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220 FIS II CASD Vestibulares
FFííssiiccaa FIS II
CCAAPPÍÍTTUULLOO 99 –– MMOOVVIIMMEENNTTOO HHAARRMMÔÔNNIICCOO SSIIMMPPLLEESS
1 - INTRODUÇÃO Neste capítulo, voltaremos ao estudo de
corpos em movimento. Entretanto estudaremos um movimento com algumas características peculiares: o movimento periódico e oscilatório. Existem diversos movimentos com essas características, mas o único que nos interessa é o Movimento Harmônico Simples (MHS). Assim como fizemos na cinemática, será nosso interesse identificar as equações horárias da posição e da velocidade, assim como da aceleração (no MHS, a aceleração não é constante, mas variável). Veremos então que existe uma relação especial entre posição e aceleração no MHS. O estudo do MHS é introdutório ao estudo da ondulatória, que iniciaremos a seguir.
2 – MOV. PERIÓDICO E OSCILATÓRIO
Um movimento é dito periódico quando suas características – como posição, velocidade e aceleração - repetem-se em iguais intervalos de tempo. Por exemplo, o movimento de um planeta ao redor do Sol ou o movimento das marés. Como visto anteriormente, o tempo necessário para ocorrer uma repetição do movimento periódico é denominado período (T). Assim:
ciclosn
tT
O período pode ser medido em qualquer unidade de tempo. No SI, a unidade é o segundo (s). Vimos também que freqüência (f) é o número de vezes que o movimento se repete na unidade de tempo. Assim:
t
nf ciclos
A unidade de freqüência no SI é o Hertz (Hz),
sendo 1 Hz = 1 s-1
. O Hertz é também chamado de rotação por segundo (rps). Outras unidade muito utilizada é rotação por minuto (rpm), e 1 rps = 60 rpm.
Ainda, da definição temos:
Tf
1
Um movimento é dito oscilatório quando
ocorre com alternância de sentido, mas na mesma trajetória para os dois sentidos. É o caso, por exemplo, do movimento do pêndulo de um relógio, que também é periódico. Perceba, entretanto, que a órbita de um planeta é periódica, mas não oscilatória, pois não ocorre inversão de sentido do movimento.
3 – MOV. HARMÔNICO SIMPLES
Iremos estudar então um exemplo de
movimento periódico e oscilatório - o MHS. O termo
“harmônico” significa que as funções horárias desse
movimento são descritas a partir de funções do tipo
seno e cosseno, como veremos posteriormente.
Para simplificar o entendimento de como
ocorre o movimento harmônico simples, vamos partir
do movimento circular uniforme. Para isso, considere
um corpo em MCU, em uma trajetória de raio A, com
velocidade angular ω, conforme a figura a seguir.
Figura 1. MCU e MHS
Façamos a projeção do MCU sobre o eixo
coordenado Ox, que é paralelo ao diâmetro PP’ e está
contido no plano da circunferência (imagine a sombra
do corpo projetada no eixo Ox devido à incidência
perpendicular de luz).
Perceba que quando o móvel em MCU
desloca-se de P para P’ sobre a circunferência, sua
projeção (sombra) desloca-se do ponto de coordenada
x = A até o ponto de coordenada x = -A. Quando o
móvel em MCU desloca-se de O’ para O, a projeção
desloca-se de x = -A para x = A.
O movimento que a projeção do MCU realiza é
o movimento harmônico simples. Perceba que o
movimento é periódico, pois se repete no tempo, e
oscilatório, pois há alternância de sentido sobre a
mesma trajetória. O período do MHS da sombra é o
mesmo do MCU do móvel.
É importante ressaltar, porém, que esse caso é
apenas uma ilustração. Nem todo MHS é
conseqüência de um movimento circular, mas para fins
didáticos vamos utilizar esse o MCU deduzir o MHS.
CASD Vestibulares FIS II 221
No MHS, a posição (coordenada) é medida a
partir do ponto médio da trajetória (ponto O) e é
denominada elongação. Ou seja, no ponto O (x=0)
temos elongação nula, enquanto no ponto x = A temos
elongação máxima e no ponto x = - A temos elongação
mínima. O valor A, que corresponde ao raio da
trajetória do MCU, denomina-se amplitude.
4 – CINEMÁTICA DO MHS
Assim como fizemos anteriormente para os
outros tipos de movimento vistos, vamos deduzir
equações para identificar a posição, a velocidade e a
aceleração ao longo do tempo no MHS. Como o
movimento é periódico, essas grandezas se repetem
em intervalos de tempos iguais. Vamos continuar
utilizando a associação com o MCU (figura 1).
4.1 - Função Horária da Elongação
Na figura a seguir, destacamos a posição
ocupada pelo móvel em MCU no instante inicial do
movimento (t=0), assim como a posição de sua
projeção no eixo Ox. Tais posições podem ser
identificadas pelo angulo φ0, denominado fase inicial.
Ou seja, é o valor do ângulo de fase no instante t=0,
em relação ao referencial P (análogo à posição inicial
no movimento retilíneo e à fase inicial no movimente
circular).
Figura 2. Fase Inicial
Após determinado intervalo de tempo t, a
partícula ocupará a posição identificada pelo ângulo φ
(fase), e sua projeção identificará a elongação do MHS
nesse instante. Da equação horária do MCU temos:
.0 t
Figura 3. Elongação do MHS
A elongação do MHS é dada pela coordenada
x, e corresponde à projeção da posição do MCU sobre
o eixo Ox. No triângulo sombreado temos:
.coscos AxA
x
Como ,0 t
obtemos:
)cos( 0 tAx
Essa é a equação horária da elongação no MHS.
Obs. 1: Como dito, nem todo MHS é conseqüência de um MCU. Mas podemos sempre associar um movimento circular. Dessa forma, o MHS é sempre descrito em função das grandezas angulares que vimos no estudo dos movimentos circulares (como velocidade angular, fase etc.) Obs. 2: Lembre-se que ω=2πf=2π/T.
4.2 - Função Horária da Velocidade Escalar Instantânea
Do mesmo modo, a velocidade do MHS corresponde à projeção do vetor velocidade do MCU sobre o eixo Ox. Essa projeção em um determinado instante t está ilustrada na figura a seguir.
Figura 4. Velocidade no MHS No triângulo retângulo sombreado:
.senvv MCUMHS
Lembrando que AvMCU
e
,0 t obtemos:
).( 0 tAsenvMHS
Como o MHS tem sentido contrário ao do eixo
Ox, devemos acrescentar o sinal negativo para indicar
o sentido da velocidade. Assim, escrevemos a função
horária da velocidade escalara instantânea no MHS:
).( 0 tAsenv
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4.3 - Função Horária da Aceleração Escalar Instantânea A aceleração do MHS é a projeção no eixo Ox da aceleração do MCU, que é centrípeta. A figura a seguir representa essa projeção em um instante t.
Figura 5. Aceleração no MHS
No triângulo retângulo sombreado:
.cosMCUMHS aa
Lembrando que AaMCU
2
e ,0 t obtemos ).cos( 0
2 tAaMHS
Observamos que o MHS é acelerado no instante t considerado. Logo a velocidade e a aceleração devem ter o mesmo sinal. Logo:
)cos( 0
2 tAa
Obs.: Para utilizarmos essas equações, devemos utilizar o mesmo referencial utilizado nas deduções. Ou seja, fase nula no ponto P, de elongação máxima. O referencial não é arbitrário.
4.4 - Relação entre Aceleração e Elongação
Substituindo a equação da elongação na equação da aceleração, resulta em:
Kxaouxa 2
Essas equações representam a propriedade
fundamental do MHS: a aceleração varia linearmente com a elongação. Isto é, para cada posição ocupada pelo móvel em MHS, a aceleração é obtida multiplicando uma constante (-ω
2) pela elongação. O
sinal negativo indica que elongação e aceleração tem sinais contrários: quando um é positivo, o outro e negativo.
Assim, quando um móvel estiver realizando um
movimento que obedece a essa propriedade, o móvel
estará realizando um MHS. Essa idéia ficará mais clara quando estudarmos a dinâmica do MHS.
5 – PONTOS NOTÁVEIS DO MHS
Para melhorar a compreensão de como o
corpo se comporta em MHS, vamos analisar alguns
pontos de interesse na trajetória. Queremos obter o
valor da elongação, da velocidade e da aceleração em
cada ponto.
Figura 6. Pontos Notáveis
Considere então novamente o corpo em MCU
com sua projeção em MHS. Na ilustração estão
representadas pelos números de 1 a 5 as posições de
interesse no MCU. Vamos considerar o movimento de
período T, e fase inicial φ0=0.
Com isso, no instante inicial t=0, o móvel em
MCU encontra-se na posição 1, na qual o ângulo
φ=φ0+ωt=0. Assim, a projeção em MHS:
AxAAtAx 0coscos)cos( 0
Do mesmo modo:
00 vAsenAsenv
AaAa 22 0cos
Na posição 2, o corpo percorreu ¼ da
circunferência. Logo demorou ¼ do tempo para uma
volta completa (período - T). Então na posição 2, t=T/4
e o ângulo de fase φ=π/4. Procedendo analogamente
para cada ponto, podemos perceber, para a projeção
em MHS
CASD Vestibulares FIS II 223
Com isso, o corpo (e a projeção) retorna à
posição inicial do movimento. A partir disso podemos
resumir em uma tabela os pontos de interesse do
MHS:
Tabela 1. Comparação entre Pontos Notáveis
Assim podemos concluir que nas
extremidades, a velocidade do móvel (no caso, a
projeção) em MHS é nula, e a aceleração tem
intensidade máxima igual a ω2A. No percurso até a
posição central então, o corpo é acelerado, ou seja
aumenta a velocidade. Mas o valor da aceleração
diminui a cada instante. Então quando o corpo atinge a
posição central, a velocidade é máxima igual a ωA e a
aceleração é nula.
Por fim, no caminho até a outra extremidade, o
corpo é submetido a uma aceleração no sentido
contrario do movimento, logo o corpo é desacelerado.
Até atingir a extremidade com velocidade nula e
aceleração máxima. A partir disso o processo se
repete.
A partir dos dados obtidos das equações e
representado na tabela, podemos construir os
diagramas horários do MHS (grandezas física em
função do tempo), nos quais o movimento possui
período T.
Figura 7. Diagramas Horários Concluímos então a análise do MHS do ponto
de vista cinemático, ou seja, estudando a variação da posição, da velocidade e da aceleração. Na parte 2 deste capítulo, estudaremos situações físicas nas quais ocorre o MHS. Segue junto com a parte 1 a série de exercícios.
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6 - DINÂMICA DO MHS
Como dito, fizemos a dedução do MHS a partir
do MCU para fins didáticos. Vamos agora entender
como aquilo que foi estudado se aplica a situações
físicas. Vamos estudar duas aplicações: o sistema
massa-mola e o pêndulo simples. Nosso interesse será
deduzir o valor do período. Vamos perceber que dois
fatores são necessários para que haja a oscilação
mecânica:
uma força restauradora, que age sempre para
levar o corpo de volta à posição de equilíbrio;
e a inércia, que é a tendência de os corpos em
movimento se manterem em movimento.
6.1 – Sistema Massa-Mola
Considere um bloco de massa m, sobre um
plano perfeitamente liso e preso a uma mola de
constante elástica k. Se a mola não apresenta
deformações, isto é, está em seu tamanho natural, as
forças que atuam sobre o bloco são o peso P e a
normal N. Assim a resultante é nula e o corpo
encontra-se na posição de equilíbrio (ponto x=0).
Figura 8.
Considere agora que um agente externo aja
sobre o bloco, de maneira a produzir uma distensão na
mola, afastando o bloco de sua posição de equilíbrio
até a coordenada x=A. Quando o bloco é solto, a mola
gera uma força no sentido de retornar o bloco à
posição de equilíbrio (figura 9). A força elástica, então,
é a força restauradora. Ao chegar à posição de
equilíbrio (mola em comprimento natural), a força
elástica se anula. Porém, devido à inércia, o bloco
continua o movimento e passa a posição de equilíbrio.
Com isso aparece novamente a força elástica, no
sentido oposto, que desacelera o bloco, até parar na
posição x=-A, e retorna-o de volta à posição de
equilíbrio. O movimento se repete, caracterizando um
movimento oscilatório.
Figura 9.
Podemos escrever, para o bloco afastado de x
do ponto de equilíbrio, que a força resultante é a
própria força elástica:
xm
kakxmaFR el
Concluímos que o bloco realiza um MHS, uma
vez que a aceleração varia linearmente com a
elongação (propriedade fundamental do MHS). A
amplitude do movimento é a distensão inicial da mola
A. A figura a seguir mostra a relação do movimento do
bloco com o MCU, como estudado anteriormente.
Figura 10. Relação entre MCU e sistema
massa-mola
Como visto, no MHS a= - ω2.x. Logo temos ω
2
= k/m. Lembrando que ω=2π/T, concluímos que o
período de oscilação do MHS do sistema massa-mola
é:
k
mT 2
Por essa expressão podemos perceber que o
período do sistema massa-mola
CASD Vestibulares FIS II 225
depende somente da massa oscilante e da
constante elástica da mola;
não depende da amplitude de oscilação.
Obs.: É importante ressaltar que esse valor encontrado
para o período independe se o bloco está oscilando na
horizontal ou na vertical sob ação também da
gravidade, ou ainda sobre um plano inclinado. O que
altera é somente a posição de equilíbrio (deq), que não
será mais o comprimento natural da mola, e sim a
posição em que a força elástica se iguala à força peso,
como na figura a seguir. O período é o mesmo.
Figura 11. Equilíbrio do sistema massa-mola
6.1.1 - Relembrando: Associação de molas:
molas em série:
21
111
kkkeq
molas em paralelo:
21 kkkeq
Figura 12. Associação de Molas
6.2 – Pêndulo Simples Um pêndulo simples é constituído por um
corpo de massa m que oscila, sob ação da gravidade, preso à extremidade de um fio inextensível de comprimento l, como na figura a seguir. A figura ainda representa as forças atuantes no pêndulo – Peso e Tração -, assim como as decomposições na direção normal e tangencial ao movimento.
Figura 13. Pêndulo Simples Quando a massa é afastada da posição de
equilíbrio, a componente tangencial da força peso age como força restauradora, e retorna o pêndulo à sua posição de equilíbrio inicial. Este, por sua vez, devido à inércia, passa da posição de equilíbrio. A força restauradora age novamente, no sentindo contrário, e o pêndulo realiza um MHS sobre o arco de circunferência.
Na direção normal ao movimento, a
componente normal do peso (Pn = mgcosθ) anula a tração (T) do fio. Na direção tangencial, a componente tangencial do peso (Pt = mgsenθ) é a resultante:
gsenamgsenmaPR t
Se as oscilações ocorrerem com ângulos
pequenos (θmax ≤ 10º), podemos aproximar o valor do seno do ângulo θ pelo próprio ângulo (sen θ ≈ θ). Da
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figura escrevemos que θ = x / l (definição de radianos). Com isso:
l
xgaggsena .
No qual o sinal negativo apenas indica que a
aceleração tem sentido contrário ao eixo Ox. Portanto, para essa aproximação para ângulos pequenos, a aceleração varia linearmente com a elongação, o que confirma que o pêndulo realiza um MHS.
Novamente, no MHS a= - ω2.x. Logo temos ω
2
= g/l. Lembrando que ω=2π/T, concluímos que o
período de oscilação do MHS do sistema massa-mola
é:
g
lT 2
O período do MHS do pêndulo simples
não depende da massa;
é proporcional à raiz quadrara do comprimento;
é inversamente proporcional à raiz quadrada do
valor da aceleração da gravidade.
Obs.: O pêndulo realiza aproximadamente um MHS
para ângulos inferiores a 10º. Ao utilizarmos essa
aproximação, estamos aproximando o arco de
circunferência da trajetória por uma reta.
7 – ENERGIA NO MHS
Um sistema em MHS apresenta somente
forças conservativas, logo o sistema é conservativo. Ou seja, a energia mecânica (soma da energia potencial com a energia cinética) é constante: Emec = EP+Ec = cte.
Vimos que a velocidade do corpo varia
continuamente, o que significa uma variação da energia cinética. Logo, se quando a energia cinética sofrer uma redução, a energia potencial aumentará, e vice-versa. Vamos analisar mais detalhadamente para o sistema massa-mola.
7.1 - Energia Potencial Elástica no Sistema Massa-Mola Como o movimento ocorre sobre um plano horizontal, podemos admitir que nesse plano a energia potencial gravitacional é nula (EPg = 0). Logo a energia mecânica é a soma da energia cinética e a energia potencial elástica (EPel): Emec = EPel+Ec.
Quando o bloco se encontra na extremidade da trajetória (x = A ou x = - A) do MHS, vimos que a energia cinética é nula (v=0). Logo toda a energia do
sistema é potencial elástica. Sendo esta dada por EPel = kx
2/2, para as extremidades podemos escrever:
2
2kAEE Pelmec
Esta é a energia total do sistema. Conforme o
bloco se desloca em relação ao ponto de equilíbrio, a energia potencial se transforme em energia cinética (o corpo ganha velocidade). Ao atingir o ponto O, a mola não se encontra deformada, e toda a energia potencial se transformou em cinética. O bloco possui velocidade máxima, e neste ponto:
222
2
max
22 mvkAE
kAE cmec
Como percebemos, no MHS ocorre
transformação de energia potencial em cinética, e vice-versa. A soma permanece constante, pois o sistema é conservativo.
Graficamente, podemos expor as
transformações de energia como a seguir. Perceba que a energia mecânica é constante, e enquanto a cinética aumenta a potencial diminui e vice-versa.
Figura 14. Energia no MHS
Obs.: Essa análise foi feita para o sistema massa-mola. Mas qualquer MHS se comporta do mesmo modo. A energia potencial nas extremidades se transforma em energia cinética no centro. No pêndulo, a energia é potencial gravitacional.
CASD Vestibulares FIS II 227
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
228 FIS II CASD Vestibulares
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I 1. (Ufrs 2006) Um pêndulo simples, de comprimento L,
tem um período de oscilação T, num determinado local.
Para que o período de oscilação passe a valer 2T, no
mesmo local, o comprimento do pêndulo deve ser
aumentado em
a) 1 L. b) 2 L. c) 3 L. d) 5 L. e) 7 L.
2. (Ufu 2006) Em um laboratório de Física, um grupo de
alunos, Grupo A, obtém dados, apresentados na tabela
a seguir, para a frequência (em hertz) num
experimento de Pêndulo Simples, utilizando-se três
pêndulos diferentes.
Esses resultados foram passados para um segundo
grupo, Grupo B, que não compareceu à aula. Uma vez
que os alunos do Grupo B não viram o experimento, os
integrantes desse grupo formularam uma série de
hipóteses para interpretar os resultados. Assinale a
ÚNICA hipótese correta.
a) A massa do pêndulo 1 é menor do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que a massa do pêndulo 3.
b) A massa do pêndulo 1 é maior do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que a massa do pêndulo 3.
c) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é maior do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que o comprimento do pêndulo 3.
d) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é menor do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que o comprimento do pêndulo 3.
3. (Ufrs 2005) A figura a seguir representa uma roda,
provida de uma manivela, que gira em torno de um
eixo horizontal, com velocidade angular ω constante.
Iluminando-se a roda com feixes paralelos de luz, sua
sombra é projetada sobre uma tela suspensa
verticalmente. O movimento do ponto A' da sombra é o
resultado da projeção, sobre a tela, do movimento do
ponto A da manivela.
A respeito dessa situação, considere as seguintes
afirmações.
I. O movimento do ponto A é um movimento circular
uniforme com período igual a 2π/ω.
II. O movimento do ponto A' é um movimento
harmônico simples com período igual a 2π/ω.
III. O movimento do ponto A' é uma sequência
de movimentos retilíneos uniformes com período igual
a π/ω.
Quais estão corretas?
a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e II. e) Apenas I e III.
4. (Uece 2008) Um sistema massa-mola é preso ao teto. A partir do ponto de equilíbrio faz-se a massa oscilar com pequena amplitude. Quadruplicando-se o valor da massa, repete-se o mesmo procedimento. Neste caso, podemos afirmar corretamente que a frequência de oscilação a) é reduzida à metade. b) dobra. c) permanece a mesma. d) quadruplica.
5. (Ufpr 2006) Um técnico de laboratório comprou uma
mola com determinada constante elástica. Para
confirmar o valor da constante elástica especificada
pelo fabricante, ele fez o seguinte teste: fixou a mola
verticalmente no teto por uma de suas extremidades e,
na outra extremidade, suspendeu um bloco com massa
igual a 10 kg. Imediatamente após suspender o bloco,
ele observou que este oscilava com frequência de 2
Hz. Com base nesses dados, o valor da constante
elástica vale:
a) 16 π2 N/m. b) 1,6 π
2 N/m. c) (16 π)
2 N/m.
d) 160 π2 N/m. e) 0,16 π
2 N/m.
6. (Ufpb 2007) Um Professor de Física utiliza uma mola,
de constante elástica k e comprimento L (quando não
distendida), para demonstrar em sala de aula o
movimento harmônico simples (MHS). A mola, presa
ao teto da sala, pende verticalmente. Um corpo de
massa m é preso à extremidade livre da mola e
subitamente largado.
Desprezando todas as forças dissipativas, admitindo
que a mola tem massa desprezível e que a gravidade
terrestre é g, analise as afirmações a seguir:
(g = 10 m/s2)
I. O período do MHS obtido é T = 2π L / g .
II. O corpo não realiza MHS devido à gravidade.
III. A nova posição de equilíbrio está deslocada de ∆L =
mg/k.
IV. A energia mecânica total do corpo, no movimento
vertical, é igual à soma das suas energias cinética,
potencial elástica e potencial gravitacional.
Estão corretas apenas:
a) I e II b) I e III c) I e IV d) II e III e) III e IV
7. (Pucmg 2009) A figura a seguir mostra um corpo de
massa m = 0,05 kg, preso a uma mola de constante
elástica k = 20 N/m. O objeto é deslocado 20 cm para a
direita, a partir da posição de equilíbrio sobre uma
CASD Vestibulares FIS II 229
superfície sem atrito, passando a oscilar entre
x = A e x = - A.
Assinale a afirmativa CORRETA.
a) Na posição x = -20 cm, a mola tem uma energia cinética de 0,4 J e a energia potencial elástica do corpo é nula.
b) Na posição x = -20 cm, toda a energia do sistema vale 0,4 J e está no objeto sob a forma de energia cinética.
c) Na posição x = 0, toda a energia do sistema está no corpo na forma de energia cinética e sua velocidade vale 4 m/s.
d) Na posição x = 20 cm, toda a energia do sistema vale 0,8 J sendo 0,6 J na mola e o restante no objeto.
8. (Unicamp 1992) Um corpo de massa m está preso em
uma mola de constante elástica k e em repouso no
ponto O. O corpo é então puxado até a posição A e
depois solto. O atrito é desprezível. Sendo m = 10 kg, k
= 40 N/m, π = 3,14, pede-se:
a) o período de oscilação do corpo;
b) o número de vezes que um observador, estacionário
no ponto B, vê o corpo passar por ele, durante um
intervalo de 15,7 segundos.
Nível II 9. (Ueg 2009) A posição em função do tempo de um
sistema massa-mola em um MHS é representada no
gráfico a seguir.
Admita que a inércia translacional do sistema seja 0,70
kg e responda ao que se pede.
a) Qual é a amplitude e o período do MHS?
b) Qual é a constante elástica da mola?
c) Qual é o módulo da aceleração da massa quando a
sua energia cinética for a metade da energia total do
sistema?
10. (Ufpr 2010) A peça de uma máquina está presa a uma mola e executa um movimento harmônico simples, oscilando em uma direção horizontal. O gráfico a seguir representa a posição x da peça em função do tempo t, com a posição de equilíbrio em x = 0.
Com base no gráfico, determine: a) O período e a frequência do sistema peça-mola. b) Os instantes em que a velocidade da peça é nula. Justifique a sua resposta. c) Os instantes em que a aceleração da peça é máxima. Justifique a sua resposta. 11. (Ufal 2010) Um relógio de pêndulo é construído tal que o seu pêndulo realize 3600 oscilações completas a cada hora. O relógio está descalibrado, de modo que o pêndulo oscila em um movimento harmônico simples de frequência angular igual a 5 /2 rad/s. Nessa
situação, ao final de 3600 oscilações completas do pêndulo terão se passado: a) 32 min b) 45 min c) 48 min d) 52 min e) 56 min
12. (Ufpb 2006) Uma partícula material executa um
movimento harmônico simples (MHS) em torno do
ponto x = 0. Sua aceleração, em função da posição, é
descrita pelo gráfico a seguir.
Nessas condições, a frequência angular do MHS é:
a) 4 rd/s b) 3 rd/s c) 2 rd/s d) 1 rd/s e) 0,5 rd/s
13. (Unifesp 2008) Um estudante faz o estudo
experimental de um movimento harmônico simples
(MHS) com um cronômetro e um pêndulo simples
como o da figura, adotando o referencial nela
representado.
230 FIS II CASD Vestibulares
Ele desloca o pêndulo para a posição +A e o abandona
quando cronometra o instante t = 0. Na vigésima
passagem do pêndulo por essa posição, o cronômetro
marca t = 30 s.
a) Determine o período (T) e a frequência (f) do
movimento desse pêndulo.
b) Esboce o gráfico x (posição) × t (tempo) desse
movimento, dos instantes t = 0 a t = 3,0 s; considere
desprezível a influência de forças resistivas.
14. (Unicamp 1991) Enquanto o ponto P se move sobre
uma circunferência, em movimento circular uniforme
com velocidade angular ω = 2π rad/s, o ponto M
(projeção de P sobre o eixo x) executa um movimento
harmônico simples entre os pontos A e A'.
a) Qual é a frequência do MHS executado por M?
b) Determine o tempo necessário para o ponto M
deslocar-se do ponto B ao ponto C.
Nota: B e C são os pontos médios de AD e DA ,
respectivamente.
15. (Unicamp 2005) Numa antena de rádio, cargas
elétricas oscilam sob a ação de ondas
eletromagnéticas em uma dada frequência. Imagine
que essas oscilações tivessem sua origem em forças
mecânicas e não elétricas: cargas elétricas fixas em
uma massa presa a uma mola. A amplitude do
deslocamento dessa "antena-mola" seria de 1 mm e a
massa de 1 g para um rádio portátil. Considere um
sinal de rádio AM de 1000 kHz.
a) Qual seria a constante de mola dessa "antena-
mola"? A frequência de oscilação é dada por: f =1
2π
k / m onde k é a constante da mola e m a massa
presa à mola.
b) Qual seria a força mecânica necessária para
deslocar essa mola de 1 mm?
16. (Ufms 2006) O Bungee Jump é um esporte radical
que consiste na queda de grandes altitudes de uma
pessoa amarrada numa corda elástica. Considerando
desprezível a resistência do ar, é correto afirmar que
01) a velocidade da pessoa é máxima quando a força elástica da corda é igual à força peso que atua na pessoa.
02) a velocidade da pessoa é máxima quando o deslocamento da pessoa, em relação ao ponto que saltou, é igual ao comprimento da corda sob tensão nula.
04) o tempo de movimento de queda independe da massa da pessoa.
08) a altura mínima que a pessoa atinge em relação ao solo depende da massa dessa pessoa.
16) a aceleração resultante da pessoa é nula quando
ela atinge a posição mais baixa.
17. (Ufc 2007) Uma partícula de massa m move-se
sobre o eixo x, de modo que as equações horárias
para sua velocidade e sua aceleração são,
respectivamente, v(t) = - ωAsen (ωt + φ) e a(t) = -
ω2Acos(ωt + φ), com ω, A e φ constantes.
a) Determine a força resultante em função do tempo,
F(t) , que atua na partícula.
b) Considere que a força resultante também pode ser
escrita como F(t) = - kx(t), onde k = mω2. Determine a
equação horária para a posição da partícula, x(t), ao
longo do eixo x.
c) Usando as expressões para as energias cinética,
Ec(t) = 1/2 mv2(t), e potencial, Ep(t) = 1/2 kx
2(t), mostre
que a energia mecânica da partícula é constante.
18. (Ufms 2007) A figura 1 representa um sistema
mecânico que ilustra o funcionamento de um motor a
combustão, simplificado, com apenas três peças:
virabrequim, biela e pistão. Essas três peças estão
acopladas entre si, através de eixos articulados.
Enquanto o virabrequim gira com velocidade angular
constante, no sentido horário, a biela faz o pistão subir
e descer num movimento oscilatório. A posição do
pistão no eixo vertical y, é dada pela projeção do ponto
de articulação entre a biela e o pistão sobre esse eixo.
Essa posição no eixo y, oscila entre as amplitudes +A
e -A. Chamemos de y, vy e ay, respectivamente, a
posição, a velocidade e a aceleração do ponto de
articulação entre a biela e o pistão. Se iniciarmos a
marcação do tempo t, quando a posição do ponto de
articulação entre a biela e o pistão estiver na posição y
= 0, como mostra a figura 1, assinale a alternativa que
apresenta corretamente os gráficos correspondentes
às posições y, às velocidades vy e às acelerações ay
em função do tempo.
CASD Vestibulares FIS II 231
19. (Uece 2007) Um sistema oscilante massa-mola possui uma energia mecânica igual a 1,0 J, uma amplitude de oscilação 0,5 m e uma velocidade máxima igual a 2 m/s. Portanto, a constante da mola, a massa e a frequência são, respectivamente, iguais a: a) 8,0 N/m, 1,0 kg e 4/π Hz b) 4,0 N/m, 0,5 kg e 4/π Hz c) 8,0 N/m, 0,5 kg e 2/π Hz d) 4,0 N/m, 1,0 kg e 2/π Hz 20. (Ufmg 2007) Em uma feira de ciências, Rafael
apresenta um dispositivo para traçar senoides, como o
mostrado na figura a seguir.
Esse dispositivo consiste em um pequeno funil cheio
de areia, que, pendurado na extremidade de um fio
longo, oscila num plano perpendicular à direção do
movimento da esteira rolante, mostrada na figura. A
areia escoa, lentamente, do funil sobre a esteira, que
se move no sentido indicado pela seta. Quando a
esteira se move a uma velocidade de 5,0 cm/s,
observa-se que a distância entre dois máximos
sucessivos da senoide é de 20 cm.
Considerando as informações dadas e a situação
descrita,
1. CALCULE o período de oscilação do funil.
Em seguida, Rafael aumenta de quatro vezes o
comprimento do fio que prende o funil.
2. CALCULE a distância entre os máximos sucessivos
da senóide nesta nova situação.
21. (Unicamp 2009) A piezeletricidade também é importante nos relógios modernos que usam as vibrações de um cristal de quartzo como padrão de tempo e apresentam grande estabilidade com respeito a variações de temperatura.
a) Pode-se utilizar uma analogia entre as vibrações de um cristal de massa m e aquelas de um corpo de mesma massa preso a uma mola. Por exemplo: a frequência de vibração do cristal e a sua energia potencial elástica também são dadas por f =
1k / m
2π
e Ep =1
2
k∆x2, respectivamente,
onde k é a propriedade do cristal análoga à constante elástica da mola e ∆x é o análogo da sua deformação. Um cristal de massa m = 5,0 g oscila com uma frequência de 30 kHz. Usando essa analogia, calcule a energia potencial elástica do cristal para ∆x = 0,020 μm.
b) Em 1582, Galileu mostrou a utilidade do movimento pendular na construção de relógios. O período de um pêndulo simples depende do seu comprimento L. Este varia com a temperatura, o que produz pequenas alterações no período. No verão, um pêndulo com L = 90 cm executa um certo número de oscilações durante um tempo t = 1800 s. Calcule em quanto tempo esse pêndulo executará o mesmo número de oscilações no inverno, se com a diminuição da temperatura seu comprimento variar 0,20 cm, em módulo. Para uma pequena variação de comprimento ∆L, a variação correspondente no
tempo das oscilações ∆t é dada por (∆t/t) =1
2
(∆L/L), assim ∆t pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de ∆L.
22. (Fuvest 1995) 'Uma caneta move-se ao longo do
eixo y com um movimento harmônico simples. Ela
registra sobre uma fita de papel, que se move com
velocidade de 10 cm/s da direita para esquerda, o
gráfico representado na figura a seguir.
a) Determine a função y(x) que representa a curva
mostrada no gráfico.
b) Supondo que o instante t = 0 corresponda à
passagem da caneta pelo ponto x = 0 e y = 0,
determine a função y(t) que representa seu movimento.
c) Qual a frequência, em hertz, do movimento da
caneta?
232 FIS II CASD Vestibulares
23. (Fuvest 2001)
Uma peça, com a forma indicada, gira em torno de um
eixo horizontal P, com velocidade angular constante e
igual a πrad/s. Uma mola mantém uma haste apoiada
sobre a peça, podendo a haste mover-se APENAS na
vertical. A forma da peça é tal que, enquanto ela gira, a
extremidade da haste sobe e desce, descrevendo, com
o passar do tempo, um movimento harmônico simples
Y(t) como indicado no gráfico. Assim, a frequência do
movimento da extremidade da haste será de
a) 3,0 Hz b) 1,5 Hz c) 1,0 Hz d) 0,75 Hz e) 0,5 Hz
24. (Fuvest 2004) Um certo relógio de pêndulo consiste
em uma pequena bola, de massa M = 0,1 kg, que
oscila presa a um fio. O intervalo de tempo que a
bolinha leva para, partindo da posição A, retornar a
essa mesma posição é seu período T0, que é igual a
2s. Neste relógio, o ponteiro dos minutos completa
uma volta (1 hora) a cada 1800 oscilações completas
do pêndulo.
Estando o relógio em uma região em que atua um
campo elétrico E, constante e homogêneo, e a bola
carregada com carga elétrica Q, seu período será
alterado, passando a T(Q). Considere a situação em
que a bolinha esteja carregada com carga Q = 3 x 10-5
C, em presença de um campo elétrico cujo módulo E =
1 x 105 V/m. Então, determine:
a) A intensidade da força efetiva F(e), em N, que age
sobre a bola carregada.
b) A razão R = T(Q)/T0 entre os períodos do pêndulo,
quando a bola está carregada e quando não tem
carga.
c) A hora que o relógio estará indicando, quando forem
de fato três horas da tarde, para a situação em que o
campo elétrico tiver passado a atuar a partir do meio-
dia.
NOTE E ADOTE:
Nas condições do problema, o período T do pêndulo
pode ser expresso por
T = 2π
e
massa comprimento do pêndulo
F
em que F(e) é a força vertical efetiva que age sobre a
massa, sem considerar a tensão do fio.
GABARITO 1: [C] 2: [D] 3: [B] 4: [A] 5: [D] 6: [E] 7: [C]
8: a) 3,14s. b) 10. 9: a) A = 0,70 m. T = 2 s. b) k = 0,7 N/m. c) |a| = 0,5m/s
2.
10: a) f = 0,25 Hz. b) t = 1 s; t = 3 s e t = 5 s. c) t = 1 s; t = 3 s e t = 5 s. 11: [C] 12: [C] 13: a) T = 1,5 s; f ≈ 0,67 Hz b) Observando-se que em t = 0, x = + A, temos o gráfico senoidal a seguir.
14: a) 1,0 Hz. b) 1/6 s 15: a) k = 3,6 × 10
10 N/m b) F = 3,6 × 10
7 (N)
16: 09 ==> 08 e 01 17: a) b)
c) Emec = 1
2kA
2, que é uma constante.
18: [E] 19: [C] 20: 1. T = 4 s 2. distância = 40 cm 21: b)1798 s
22: a) y = 2,0 sen . x .2
π
b) y = 2,0 sen (5,0 π t).
c) 2,5 Hz. 22: a) 2,0 cm/s. b) 2. 23: [B]
24: a) 4N b) 1
2 c) 6 h da tarde