Mecânica de Fluidos Computacional I - Bem-vindo ao LCAD | Laboratório de ... · 2017-04-17 ·...

Mecanica de FluidosComputacional I

Prof. Gustavo Carlos Buscaglia

Laboratorio de Matematica Aplicada e Computacao Cientıfica (LMACC)Departamento de Matematica Aplicada e Estatıstica

Instituto de Ciencias Matematicas e de Computacao (ICMC)USP – Sao Carlos

Mecanica dos Fluidos Computacional

A Mecanica dos Fluidos e a ciencia que estuda o comportamentodos fluidos.Este estudo e feito de tres formas:

Experimental: Fenomenos fısicos estudados em ambientescontrolados.Teorico: Obtencao de solucoes simplificadas as equacoes demodelo.Numerico: Utilizar o auxılio do computador.

Neste curso estudaremos a utilizacao do computador na resolucaode varios problemas de mecanica dos fluidos.

G. C. Buscaglia (LMACC-ICMC-USP) Mecanica de Fluidos Computacional I 2017 2 / 142

Breve historico

Desde os primordios de nossa civilizacao, o ser humano seinteressa pelo movimento dos fluidos (ventos, rios, clima, etc.)Arquimedes (287-212 a.C.): planejamento de aquedutos, canais,casas de banho, etc.Leonardo da Vinci (1452-1519): observou e reportou variosfenomenos, reconhecendo sua forma e estrutura, reportando-os naforma de desenhos e esquemas.

Breve historico

Isaac Newton (1643-1727): Muitascontribuicoes a mecanica dos fluidosSua segunda lei: F = m · aViscosidade: A tensao e proporcional ataxa de deformacao.

Breve historico

Daniel Bernoulli (1700-1782): Equacao deBernoulli.Leonhard Euler (1707-1783): Equacoes deEuler para escoamento invıscido,conservacao de quantidade de movimento,conservacao de massa, potencial develocidade.

Breve historico

Claude Louis Marie Henry Navier(1785-1836)Gabriel Stokes (1819-1903)Introduziram transporte viscoso asequacoes de Euler, resultando nas equacoesde Navier-Stokes para escoamentosincompressıveis

∂(ρu)∂t

+∇ · (ρu⊗ u) =

−∇p +∇ ·[µ(∇u +∇uT)

]+ ρg

∇ · u = 0

Breve historico

Claude Louis Marie Henry Navier(1785-1836)Gabriel Stokes (1819-1903)Introduziram transporte viscoso asequacoes de Euler, resultando nas equacoesde Navier-Stokes para escoamentosincompressıveis

∂(ρu)∂t

+∇ · (ρu⊗ u) =

−∇p +∇ ·[µ(∇u +∇uT)

]+ ρg

∇ · u = 0

Breve historico

Lewis Fry Richardson (1881-1953): desenvolveu o primeirometodo numerico para previsao do tempo (escoamentoatmosferico)Sua tentativa de calcular a previsao do tempo para um perıodo de8 horas lhe tomou 6 semanas de calculos, e foi um fracasso.Forecast-factory

Mecanica dos fluidos computacional

Solucoes numericas das equacoes de Navier-Stokes demandammuitos calculos.(em 1953, M. Kawaguti calculou a solucao de um escoamento emtorno de um cilindro, levou 18 meses trabalhando 20 horas porsemana).A evolucao da computacao beneficia diretamente a area.Hoje, com o advento dos supercomputadores, e possıvel resolverescoamentos complexos com precisao em tempo factıvel.

Objetivo da disciplina

Mostrar como, utilizando a modelagem matematica e o calculonumerico, e possıvel resolver problemas de mecanica de fluidoscuja resolucao analıtica e impossıvel.

Metodologia

Cada capıtulo do curso sera resolvido um problema.A modelagem fısica e matematica sera desenvolvida peloprofessor.O professor sugerira um ou varios tratamentos numericos, e osexplicara detalhadamente.Os estudantes, em grupos de 2, implementarao um programapara cada problema.Os programas serao testados e comparados.Um estudante escolhido aleatoriamente de cada grupo realizarauma apresentacao de quinze minutos. Os slides seraoconsiderados como relatorio do grupo.A nota final sera calculada a partir das notas obtidas em cadatrabalho, sendo que todos os capıtulos devem ser aprovados.

Capıtulos

1 Calculo de forcas e torques em hidrostatica. Dinamica de corposrıgidos flutuantes e seu calculo numerico.

2 Aproximacao numerica de interfaces com tensao superficial.Minimizacao da energia e aproximacao variacional.

3 Modelagem numerica de redes hidraulicas. Origem e tratamentodas nao-linearidades.

4 Resolucao numerica das equacoes de Navier-Stokesincompressıveis. Convergencia em malha a uma solucaomanufaturada.

Tecnicas numericas envolvidas em cada capıtulo

1 Parametrizacao de formas. Interpolacao. Integracao numerica.EDOs numericas.

2 EDOs numericas. Minimizacao de funcoes.3 Grafos e sua representacao computacional. Resolucao de sistemas

de equacoes nao lineares.4 Diferencas finitas. Volumes finitos. Aproximacao numerica de

EDPs. Calculo experimental de ordem de convergencia.

Tecnologias relacionadas com cada capıtulo

1 Engenharia civil. Forcas em represas, em predios, etc. Engenharianaval. Estabilidade de estruturas flutuantes, navios, etc.

2 Industria quımica. Pintura por imersao, por deposicao de sprays.Impressao de jato de tinta. Industria do petroleo. Separacao demisturas. Misturas bifasicas.

3 Engenharia hidraulica. Distribuicao urbana de agua.4 Microfluıdica. Lab on a chip. Incorporando turbulencia numerica

(que nao veremos): Meteorologia, Oceanografia, Industriaautomotiva, etc.

Duracao estimada de cada capıtulo

1 Calculo de forcas e torques em hidrostatica. Dinamica de corposrıgidos flutuantes e seu calculo numerico. ⇒ 3 semanas

2 Aproximacao numerica de interfaces com tensao superficial.Minimizacao da energia e aproximacao variacional. ⇒ 4semanas

3 Modelagem numerica de redes hidraulicas. Origem e tratamentodas nao-linearidades. ⇒ 3 semanas

4 Resolucao numericas das equacoes de Navier-Stokesincompressıveis. Convergencia em malha a uma solucaomanufaturada. ⇒ 4 semanas

Observacoes

Essa disciplina e direcionada a alunos do BMACC, com menosformacao em fısica e fluidos que alunos de engenharia ou fısica.Em cada capıtulo sera feita uma revisao rigorosa mas rapida dosconceitos de mecanica que sejam necessarios.Se espera que os estudantes tenham familiaridade com o calculonumerico. Os conceitos usados serao definidos mas naofundamentados teoricamente.E necessario saber programar. As aulas conterao exemplos deimplementacao em Octave.Seria conveniente ter acesso a uma notebook por grupo.Cada capıtulo envolvera 2 ou 3 aulas de trabalho em sala,consultando ao professor e/ou ao PAE.Havera sessoes de monitoria em laboratorio. Definir dia e horario.

Capıtulo 1

Simulacao numerica de corpos em flutuacao

ExemplosNavios

1Ueng, J. Marine Sci. and Technol., 2013

Exemplos

Estruturas

2Watanabe et al, CORE Rep. 2004-02

Exemplos

3Coelho et al, 8th Conf. Stab. Ships and Ocean Vesicles, 2003

Como flutuam os corpos?

Equilıbrio dinamico entre:Peso proprioForcas exercidas pelo lıquidoForcas exercidas pela atmosfera (vento)Forcas externas (ancoras,...)

Md2~cdt2 = ∑~F ,

= ∑~T

onde~c e a posicao do centro de massa,~F forca,~L momentoangular e~T torque (ambos respeito de~c).O corpo deforma pelas forcas aplicadas.Os fluidos respondem a presenca do corpo.

Descricao geometrica do corpo

Existem diversas maneiras: Primitivas, interpolatorias com/semmalha, etc.Consideraremos a seguinte:

A superfıcie S do corpo e a uniao disjunta de um conjunto depatches, cada um deles sendo a imagem de um sımplice M por umatransformacao ~ϕ : M→ Rd.

S = ∪K ~ϕK(M)

A geometria de cada patch e definida por um conjunto de nos.

Representacao linear por partes em 2D

~x(1) =~x(n+1)

Lista de pontos:

x(1)1 x(1)2

x(2)1 x(2)2...

...x(n)1 x(n)2

x(n+1)1 x(n+1)

~x(i+1)

~x(ξ) ~x(ξ) = ~ϕK=i(ξ) =1− ξ

2~x(i) +

1 + ξ

2~x(i+1),

ξ ∈ M = [−1, 1]

A imagem de ~ϕi e o segmento reto de~x(i) a~x(i+1).

~x(i+1)

~x(ξ)

Calculo do Jacobiano (comprimento dearco):

ds = |d~x| =∥∥∥∥d~x

∥∥∥∥ dξ =

∥∥∥∥∥~x(i+1) −~x(i)2

∥∥∥∥∥ dξ

Calculo da normal (anti-horaria):

~d def=~x(i+1) −~x(i) , n =

(d2,−d1)

‖~d‖

Ambos constantes em cada patch.

Integracao em S

Seja f uma funcao definida em Rd, entao∫S

f (~x) dS = ∑K

∫~ϕK(M)

f (~x) dS

= ∑K

f (~ϕK(~ξ)︸︷︷︸~x(~ξ)

dSdM︸︷︷︸

Jacobiano de ~ϕK

A integral de curva/superfıcie transformou-se numa soma deintegrais sobre um unico sımplice M.Em 1D, certamente escolhemos M = [−1, 1].

Exercıcio

Dados tres pontos arbitrarios em 3D, com coordenadas~x(1),~x(2) e~x(3), determinar uma transformacao ~ϕ : M→ R3 que transforme otriangulo unitario M (com vertices (0, 0), (1, 0) e (0, 1)) notriangulo plano definido pelos tres pontos.Quanto vale o Jacobiano dessa transformacao?

Integracao em S , caso 1D

Nos calculos, vao aparecer muitas integrais da forma∫S

f (~x) ds = ∑K

−1f (~ϕK(ξ))

dsdξ︸︷︷︸

Quadratura de Gauss-Legendre

Existe uma quadratura

−1g(ξ) dξ '

∑k=1

Ak g(ξk)

que integra exatamente polinomios de grau 2N− 1. Se esperamos quea funcao a integrar seja aproximavel por um polinomio desse grau,escolhemos:

N = 2ξ1 = −1/

√3 A1 = 1

ξ2 = 1/√

3 A2 = 1

N = 3ξ1 = −

√3/5 A1 = 5/9

ξ2 = 0 A2 = 8/9ξ3 =

√3/5 A3 = 5/9

Integracao em S , numerica

f (~x) ds = ∑K

−1f (~ϕK(ξ))

dsdξ︸︷︷︸

' ∑K

∑k=1

Ak f (~ϕK(ξk))︸︷︷︸f (~xk)

A seguir, alguns exemplos de calculos de integrais sobre superfıcies“numericas”.

Calculo do volume (2D) encerrado em S

V =∫

Ω1 dx dy

div~x dx dy

12~x ·~n ds

= ∑K

∑k=1

Ak12~xk ·~nk

Indeed, if the geometrical interpolation is P1, then for each K we havethat~x(ξ) is P1 while~n and ds/dξ are constant in each segment (in fact,ds/dξ = `K/2).The integrand is thus P1, so that N = 1 suffices to compute the volumeto roundoff error.G. C. Buscaglia (LMACC-ICMC-USP) Mecanica de Fluidos Computacional I 2017 35 / 142

Calculo do centro de massa de um polıgonohomogeneo

∂Ω(~x ·~n) x1 ds∮

∂Ω(~x ·~n) x2 ds

∑i=1

−1(~x(ξ) ·~n(i)) x1(ξ)

∑i=1

−1(~x(ξ) ·~n(i)) x2(ξ)

∑i=1

∑k=1

Ak~xk ·~n(i) x1k`i

∑i=1

∑k=1

Ak~xk ·~n(i) x2k`i

Calculo do empuxo hidrostatico

A forca de pressao por unidade de area que um meio fluido fazsobre um corpo que ocupa um domınio Ω e dada por

~fP = −p,~n .

A forca total e obtida por integracao em S ,

~FP =∫S−p~n dS .

Se o fluido esta imovel (estatico), a unica forca e a de pressao. Senao, devem ser consideradas tambem as forcas viscosas.

Considerando a superfıcie libre do fluido num instante t comosendo

x2 = Z(t, x1) , ( x3 = Z(t, x1, x2) em 3D),

a aproximacao de pressao hidrostatica e

p(t, x1, x2) = patm(t, x1) + ρL g max(0, Z(t, x1)− x2)

Em geral se toma patm independente de~x.Caso estatico: Z(t, x1) = constante.Enchimento/esvaziamento quasestatico: Z(t, x1) = h(t).Onda de celeridade v:

Z(t, x1) = h(x− v t) , e.g.; Z(t, x1) = h0 + a sin(k (x1 − v t)) .

Caso estatico

~FA =∫

s+−patm~n ds = −patm

∫s+~n ds

~FL =∫

s−−p(~x)~n ds

s−− [patm + ρLg(z− x2)]~n ds

= −patm

∫s−~n ds− ρLg

∫s−(z− x2)~n ds

~F =~FA +~FL = −patm

∫s+~n ds− patm

∫s−~n ds− ρLg

∫s−(z− x2)~n ds

0−patm

∮s+∪s−

~n ds − ρLg∫

s−(z− x2)~n ds

Caso estatico

Como patm nao tem influencia no balanco de forcas, pode-sedefinir patm = 0.Princıpio de Arquimedes: No caso estatico o empuxo e igual ao pesodo lıquido deslocado, e de sentido contrario.Se Z ou patm dependem de x1, o empuxo tem componentehorizontal.

Exercıcio

Programe uma funcao que, a partir da matriz de coordenadascoor de um polıgono e da funcao Z(t, x1), calcule o empuxo dolıquido sobre o corpo.Grafique as componentes horizontal e vertical do empuxo comofuncao do tempo.Considere Z(t, x1) = t, e outra funcao que represente uma ondaque passa pela posicao do corpo.

Discussao do exercıcio

A partir dos conceitos desenvolvidos, uma formulacao razoavel seria:Seja xi

j a componente j do vetor de coordenadas do no i, comi = 1, . . . , N. Isto poderia ser uma matriz coor(1:n,1:2) em quecada linha e o vetor (linha) posicao de um no. Por exemplo,n=4; coor=[0 0;1 0;1 2;0 2];

coor=[coor;[coor(1,:)]];

constroi o retangulo (0, 1)× (0, 2)

A regra de quadratura poderia serN=3; xi=[-sqrt(3/5),0,sqrt(3/5)];A=[5/9,8/9,5/9];

Pesos interpolatorios (1− ξ)/2 e (1 + ξ)/2):pint=[(1-xi)/2;(1+xi)/2];

Imagens dos pontos de quadratura no segmento (“patch”) ifor k=1:N

x(1,k)=pint(1,k)*coor(i,1)+pint(2,k)*coor(i+1,1);

x(2,k)=pint(1,k)*coor(i,2)+pint(2,k)*coor(i+1,2);

endfor

Os Jacobianos e vetores normais:d=[coor(2:n+1,:)-coor(1:n,:)];ll=norm(d,"rows");jac=ll/2;

normal=[d(:,2)./ll,-d(:,1)./ll]

Integral da funcao f = 1 (perımetro):perim=0;

for i=1:n

perim=perim+A*ones(N,1)*jac(i);

endfor

Integral de funcao arbitraria:f=@(x) x(1)*x(2);

res=0;

for i=1:n

for k=1:N

x=pint(1,k)*coor(i,:)’+pint(2,k)*coor(i+1,:)’;

res=res+A(k)*f(x)*jac(i);

endfor

Integral da normal (= 0):res=[0;0];

for i=1:n

for k=1:N

res=res+A(k)*normal(i,:)’*jac(i);

endfor

Integral de 12~x ·~n (=volume):

res=0;

for i=1:n

for k=1:N

res=res+A(k)*1/2*normal(i,1:2)*x*jac(i);

endfor

Empuxo:Z=@(t,x1) 1.5;

p=@(t,x) max(0,Z(t,x(1))-x(2));

res=[0;0];

for i=1:n

for k=1:N

res=res+A(k)*normal(i,1:2)’*(-p(t,x))*jac(i);

endfor

Erros de integracao

A funcao p(t,~x) nao e um polinomioao longo das arestas cortadas pelasuperfıcie libre. Isto, no caso decorpos com arestas muito compridas,requer uma integracao especial.

~y(i+1)

y2(ξ) = 0

~y(ξ)~y(i)

~y(i+1)

y2(ξ) = 0

~y(ξ)

Consideremos o quadrilatero defido pelos pontos (1, 0), (2, 0),(3, 2) e (0, 2). Seu empuxo (Arquimedes) e, em funcao da alturada agua, E(z) = ρ g z (1 + z/2).Na figura se compara o erro relativo de usar quadratura de Gaussde 3 pontos, com o de quadraturas de 20 e 50 pontos.

Calculo do torque de pressao

O torque e a quantidade que governa as rotacoes, assim como aforca governa as translacoes.E uma quantidade vetorial (pseudo), mas em 2D e escalar.

~TP =∫S(~x−~c)× (−p(~x)~n) dS

O torque e medido respeito de um centro de rotacao, nesse caso~c.Quando o centro de rotacao coincide com o centro de massa, adinamica rotacional e dada por I ω′(t) = T.

Torque:Z=@(t,x1) 1.+exp(-(x1-0.1*t+3)^2/0.16);

p=@(t,x) max(0,Z(t,x(1))-x(2));

t=0; res=0;

for i=1:n

for k=1:N

ff=(x(1)-cg(1))*normal(i,2)-(x(2)-cg(2))*normal(i,1);

res=res+A(k)*ff*(-p(t,x))*jac(i);

endfor

Erro de integracao

Consideremos o quadrilatero defido pelos pontos (1, 0), (2, 0),(3, 2) e (0, 2). Calculamos o torque respeito de~c quando passa aonda

Z(t, x1) = 1 + exp(− (x1 + 3− 0.1 t)2) .

Onda mais ingreme,

Z(t, x1) = 1 + exp(− (x1 + 3− 0.1 t)2

Onda ainda mais ingreme,

Z(t, x1) = 1 + exp(− (x1 + 3− 0.1 t)2

O metodo misto tambem da resultado errado, porque a integracao de 3pontos nao consegue capturar a onda.G. C. Buscaglia (LMACC-ICMC-USP) Mecanica de Fluidos Computacional I 2017 53 / 142

Complementemos vendo o empuxo para essa ultima onda.

Corpo rıgido

Definicao (Corpo rıgido)Um corpo Ω e dito rıgido se, quando submetido a um movimento, asdistancias entre seus pontos nao variam.

Para conseguir descrever o movimento de corpos rıgidos, usaremosuma transformacao

~ϕ : R2 ×R→ R2

~x 7→ ~ϕ(~x, t)

onde~x e tomado em uma configuracao de referencia de Ω e ~ϕ(~x, t) e aposicao ocupada no tempo t pela partıcula do corpo que naconfiguracao de referencia esta no ponto~x.

Corpo rıgido

~ϕ(~x, t0)

~ϕ(~x, t1)

Exemplo

x3 Rotacao em torno do eixo x1 de um cubodeslocado em x3 = 2, por um angulo θ(t).A configuracao de referencia do cubo per-manece na origem.

~ϕ(~x, t) = 1 0 00 cos θ(t) − sen θ(t)0 sen θ(t) cos θ(t)

x3 + 2

Movimentos rıgidos

Teorema (Representacao do movimento)

Uma transformacao~x 7→ ~ψ(~x) satisfaz

‖~x−~y‖ = ‖~ψ(~x)− ~ψ(~y)‖

se e somente se existe uma matriz ortogonal Q ∈ Rd×d e um vetor~b ∈ Rd

tais que~ψ(~x) = Q ·~x +~b

Definicao (Movimento rıgido)Sao transformacoes da forma

~ϕ(~x, t) = Q(t) ·~x +~b(t)

Movimentos rıgidos

Teorema (Representacao do movimento)

Uma transformacao~x 7→ ~ψ(~x) satisfaz

‖~x−~y‖ = ‖~ψ(~x)− ~ψ(~y)‖

se e somente se existe uma matriz ortogonal Q ∈ Rd×d e um vetor~b ∈ Rd

tais que~ψ(~x) = Q ·~x +~b

Definicao (Movimento rıgido)Sao transformacoes da forma

~ϕ(~x, t) = Q(t) ·~x +~b(t)

Movimentos rıgidos

Ω(~x−~c)

~ϕ(θ, b2) = Q(θ) ·Ω(~x−~c) +~b

Ω(~x)

Transformacao rıgida que rota o corpo um angulo θ e leva o centro~c aposicao~b = (0, b2).G. C. Buscaglia (LMACC-ICMC-USP) Mecanica de Fluidos Computacional I 2017 59 / 142

Transformacao das coordenadas dos nos

Lembremos que~ϕ(~x) = Qθ (~x−~c) +~b

onde~x pertence a configuracao de referencia (coor0).

n=4; coor0=[1 0;2 0;3 2;0 2];

coor0=[coor0;[coor0(1,:)]];

cg=[1.5;0.5];

theta=60*(2*pi/360);b=[0;0];

qq=[cos(theta) -sin(theta);sin(theta) cos(theta)];

for i=1:n+1

coor(i,:)=(qq*(coor0(i,:)’-cg)+b)’;

endfor

Assim, podemos estudar empuxo e torque em diversas posicoes docorpo.

Projeto: Parte I - Estatica

Consideramos um corpo bidimensional homogeneo cuja geometria edada por um vetor de coordenadas coor0(n,2) e cuja densidade e rho

(a densidade da agua e 1, assim como a gravidade). O centro de massaesta sempre em x1 = 0, mas o corpo pode rotacionar e movimentarverticalmente. A superfıcie livre e horizontal (x2 = 0).

1 Programe um codigo que, para cada valor de rho, construa umgrafico do torque T como funcao do angulo theta. A posicaovertical para cada angulo deve ser tal que o empuxo equilibre aopeso.

2 Identifique assim as posicoes de equilıbrio para cada rho e analisesua estabilidade.

Dinamica

Dinamica de uma partıcula pontual

Partıcula de massa m, posicao~x, forca aplicada total~F.

Momento linear:~p = m~v = md~xdt

Segunda lei de Newton: md2~xdt

=d~pdt

Energia cinetica: K =m2‖~v‖2.

Momentos angulares

Momento de uma forca (torque) em~x respeito de~0:

~T =~x×~F

Momento respeito de um eixo pela origem de direcao e: Te = e ·~T.Momento angular respeito de~0:

~L =~x×~p =~x× (m~v)

Conservacao do momento angular:

=d~xdt×~p︸︷︷︸

+~x× d~pdt

=~x×~F = ~T

que e simplesmente uma re-escrita de F = m a.

Varias partıculas

Partıcula k, massa mk, posicao~xk, momento~pk = mk~vk.Forca (externa + inter-partıculas):

~Fk =~Fke + ∑

~Fj→k

Forca total, momento linear total:

~F = ∑k

e + ∑j 6=k

~Fj→k

)= ∑

~Fke , ~p = ∑

Conservacao do momento linear (segunda lei para variaspartıculas):

= ∑k

dt= ∑

e + ∑j 6=k

~Fj→k

Centro de massaMassa total: M = ∑k mk.Centro de massa:

~c =1M ∑

kmk~xk → 1

ρ~x dΩ

Entao,

~p = Md~cdt

, Md2~cdt2 =~F

o centro de massa se comporta como uma partıcula pontual.

Momento angular de varias partıculasMomento angular total, torque total:

~L = ∑k

~Lk = ∑k~xk ×~pk , ~T = ∑

k~xk ×~Fk

Conservacao do momento angular:

= ∑k

dt= ∑

k~xk ×

e + ∑j 6=k

~Fj→k

= ∑k~xk ×~Fk

e + ∑k

(~xk ×∑

~Fj→k

)︸︷︷︸

Essa equacao e agora independente da conservacao do momentolinear.

Equacoes dinamicas de corpo rıgido

Um conjunto de partıculas deve satisfazer as 6 EDOs (3 em 2D)

Se o conjunto e rıgido, ele tem coincidentemente 6 graus deliberdade apenas (3 em 2D).Felizmente, as 6 EDOs determinam totalmente os 6 graus deliberdade! As equacoes dinamicas sao um sistema fechado.Apenas devemos trabalhar um pouco mais para levar a formafinal...

Momento angular de corpo rıgidoMovimento rıgido:

~xk(t) = ~ϕ(~Xk, t) = Q(t)~Xk +~b(t), ~Xk = Q(t)T(~xk(t)−~b(t))

Velocidade:

~vk(t) =dQdt

(t)~Xk =dQdt

(t)Q(t)T(~xk(t)−~b(t))

Q(t)Q(t)T = I ⇒ dQdt QT e antissimetrica.

0 =ddt(Q QT) =

QT + QdQT

Produto com matrizes antissimetricas e equivalente a produtovetorial por (pseudo)vetor.

A(~ω)~z =

0 −ω3 ω2ω3 0 −ω1−ω2 ω1 0

z1z2z3

∣∣∣∣∣∣i j k

ω1 ω2 ω3z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣ = ~ω×~z

No caso 2D, simplesmente tomar ~ω = ω k, e A =

(0 −ωω 0

)~vk(t) = ~ω(t)× (~xk(t)−~b(t)) = ~ω(t)×~xk(t) + ~V(t)Onde ~V e a velocidade da partıcula atualmente em~0.

Notar que, sendo A(~ω) = dQdt QT,

= A(~ω)Q

Em 2D isto e simplesmente dθdt = ω.

Substituindo,

~L = ∑k~xk ×mk~V + ∑

kmk~xk × (~ω×~xk)

o primeiro termo e zero se tomamos momentos respeito de~c(t).

Utilizando~a× (~b×~c) = (~a ·~c)~b− (~a ·~b)~c,

(‖~xk‖2 I−~xk(~xk)T

)]︸︷︷︸

~ω →[∫

Ωρ(‖~x‖2 I−~x~xT) dΩ

J e o tensor (matriz) de inercia angular.

~T = d~Ldt = d

dt (J ~ω) = J d~ωdt + ~ω× (J ~ω)︸︷︷︸

0 em 2D

= 0 em 2D)

Equacoes finais em 2D

~cθ~pL

~Vω~FT

∫Ω0 ρ(x2

1 + x22) dΩ0, pre-calculado, independente do tempo.

Forcas totais = Peso + Empuxo + “Amortecimento” (= −β~V, ondeβ poderia ser matriz diagonal)Torque total = Torque lıquido + “Amortecimento” (= −γω)

Projeto: Parte II - Dinamica

Consideramos o mesmo corpo da Parte I. A posicao inicial e dada por~c(0) e θ(0), a velocidade inicial e nula. Pede-se um codigo que resolvaa dinamica com a superfıcie dada por uma funcao Z(x1, t) arbitraria.

1 Calculamos resposta a perturbacoes nos equilıbrios calculados naparte I, com Z(x1, t) = 0. Ajustar β e γ para que o sistema sejalevemente amortecido.

2 Calculamos resposta a uma onda cuja frequencia sejamenor/parecida/maior que as frequencias de oscilacao dosistema (ponto anterior).

Equacoes finais em 3D

No caso 2D a orientacao era um angulo θ(t). Em 3D ela e dadapela matriz Q(t).No caso 2D o tensor J e um numero constante. Em 3D e umamatriz que varia com a orientacao. Se J0 e o momento de inerciana posicao de referencia,

J (t) = Q(t)J0 Q(t)T , J −1 = QJ −10 QT

~cQ~p~L

A(~ω)Q~F~T

A(QJ −10 QT~L) Q

Observacoes

Os graus de liberdade de rotacao sao 3, porem estamosrepresentando as rotacoes com uma matriz ortogonal (9incognitas!).O sistema depende fortemente de Q(t) ser ortogonal para todo t.Exercıcio: Prove que, se Q satisfaz dQ/dt = A(t)Q(t) com A(t)antissimetrica, e Q(0) e ortogonal, entao Q(t) e ortogonal ∀ t.Quando se utiliza resolucao numerica, a matriz Q perdeortogonalidade por erro de aproximacao!Exercıcio: Provar que a aproximacao de EulerQn+1 = Qn + ∆t An Qn faz que Qn+1 nao seja ortogonal, de fato

Qn+1QTn+1 = I− (∆t An)

Ambas dificuldades acima levam a preferir os quaternions.

Quaternions

Quaternions sao uma melhor representacao das rotacoes do quematrizes.Um quaternion e um par escalar-vetor q = [s,~v] cuja multiplicacaoe definida como

[s,~v][r,~u] = [s r−~v ·~u, s~u + r~v +~v×~u]

Conjugacao: q∗ = [s,−~v]. Tambem: (p q)∗ = q∗ p∗.Norma: ‖q‖2 = q q∗ = s2 + ‖~v‖2.Inversa: q−1 = q∗/‖q‖2.

Uma rotacao de angulo θ em torno de uma direcao unitaria~u erepresentada pelo quaternion unitario

q(θ,~u) = [cos(θ

2), sin(

2)~u] , ‖q‖ = cos2(

2) + sin2(

2) ‖~u‖2 = 1

Rotacao de vetores: x = [0,~x] ⇒ q x q∗ = [0, Qθ,~u~x]Composicao de rotacoes:

[0,~y] = [0, Q(q)Q(p)~x] ⇒ [0,~y] = q p [0,~x] p∗ q∗

Isto e, Q(q p) = Q(q)Q(p).

A matriz associada a um quaternion unitario q = [s,~v] e

Q(q) =

1− 2 v22 − 2 v2

3 2 v1 v2 − 2 s v3 2 v1 v3 + 2 s v22 v1 v2 + 2 s v3 1− 2 v2

1 − 2 v23 2 v2 v3 − 2 s v1

2 v1 v3 − 2 s v2 2 v2 v3 + 2 s v1 1− 2 v21 − 2 v2

Em termos de quaternions, a equacao Q′(t) = A(~ω(t))Q(t) sereescreve

=12[0, ~ω(t)] q(t)

Equacoes 3D com quaternions

~cq~p~L

12 [0, ~ω] q

12 [0, Q(q)J −1

0 Q(q)T~L] q

Representam a mesma fısica com menos incognitas (13 em vez de18).Sempre que q se mantenha unitario, nao ha problema de Q(q)deixar de ser matriz ortogonal (conveniencia numerica).

O sistema e assim transformado em

y′(t) = f (t, y(t)) , onde y = (~c, q,~p,~L)T

Algoritmo para avaliar f (t, y)1 Normalizar q.2 Calcular ~V =~p/M.3 De q, calcular Q(q) (formula matriz associada).4 Calcular J −1 = Q(q)J −1

0 Q(q)T. Notar que J −10 foi pre-calculado

no comeco.5 Calcular ~ω = J −1~L.6 Calcular~F e~T, funcoes de t e y.7 f (t, y) = (~V, 1

2 [0, ~ω]q,~F,~T)T.

D. Baraff. An introduction to physically based modeling. SIGGRAPH’97Course Notes.

M. Mason. Mechanics of Manipulation, 2010. Course Notes.G. C. Buscaglia (LMACC-ICMC-USP) Mecanica de Fluidos Computacional I 2017 79 / 142

Dinamica numerica

Equacoes finais da dinamica 2D =⇒ dydt (t) = f (t, y(t)) onde

c1c2θp1p2L

, f (t, y) =

p1/Mp2/ML/J

Fh1(t,~X(~c, θ))− β1 p1/M

Fh2(t,~X(~c, θ))− β2 p2/M−M g

Th(t,~X(~c, θ))− γ L/J

(Fh1, Fh

2) o empuxo, ~X(~c, θ) as posicoes dos vertices do polıgono(~X =~c + Q(θ)(~Xref −~cref )), Th o torque hidrostatico.

Solucao numerica de y′ = f (t, y)

Seja Y(t) a solucao exata de Y′(t) = f (t, Y(t)), Y(0) = Y0.Metodos numericos sao receitas para calcular um conjunto devetores y0, y1, . . ., que aproximam sistematicamente Y(0), Y(t1),Y(t2), . . ., para uma sequencia de tempos t1, t2, . . .Exemplo mais simples: Metodo de Euler com passo fixo definidopelo usuario.

y0 = Y0 , tk = k ∆t , yk+1 = yk + ∆t f (tk, yk)

E um metodo explıcito porque nao requer inverter f , como e naversao implıcita yk+1 = yk + ∆t f (tk+1, yk+1).

Nos metodos explıcitos, o custo computacional esta na avaliacaoda funcao f . Para o metodo de Euler: 1 avaliacao por passo.Esses metodos se tornam instaveis se ∆t > c/Jf , com c ' 2 e Jf omaior autovalor em modulo da matriz Jacobiana de f .Por Jf depender de y o limite de estabilidade pode apenas seradivinhado.Metodos Runge-Kutta constituem bons compromissos entre custo(numero de avaliacoes de f ) e precisao (‖yk − Y(tk)‖).A precisao e usualmente avaliada pela ordem do metodo:‖yk − Y(tk)‖ ≤ C ∆t p.

Metodos de Runge-Kutta e Tabela de Butcher

yn+1 = yn + ∆t (b1 k1 + b2 k2 + . . . + bs ks)

k1 = f (tn, yn)

k2 = f (tn + c2 ∆t, yn + ∆t (a21 k1))

k3 = f (tn + c3 ∆t, yn + ∆t (a31 k1 + a32 k2))

. . . . . .

0c2 a21c3 a31 a32. . . . . .

b1 b2 . . . . . . bs

yn+1 = yn + ∆t (b1 k1 + b2 k2 + . . . + bs ks)

k1 = f (tn, yn)

k2 = f (tn + c2 ∆t, yn + ∆t (a21 k1))

k3 = f (tn + c3 ∆t, yn + ∆t (a31 k1 + a32 k2))

. . . . . .

K(:,1)=f(y(:,n),time(n)); ## ydot=f(y,t), notar invers~ao de ordem

for m=2:nstage

tt=time(n)+c(m)*dt;

yy=y(:,n)+dt*K(:,1:m-1)*a(m,1:m-1)’;

K(:,m)=f(yy,tt);

endfor

ynew=y(:,n)+dt*K(:,1:nstage)*b’;

time(n+1)=time(n)+dt;

dtime(n+1)=dt;

y(:,n+1)=ynew;

Runge-Kutta ordem 2yn+1 = yn + ∆t

k1 +12

)k1 = f (tn, yn)

k2 = f (tn + ∆t, yn + ∆t k1)

Tabela de Butcher0 0 01 1 0

function [y time]=rk2(f,y0,t0,dt,nt)

time(1)=t0; y(:,1)=y0;

nstage=2;a=[0 0;1 0];c=[0; 1];b=[0.5 0.5];

for n=1:nt

K(:,1)=feval(f,y(:,n),time(n));

for m=2:nstage

tt=time(n)+c(m)*dt;

yy=y(:,n)+dt*K(:,1:m-1)*a(m,1:m-1)’;

K(:,m)=feval(f,yy,tt);

endfor

y(:,n+1)=y(:,n)+dt*K(:,1:nstage)*b’;

time(n+1)=time(n)+dt;

endfor

function f = foscil(y,t)

ome=1.;

f(1)=y(2);

f(2)=-ome*ome*y(1);

Resolvemos x′ = v, v′ = −x com x(0) = 0, v(0) = 1. A solucaoexata e x(t) = sin t, v(t) = cos t.

Matriz jacobiana =

(0 1−1 0

), entao Jf = 1 (autovalores ±i),

limite de estabilidade ∆t < 2.> [y time]=rk2("foscil",[0;1],0,0.4,500);

> plot(time,y(1,:),"-o","linewidth",2)

A pouca precisao leva a comportamento errado.

Runge-Kutta de ordem 4

Tabela de Butcher:0 0 0 0 012

12 0 0 0

12 0 1

2 0 01 0 0 1 0

Mesmo codigo do slide anterior, comnstage=4;

a=[0 0 0 0;1/2 0 0 0;0 1/2 0 0;0 0 1 0];

c=[0; 1/2; 1/2; 1];

b=[1/6 2/6 2/6 1/6];

ComparacaoComparamos RK2 com ∆t = 0.4 e 0.2, e RK4 com ∆t = 0.4.

>[y1 time1]=rk2("foscil",[0;1],0,0.4,1000);

>[y2 time2]=rk2("foscil",[0;1],0,0.2,2000);

>[y4 time4]=rk4("foscil",[0;1],0,0.4,1000);

> plot(time1,y1(1,:),"-b","linewidth",2,...

time2,y2(1,:),"-k","linewidth",2,...

time4,y4(1,:),"-r","linewidth",2)

> axis([0 400 -1.5 1.5])

Qual e o ∆t tal que a t = 800 a amplitude continua sendo ' 1 com RK2?

>[y1 time1]=rk2("foscil",[0;1],0,0.2,4000);

>[y2 time2]=rk2("foscil",[0;1],0,0.1,8000);

>[y4 time4]=rk2("foscil",[0;1],0,0.05,16000);

>plot(time1,y1(1,:),"-b","linewidth",2,time2,y2(1,:),"-k",...

"linewidth",2,time4,y4(1,:),"-r","linewidth",2,...

time1,sin(time1),"-g","linewidth",1)

> axis([750 800 -1.2 1.2])

Massa-mola com paredefunction f = foscilw(y,t)

ome=1.;f(1)=y(2);

if (y(1)>0) f(2)=-ome*ome*y(1);

else f(2)=-100*ome*ome*y(1);

>[y1 time1]=rk2("foscilw",[0;1],0,0.1,500);

>[y2 time2]=rk4("foscilw",[0;1],0,0.2,250);

>plot(time1,y1(1,:),"-b","linewidth",2,time2,y2(1,:),"-r",...

"linewidth",2)

> axis([0 50 -.2 2])

>[y1 time1]=rk2("foscilw",[0;1],0,0.02,2000);

>[y2 time2]=rk4("foscilw",[0;1],0,0.04,1000);

>plot(time1,y1(1,:),"-b","linewidth",2,time2,y2(1,:),"-r",...

"linewidth",2)

> axis([0 40 -.2 1.2])

Ajuste automatico de passo

Ideia geral: Em cada passo de tempo,Calcular yn+1 com dois metodos de diferente ordem.Exemplo: RK2→ yn+1, RK4→ zn+1.Estimar o erro como a diferenca desses resultados.

e = ‖yn+1 − zn+1‖

Se (erro > tolerancia) reduzir ∆t e voltar a 1.Predizer um ∆t adequado para proximos passos. Vamos suporque o esquema de menor ordem e de ordem p, o “passo ideal” ∆t∗daria erro igual a tolerancia.

e ' C ∆tp+1, ε ' C ∆tp+1∗ ⇒ ∆t∗ ' ∆t

) 1p+1

∆t ←− max (0.5∆t, min (2∆t, 0.9∆t∗))

Embedded Runge-Kutta methods (ERKM)

Para ajustar automaticamente ∆t sao precisos 2 metodos dediferente ordem.Em geral, esses dois metodos requerem avaliacoes em pontosdiferentes.ERKM consegue construir os dois metodos maximizando onumero de pontos comuns.Sao pares otimizados de metodos RK. Os mais utilizados sao osde Fehlberg, de Dormand-Prince, entre outros. Matlab e Octaveutilizam ERKM.

Metodo de Dormand-Prince

0 0 0 0 0 0 0 015

15 0 0 0 0 0 0

940 0 0 0 0 0

4445 − 56

15329 0 0 0 0

193726561 − 5360

2187644486561 − 212

729 0 0 0

1 90173168 − 355

33467325247

49176 − 5103

18656 0 0

1 35384 0 500

1113125192 − 2187

67841184 0

35384 0 500

1113125192 − 2187

67841184 0

517957600 0 7571

16695393640 − 92097

339200187

2100140

Ha 2 vetores b, o primeiro e de ordem 4, o segundo de ordem 5.

Utilizando lsode (Octave)

A funcao lsode implementa as melhoras discutidas.Se especifica a funcao e os tempos em que se deseja a solucao, ∆t eautomatico.T=[0:0.2:40];

[X, istate, MSG]=lsode("foscilw",[0 1],T);

plot(T,X,"linewidth",2)

Capıtulo 2

Interfaces e tensao superficial

As moleculas em uma superfıcie fluida estao menos ligadas queaquelas no seio do lıquido.E necessaria uma energia adicional para fazer crescer a area dainterface.Essa energia por unidade de superfıcie dE = γdS

pode ser vista tambem como uma forca, ou tensao superficial

~dF = γ ~d`× n = γ d` ν

A forca de tensao superficial e equilibrada pelas forcas dos fluidosadjacentes. O resultado e equivalente a uma forca (por unidade dearea) valendo γ κ n.Se considerarmos apenas as forcas de pressao (e.g., casohidrostatico), o balanco de forcas normais na interface e

pinterior − pexterior = γ κ

onde κ = 1/R1 + 1/R2 e a curvatura media da interface.A mesma equacao e obtida minimizando a energia total(gravitacional + capilar)

E =∫S

γ dS +∫

Ωρ g z dΩ

Na presenca de uma superfıcie solida, aparece um angulo decontato, que e uma propriedade dos materiais envolvidos.

cos(θ) =γSL − γSG

Essa equacao tambem se deduz da minimizacao da energia, agoraconsiderando tambem a energia das interfaces solidas.

E =∫SLG

γ dS +∫SSG

γSG dS +∫SSL

γSL dS +∫

Ωρ g z dΩ

Problema a estudar

Tomado de Portuguez et al (2017)

Tomado de B. Lautrup (2010)

Primeira parte: Equacoes diferenciais da superfıcie

Uma superfıcie com simetria derevolucao pode ser descrita com duasfuncoes r(s) e z(s), onde s e acoordenada de arco.

= cos θ ,dzds

= sin θ

A curvatura media e dada por

sin θ

r Tomado de B. Lautrup (2010)

Calculo de ∆p e condicoes de contorno

Nao conhecemos o valor de d, masmesmo conhecendo, isto nao seriasuficiente para calcular pint. De fato,pint(s = 0) = p(z = 0) + ρ g d, e p(z = 0)e desconhecido.

Entao, vamos deslocar os eixos levando aorigem (r = z = 0) a ponta da gota.

Tambem, vamos tomar pext = 0 epint(s = 0) sera um parametro livre p0.

Em qualquer s 6= 0 sera (hidrostatica)pint(s) = p0 − ρ g z(s).

A interface pode chegar no extremo daagulha com qualquer angulo, comoexplicado ao lado.

Tomado de B. Lautrup (2010)G. C. Buscaglia (LMACC-ICMC-USP) Mecanica de Fluidos Computacional I 2017 103 / 142

Forma matematica da gota

Uma forma parametrizada (r(s), z(s), θ(s)) sa-tisfaz o equilıbrio mecanico de uma gota pen-dente se:

1 r(0) = z(0) = θ(0) = 0

2 ∃L > 0 tal que r(L) = a.

3 Para 0 < s < L,

r′(s) = cos θ(s)z′(s) = sin θ(s)

θ′(s) =p0 − ρ g z(s)

γ− sin θ(s)

Dados: a, p0, ρ,g, γ.

Tomado de B. Lautrup (2010)G. C. Buscaglia (LMACC-ICMC-USP) Mecanica de Fluidos Computacional I 2017 104 / 142

Projeto - Gota pendente hidrostatica

Se deseja calcular a forma exata de gotas de um certo lıquido quependem de uma agulha de radio a e espessura desprezıvel. Emespecial se deseja um codigo numerico que permita calcular:

1 O volume maximo Vmax que uma gota em equilıbrio pode ter.2 A curva d vs. V, da altura vertical da gota em funcao do volume.3 A forma exata das gotas de volumes Vmax/3, 2Vmax/3 e Vmax.

Mostrar os resultados para agua a 20C, com a igual a 0.1 mm e 1 mm.

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