilon, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco so do tipo V. Ele

pergunta a Alfa: Voc do tipo M ? Alfa responde mas Dr. Turing, distrado, no ouve aresposta. Os andrides restantes fazem, ento, as seguintes declaraes:Beta: Alfa respondeu que sim .Gama: Beta est mentindo .Delta: Gama est mentindo .psilon: Alfa do tipo M .

Mesmo sem ter prestado ateno resposta de Alfa, o Dr. Turing pde, ento, concluircorretamente que o nmero de andrides do tipo V, naquele grupo, era igual a :a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) 5

Soluo:

1) Ou Alfa do tipo V ou Alfa do tipo M. Se ele for do tipo V, respondeu NO. Se for do tipo

M, tambm respondeuNO.

2) Analisando as declaraes dos demais andrides e no esquecendo que Alfa respondeuNO, deduzimos queBeta do tipo M, Gama do tipo V ( 1 do tipo V), Delta do tipo M. E psilon ser do tipo Vse Alfa for do tipo M e do tipo M se Alfa for do tipo V. Em qualquer um dos casos, teremos 2andrides do tipo V: Gama (1) e psilon ou Alfa (um deles ser o 2 do tipo V).

Resp.: b

11. (CESPE) Um lder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D.Durante o interrogatrio, esses indivduos fizeram as seguintes declaraes:

- A afirmou que C matou o lder;- B afirmou que D no matou o lder;- C disse que D estava jogando dardos com A quando o lder foi morto e, por isso,

no tiveram participao no crime;- D disse que C no matou o lder.Considerando a situao hipottica apresentada acima e sabendo que trs dos comparsasmentiram em suas declaraes, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itensseguintes.(1) A declarao de C no pode ser verdadeira.(2) D matou o lder.

Soluo

Temos duas possibilidades: ouA mente ouD mente.1)A mente.Neste caso,Dfala a verdade eB e Ctambm mentem (pois s um falou a verdade). De acordocomB (que mentiu),D matou o lder.

E a declarao de C, realmente no pode ser verdade, j que Cmentiu.Assim, teramos (1) Certo e (2) Certo.

2)D mente.Neste caso,Afala a verdade eB e C novamente mentem (pois s um falou a verdade). Ora, deacordo com A, C matou o lder. Mas de acordo com B (que mentiu), D matou o lder ( ? ).Teramos ento dois assassinos, o que uma contradio, j que o enunciado diz que s h umassassino.

Logo, a 2 possibilidade (D mente ) no pode ser considerada.A resposta correta dada na 1 possibilidade: (1) Certo e (2) Certo.


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12. Num certo pas, todos os habitantes so classificados em dois grupos: polticos e no-polticos. Os polticos sempre mentem e os no-polticos sempre falam a verdade.Um estrangeiro, em visita ao tal pas, encontra-se com trs habitantes A, B e C. Dirigindo-se aohabitante A, o estrangeiro pergunta-lhe se ele poltico e A responde, mas o estrangeiro noouve. O habitante B informa, ento, que A negou ser poltico. Mas o habitante C afirma que A realmente um poltico. A partir dessas consideraes, pode-se concluir que, o nmero de

polticos no grupo formado por A, B e C a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) impossvel descobr

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