Mecânica Quântica

Carlos Eduardo Aguiar

Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ

1º período letivo, 2014

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• Dificuldades conceituais– Superposição quântica – Probabilidade subjetiva x objetiva– Complementaridade – O problema da medida– Realismo vs. localidade

• Dificuldades matemáticas– Vetores– Números complexos– Espaços vetoriais complexos– Operadores, autovalores, autovetores– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 3

Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996.

• I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.

• S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.

• G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000.

• M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.

• I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001.• E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization

understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002.

• K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.

• R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002.

Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.

• F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.

• D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, 010105, 2007.

• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008.

• C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008.

• L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009.

• M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.

Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics

Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010.• L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching

methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011.• M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic

categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 020113, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101118, 2012.

• O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, 2013.

• A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, 015001, 2014.

• J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.

Leituras recomendadas

• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. • R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.• O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.• A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.• M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.• T. Hey, P. Walters, The New Quantum Universe, Cambridge UP, 2003.• V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP,

2006.• L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014• A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. • J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. • D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-

Wesley, 2012.• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.

Simulações

• Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/

• Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm

• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html

• PhET (University of Colorado)http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena

• SPINS (Oregon State University)http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html

• Quantum physics (École Polytechnique)http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html

Internet

• Quantum Physics (IoP)http://quantumphysics.iop.org/

• Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter

• Quantum Entanglement (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall

• Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall

Sumário

1. Fenômenos quânticos2. Princípios da mecânica quântica3. Sistemas quânticos simples: aplicações4. Realismo, contextualidade e não-localidade5. Partículas idênticas6. Operadores, autovalores e autovetores7. Simetrias8. Posição e momentum9. Partícula em uma dimensão

não estão nestas notas

Charles Addams, New Yorker, 1940

Fenômenos Quânticos

Um experimento com a luz

feixe luminoso pouco intenso

semiespelho (50-50%)

espelho

detetores de luz D1

Resultado do experimento

• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.

50% 50%probabilidade

Se a luz fosse uma onda

... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.

Se a luz é composta por partículas

... ou D1 dispara, ou D2 dispara.

Conclusão

• A luz é composta por partículas: os fótons.

• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.

caminho 2

caminho 1

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.

• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.

átomo de cálcio τ = 4,7 ns

w = 9 ns

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

Resultado do experimento de Grangier et al.

Sobre o ensino do conceito de fóton

• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.

• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.

• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)

Outro experimento com a luz

interferômetro de Mach-Zehnder

segundosemiespelho

feixe luminoso“fóton a fóton”

Preliminares: um feixe bloqueado

O outro feixe bloqueado

Resultado fácil de entender com partículas

= caminho do fóton

De volta ao interferômetro

Resultado do experimento:

100%D1

Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos

caminho 1 caminho 2

Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.

)1(DD nnn

probabilidade dodetetor Dn disparar apenas o caminho

1 aberto

apenas o caminho 2 aberto

Proposição:*

Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2

consequência:

* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5

Teste da Proposição

Experimentalmente:

)1(DD nnn

%100P1D

%25P )1(D1

%25P )2(D1

%25P )1(D2

%25P )2(D2

a proposição é falsa!

Repetindo:

A afirmativa

“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”

é falsa.

“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.”

R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1

Por onde vai o fóton?

ou 1 ou 2

nem 1 nem 2

Por onde vai o fóton?

• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.

• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável.

• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo.

Uma resposta melhor

• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2.

• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta.

Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado.

- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics

(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)

Fácil de entender num modelo ondulatório

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

Comprimentos variáveis

L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro

Resultado experimental:

• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.

• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”.

• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.

L1 – L2

(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)

Interferência de nêutrons

interferômetro de nêutrons

S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)

Interferência de átomos

interferômetro de átomos

A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)

Interferência de elétrons

A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)

E se os caminhos forem distinguíveis?

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

diferença de “caminhos” (ajustável)

interferênciadesaparece !

E se os caminhos forem distinguíveis?

N Massa

• Massa = 0• caminho

identificado• não há padrão de

interferência

• Massa ∞• caminho não

identificado• padrão de

interferência

E se a informação sobre o caminho for apagada?

impossível determinar o caminho

interferência

Quando há interferência?

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente

interferência(“1 e 2”)

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente

(“ou 1 ou 2”)

não há interferência

Princípios da Mecânica Quântica

• Vetores de estado e o princípio da superposição

• A regra de Born

• Complementaridade e o princípio da incerteza

• Colapso do vetor de estado

• Evolução unitária

• Sistemas de N estados

• Sistemas compostos. Emaranhamento

Vetores de Estado e o

Princípio da Superposição

Sistemas de dois estados

• esquerda / direita

• horizontal / vertical

• para cima / para baixo

• sim / não

• 0 / 1

cara coroa

fóton refletido

fóton transmitido

A = ? a2a1

Agrandeza física observável:

a2a1medidor de “A”

Sistemas clássicos

• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: pontos no “eixo A”

Aa1 a2

sistema temA = a1

sistema temA = a2

Sistemas quânticos: vetores de estado

• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões

sistema temA = a2

sistema tem A = a1

A notação de Dirac

vetor ↔

identificação

direitaesquerda

exemplos:

O que muda?

Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.

Aa1 a2

O que muda é o seguinte:

O Princípio da Superposição

Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema.

2211 acac

Significado de |ñ

• A = a1 e A = a2 ?• esquerda e direita?• horizontal e vertical?• sim e não?• 0 e 1?1a

O espaço de estados é grande

• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.

• Os estados |a1ñ e |a2ñ formam uma “base” do espaço de estados.

Princípio da Superposição: formulação geral

Se |ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do

sistema.

Uma complicação

• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).

• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:

Outras complicações

• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?

• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?

Produto escalar

O produto escalar |ñ dos vetores |ñ e |ñ é um número complexo com as seguintes propriedades:

1. |ñ = |1ñ + |2ñ |ñ = |1ñ + |2ñ

2. |ñ = c |ñ |ñ = c |ñ

3. |ñ = |ñ* (* indica o conjugado complexo)

4. |ñ 0 (note que (3) implica em |ñ real)

5. |ñ = 0 |ñ = 0 (“0” é o vetor nulo)

Produto escalar

Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como

1. | 1+2ñ = |1ñ + |2ñ

2. | c ñ = c |ñ

Produto escalar

• É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto.

• Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento:

c |ñ = c* |ñ

Ortogonalidade

Os vetores |ñ e |ñ são ortogonais se seu produto escalar é zero:

A norma |||| do vetor |ñ é definida por

• |||| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do vetor |ñ

• |ñ = c |ñ |||| = |c| ||||• |||| = 0 |ñ = 0• outra notação: || |ñ || ||||

O produto escalar em termos das componentes

121*2212

*1 aacdaacdaacdaacd

• Usando as propriedades (1), (2) e (3):

• Como |a1ñ e |a2ñ são ortogonais, a1|a2ñ = a2|a1ñ = 0 e portanto

222*2111

*1 aacdaacd

• Como |a1ñ e |a2ñ têm comprimento unitário, a1|a1ñ = a2|a2ñ = 1, temos finalmente que:

*1 cdcd

As componentes em termos do produto escalar

2211 acac

2121111 aacaaca

• Usando as propriedades (1) e (2) temos

• Como a1|a1ñ = 1 e a1|a2ñ = 0,

11 ac• Da mesma forma,

2,1n,ac nn • Ou seja:

A norma em termos das componentes

*1 cdcd

*1 cccccc

A Regra de Born

2211 acac

A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é

(n = 1, 2)

A Regra de Born

2211 acac

|ñ a2a1

medidor de “A”

A regra de Born

a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas:

Probabilidade total

Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.

c)a(P)a(P 2

A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)

Normalização do vetor de estado

2211 acac 2211 acac

|ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

)a(Pcc

c)a(P n2

Normalização do vetor de estado

Todos os vetores ao longo de uma dada “direção” representam o mesmo estado

físico.

Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:

1cc,acac 22

212211 ou seja,

1aa 21 Note que |a1ñ e |a2ñ já estão normalizados:

2nn c)a(P

Vetores normalizados: a Regra de Born

2211 acac

medidor de “A”

211 c)a(P

222 c)a(P

(normalizado)

Vetores normalizados: a Regra de Born

Em termos do produto escalar, se |ñ está normalizado a probabilidade é dada por:

2nn a)a(P

Amplitude de probabilidade

cn = an|ñ amplitude de probabilidade

probabilidade = |amplitude de probabilidade|2

nn x)x(função de onda:

2nn )x()x(P

Amplitude de probabilidade

De forma mais geral:

• |ñ = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |ñ, para um sistema no estado |ñ

• P( ) = ||ñ|2 = probabilidade de uma medida resultar em |ñ, para um sistema no estado |ñ

• P( ) = P( ) embora |ñ |ñ (|ñ = |ñ*)

Frequência dos resultados de medidas

N medidas de A(N )

podemos prevera frequência dos

resultados:

1 c)a(PNN

2 c)a(PNN

2211 acac

Valor médio dos resultados

valor médio de A:

NaNaNA 2211

2211 acac

1 acacA

Incerteza

2211 acac

possível prever o resultado(probabilidade = 100%):

valor de A “bem definido”

c1, c2 0

impossível prever o resultado de uma medida

0c,1ca 211 ouSe

1c,0ca 212

Incerteza

2211 acac

A = incerteza de A no estado |ñ

2222 AAAA)A(

2aA = 0

Complementaridade e o

Princípio da Incerteza

Complementaridade

duas grandezasfísicas: A e B

Grandezas compatíveis e incompatíveis

A e B compatíveis

A e B incompatíveis

A e B complementares: incompatibilidade “máxima”

O Princípio da Incerteza

A e B incertos ( A 0, B 0)

A bem definido, B incerto( A = 0, B 0)

B bem definido, A incerto( B = 0, A 0)

O Princípio da Incerteza

A e B incompatíveis nenhum estado |ñ com A = 0 e B = 0

Exemplo: posição e momentum

Xx1 x2

duas posições: |x1ñ, |x2ñ (“aqui”, “ali”)

dois estados de movimento: |p1ñ, |p2ñ (“repouso”, “movimento”)

2p 1p2x

impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

Resumo da “cinemática” quântica

estado físico vetor no espaço de estados

grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no

espaço de estados

Resumo da “cinemática” quântica

probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1

ou A = a2

grandezas físicasincompatíveis

(complementares)

diferentes sistemas de eixos no espaço

de estados

projeção do vetor de estado no eixo |anñ

probabilidade damedida resultar

em A = an

• “Colapso” durante uma medida• Evolução unitária (equação de

Schroedinger)

Como o vetor de estado muda com o tempo?

Colapso do Vetor de Estado

Colapso do vetor de estado

a2a1 2a

antes damedida

depois damedida

resultadoA = a2

resultadoA = a1

medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |anñ

• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.

• O estado | an ñ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.

• |ñ |anñ: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.

• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais

fóton após a primeira medida.– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm

resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.

Medidas simultâneas de duas grandezas

(A, B)

( A 0, B 0) ( A = 0, B = 0)

Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado |ñ com A = 0 e B = 0.

É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).

Evolução Unitária

A equação de Schroedinger

• Evolução temporal do vetor de estado:|(0)ñ |(t)ñ

• Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante).

A (solução da) equação de Schroedinger

Sistema de dois estados

Dois níveis de energia: E1, E2

2211 EcEc)0t(

21/tEi

1 EecEec)t( 21

• ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js

• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas:

• A evolução |(0)ñ |(t)ñ ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos).

/tEinn

nec)t(c

A (solução da) equação de Schroedinger

Propriedades da equação de Schroedinger

• Linearidade:

)t()0(

)0()0()0( ba

)t()t()t( ba

t = 0 t 0

Demonstração da linearidade

EdEd)0(

EcEc)0(

222111

E)dc(E)dc(

)0()0()0(

)t()t(

EecEecEecEec

Ee)dc(Ee)dc()t(

21/tEi

12/tEi

21/tEi

221/tEi

• Conservação da norma do vetor de estado:

)0()t( )t(

• Conservação da ortogonalidade entre vetores:

tamanho não muda

)0()t(

dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares

Conservação do produto escalar

21/tEi

EedEed)t(

EecEec)t(21

/tEi*2

/tEi*1

)ec)(ed()ec)(ed()t()t( 2211

)0()0()t()t(

conservação da norma:

conservação da ortogonalidade:

)0()t(

0)t()t(0)0()0(

• Determinismo• Continuidade• Linearidade• Conservação da norma• Conservação da ortogonalidade

“evolução unitária”

Estados estacionários

• |(0)ñ e |(t)ñ representam o mesmo estado físico.

• Estados de energia bem definida são “estacionários”.

nE)0( n/tEi Ee)t( n

mesma “direção” que |Enñ

• Estado de energia bem definida En:

Conservação da energia

21/tEi

1 EecEec)t( 21

2/tEinn cec)t,E(P n

)0()t(EE

)0t,E(P)t,E(P nn

12211)t(EcEcE)t,E(PE)t,E(PE

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

• Equação de Schroedinger:– contínua– determinista– válida enquanto não se faz uma medida

• Colapso do vetor de estado:– descontínuo– probabilístico– ocorre durante a medida

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

Dois tipos de evolução temporal?• Equação de Schroedinger:

– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.

– A = a1 e A = a2

• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato

clássico, o aparelho de medida (o “observador”).– A = a1 ou A = a2

O “problema da medida”Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?

a2a1 a2a1 a2a1

Descrição quântica do aparelho de medida:

| ñ| ñ | ñ

11 aa 22112211 acacacac

equação de Schroedinger:

o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo !

aparelho de medida:

O “problema da medida”

• Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em

duas direções ao mesmo tempo.– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.

• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos?

Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões.

Física quântica x física clássica

• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…

L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,

não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica.

N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em

uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica.

J. Bell, Against measurement

Física quântica x física clássica

físicaquântica

físicaclássica

…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...

- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

Sistemas de N Estados

Você está emtodo lugar

Sistemas de 3 estados

a3a1a2

332211 acacac

Três valores possíveis para a grandeza A:

3,2,1,||)( 2 ncaP nn

Sistemas de N estados

3aNa...

(impossível desenharN eixos perpendiculares)

N valores possíveis para a grandeza A:

aNa1a2 ...

1nnn ac

N,2,1n,|c|)a(P 2nn

Sistemas de infinitos estados

• N pode ser infinito:

• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:

a)a(cda

2|)a(c|da)a,a(P

2|)a(c|)a(p densidade de probabilidade:

probabilidade:

Exemplo: a = x = posição de uma partícula

x)x(dx

221 |)x(|dx)x,x(P

2|)x(|)x(p densidade de probabilidade:

probabilidade:

função de onda: (x)

• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:

a)a(cdaacn

Exemplo: a = E = energia de uma partícula

E)E(cdEEcn

Produto escalar

1nnn ab,ac

nn ab,ac

1nnn c*b

nn c*b

x)x(dx,x)x(dx

)x()x(*dx

Produto escalar

E)E(bdEEb

E)E(cdEEc

)E(c)E(*bdEc*bn

Sistemas Compostos

Sistemas compostos

|anñI

sistema I

|bsñII

sistema II

IIssIIb

Sistemas compostos

sns,n b,ac

subsistema I

|an, bs ñ

subsistema II

sistema composto

Produto tensorial

IIsInIIsInsn babab,a

A notação do produto tensorial torna evidentes algumas propriedades que os estados do sistema composto devem ter.

Produto tensorial

Por exemplo:

IIssIIb

InnIa• sistema I no estado

• sistema II no estado

sistema composto no estado

s,nsnsn

s,nIIsInsn

nInnIII

Produto tensorial

IIsIIInIsnsn ba,b,a

Note que

ou, de maneira geral,

IIIIII

s,nsn **)(*)(,,

)b(P)a(P)b,a(P sIInIsn

Uma consequência disso é

Estados separáveis

• Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):

III sistema I no estado |ñ, sistema II no estado |ñ

snsn b,a

sns,n b,acEstado geral do sistema composto:

sns,nc

Nem todo estado é separável, pois nem sempre .sns,nc

Estados emaranhados

2211 b,a2

112212211

Estados não-separáveis são chamados deestados emaranhados.

Exemplo: o estado

não é separável, do contrário deveríamos ter

o que é impossível. A primeira equação diz que todos os ’s e ’s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos.

Estados emaranhados

212121 x,x)x,x(dxdx

)x()x()x,x( 2121

Outro exemplo: a função de onda de duas partículas

O estado |ñ é separável se

pois nesse caso

IIIII222I111 x)x(dxx)x(dx

Se o estado |ñ é emaranhado.)x()x()x,x( 2121

Emaranhamento

• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais.

• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas,

• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica.

“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras.”

- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)

Aplicações a sistemas simples

Instituto de Física Quântica

Vocêestá

aqui e aqui

Informação quântica

Aplicações a sistemas simples

• Interferômetro de Mach-Zehnder• Medida sem interação• O problema de Deutsch• Molécula de H2

• Benzeno, amônia• Polarização do fóton• Oscilação de neutrinos• Spin ½• Informação quântica

ainda não estãonestas notas

Interferômetro de Mach-Zehnder

• Interferência de uma partícula• Descrição quântica do interferômetro• Interferência e indistinguibilidade• Defasagem

O interferômetro de Mach-Zehnder

100%D1

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

“ondas”

O interferômetro de Mach-Zehnder

D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”

Descrição quântica do interferômetro

(caminho 1)

(caminho 2)

Espaço de estados

2c1c 21

probabilidades:

Semiespelho

probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2

evoluçãounitária

Semiespelho

1 sinal negativo: evolução unitária conserva a

ortogonalidade

Interferômetro

Primeiro semiespelho: 22

Estado inicial: 1

InterferômetroSegundo semiespelho:

ou seja, o estado final é

interferência destrutiva

interferência construtiva

P1 = 100%P2 = 0%

O que interfere?

(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)

soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis

Caminho bloqueado

Estado inicial: 1

Bloqueio: 2

fóton bloqueado

Caminho bloqueado

Segundo semiespelho:

21 P1 = 25%

P2 = 25%P = 50%

Por que não há interferência?

(1-1-1) (1-1-2)

não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência

(1-2-)

Caminhos alternativos distinguíveis

Primeiro semiespelho: M22

Estado inicial: R1

• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento

M2,M1,R2,R1

M221R2

P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%

P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%

soma de probabilidades,não de amplitudes

Apagando a informação sobre o caminho

D1 100%

Apagando a informação sobre o caminho

a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida

Defasagem

L1 – L2 (λ/50)

As probabilidades P1 e P2 dependem de diferenças entre os dois caminhos.

distânciapercorrida

densidade do material atravessado

Defasagem

características do caminho percorrido “fase”

1e 1i1

2e 2i2

Defasagem

Estado inicial: 1

Defasadores:

121 ii

Defasagem

ou seja,

e 2121 iiii

e 212121 iiiiii

Defasagem

2c1c 21 • Após o segundo semiespelho:

eec21 ii

• Probabilidades:

11 cos121cP )cos(1

21cP 21

1 – 2

Defasagem

L1 – L2 (λ/50)

nnn LkL2

após uma distância “extra” x: nen xki

Medida sem interação

O palito de fósforo quântico

fóton

• fósforo “bom”

• fósforo “ruim”

O palito de fósforo quântico

palitos bons e ruins misturados

Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?

Teste clássico

palito ruim

palito bomqueimado

Teste quântico

Palito ruim

D1 100%

transparente

palito ruim D2 nunca dispara

Palito bom

D2 25%

D1 25%50%

palito bom D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto

Teste quântico

• D2 fósforo bom intacto

• D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim

• Fósforo acende fósforo bom queimado

Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida

Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

O problema de Deutsch

Como saber se uma moeda é honesta ou viciada?

1ª lado 2ª lado

moeda honesta

1ª lado 2ª lado

moeda viciada

Resposta “clássica”: olhando os dois lados

1ª lado 2ª lado

4 possibilidades

honesta

viciada

Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton?

Aparentemente, não!

Vendo os dois lados da moeda com um único fóton

cara: = 0 coroa: =

cara: = 0 coroa: = D1

moeda honesta:1 2

fóton em D2

moeda viciada:1 2

fóton em D1

11 cos121cP

)cos(121cP 21

O início da computação quântica

• D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p. 97-117 (1985).

• D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p. 553-558 (1992).

• R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p. 339-354 (1998).

x = 0 x = 1f1 0 0

f2 1 1

f3 0 1

f4 1 0

f constante

f “balanceada”

}1,0{}1,0{:f

É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ?

Realismo, Contextualidade e Localidade

“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”

Variáveis ocultas

variável “oculta” quedetermina o valor de A

Medidas:• revelam um valor preexistente?• criam o resultado encontrado?

grandeza medidano experimento

Experimentos com um sistema composto

AI = 1 AII = 1

BII = 1BI = 1

incompatíveis

compatíveis

Quatro experimentos com um sistema composto

Quatro experimentos possíveis:

1) Medida de AI e AII

AI = +1 e AII = +1 encontrado algumas vezes

2) Medida de AI e BII

AI = +1 e BII = +1 nunca encontrado

3) Medida de BI e AII

BI = +1 e AII = +1 nunca encontrado

4) Medida de BI e BII

BI = -1 e BII = -1 nunca encontrado

Quatro experimentos com um sistema composto

A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)

1) P(AI, AII) (em %)

grau de emaranhamento

2) P(AI, BII) = 03) P(BI, AII) = 04) P(BI, BII) = 0

Experimentos com um sistema composto

AI = +1 AII = +1

BI = -1 BII = -1

sempre

Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas:

Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!

Estados de Hardy

IIIIIIIII B,BB,BB,B31

estado emaranhado

P(BI, BII) = 0 experimento 4

L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)

Estados de Hardy

Experimentos 1, 2 e 3:

Estados de Hardy

IIIIIIIII B,AB,AB,A26

IIIIIIIII A,BA,BA,B26

IIIIIIIIIIII A,A3A,AA,AA,A121

Experimentos 1, 2 e 3:

Contextualidade

)C,(A 21

o que está sendo medido em 2 (A2 ou B2)

)C,(B 21

(A, B)

Contextualidade

)C,(A III

o que está sendo

medido em II (AII ou BII)

)C,(A III

o que está sendo medido em I (AI ou BI)

)C,(B III

Não-localidade

AI AII

O teorema de Bell

Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica

é necessariamente não-local.

• The first question is . . . why not the p's as well as the q's can be prescribed with arbitrary precision . . . One can look at the world with the p-eye and one can look at it with the q-eye but when one would like to open both eyes, then one gets dizzy.

W. Pauli, letter to W. Heisenberg, 19 October 1926, p. 340(ver A. Pais, Niels Bohr’s times, p. 304)

Mecânica Quântica

Documents

Transcript of Mecânica Quântica

MECÂNICA QUÂNTICA (2)

Mecânica Quântica Postulados da Mecânica Quântica. Equação de Schrondiger. Bandas de Energia.

Mecânica Clássica X Mecânica Quântica

Introdução à Mecânica Quântica

2 Mecânica Quântica - PUC-Rio

2 As Origens da Mecânica Quântica

Teoria da ressurgência aplicada à mecânica quântica

Teorias e Interpretações da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica, Griffiths (Português)

Fundamentos de Mecânica Quântica

Introdução a Mecânica Quântica

Resumo de Mecânica Quântica Relativista

[2011] Ferramentas matemáticas da mecânica quântica

O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica

Seminário mecânica quântica

Mecânica Quântica - Segunda Quantização

Mecânica quântica

Selecionado por · Selecionado por . Conteúdo Páginas Introdução à mecânica quântica 1 Antiga teoria quântica 5 Mecânica quântica 7 Efeito fotoelétrico 15 Postulados da

Mecânica Quântica: Função de Onda