Post on 16-Oct-2018
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
2
Carta del rector
Estimados aspirantes: Les doy la más cordial bienvenida a esta casa de estudios, cuya creación fue
impulsada por la Diputada de la Nación, Dulce Granados; sancionada mediante la Ley 14.006/09 y promulgada por el decreto N° 1.022/09 firmado por Gobernador de la provincia de Buenos Aires, Daniel Scioli.
Es un honor iniciar este año 2013 junto a ustedes. El año 2012 ha sido para la Universidad Provincial de Ezeiza un tiempo colmado de trabajo y esfuerzo mancomunado. Quienes formamos parte de esta institución, trabajamos pensando en los estudiantes, en el desarrollo humano y la consolidación de su futuro como profesionales.
Para hacerlo posible, la universidad organiza su propuesta educativa en tres departamentos:
- Desarrollo Aeroportuario, integrado por la carrera de Técnico Universitario en Despacho de Aeronaves y Operaciones Aeroportuarias.
- Desarrollo Tecnológico, que agrupa las carreras de Técnico Universitario en Desarrollo de Software, Técnico Universitario en Logística y Licenciatura en Logística.
- Desarrollo Humano y Organizacional, del cual forman parte las carreras de Técnico Universitario en Hotelería e Industria de la Hospitalidad y Técnico Universitario en Despacho de Aduanas).
Además, ofrece la posibilidad de que todas las tecnicaturas se articulen con la licenciatura de la carrera correspondiente y, de esta manera, los alumnos obtengan un título de mayor alcance. Aunque, también, la universidad se prepara para ofrecer a la comunidad posgrados relacionados con la agenda ambiental, la salud, las operaciones industriales y de servicios, la seguridad aeroportuaria, entre otros.
Durante el año pasado, la agenda de Deporte Universitario con eje en la Salud ha sido parte de una ardua tarea con la que se han obtenido importantes logros junto con los estudiantes. Asimismo, los cursos y talleres abiertos a la comunidad completaron la posibilidad de formar parte de esta universidad aunque no se hayan inscripto en una de sus carreras.
A partir de su amplia propuesta, esta casa de estudios, pública y no arancelada, les ofrece forjar un futuro en los espacios relacionados con la vocación de cada uno de ustedes, en armonía con las necesidades del medio socioproductivo.
Sabemos que algunos de ustedes han decidido continuar sus estudios, luego de algunos años de haber terminado la escuela secundaria y otros, que la han finalizado recientemente, quieren “probar”. También entendemos que muchos se enfrentan al desafío de compatibilizar el estudio con el trabajo y la familia.
Esta universidad tiene en cuenta las necesidades reales del contexto en el que se inserta. Por eso, intenta asistirlas en un proceso de soluciones compartidas con todos sus actores (alumnos y docentes, en conjunto).
El curso de ingreso indica el comienzo de este desafío. Para transitarlo, cuentan con este módulo, que ha sido elaborado especialmente, y junto a las clases y el acompañamiento institucional con el que contarán, constituye el material sobre el cual trabajarán en cada encuentro y fuera de ellos.
Bienvenidos. Disfruten de este proceso de formación con esfuerzo y dedicación. Dr. Ariel Ubieta Delegado Organizador
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
3
Fundamentación
La Matemática es una ciencia dinámica, siempre inserta en la historia de la
humanidad como ciencia autónoma y como instrumento para otras disciplinas, unida
al desarrollo tecnológico e íntimamente ligada a la filosofía por su reflexión teórica.
La Matemática se ha incluido en toda propuesta curricular, no sólo por el valor y
finalidad de sus contenidos específicos, sino también por sus aportes para el desarrollo
del razonamiento lógico. En este sentido, cabe señalar que la educación matemática
tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los estudiantes tanto en el
desempeño individual como en el trabajo en grupos.
Para lograrlo, el matemático español Claudi Alsina considera necesario que “los
alumnos adquieran habilidades sociales, que les permitan trabajar y resolver
dificultades en grupos heterogéneos, con personas de diferentes capacidades que
ellos. Debemos formar ciudadanos sanamente escépticos, inquietos, con gran
curiosidad y ganas de aprender, y con recursos propios para poder hacerlo. El reto está
ahí […] es necesario saber afrontarlo”.1
En este sentido, es fundamental que los estudiantes fortalezcan los procesos típicos
del pensamiento matemático ya adquiridos o incorporar otros nuevos. Al mismo
tiempo, lograr la capacidad de comunicarlos y compartirlos para lo cual se enfatizará el
conocimiento y el empleo de estrategias de resolución de problemas. Es decir, se
promoverá que los estudiantes aborden estrategias propias, utilicen las
representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus pares, expliquen sus
ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones
con las de otros, acepten críticas así como otros puntos de vista. Toda esta propuesta
tiene el objetivo de alfabetizar académicamente a los alumnos en el desempeño en
Matemática.
En el contexto de la Universidad, el proceso de aprendizaje de la Matemática debe
constituir una instancia en la que el alumno y futuro profesional interactúe con el
conocimiento matemático de un modo constructivo que permita apropiárselo y,
simultáneamente, le proporcione la vivencia de ser también un productor-generador
de dicho conocimiento. Toda esta experiencia vivida le permitirá revalorizarse y
posicionarse como sujeto activo de su propio proceso de formación.
El eje de la actividad matemática es la adquisición de competencias para la
resolución de problemas, que serán desarrolladas mediante el tratamiento de ciertos
contenidos seleccionados por su valor instrumental ante las demandas científicas,
tecnológicas, sociales y éticas, de este tiempo.
En consecuencia, la labor del futuro profesional consiste en la permanente
búsqueda de ejes de articulación e integración entre contenidos y métodos,
conocimientos y procedimientos, saberes científicos y saberes de construcción, que
posibilitan el desarrollo de la estructura del pensamiento.
1 Claudi, Alsina, El curriculum de matemática en los inicios del siglo XXI, 2000.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
4
Presentación del módulo
Bienvenidos a esta joven casa de estudios que, a partir de hoy, esperamos que
sientan suya. Para comenzar con el proceso de formación universitario desarrollamos
este módulo acorde con la fundamentación del área con la intención de repasar
algunos contenidos que trabajaron en la escuela secundaria. Pero, además, estas
páginas tienen otro objetivo: prepararlos para el estilo de trabajo que se espera que
desarrollen en el ámbito académico superior.
Por supuesto que la asimilación del estilo de trabajo universitario no se adquiere de
la mañana a la noche. Por eso, este módulo y todo el trabajo que vamos a desarrollar
juntos durante el curso introductorio es un pequeño paso “para empezar”. Asimismo,
esperamos continuar con esta tarea durante todo el primer año y durante el desarrollo
de la vida académica.
Somos conscientes de que la Matemática suele considerarse una de las materias
más difíciles y por ahí esto es cierto: es una materia que necesita mucha atención y
práctica. Pero históricamente es fruto del trabajo sostenido de muchas personas,
como ustedes y como nosotros.
Es cierto que algunas personas son capaces de lograr genialidades con los
conocimientos que todos tenemos disponibles, pero también es verdad que no es
necesario ser un genio para utilizar esos contenidos de manera competente. Por lo
tanto, la Matemática es una creación humana y como tal es accesible a todos. Está a
disposición de todas las personas para que la aprendan, la dominen y la apliquen
cuando la necesiten.
Realizadas estas aclaraciones es conveniente contarles algunas características de
este material para que puedan aprovechar la propuesta de la mejor manera.
En primer lugar, el módulo está compuesto por cinco bloques:
Bloque 1: Números y operaciones
Bloque 2: Polinomios
Bloque 3: Funciones - Función lineal
Bloque 4: Función lineal II
Bloque 5: Función cuadrática
Los bloques tienen una estructura que progresivamente irán incentivando una
forma de trabajo autónomo. En cada uno de ellos encontrarán diversas actividades
que les permitirán estudiar los contenidos involucrados. Además, se encuentran
secuenciadas para que repasen y apliquen esos contenidos en la resolución de las
tareas.
De esta manera, el módulo presenta tres tipos de actividades: ejercicios, desafíos y
problemas. En cada ejercicio tendrán la oportunidad de poner en juego sus
conocimientos sobre el tema desarrollado. En cambio, los desafíos suelen ser tareas
sobre los contenidos trabajados, que si bien no resultan difíciles, en todos ellos se han
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
5
incluidos algunas ayudas. Lo importante es que se animen a resolverlos y traten de
lograr algún resultado, aunque tengan que consultar entre sus compañeros o al
profesor para lograr continuar.
Por último, en los problemas es posible que, además de conocer los contenidos
necesarios para resolverlos, tengan que usar una cuota de ingenio para poder
interrelacionarlos y lograr una solución aunque sea provisoria.
Al mismo tiempo, se encuentran distinguidas, mediante diferentes recursos gráficos
como recuadros y señalamientos, los temas más importantes para que consulten y
tengan en cuenta a la hora de estudiar.
Recuerden que este módulo es de ustedes y que resultará conveniente que se
apropien de él. Esto significa que realicen todo tipo de anotaciones que consideren
importantes y que amplíen de forma personal el tema explicado o lo que sugerimos
que trabajen.
Esta es una propuesta que esperamos mejorar después de ponerla en práctica con
la ayuda de todos los estudiantes. Por ese motivo, esperamos que la utilicen lo mejor
que puedan y realicen consultas y sugerencias para que podamos hacer cambios en
beneficio de quienes mañana serán sus compañeros.
Agradecemos el trabajo, el empeño que, estamos seguros, van a poner en esta
empresa y que nos hayan elegido para continuar sus estudios.
Los profesores de Matemática
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
6
BLOQUE 1: NÚMEROS Y OPERACIONES
Introducción
En este bloque trabajaremos los distintos conjuntos numéricos, su representación
en la recta numérica y la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Para ello, haremos
un recorrido por conocimientos ya adquiridos, por lo tanto no se preocupen, todo esto
ya lo vieron, tenemos ahora la oportunidad de revisar juntos todo lo que ya saben.
La idea es que logren Interpretar enunciados coloquiales y pasarlos al “lenguaje
matemático” para resolver situaciones problemáticas. Esto significa, por ejemplo,
repasar el trabajo de resolución de ecuaciones e inecuaciones y que logren reconocer
los tipos de números que están involucrados en ese trabajo.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
7
Guía de trabajo Nº 1. Conjuntos numéricos
Desde que los seres humanos existen y construyen historia siempre nos hemos manejado con cantidades, siempre hemos contado. Contando es como aparece el primer concepto de número, es así como surgen los números naturales (N).
En el conjunto de los números naturales pueden realizarse sin problemas operaciones como la adición y la multiplicación. Esto significa que de la suma de dos números naturales el resultado es otro natural lo mismo sucede con los productos.
Pero no todas las operaciones son así. Por ejemplo, la resta de dos números naturales da un número natural siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo, de lo contrario la sustracción no sería posible. Es decir:
187 - 35 = 152. En este caso la sustracción es posible en el conjunto de los naturales ya que 182
es mayor a 35, pero si intercambiamos minuendo y sustraendo: 35 - 182 = ¿?
No existe ningún número natural que sea resultado de esta sustracción. Para que la sustracción no quede “incompleta” (ya que son infinitos los casos en
los que puede suceder esto) se creó un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números enteros (Z) en el que se agrega a los naturales el cero y los números negativos. Cada número negativo es opuesto de uno positivo, es decir, la suma entre ambos es cero. Ahora si:
35 - 182 = -152 Esto tiene su aplicación en otras ciencias. Por ejemplo, en Física que asigna el
“cero” para el punto de congelación del agua. Las temperaturas superiores a este valor son las temperaturas positivas y las inferiores son las temperaturas negativas.
Del mismo modo se procede para “completar” la división: el cociente es entero siempre y cuando el dividendo sea múltiplo del divisor. Por los infinitos casos en los que la división no es posible en el conjunto de los números enteros se creó un nuevo conjunto numérico que amplía el de los enteros agregando las fracciones: el conjunto de los números racionales (Q).
Ahora: -196 : 36 = -4 porque -196 es múltiplo de 36 y…
3 : -4 = - 4
3 ya que 3 no es múltiplo de -4
Cuando en Física surge la necesidad de medir magnitudes, que no son exactas, se usan números racionales.
Un número racional es todo aquel número que se puede expresar como un cociente de dos números enteros. Pero allí estamos en presencia de otro problema: hay algunos números que no pueden escribirse como fracciones (es verdad, aunque
ustedes no lo crean). Por ejemplo 2 :
Sabemos que 2 no es un número entero ya que no hay ningún entero que elevado al cuadrado de 2.
Supongamos entonces que 2 es racional, es decir:
2 = b
a
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
8
Donde: 1. a y b son números enteros 2. b no es cero ¿por qué? 3. a no es múltiplo de b ¿por qué? Entonces:
2
2
b
a2
y… 22 ab.2
Con lo cual a2 debería ser múltiplo de b2 y para que eso suceda a debería ser múltiplo de b lo que contradice lo que dijimos en 3.
Esta contradicción provino de suponer que 2 era racional, y por lo tanto no lo es.
2 es un número irracional Al querer medir ciertas longitudes (por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo
rectángulo isósceles en el que los catetos miden una unidad) hallamos raíces como
2 que no son exactas, tienen infinitas cifras decimales no periódicas y, por lo tanto no pueden expresarse como fracciones. Para esos casos se usan los números irracionales. Los números irracionales se agregan a los racionales para formar el conjunto de los números reales (R)
Existen números irracionales muy conocidos en el mundo de la matemática como el número Pi, el número e y el número de Oro.
Hasta aquí ya hemos completado el conjunto de los números reales, que está formado por los números racionales y los números irracionales.
Es así que a cada momento, cuando leemos algún artículo, cuando debemos realizar alguna compra o alguna medición siempre encontramos representantes de los diferentes conjuntos numéricos.
El cuadro que sigue resume el texto y agrega alguna información más:
Será conveniente que consulten las dudas que tengan sobre la información, después de leer con detenimiento el cuadro y el texto.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
9
A continuación les proponemos algunas actividades. Actividad 1 Teniendo en cuenta los conjuntos numéricos, escriban V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. Justifiquen sus respuestas.
a) 1950 es un número real. b) El número 11,68 es un número entero. c) El número 3,5 se puede expresar como cociente de dos números enteros,
por eso se trata de un número racional. d) -3 es un número natural. e) Todo número natural es entero. f) Todo número entero es natural. g) Los múltiplos de 11 son números enteros. h) La raíz cuadrada de de cinco es racional.
Actividad 2 Clasifiquen las siguientes expresiones en racionales o irracionales. Ayuda: a veces resultará útil aplicar propiedades de la radicación.
a) 2 + 3
b) 72
c) 75
d) 10
e) 8.2
f) 6 . 6
Recordemos
Todos estos tipos de números se pueden representar en la llamada recta numérica.
Vamos a ver con un ejemplo como representar algunos irracionales ya que los
racionales son de representación “más sencilla”. Por ejemplo: representar en la recta
numérica 5
Procedimiento:
(1) Trazamos una circunferencia con centro en 2,5 que pase por cero. Es decir, el
diámetro es 5, que es el número del que buscamos la raíz.
(2) Trazamos una perpendicular a la recta numérica que pase por 1, esta
perpendicular corta a la circunferencia en a.
(3) La distancia desde 0 hasta a es 5 . Compruébenlo.
(4) Usando el compás trasladamos 5 sobre la recta numérica.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
10
Actividad 3 Utilizando si fuera necesario el procedimiento descripto, intenten representar en la recta numérica las expresiones de (2).
Intervalos numéricos En el conjunto de los números reales se pueden definir intervalos como, por ejemplo, [-2; 5) que contiene todos los números que están entre el -2 y el 5, incluyendo al -2 pero sin incluir al 5.
Actividad 4 Coloquen para cada raíz cuadrada los números enteros consecutivos entre los cuales se encuentra el resultado de la misma.
a) _____< 17 <_____
b) _____< 130 <_____
c) _____<- 19 <_____
d) _____<- 7 <_____
e) _____< 35 <_____
f) _____<- 28 <_____
g) _____<- 76 <_____
h) _____< 51 <_____
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
11
Actividad 5 Unan con flechas cada número real con el intervalo al que pertenece (presten atención: puede que “sobre algo”).
a) 3
7
(0;1)
b) 5 (-3;1)
c) (-3;-2]
d) 7
1
(0;1)
e) 3 100
[3;5]
f) (0,1)2 (-2;0]
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
12
Guía de trabajo Nº 2. Ecuaciones e inecuaciones
Una ecuación es un modo simbólico de plantear un problema a resolver. En ella suele
haber una incógnita que se puede representar con la letra x. Resolver una ecuación es
encontrar el valor de x.
Ejercitemos un poco con las siguientes actividades.
Actividad 1 Veamos como plantear de manera simbólica las siguientes situaciones problemáticas.
Ejemplo: ¿Cuál es el número cuya mitad es5
2?
Veamos: Hay un número incógnita.......................... X
Su mitad es ............................................. 2
1X
Esa mitad es 5
2..............................
2
1X =
5
2
Luego X = 5
4 ¿por qué?
.......................................................................................................................................
a) ¿Cuál es el número cuya tercera parte es 5
2?
b) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte es 5
9?
c) La mitad de un número más la tercera parte de su consecutivo es siete. ¿De qué número se trata?
d) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es dos. ¿Cuál es el número?
e) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos es igual a la mitad del mayor de ellos. ¿Cuáles son esos números?
f) La quinta parte de un número es igual a la séptima parte de su consecutivo aumentado en 1. ¿Cuál es el número?
Actividad 2 Resuelvan las siguientes ecuaciones.
Algunas de las ecuaciones propuestas incluyen el concepto de módulo. Para
resolverlas es necesario poner en juego un razonamiento particular que seguramente
abordaron en la secundaria. Resultará importante que repasen el tema consultando
libros, apuntes o profesores.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
13
a) xx4
155,2
2
3 b) 5,02
5
146
10
3 xx
c) 3,72,52,33,4 xx d) 1
3
1
10
46
xx
e) 4
21
5
2
xx f) 43
10
1
2
21
10
243
x
xx
g) 641022
xx h) 132413 xxx
i) xxx 511
j) 61125 x
k) 5213 x
l) Representen en la recta numérica
las soluciones de estas ecuaciones
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
14
Guía de trabajo Nº 3
Actividad 1
Algunas preguntas para consultar:
a) ¿Qué es una inecuación?
b) ¿Qué diferencia existe entre una ecuación y una inecuación?
c) ¿Cómo se representa en la recta numérica el conjunto solución?
Actividad 2
Resuelvan las siguientes inecuaciones y representen en la recta numérica las
soluciones que obtengan.
a) xx 27)4(2 b) 7324 x
c) )12(34232 xx d) 612 x
Desafío 1 En la siguiente recta numérica, ¿dónde deberían ubicar el cero? Justifiquen su respuesta.
Desafío 2 En la siguiente recta numérica representen [-2; 3). Justifiquen su respuesta.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
15
BLOQUE 2: POLINOMIOS
Introducción
En este bloque vamos a trabajar con un tema que será de utilidad para futuros
emprendimientos matemáticos: los polinomios, y en particular los polinomios de una
sola variable.
Es probable que al nombrar el tema les surjan algunos prejuicios. Todos ellos con un
punto en común: “los polinomios son difíciles de entender porque tienen letras”. En
parte, es cierto, en cada término de un polinomio es posible que encontremos una
parte literal. Pero, no se nos debe escapar que esa parte literal representa números
que deben ser tratados como tales. ¿Qué significa esto?
Seguramente recuerden que en la escuela les enseñaron a descomponer los
números. En nuestro sistema de numeración se usan 10 dígitos para escribir los
números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Cada uno tiene un valor particular (absoluto) pero,
además de este valor “absoluto” puede adquirir otro según la posición que ocupen
dentro de determinado número (relativo). Veamos los siguientes ejemplos.
En 1567 el 5 vale 500.
En 1756 el 5 va le 50.
En 5761 el 5 vale 5000.
Esto se debe a que el sistema numérico que usamos se llama decimal (porque usa
diez dígitos) y posicional (pues cada dígito tiene valor relativo dependiendo del lugar
que ocupa dentro de un número).
Es decir:
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
16
Luego: 6571 = 6000 + 500 + 70 + 1
= 6 . 1000 + 5 . 100 + 7 . 10 + 1
= 6 . 103 + 5 . 102 + 7 . 101 + 1 . 100 (recordemos que todo número elevado
a la cero da uno).
De a poquito fue apareciendo la base del sistema de numeración que usamos, es
decir 10. Pero existen otros sistemas de numeración donde la base no es diez: las
computadoras usan un sistema en base 2, algunas filmadoras utilizan un sistema en
base 16 (después de usar del 0 al 9 empieza a poner letras por ejemplo “1A” es 26 ¿por
qué? Estas dudas se pueden despejar en la sección anexo de este bloque).
Es decir, que la base del sistema de numeración podría ser (si quisiéramos) un
número “x” cualquiera y lo anterior podría escribirse:
P(x)= 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x1 + 1 . x0
O de forma resumida:
P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1
¡Apareció un polinomio!
Esto quiere decir que un número es un polinomio, y esto a su vez significa que
venimos trabajando con polinomios hace bastante sin darnos cuenta.
Ya sabemos que los números son polinomios pero nos convendría saber
precisamente qué es un polinomio. Para eso vamos resolver algunas actividades con
polinomios de una sola variable: x, y, z, entre otras.
Van a encontrar algo especial en las actividades de este bloque: inmediatamente
después de la actividad están las respuestas.
Para nada vayan a pensar que no es necesario resolver lo que pide el enunciado de
cada actividad, la idea no es que solamente tengan la respuesta correcta sino que
además la entiendan. ¿De qué valdría saber que esto o aquello es polinomio si
después, cuando los ejemplos fueran otros, no lográsemos distinguirlos?
Por eso, preparamos unas indicaciones para la primera actividad y para las demás
será importante que trabajes del mismo modo. Y trabajar significa ponerse a tratar de
resolver las cosas con empeño y verdadera dedicación sin darse por vencido a la
primera dificultad. Para lograrlo es importante contar con alguien para trabajar juntos,
por eso te sugerimos que aproveches esta etapa para formar un grupo de trabajo para
Matemática y para otras materias.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
17
Actividad 1
Distingan las siguientes expresiones algebraicas entre polinomios. En caso afirmativo,
señalen cuál es su grado y su término independiente.
a) x4 − 3x5 + 2x2 + 5
b) + 7X2 + 2
c) 1 − x4
d)
e) x3 + x5 + x2
f) x − 2x−3 + 8
g)
Reflexionemos. Así como están parece que todos son polinomios. Por ahí podríamos
desconfiar de ese que tiene raíz cuadrada. Veamos si las respuestas pueden brindarnos
algo de ayuda.
Respuestas
a) x4 − 3x5 + 2x2 + 5 es un polinomio
Grado: 5, término independiente: 5.
Como se ve, conocer la respuesta no alcanza para entender todo lo que pide la
actividad.
Resulta que el grado coincide con el valor del término independiente, así podemos
deducir que uno de los números 5 que aparecen en el polinomio es el grado. Como el
otro es un “término” independiente debe ser el que está último y el grado debe ser la
potencia mayor de x.
Si bien averiguamos algo del grado de un polinomio y del término independiente,
todavía podemos no saber qué es un polinomio.
b) + 7X2 + 2
No es un polinomio, porque la parte literal del primer término está dentro
de una raíz.
En este caso aparece una razón por la que una expresión no es un polinomio. Teníamos
razón en desconfiar: este no es polinomio.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
18
c) 1 − x4
Es un polinomio Grado: 4, término independiente: 1.
Otro polinomio.
Parece que el término independiente es el que no tiene x y aunque acá está primero sigue siendo el independiente.
El grado parece que es la potencia de la x, ¿pero cuál? Mirando el punto 1) parece ser la mayor:
d)
No es un polinomio porque el exponente del primer término no es un número natural.
Otra razón para que una expresión algebraica no sea un polinomio. Pero, ¿por qué el exponente del primer término no es un número natural? ¿El 2 no es un número natural?
Recordemos las propiedades de las potencias
a0= 1 (todo número a la cero da 1).
a1= a (todo número a la uno da el mismo número).
a-1= (cuando el exponente es negativo se invierte la base y pasa a ser positivo).
a1/n= (para pasar una raíz a exponente fraccionario se coloca en el numerador
an/m= el exponente de la potencia y en el denominador el índice de la raíz).
an. am= (multiplicación de potencias de igual base se suman los exponentes).
an: am= (división de potencias de igual base se restan los exponentes).
(an)m = (potencia de potencia se multiplica los exponentes).
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
19
a-2 = ……….
a1/2 =………..
Estas dos expresiones son potencias de exponente no natural porque -2 es un número ……………….. y 1/2 es un número …………………………. Como vimos en el bloque 1.
e) x3 + x5 + x2
Es un polinomio
Grado: 5, término independiente: 0.
Ahora ya sabemos:
f) x − 2 x−3 + 8
No es un polinomio, porque el exponente de x en el 2º término no es un número natural.
Exacto, ya sabíamos: -3 es un número entero.
g)
Es un polinomio
Grado: 3, término independiente: −7/2.
Conclusión
Para que una expresión algebraica de las que estamos estudiando sea un polinomio,
la x debe tener un exponente…………………………………..en cada término.
El grado de un polinomio es
…………………………………………………………………………………………………..
El término independiente es
…………………………………………………………………………………………………….
Además, los números que acompañan a la x en cada término se llaman coeficientes.
El coeficiente del término que indica el grado del polinomio se llama “coeficiente
principal”.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
20
Actividad 2
Traten de resolver esta actividad primero sin espiar las respuestas que figuran aquí,
para después poder comparar su trabajo con esas respuestas.
Antes de empezar, recuerden que:
En todos los términos de un polinomio de variable x está la variable elevada a
diferentes exponentes. El mayor es el que marca el grado del polinomio y el menor
que puede existir es “0” que está en el “término independiente” porque x0 = 1.
A veces un polinomio puede no tener algunas de las potencias desde el grado hasta 0,
es decir el polinomio puede estar incompleto (como en 7) de la actividad 1)
Otras veces un polinomio puede estar desordenado (como el 1) de la actividad 1 que
además está incompleto).
Escribir los polinomios de acuerdo a cada indicación solicitada.
a) Un polinomio ordenado sin término independiente.
b) Un polinomio no ordenado y completo.
c) Un polinomio completo sin término independiente.
d) Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.
A continuación, algunas respuestas para comparar con lo que hayan escrito o para
consultar si fuera necesario.
Posibles respuestas:
a) Un polinomio ordenado sin término independiente.
3x4 − 2x
(No dice que deba estar completo)
b) Un polinomio no ordenado y completo.
3x − x2 + 5 − 2x3
c) Un polinomio completo sin término independiente.
Imposible
(Para averiguar por qué revisen lo que significan las expresiones que están
subrayadas).
d) Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.
x4 − x3 − x2 + 3x + 5
¿Cuáles son los coeficientes de los tres primeros términos? ¿Son números impares?
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
21
Trabajo práctico Nº 1
Ejercicios
1) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no explicando por
qué.
a)
b)
c)
d)
e)
f) 4.x-1 + 3
g) 2x + 3x2 –
h) 2x + 3x2 –
i) 3x – 2(x + 4)2
j) (3x – 4). + 4
2) Determinar grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios, ordenarlos
según las potencias decrecientes.
a) 4x3 – 1 + 3x2
b) x5 + x6
c) –2x + 3x3 – x2
d) + (este es un poquito más difícil hay que usar la propiedad
distributiva de la división).
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
22
Anexo de lectura complementaria En un sistema de numeración posicional de base 16, existen 16 símbolos para combinar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Como en cualquiera hay números de más de una cifra. Observen y completen la siguiente tabla de equivalencia:
Números de una cifra En base 16
Equivalencia en base 10
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
A 10
B 11
C 12
D 13
E 14
F 15
Números de dos cifras En base 16
10 16 ¿por qué?
11 17
12 18
13 19
…. ….
19 25
1A
1B
1C
1D
1E
1F
20
…. ….
Desafío
¿Cuál será el mayor número de dos cifras que se puede escribir en este sistema?
¿A qué número de nuestro sistema de base 10 equivale?
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
23
Guía de trabajo N° 2
En esta guía vamos a continuar trabajando con polinomios de una variable. Como
siempre vamos a trabajar en la resolución de actividades. En los casos que sea
conveniente se incluirán las respuestas para que puedan consultar
En la Guía de trabajo Nº 1 recordamos qué es un polinomio, cómo determinar su
grado y reconocimos sus coeficientes. Vimos que un número es un polinomio donde la
“variable” (la parte literal) toma el valor de la base del sistema de numeración con el
que estamos trabajando (si no se acuerdan de qué se trata esto les sugerimos que la
relean). Es decir: un polinomio P(x) (la x entre paréntesis es la variable) tiene un
determinado “valor numérico” según el valor que se le asigne a su variable.
Recordemos que P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1
Tiene como “valor numérico” 6571 si x = 10
Esto se expresa:
P(10) = 6571
Fíjense que ahora, entre paréntesis, en el lugar de la variable colocamos el valor de la
misma.
Pero si x toma otros valores el polinomio podría tener otros valores numéricos:
P(2) = 83
P(7) = 2353
P(15) = 21481
Comprueben todos estos valores numéricos usando calculadora.
Actividad 1
Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = x2 + 4
T(x) = x2 + 5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
a) P(6) + Q (3) =
b) P(7) − U (7) =
c) [P(3) + R (2)]2 =
d) [S(4)]3 +2 T(8) + ½ U(6) =
e) [2 S(6)]2 – T(4) + ¼ [ U(2)]2 =
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
24
Respuestas:
a) 159
b) 144
c) 3844
d) 1949
e) 1916
Como se ve hasta ahora trabajamos con números naturales pero la variable podría
tomar cualquier valor real.
Actividad 2
Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 − 2x − 2
Calcular:
a) P(1) + Q(1/2) − R(1) =
b) P(1) - 2 Q(1/2) − R(2) =
c) Q(2) + R(1) – [P(-1)]-2 =
Respuestas:
a) - 27/8
b) -157/4
c) -225/16
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
25
Guía de trabajo Nº 3
En esta guía continuaremos con el trabajo con valores numéricos y agregaremos sumas
y restas de polinomios.
Actividad 1
Vamos a hacer una investigación. Supongamos los polinomios P(x) y Q(x) de la
actividad 1.
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
Y calculemos P(2) y Q(2)
P(2)= 15
Q(2)= 6
De aquí se desprende que P(2)+Q(2)= 21
Si sumáramos los polinomios en x y luego buscáramos el valor numérico del polinomio
resultante para x=2 ¿ese valor sería 21?
Seguro que ya están intuyendo la respuesta pero vamos a ver si la podemos confirmar:
Para contestar esta pregunta vamos a tener que sumar P(x)+Q(x)
Es posible que ya sepan sumar polinomios, pero no vendría mal que repasáramos el
método.
Cada término de un polinomio es un monomio, la idea para sumar dos polinomios es
agrupar monomios homogéneos, es decir, con la variable a la misma potencia. Esto se
puede hacer juntándolos en un cálculo o haciendo “la cuenta”:
P(x) + Q(x) = (4x2 – 1) + (x3 – 3x2 + 6x – 2)
Pusimos paréntesis nada más que para que se note donde empieza y termina cada
polinomio, pero en realidad no hacen falta:
P(x) + Q(x) =4x2 – 1 + x3 – 3x2 + 6x – 2
Podemos agrupar términos (monomios) homogéneos:
P(x) + Q(x) =4x2− 3x2 + x3 + 6x – 2 – 1 (debemos ser cuidadosos con los
signos).
Operando:
P(x) + Q(x) =x2 + x3 + 6x – 3 (debemos ser cuidadosos con los signos)
Cuando hacemos “la cuenta” lo que realizamos es lo mismo, solamente que
encolumnamos los monomios homogéneos:
Colocaremos arriba el P(X) …………..4x2 – 1 + 0x3+ 0x aquí completamos P(x) pero no
hace falta.
Colocaremos abajo el Q(x)………… − 3x2 – 2 + x3 + 6x en la columna correspondiente.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
26
Sumamos las columnas……………. x2 – 3 + x3 + 6x teniendo cuidado con los signos.
Como podemos ver en ambos casos se obtiene el mismo resultado aunque ordenado
de manera diferente.
Si queremos podemos ordenar el resultado aunque no es necesario:
P(x) + Q(x) = x3+ x2 + 6x – 3
Y ahora lo que queríamos averiguar:
El valor numérico de este polinomio para x=2 es...: 21
¿Sospechabas que era así? ¿Por qué?
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Obviamente lo mismo sucede con la resta.
Vamos a hacer “la cuenta” de Q(x) – P(x).
En este caso, en vez de ser cuidadosos con los signos ¡hay que ser cuidadosísimos!:
− 3x2– 2+ x3+ 6x
-
4x2 – 1+0x3+0x
-7x2 – 1 +x3 + 6x
Hicimos “la cuenta” aunque también se podría hacer el cálculo horizontal como
veremos en las respuestas de la actividad 1 de la siguiente guía
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
27
Guía de trabajo Nº 4 En esta guía de trabajo aplicamos lo visto en la Guía de trabajo Nº 2. Actividad 1 Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = x2 + 4
T(x) = x2 + 5
U(x) = x2 + 2
Calcular: a) P(x) + Q (x) =
b) P(x) − U (x) =
c) P(x) + R (x) =
d) 2P(x) − R (x) =
e) S(x) + T(x) + U(x) =
f) S(x) − T(x) + U(x) =
¡El primero ya está hecho!
Respuestas
a) P(x) + Q (x) =
= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =
= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =
= x3 + x2 + 6x − 3
¿Se fijaron en que en cada renglón colocamos un “=” al principio y al final salvo en el último porque contiene el resultado?
Esta es una manera convencional de escribir los cálculos que mostramos aquí para se acostumbren a hacerlo así. Como ven no solamente debemos preocuparnos por llegar al resultado final correcto sino también de la forma de expresar el modo en el que arribamos a ese resultado.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
28
b) P(x) − U (x) =
Esta es una resta que vamos a resolver haciendo “el cálculo” en vez de “la cuenta”
= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =
= 4x2 − 1 − x2 − 2 = (observen que al quitar el paréntesis se han producido cambios en los términos de U(x), esto se debe a que debe restarse)
= 3x2 − 3
c) P(x) + R (x) =
= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =
= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =
= 10x2 + x
d) 2P(x) − R (x) =
= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =
En este caso aparece una constante (el número 2) que multiplica a P(x). Igual que con los números, al operar con polinomios, se debe tener cuidado de separar en términos antes de empezar.
Esto quiere decir que primero se debe multiplicar P(x) por 2 y eso (como recordarán) se realiza haciendo uso de la propiedad distributiva:
= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =
Aquí hicimos dos pasos en uno:
- Multiplicamos P(x) por 2 y
- Quitamos los paréntesis con lo cual cambian los signos en el segundo polinomio debido a que estamos restando
= 2x2 − x − 3
e) S(x) + T(x) + U(x) =
= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =
= 3x2 + 11
f) S(x) − T(x) + U(x) =
= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =
= 1
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
29
Trabajo práctico Nº 2
1) Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 − 2 x − 2
Calcular:
a) P(x) + Q(x) − R(x) =
b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
c) Q(x) + R(x) − P(x) =
Respuestas
Como ya se ha revisado bastante el procedimiento, incluimos solamente los resultados finales. De esta forma tendrán oportunidad de trabajar solos y comparar los procedimientos usados por cada uno de los integrantes del grupo que llegaron a los resultados correctos. Si alguien del grupo no llegó a los resultados correctos se presenta la oportunidad de realizar nuevos aprendizajes: para nada se deberá borrar lo producido y copiar otro que parezca correcto, la forma conveniente de proceder es revisar esa producción entre todos para tratar de encontrar algún error y corregirlo.
a) P(x) + Q(x) − R(x) = −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5
b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) = −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9
c) Q(x) + R(x) − P(x)= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3
2) Usando el ingenio. Realicen los siguientes cálculos. a) Sabiendo que:
P(x) + R(x) = 10x2 + x y R(x) = 6x2 + x + 1 Calcular P(x)
b) Sabiendo que: P(x) − U (x) = 3x2 – 3 y que U(x) = x2 + 2
Calcular P(6)
Respuestas (con actividad incluida)
Todas las respuestas a este ejercicio figuran en las páginas de las guías de trabajo que leyeron y deberían poder encontrarlas entre todos: ¡adelante!
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
30
Guía de trabajo N° 5
En la Guía de trabajo Nº 2 calculamos el valor numérico de polinomios de una variable
para determinados valores de la variable x. Además, trabajamos con la adición y
sustracción de polinomios en la Guía de trabajo Nº 3.
En esta cuarta guía vamos a retomar algunas de esas cuestiones que venimos
trabajando para, a partir de ellas, avanzar algo más en temas que resultarán útiles en
la cursada de Matemática I.
Consideremos el polinomio P(x) = 5x-2
Como ya sabemos el grado de P(x) es ............., su coeficiente principal es ........ y su
término independiente es ..........
Como es fácil calcular P( ) = (compruébenlo)
Actividad 1
a) Considerando P(x)= 5x-2
¿Para qué valor de x, P(x) tiene valor numérico 1?
Respuesta
El problema planteado supone averiguar un número que satisfaga:
1= 5x-2
Donde 1 es el valor numérico del polinomio P(x)
¡Es una ecuación!
b) Luego:
Sumando 2 en ambos miembros:
1 + 2 = 5x
Ahora dividimos ambos miembros por 5:
5
3= x
Respuesta
El valor de x para el cual el valor numérico de P(x) es 1 es 5
3
Actividad 2
Calcula el valor de x para que el valor numérico de P(x) sea el indicado en cada caso:
a) P(x) = 52
3 2 x valor numérico de P: 29
b) P(x)= 23
1 3 x valor numérico de P: 7
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
31
c) P(x) = 7
1
7
5 2 x valor numérico de P: 28
9
d) P(x) = 2
4
1
4
3x valor numérico de P:
4
7
Respuestas
Recuerden que las raíces de índice par tienen más de un resultado, esta es la razón por
la que vamos a detallar la resolución de a), luego podrán trabajar en forma autónoma
a) La ecuación que se debe resolver es:
2952
3 2 x
Restando 5 a ambos miembros:
242
3 2 x
Dividiendo ambos miembros por 2
3:
3
2.24
2
3:242 x
(Porque dividir por 2
3 es lo mismo que multiplicar por
3
2)
Operando queda:
162 x
Luego, aplicando a ambos miembros raíz cuadrada:
16x
De donde:
x = 4 ó x = -4
Ya que cualquiera de estos dos números elevados al cuadrado dan 16
b) x = 3
c) x =2
1 ó x=
2
1
d) x = 2 ó x= -2
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
32
Anexo
En este apartado les proponemos una lectura no obligatoria pero divertida.
El arte de adivinar números De: Y. Perelmán Álgebra recreativa Ed. Mihr. Moscú 1986
Cada uno de ustedes se encontrará indudablemente con “prestidigitadores” que
pueden adivinar números. Como regla, un prestidigitador propone realizar operaciones
del siguiente carácter: pensar un número cualquiera, adicionar 2, multiplicar el resultado
por 3, restar 5, restar el número pensado etc., en total cinco o una decena de
operaciones. Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado y, al obtener
la respuesta, en seguida comunica el número pensado.
Claro está que el secreto de la prestidigitación es muy fácil y se basa en las mismas
ecuaciones. Supongamos que el prestidigitador le haya propuesto a usted, realizar un
programa de operaciones indicado en la columna izquierda de la tabla siguiente.
Piense un número:
Adicione 2:
El resultado multiplíquelo por 3:
Reste 5:
Reste el número pensado:
Multiplique por 2:
Reste 1:
x
x+2
3x+ 6
3x+l
2x+1
4x+2
4x+ 1
Luego, el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado final y, al obtenerlo,
dice al instante el número pensado. ¿Cómo lo hace?
Para comprender esto, hay que mirar la columna derecha de la tabla, donde las
indicaciones del prestidigitador están traducidas al idioma del álgebra. Mirando esta
columna se puede comprender, que si usted ha pensado cualquier número “x”, entonces
realizadas todas las operaciones se obtendrá 4x + 1. Conociendo este resultado no es
difícil “adivinar” el número.
Supongamos, por ejemplo, que usted le haya dicho al prestidigitador que el resultado
es 33. Entonces, el prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x +
1= 33 y obtiene la respuesta: x = 8. Es decir, hace falta restar 1 del resultado final (33 -
1 = 32) y luego, el número obtenido se divide entre 4 (32 : 4 = 8), el resultado de esta
división es el número pensado (8). Si el resultado final es 25, entonces el prestidigitador
hace mentalmente las siguientes operaciones 25 - 1 = 24, 24 : 4 = 6 y comunica que
usted ha pensado el número 6.
Como se ve todo es muy fácil. El prestidigitador sabe de antemano qué hace falta
hacer con el resultado para obtener el número pensado.
Después de comprender esto, usted puede asombrar y desconcertar aún más a sus
amigos preponiéndoles a ellos mismos escoger según su propio parecer, el carácter de
operaciones sobre un número pensado. Usted le propone a su amigo pensar un número y
realizar en cualquier orden operaciones del carácter siguiente: sumar o restar un numero
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
33
conocido (por ejemplo: sumar 2, restar 5, etc.), multiplicar2 por un número conocido
(por 2, por 3, etc.), sumar o restar el número pensado. Su amigo, para embarullarlo, va a
amontonar una serie de operaciones. Por ejemplo, él elige el número 5 (el número
pensado no se lo comunica a usted) y le dice:
— he pensado un número, lo he multiplicado por 2, al resultado le he sumado 3, luego
he sumado el número pensado, al resultado he sumado 1, todo lo he multiplicado por 2,
he restado el numero pensado, luego he restado 3, una vez más he restado el número
pensado, he restado 2. Por fin, el resultado lo he multiplicado por 2 y he sumado 3.
Al decidir que él lo ha embrollado por completo. Su amigo le comunica a usted con
aspecto triunfante: “el resultado final es 49”.
Para su asombro, usted le comunica inmediatamente que él ha pensado el número 5.
¿Cómo lo hace usted? Ahora todo eso es bastante claro. Cuando su amigo le comunica
las operaciones que él está realizando con el número pensado, Ud. a la vez actúa
mentalmente con la incógnita x. El le dice: “he pensado un número...”, usted repite
mentalmente: “entonces tenemos x”. Él dice: “... lo he multiplicado por 2” (él de veras
realiza la multiplicación de números). Usted prosigue mentalmente: “…ahora tenemos
2x”. Él dice: “al resultado he sumado 3”. Usted sigue inmediatamente: 2y 4+3, etcétera.
Cuando él lo “ha embrollado” completamente y ha realizado todas las operaciones
mencionadas arriba, usted ha llegado al resultado indicado en la tabla siguiente. En la
columna izquierda está escrito todo lo dicho en voz alta por su amigo y en la derecha,
las operaciones que usted ha hecho mentalmente.
He pensado un número
Lo he multiplicado por 2
al resultado he sumado 3
luego he sumado el número pensado
ahora he sumado 1
el resultado lo he multiplicado por 2
he restado el número pensado
he restado 3
más le restado el número pensado
he restado 2
por fin, el resultado lo he multiplicado por 2
y he sumado 3
x
2x
2x+3
3x+3
3x+4
6x+8
5x+8
5x+5
4x+5
4x+3
8x+6
8x+9
Usted ha pensado por ultimo: el resultado final es 8x+9. Ahora él dice:”El resultado
final es 49”. Usted tiene ya la ecuación hecha: 8x+9 = 49. Resolverla es una futilidad y
Ud. le comunica en el acto que él ha pensado el número 5. Esta prestidigitación es
particularmente impresionante porque las operaciones que hace falta realizar con el
número pensado no las propone usted, sino su amigo las “inventa”.
2 Mejor que no le permita dividir, pues la división complica mucho la “prestidigitación”.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
34
Sin embargo, hay un caso cuando la prestidigitación no tiene éxito. Si usted después
de realizar (contando mentalmente) una serie de operaciones ha obtenido, por ejemplo,
y +14, y su amigo dice luego: “… ahora he restado el número pensado y el resultado
final es 14”. Usted sigue (x + 14) – x = 14, de verdad resulta 14, pero no hay ninguna
ecuación y por eso usted no puede adivinar el número pensado. ¿Qué es necesario hacer
en este caso? Obre así: tan pronto usted tenga el resultado que no contiene la incógnita
x, interrumpa a su amigo diciéndole: “¡Pare! Ahora puedo sin preguntar nada
comunicarte el resultado que tienes. Es 14”. Esto de veras va a desconcertar a su amigo,
pues él no le ha dicho completamente nada. A pesar de que usted no supo adivinar el
número pensado, la prestidigitación ha resultado espléndida.
He aquí un ejemplo más (como antes en la columna izquierda se encuentra lo dicho o
por su amigo).
He pensado un número
a este número he sumado 2
al resultado lo he multiplicado por 2
ahora he sumado 3
he restado el número pensado
he sumado 5
Luego he restado el número pensado
x
x+2
2x+4
2x+7
x+7
x+12
12
En el momento cuando el resultado ha sido 12, es decir, es una fórmula que no tiene
más la incógnita x, usted interrumpe al amigo comunicándole que ahora el resultado es
12.
Después de practicar un poco, usted podrá fácilmente mostrar a sus amigos
semejantes “prestidigitaciones”.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
35
Guía de trabajo Nº 6
Hasta ahora seguramente no tuviste problemas para resolver las ecuaciones que plantea cada ejercicio de la guía de trabajo Nº 4, pero a veces las cosas pueden ser más complejas.
Actividad 3 Encuentren el valor de la variable x para que el valor numérico de R(x) = 6.x2 + x sea 1 Respuesta Al principio procedemos de la manera habitual:
6.x2 + x = 1
Pero en seguida nos damos cuenta de que esta ecuación no puede resolverse fácilmente mediante la radicación.
Recordemos:
La fórmula
Permite encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática en la que el segundo miembro es cero:
Una ecuación cuadrática puede llevarse a esta forma operando en ambos miembros convenientemente
Recordemos que las “raíces” o “ceros” son los valores de x para los que y se hace cero, en otras palabras las raíces son los valores de x para los que el valor numérico de un polinomio Y(x) de grado 2 es cero. Se trata de una fórmula para resolver “ecuaciones cuadráticas igualadas a cero”
¡Nosotros tenemos un polinomio de grado 2!
6.x2 + x = 1
Lo único que pasa es que el valor numérico es 1 en vez de cero, pero eso se puede arreglar restando 1 a cada miembro:
6.x2 + x - 1= 0
Ahora podemos usar la fórmula para averiguar los valores de x, solamente hay que recordar quiénes son a, b y c. Para ello les damos algunas pistas:
- a es el coeficiente del término cuadrático (con su correspondiente signo), en este caso: …………….
- b es el coeficiente del término lineal (con su correspondiente signo), en este caso: …………….
- c es el término independiente, en este caso: …………….
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
36
Una vez que hayan realizado los cálculos correspondientes van a obtener dos soluciones para esta ecuación:
x= 2
1 y x=
3
1
Esto quiere decir que el polinomio R(x) tiene como valor numérico 1 cuando x =2
1 ó
x = 3
1.
Compruébenlo reemplazando ambos valores en la expresión original de R(x)
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
37
Trabajo práctico Nº 3
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3x-9= 1
b) 14- 4x= 3
c) x2 - 1 = 4
5
d) x - x2 = -2
e) 2x+x2 = 0
Respuestas
a) x = 3
10
b) x = 4
11
c) x = 2
3 y x =
2
3
d) x= -1 y x = 2
e) x=0 y x = -2
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
38
Guía de trabajo Nº 7
Problemas resueltos
Al resolver los siguientes problemas planteando ecuaciones, además de repasar la resolución de las mismas, están preparándose para la siguiente guía, así que a trabajar mucho y con confianza.
La idea es que lean las soluciones propuestas y que conversen grupalmente tratando de interpretar lo que se hace, proponiendo otras formas de resolver y anotando las dudas para consultar.
En términos generales se tomaron problemas que se resuelven con números enteros y racionales que ya conocen.
Posteriormente, les presentamos algunos ejercicios en el Trabajo Práctico Nº 4 para evaluar si pueden resolverlos de forma autónoma.
Vamos a trabajar:
1) Javier y Felipe tenían deudas de $ 750 cada uno. Ambos cobraron sus respectivos
sueldos y pagaron sus deudas. A Javier le quedaron $967 y a Felipe $ 1409.
¿Cuánto cobró de sueldo cada uno?
Solución
El problema pide calcular los sueldos que no conocemos.
Vamos a llamar J al sueldo de Javier y F al de Felipe
Es obvio que a cada uno de esos sueldos hay que restarle las deudas y el resultado será
lo que le queda a cada uno:
Para Javier:
(*) J – 750 = 967
Para Felipe
(∆) F – 750 = 1409
Se trata de dos ecuaciones muy fáciles de resolver, pero antes fijémonos que así como
están planteadas las cosas se puede saber quién tiene el mejor sueldo ¿Quién es? ¿Por
qué?
Ahora si: para calcular el sueldo de Javier resolvemos (*)
J – 750 = 967
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
39
J = 967 + 750
J = 1717
Y para calcular el de Felipe resolvemos (∆)
F – 750 = 1409
F = 1409 +750
F= 2159
Respuesta (en todos los problemas siempre es conveniente escribir la respuesta a la
pregunta)
Javier cobró $1717 de sueldo y Felipe $2159
2) Si un buzo estaba a –60 metros y ahora está a – 28 metros. ¿Ascendió o descendió?
¿Cuántos metros?
Solución
Este es un problema en el que el planteo de una ecuación resulta un poco engorroso
para lo que es el problema.
En casos como este podemos usar un razonamiento matemático que no tenga que ver
con ecuaciones sino con cuestiones geométricas que nos lleven a la solución.
Supongamos que de un bote se deja caer una
soga de 60 m hacia abajo.
El buzo se encuentra primero a -60
metros, es decir a 60m por debajo de la
superficie.
Luego está a -28 metros es decir a 28 m
del nivel del agua, esto quiere decir que debe
haber subido, por lo tanto ya estamos en
condiciones de escribir la respuesta.
Pero antes pensemos: -28 ¿es un número mayor o menor que -60? Al contestar
esta pregunta estamos dando la razón por la que la respuesta es:
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
40
Respuesta
El buzo ascendió 32m
3) Entre Ana y Ariel compran una enciclopedia. Ana aporta las dos terceras partes del
precio mientras que Ariel pone $ 149,45 y llegan así a cubrir el precio total ¿cuánto
cuesta la enciclopedia?
Solución
Llamaremos X al precio de la enciclopedia
Ana aporta las dos terceras partes de X
x3
2
Ariel agrega $149,45 y se cubre el total X
xx 45,1493
2
Resolvemos restando x3
2 en ambos miembros:
xx3
245,149
x3
145,149
Ahora dividimos ambos miembros por 3
1(o, lo que es lo mismo multiplicamos por 3):
x45,149.3
35,448x
Respuesta
La enciclopedia costó $448,35
4) Alejo, Bruno, Carlos y Diego se reparten cierta cantidad de dinero. Alejo toma un
tercio de dinero y se va. Bruno toma un tercio de lo que queda; Carlos toma $500 y
sólo quedan $100 para Diego. ¿Cuánto dinero había en total?
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
41
Solución
Llamemos x al total de dinero disponible
Alejo toma x3
1
Lo que queda es:
De estos x3
2 (dos tercios del total) Bruno toma
3
1:
Carlos toma $500
Diego toma $100
Es decir el total x está compuesto por lo que tomó cada uno:
Alejo + Bruno + Carlos + Diego = total
x
3
1 + x
9
2 + 500 + 100 = x
Resolvemos:
Primero restamos x3
1 en ambos miembros:
x9
2 + 500 + 100 = x - x
3
1
Operamos y restamos x9
2 en ambos miembros:
500 + 100 = x3
2 - x
9
2
Operamos:
600 = x9
4
Dividimos ambos miembros por 9
4 o lo que es lo mismo multiplicamos por
4
9:
600 . 4
9 = x
X= 1350
Respuesta
La cantidad de dinero que se repartieron fue de $1350
xxxxx3
2
3
1
3
3
3
1
xx9
2)
3
2(
3
1
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
42
Trabajo práctico Nº 4
Resuelvan los siguientes problemas utilizando ecuaciones u otras estrategias.
1) El papá y la mamá de Juan trabajan. La mamá gana $ 2850 pero le descuentan $
400. El papa gana $ 3200 y le descuentan $ 500. Si los gastos mensuales familiares
suman $ 3900. ¿Cuánto pueden ahorrar?
Respuesta
Pueden ahorrar $1250.
2) Un edificio tiene 17 pisos, planta baja y 2 subsuelos. Un ascensor está en el segundo
piso, sube 8 pisos, desciende 11 pisos, vuelve a subir 5 pisos, desciende 6, sube 7 y
baja 2 ¿En cuál está en este momento?
Respuesta
Está en el tercer piso.
3) En un aeropuerto, se acepta despachar un máximo de 30 Kg. por pasajero sin pagar
exceso de equipaje. Una señora llevaba 12 Kg. de ropa, 2 Kg. de perfumes, 3 Kg. de
zapatos, 3 Kg. de peso en libros y folletos. Además, llevaba 4 regalos de igual peso y
cada uno pesaba una cantidad entera de Kg. ¿Cuál era el peso posible de cada
regalo si la valija vacía pesaba 2 Kg. y no pagó exceso de equipaje?
Respuesta
Cada regalo tiene un peso posible de 1 ó 2 kg.
4) Carlos reparte caramelos entre sus tres hijos, al mayor le da la tercera parte, al del
medio la cuarta parte y al menor dos quintas partes. Luego del reparto le sobran
dos caramelos ¿cuántos caramelos tenía Carlos para repartir?
Respuesta
Carlos tenía 120 caramelos para repartir.
5) Si una persona por día emplea la cuarta parte de lo que gana en alimentos, dos
tercios de lo que le queda en otros gastos y ahorra $ 34,30 ¿Cuánto gana por día?
Respuesta
Gana $137,20 por día.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
43
Guía de trabajo N° 8
Actividad 1
Como estuvimos viendo hasta ahora, un polinomio adquiere diferentes valores numéricos de acuerdo al valor que adquieren sus variables (hasta ahora no lo dijimos pero ustedes saben que un polinomio podría tener más de una variable, pero no se asusten que no es de eso de lo que queremos hablarles). Se puede establecer una relación entre los valores de las variables y el valor numérico que adquiere el polinomio por ejemplo (ya lo hicimos en la propuesta de trabajo 2): Si P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1
P(10)= 6571
P(2) = 83
P(7) = 2353
P(15) = 21481
Podemos construir una tabla en la que a cada valor de x le corresponde un único valor
numérico de P(x):
x P(x)
10 6571
2 83
7 2553
15 21481
3
4
5
Completen la tabla.
Esto significa que existe una función que relaciona cada x con un único valor numérico
Si llamamos “y” a los valores numéricos del polinomio para cada x la tabla queda como habitualmente, solamente hay que considerar entre qué valores puede encontrarse el valor de x y el tipo de número que puede ser es decir el “dominio” de la función. Por ejemplo, si x solamente puede tomar los valores que pusimos en la tabla, el dominio de la función sería el conjunto de números naturales:
D = {2, 3, 4, 5, 7, 10,15}
Además, el conjunto imagen está formado por los valores que puede adquirir la y, en este caso (complétenlo, sin olvidar las comas, y cierren la llave):
I = {83,.......................................................
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
44
BLOQUE 3: FUNCIONES - FUNCIÓN LINEAL
Introducción En este bloque, trabajaremos en el estudio de las funciones en general y comenzaremos a recordar, en particular, a la función lineal. Se volverán a familiarizar con conceptos como dominio, imagen, conjuntos de ceros, de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, ordenada al origen, pendiente así como también con el análisis e interpretación de gráficos, pero no se preocupen si les parece que no se acuerdan de nada, solamente ocúpense y recuerden que no están solos en este desafío.
I - Funciones Las funciones son relaciones que nos permiten describir situaciones de la vida diaria y de diversas ciencias, incluyendo a la matemática, para luego poder analizarlas e interpretarlas. En la primera parte de este bloque trabajaremos con la noción de función y estudiaremos algunas de sus propiedades a partir de sus gráficas y tablas. En la segunda parte nos ocuparemos particularmente de la función lineal.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
45
Guía de trabajo Nº 1
Pongamos en práctica nuestra capacidad para interpretar gráficos.
Actividad 1
El gráfico muestra la evolución del peso medio de un varón y una mujer en los
primeros 15 años de su vida. Analizando el gráfico respondan:
a) ¿Cuáles son las variables se relacionan?
b) ¿Cuál fue el peso del varón a los 5 años?
c) ¿Cuál fue el peso de la mujer a los 10 años?
d) ¿A qué edad el varón peso 35 kg?
e) ¿A qué edad la mujer peso 45 kg?
f) ¿Entre qué edades la mujer pesó más que el varón?
g) ¿Aproximadamente a qué edades ambos pesaron lo mismo?
Actividad 2
A continuación observemos tres gráficos que muestran viajes de un automóvil. ¿Es
cierto que sólo en uno se mantiene la misma velocidad? ¿Pueden marcar de cuál se
trata?
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
46
Actividad 3
Este gráfico muestra las variaciones en el nivel normal de un lago argentino durante un
año. El eje de abscisas (¿cuál será?) representa el nivel considerado normal del lago.
Observen el gráfico y respondan a las siguientes preguntas.
a) ¿En qué meses estuvo por encima de su nivel normal? b) ¿En qué meses estuvo por debajo de su nivel normal? c) ¿En qué mes/es mantuvo su nivel normal? d) ¿Cuál fue la variación de nivel que tuvo en todo el año? Para calcularlo, tengan en
cuenta el pico máximo y el mínimo de altura alcanzada por el lago. e) Si el aumento del nivel fue producido por grandes lluvias, ¿en qué estación del año
ocurrió? f) ¿En qué mes se produce el mayor aumento de nivel? g) ¿En qué mes se produce la mayor disminución de nivel? h) ¿Cuánto metros disminuyó el nivel entre abril y junio? i) ¿Cuántos metros aumentó el nivel en febrero? j) ¿Durante cuántos meses disminuyó el nivel? k) ¿Durante cuántos meses aumentó el nivel? l) ¿Durante cuántos meses se mantuvo igual el nivel?
Ahora empecemos a trabajar con funciones y sus características:
En este tema se han incluido algunas “claves” teóricas en recuadros como el siguiente, es importante que las tengan en cuenta a la hora de estudiar.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
47
Actividad
a) Indiquen cuáles de los siguientes gráficos representan funciones.
b) Indiquen si las siguientes tablas corresponden o no a una función. Justifiquen sus
respuestas en cada caso.
c) Indiquen el dominio y la imagen de las siguientes funciones teniendo en cuenta
que el lado de la cuadrícula representa una unidad.
Por si no se acuerdan, una función es una relación entre dos variables, en la cual, a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Para cada valor de x debe corresponderse un único valor de y.
Dominio: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variable independiente,
es decir x.
Imagen: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variable dependiente, es
decir la y.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
48
d) Observen el gráfico de la siguiente función y respondan
(a) ¿Cuál es el dominio de la función? (b) ¿Cuál es la imagen? (c) ¿Cuál es la imagen de 8? (d) ¿El punto (-4;0) pertenece a la función? (e) ¿Y el (3;2)?
e) Completen:
f(-1)=_____ f(____)=-4
f(3)=_____ f(____)=2
f(0)=_____ f(____)=8
f(-7)=____ f(____)=0
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
49
f) Escriban el dominio y la imagen de las siguientes funciones.
Actividad 5
Escriban los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de las siguientes funciones.
Recuerden:
Conjunto de ceros o raíces: son los valores de x para los cuales y vale 0. En el gráfico
son los puntos de corte de la función con el eje x.
Observen para qué valores de x la función está por debajo o por arriba del eje x.
Conjunto de positividad: son los valores de x para los cuales la función es positiva.
Conjunto de negatividad: son los valores de x para los cuales la función es negativa.
Recuerden que…
Un intervalo numérico es un conjunto de números que puede escribirse:
[a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo los valores de a y de b
[a,b) que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de a pero no el de b
(a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de b pero no el de a
(a,b) que indica todos los valores entre a y b sin incluir los valores de a y de b
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
50
Actividad 6
Observen el gráfico y escriban.
a) Los intervalos de crecimiento y
decrecimiento. b) El o los intervalos donde es constante la
función. c) El o los puntos máximos y/o mínimos
relativos.
Ayuda:
Intervalo de crecimiento: son los valores de x para los cuales la función crece.
Intervalo de decrecimiento: son los valores de x para los cuales la función decrece.
Tienen que observar, al tomar valores cada vez más grandes de x que pasa con y, es
decir, si aumenta o disminuye.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
51
Trabajo práctico Nº 5
Ahora ejercitemos lo visto.
1) Grafiquen una función que cumpla con las siguientes condiciones.
Crecimiento:
Es constante:
(¿se acuerdan lo que significa ^?)
Máximo:
2) Observen el gráfico y respondan.
a) ¿Cuáles son las raíces? b) ¿Cuál es la imagen de -5? c) ¿Y cuál la de 0? d) ¿Para qué valor de x la imagen
es 4? (preimagen de 4) e) ¿Cuál es la preimagen de -3? f) ¿Para qué valores de x la
función vale 3? g) Den tres valores de x con la
misma imagen.
3) Marquen sobre el eje X:
Con rojo: los intervalos de positividad.
Con verde: los intervalos de negatividad.
Con azul: el conjunto de ceros o raíces.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
52
4) Realicen el gráfico de una función que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso. (*a)
5) Observen el gráfico y escriban.
a) Los conjuntos de ceros, positividad y negatividad.
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) El o los intervalos donde es constante. d) El o los puntos máximos y/o mínimos
relativos.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
53
Función lineal
Las funciones lineales aparecen en muchas situaciones de la vida cotidiana, la economía, la física, etc.; y suelen ser el punto de partida para el estudio de otras funciones.
En esta segunda parte del bloque analizaremos juntos los conocimientos adquiridos, específicamente sobre las características principales de dichas funciones y las propiedades que tienen sus representaciones, mediante gráficos, tablas de valores y fórmulas.
También aquí se han colocado algunos recuadros con datos útiles para estudiar y guiar las consultas que necesiten realizar.
A trabajar entonces…
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
54
Guía de trabajo Nº 2
Actividad 1
Un técnico aeronáutico, en el año 1995, cobraba por cada reparación que realizaba un valor fijo de $15 y un adicional proporcional al tiempo que le insumía su trabajo, que calculaba tomando como parámetro $10 la hora.
a) Completen la tabla y encuentren la fórmula de la función que relaciona el costo C
de un trabajo y el tiempo t (en horas) que le demanda hacerlo (c(t)).
Tiempo (h)
0,5 1 1,5 2 3 4
Costo ($)
b) Representen gráficamente la función c(t).
c) ¿Cuál será el costo de una reparación que le requirió 5 horas de trabajo?
d) ¿Cuántas horas trabajó en un arreglo que cobró $75?
Actividad 2
Decidan si cada una de las siguientes fórmulas puede corresponder o no a una función lineal:
Recuerden Una función f es lineal si tiene una expresión de la forma: f (x) = m x + b Donde m y b son dos números fijos y si m = 0 nuestra función sería constante e igual a b
La gráfica de una función lineal es, por supuesto, un conjunto de puntos que están sobre una recta.
Sabemos que la gráfica de una función f son los puntos (x; y) del plano cartesiano que verifican y = f(x).
Por lo tanto los puntos de la gráfica de una función lineal verifican f (x) = m x + b
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
55
Actividad 3
a) Completen la siguiente tabla.
Fórmula de la Función Lineal
Pendiente Ordenada al Origen
150 xxf ,)(
xxg 33.)(
..................)( xh 1 0
..................)( xh 0 1
532 xxf )(
2
3 ........)(
xxg
b) Completen la tabla de valores y representa en el plano cartesiano cada una de las
siguientes funciones lineal
Función ¿Es función
Lineal? Función
¿Es función Lineal?
23 xy xy 312
)(: xy 54 xy 827
23 x 23xy
xy3
1 23 3 xy
350 xy , 23 x
Información útil:
Para obtener la pendiente `m´, es necesario utilizar la siguiente fòrmula:
Donde (x1;y1) y (x2;y2) son las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la recta
Si m = 0, f es una función constante: f(x) =b Si m ≠ 0, f es una función lineal: f(x) = mx + b
El término independiente `b´ es la ordenada al origen, siendo (0;b) el punto de intersección
con el eje de ordenadas.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
56
(a) y = x + 2 (b) y = -x +1 (c) y = 2/3x – 1
X Y
-2
0
1
X Y
-4
0
2
X Y
-3
0
3
c) Marquen con una cruz los puntos que pertenecen a cada recta. Justifiquen sus respuestas mediante cálculos.
(a) xxf2
1 P = (0;3) Q= (0;0) R= (-4;2)
(b) 2
14 xxg P =
0
8
1; Q=
9
11; R=
2
10;
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
57
x
y
Actividad 4
1) Observen la gráfica de la función f.
a) Escriban las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la gráfica de f.
b) ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones representa la relación entre la x
y la y ?
c) ¿Cómo se podría obtener la pendiente de la recta graficada a partir de las
coordenadas de dos de sus puntos?
I. 1832 xy II. 92
3 xy
III. 096 xy IV. 169
xy
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
58
x
y
x
y
x
y
x
y
2) Calculen la pendiente de cada una de las siguientes rectas graficadas.
(a)
(b)
(c)
(d)
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
59
Guía de trabajo Nº 3
Actividad 1
a) En cada fila de la siguiente tabla se indican dos puntos A y B de una recta, y su
pendiente m. Completen la tabla y luego representen cada recta en el plano
cartesiano.
A = (x1; y1) B= (x2; y2) m
N (2;5) (-1;0)
R (-3;2) (0;-4)
T (2;4) (-3;…..) 1
Q (…..;1/2) (8;1) 3/2
S (-2;3) (2;5)
V (-8;…..) (1/2;5) 0
Otro tema “pendiente” Recordemos que…
Los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) son dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea
y
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
60
b) Completen teniendo en cuenta los ejercicios anteriores.
(a) Si la pendiente es un número………………….., la función es decreciente.
(b) Si la pendiente es un número…………………., la función es creciente.
(c) Si la pendiente es igual a………………………, la función es constante.
c) Usando la información que aparece en el último recuadro, encuentren la
ecuación de las rectas del punto 2) de la actividad 4 de la guía de trabajo nº2 de
este bloque
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
61
BLOQUE 4: FUNCIÓN LINEAL II Introducción
En este bloque les proponemos continuar con el análisis de la función lineal,
estudiando su fórmula y gráfico, y las posiciones relativas de dos rectas en el plano.
Al principio aparece ejercitación para revisar lo trabajado anteriormente, para luego
continuar con actividades que les permitirán repasar algunos otros conocimientos.
Algunos de los ejercicios que pensamos, serán un desafío para esta etapa de
revisión y de volver a acercarse a la matemática. ¡Cuentan con nosotros para esto!
Haremos ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas que
les servirán para más adelante.
Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el
gráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que pueden
tener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
62
Guía de trabajo Nº 1
Actividad 1
a) Una recta contiene a los puntos e=(-2;-4) y f=(1;5). ¿Cuál es su pendiente?
Pueden representar los puntos e y f en un sistema de ejes cartesianos para pensar tu
respuesta desde el gráfico.
b) La recta H tiene pendiente 0,5.
1) ¿Puede contener a los puntos (7;3) y (-5;-3)? ¿Por qué?
Ayuda:
Recuerden la fórmula que trabajamos en el bloque anterior para calcular la
pendiente de una recta dados dos puntos que pertenezcan a ella.
2) Si su ordenada al origen es 2, ¿contiene al punto (4;5)? ¿Por qué?
c) La recta P tiene pendiente 2 y contiene al punto (1;1). ¿Cuál es su ordenada al
origen?
d) Escriban la ecuación de la recta D que tiene pendiente -0,5 y contiene al punto
(0;5). Verifiquen la respuesta gráficamente.
e) Escriban la ecuación de la recta que contiene a los puntos (-2;-3) y (4;-5).
Verifiquen la respuesta gráficamente.
f) Calculen la pendiente y luego hallen la ecuación de la recta que pasa por los
siguientes puntos.
(a) p= (2;3) y q = (5;2) (b) p = (1/2;1/4) y q = (3/4;1/2)
(c) p = (-1;3) y q = (2;-5) (d) p = (-2/3;0) y q = (-1;4/5)
g) Representen cada una de las siguientes rectas en un sistema de ejes cartesianos,
teniendo en cuenta valor de su pendiente y el de su ordenada al origen.
(a) 32
1 xxf
(b) xxg 1 (c) 2 xxh (d) xxi 23
Para una mejor interpretación de las siguientes consignas, diremos (como habitualmente se hace) que: y = mx + b es la ecuación general de una recta en la que m es la................................... y b es la ................................................................. .
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
63
Guía de trabajo Nº 2
A continuación, les proponemos trabajar sobre las posiciones relativas de dos rectas en
el plano y la relación que existe entre esas posiciones, las fórmulas de funciones
lineales y sus representaciones gráficas.
Actividad 1
Representen en un mismo sistema de ejes cartesianos las rectas que tienen las
ecuaciones indicadas. Deberán hacer un gráfico para las rectas del grupo (a) y otro
para las del (b).
(a)
(b)
a) Observen el gráfico de las rectas (a) ¿Cuáles son las posiciones relativas de las rectas y1 e y2? ¿Y cuál es para y3 e y4?
b) Realicen el mismo análisis que hicieron con las funciones del punto anterior con las funciones del grupo (b).
c) Comparen las ecuaciones de cada par de rectas tratando de establecer alguna relación entre su posición relativa y alguno de los valores de su fórmula.
¿Ya se acordaron? ¡Claro!
Anotemos para no olvidarnos:
Las rectas paralelas tienen.......................................................................................
En cambio las rectas perpendiculares tienen..................................................................
42
1
42
4
4
4
3
2
1
xy
xy
xy
xy
42
12
2
32
4
3
2
1
xy
xy
xy
xy
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
64
Actividad 2
En esta actividad tienen oportunidad de poner a prueba sus conocimientos.
1) Encuentren rectas paralelas y rectas perpendiculares entre este grupo de funciones
lineales.
4)( xxa 24)( xxb 43
1)( xxc 5
2
3)( xxd
43
2)( xxe xxf )( 625,0)( xxg
2
1
3
1)( xxh
2) Unan los pares de rectas perpendiculares entre ambas columnas.
35,0: xyA 73
1: xyF
52: xyB 35: xyG
83: xyC xyA3
1:
75
1: xyD xyI 5:
32,0: xyE xyJ 2:
3) Hallen las ecuaciones de las rectas que cumplen con las condiciones pedidas en
cada caso.
a) R es paralela a 32 xy y pasa por 38; .
b) S es paralela a 63 xy y pasa por 06; .
c) W es perpendicular a R y pasa por el origen de coordenadas.
d) T es perpendicular a 24
3 xy y 02; .
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
65
Trabajo práctico Nº 6 1) La recta M contiene a los puntos 1)0( f y 2)2( f .
a) Encuentren la ecuación de la recta M. b) Encuentren la ecuación de una recta R que sea paralela a M y que pase por el
punto 0;1 .
c) Hallen la fórmula de una recta D que sea perpendicular a M y que tenga la misma ordenada al origen que R.
d) Encuentren la ecuación de la recta H paralela a D y que 0)0( f .
e) Grafiquen las rectas M, R, D y H en un mismo plano cartesiano.
2) Dadas las siguientes funciones:
23
2)(
2)(
33)(
4)(
xxr
xxp
xxg
xxf
a) Representen las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos, teniendo en cuenta el valor de la pendiente y el de la ordenada al origen.
b) Indiquen, para cada una, si es una recta creciente, decreciente o constante. c) Escriban la ordenada al origen, la raíz o cero y la pendiente de cada función.
Cuando trabajamos las raíces o ceros de una función, lo hicimos desde la lectura de sus coordenadas. Ahora les proponemos que las encuentren analíticamente: Calculen para qué valores de x, y vale cero, y qué valor toma y cuando x vale cero.
d) Encuentren la fórmula de una recta paralela a f(x) y que pase por el origen de coordenadas. Represéntenla en el mismo sistema de ejes cartesianos.
e) Encuentren la fórmula de una recta perpendicular a la recta r y que contenga al
punto 5;0 . Represéntenla en el mismo sistema de ejes cartesianos.
3) Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen sus
respuestas describiendo con sus palabras cuál es la característica que observan en
ambas fórmulas y que fundamentan sus conclusiones.
a) 2//12 yxy b) 1//1 xyxy
c) xyxy 11 d) 233
1 xyxy
e) 5//2 yy f) 3
13 yy
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
66
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
4) Escriban la ecuación de cada una de las rectas representadas, tomando como
referencia puntos sobre cada una.
5) Hallen la ecuación de cada una de las rectas representadas en el mismo
sistema de ejes cartesianos.
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
67
BLOQUE 5: FUNCIÓN CUADRÁTICA
En este bloque les proponemos analizar la función cuadrática: sus elementos,
fórmulas y representación en el plano cartesiano.
Haremos ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas
que les servirán para más adelante.
Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el
gráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que pueden
tener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.
Función cuadrática
“Las funciones cuadráticas permiten construir modelos de situaciones referidas a
distintas áreas como la Física, la Biología, la Economía, la Astronomía, la Comunicación
y la Geometría, entre otras. En la Antigüedad, los griegos, desde antes de Euclides
(330-275 a.C.), resolvían ecuaciones cuadráticas basándose en un método geométrico
donde hacían intervenir cuadrados y rectángulos. En el siglo XVII, luego Johannes
Kepler (1571-1630) expusiera las leyes que rigen los movimientos de los planetas, los
astrónomos descubrieron que las órbitas de los planetas y cometas respondían a
modelos cuadráticos”.3
3 Ma. Beatriz Camuyrano, Gabriela Net, Mariana Aragón. “Matemática I – Modelos matemáticos para interpretar la realidad”.
Estrada. Buenos Aires, 2005.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
68
Guía de trabajo Nº 1
Actividad 1
En el cuadrado ABCD de 10 cm de lado, que muestra la figura
dibujado a escala, se marcan los puntos P, Q, R y S a 1 cm de los
vértices, como lo indica la figura.
Observen que queda determinado otro cuadrado PQRS y además
cuatro triángulos rectángulos en los que sus catetos miden 9 cm
y 1 cm.
Si quisiéramos calcular su área, un posible planteo sería.
Área ABCD – 4. Área APS = Área PQRS
822
9.1.410.10
a) Calculen el área del cuadrado interior si los puntos P,
Q, R y S están a 2 cm de A, B, C y D, respectivamente y
vuelquen su resultado en la tabla.
b) Repitan el procedimiento para las distintas medidas que
figuran en la tabla y complétenla
c) ¿Fue necesario realizar todos los cálculos o mientras la
completabas pensaste en alguna regla para calcularlos?
d) Vuelquen la información en un sistema de ejes
cartesianos para obtener un gráfico.
e) Comparen el gráfico con los de otros compañeros.
Escriban aquello que consideren distinto o parecido a lo
que hicieron.
f) A partir de las diferencias y similitudes que notaron,
elaboren una conclusión grupal.
Distancia
a
A, B, C y
D
Área del
cuadrado
interior
0 100
1 82
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
69
Es importante que respondan las siguientes preguntas:
a) ¿Se trata de una función lineal o es una curva?
b) ¿Cuál es el dominio de la función?
Si pensáramos al problema más allá de la distancia podríamos preguntarnos:
c) ¿Si el dominio se extendiera al , las imágenes seguirían siendo positivas?
d) ¿Qué ocurriría con el gráfico si el dominio se extendiera a ?
e) Realicen el gráfico considerando el dominio ( ; ).
La curva que queda representada que corresponde a la función cuadrática recibe el
nombre de___________________________________________________________
g) Si pensamos en una fórmula que permita modelizar este problema. ¿Cuáles de
las siguientes fórmulas permiten calcular el área del cuadrado interior para cualquier
distancia x? pueden utilizar como referencia el planteo del principio del ejercicio.
Formalizamos
La fórmula general de una función cuadrática es: cbxaxxf 2
Donde a, b y c son números reales (con la condición de que a sea distinto de cero ¿por
qué?) a los que, como habitualmente lo hacemos, llamaremos coeficientes.
Continuaremos con el estudio de esta función usando esta fórmula general. Para ello
resuelvan la siguiente actividad
2100 xxA 100202 2 xxxE
2
.10.4100
xxxD
xxf 10.2100
24100 xxC
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
70
Actividad 2
1) Completen los siguientes cuadros distinguiendo los distintos coeficientes.
Fórmula a b C
xxxf 226)(
2580 ttth )(
Fórmula a b C
)( xg -1 0 4
)(ts 2 1 -3
2) Consideren la función 2)( xxf
a) Calculen: )( 4f ;
3
1f ; )( 7f
b) Indiquen, si es posible, los valores de x para los cuales:
I. 100)(xf
II. 5)( xf
III. 4)(xf
3) Completen la siguiente tabla de valores reemplazando en la fórmula de la función
los distintos valores propuestos para x y luego ubiquen esos puntos en un sistema
de ejes cartesianos y únanlos para trazar una gráfica.
32)( 2 xxxf
x f(x)
-3
-2
-1
0
1
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
71
A partir del gráfico que realizaron, respondan las siguientes preguntas:
a) ¿Qué curva representa el gráfico de dicha función?
b) ¿Cuáles son las coordenadas de sus raíces?
c) ¿Pueden identificar en el gráfico un “máximo” o “mínimo”? Escriban sus
coordenadas y distínganlo en el gráfico con un color.
d) ¿Cuáles son las coordenadas de la ordenada al origen? Distíngala en el gráfico
usando un color. Para lograrlo, recuerden que en este punto el valor de x siempre es
cero.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
72
Guía de trabajo Nº 2
Actividad 1
Tracen el eje de simetría de la parábola del ejercicio 3) de la actividad 2 de la guía de
trabajo anterior y escriban cómo debería ser la ecuación de esa recta.
Recuerden
Para continuar con el estudio de la función cuadrática necesitamos tener en cuenta
las siguientes fórmulas que nos ayudarán a encontrar los elementos de la función con
los que ya estuvimos trabajando.
Raíces de la parábola: a
cabbx
2
.42
2,1
Esta fórmula les permitirá hallar las coordenadas x de las raíces de la función
cuadrática (es decir los puntos en los que corta al eje x). Esta fórmula ya la utilizamos
antes en la guía de trabajo nº 6 del bloque 2.
Recuerden: las raíces tendrán como coordenadas: 0;1x y 0;2x
Vértice de la parábola: a
bxv
2
Esta fórmula les permitirá calcular la coordenada x del vértice de una parábola. Para
hallar la coordenada sobre el eje de ordenadas (yv) del vértice, deberán reemplazar el
valor de vx en la fórmula de la función cuadrática dada. Recuerden: el vértice tendrá
como coordenadas: vv yx ; .
Eje de simetría:
Es la recta que tiene por ecuación vxx .
Ordenada al origen:
Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y. Decimos que es el punto que
tiene como coordenadas: );0( c . ¿Qué coeficiente es c?
Concavidad:
Si el coeficiente “a” (coeficiente principal o cuadrático), es un número positivo, la
parábola tiene sus ramas orientadas hacia…………………………………………………
Decimos entonces que la parábola tiene concavidad positiva.
Elementos de una parábola: Al punto que es máximo o mínimo de una función cuadrática lo denominaremos vértice de la
parábola. Por este punto que, reiteramos, será el máximo o mínimo de la función, si trazamos
una recta vertical que pase por su coordenada en x, quedará definido un eje que
denominamos eje de simetría.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
73
Si la función tiene concavidad positiva, su vértice será su punto ………………………….
Si el coeficiente “a” es un número negativo, la parábola tiene sus ramas orientadas
hacia………………………………………………………..
Decimos entonces que la parábola tiene concavidad negativa.
Si la función tiene concavidad negativa, su vértice será su punto ………………………...
Actividad 2
Para poner en práctica las fórmulas anteriores, resuelvan los siguientes ejercicios.
Recuerden que, como ya lo destacamos, las fórmulas requieren que distingan los tres
coeficientes en cada función.
1) Completen el siguiente cuadro calculando los elementos pedidos:
Función a b c Raíces Vértice Eje de
Simetría
Ordenada al
Origen
22 xxf )(
142 2 xxxg )(
542 xxxh )(
2) Para cada una de las siguientes funciones:
xxxf 42 )( xxxg 42 )( 122 xxxh )(
322 xxxm )( 62 xxxt )( 2
2
1xxs )(
a) Indiquen los valores de los coeficientes a, b y c. b) Representen cada una de estas funciones en un sistema de ejes cartesianos,
calculando sus elementos: I. Raíces
II. Vértice III. Eje de simetría IV. Ordenada al origen
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
74
3) Tracen el gráfico aproximado de cada una de las siguientes funciones cuadráticas.
Calculen en cada caso: raíces, vértice, eje de simetría y ordenada al origen de cada
una de las parábolas. ¿Se comprueba lo recuadrado respecto de la concavidad en
cada una de ellas?
22 xxxf )( 2
542 2 xxxg )( 12123 2 xxxh )(
xxxi2
7
2
15 2 )( 2
4
1
4
11
2
3xxxj )(
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
75
Guía de trabajo Nº 3
A partir de ahora, estudiaremos las distintas modificaciones que puede sufrir una
parábola en su gráfico teniendo en cuenta las variaciones en su fórmula. Las
actividades que siguen requieren atención para poder distinguir estas modificaciones,
aunque suponemos que las notarán ni bien se pongan a trabajar. ¡Buena suerte y buen
ojo!
Actividad 1
Papel que cumple el coeficiente “a” en la función 2axy
Realicen el gráfico, en un mismo sistema de ejes cartesianos, de las siguientes
funciones cuadráticas.
2xxf )( 2xxs )( 2
2
1xxt )(
22xxp )( 22xxk )( 2
4
3xxq )(
Para representar estas funciones, pueden hacer una tabla con los mismos valores de x
para las seis fórmulas, así como ésta:
X 2xxf )( 22xxp )( 2xxs )( 22xxk )( 2
2
1xxt )( 2
4
3xxq )(
-2
-1
0
1
2
Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta lo siguiente.
La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás gráficas.
¿Qué le sucedía a la parábola si 0a ? ¿Y si 0a ? (esto ya lo sabemos)
¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o cambia?
¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica?
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
76
A medida que el valor de “a” aumenta (sin tener en cuenta el signo del número es
decir si aumenta el valor absoluto de a) ¿qué sucede con las curvas? ¿Se cierran o se
abren?
A medida que el valor absoluto de “a” disminuye (sin tener en cuenta el signo del
número es decir si aumenta el valor absoluto de a) ¿qué sucede con las curvas? ¿Se
cierran o se abren?
Creemos que las respuestas a estos interrogantes les permitirán escribir algunas
conclusiones, adelante:
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Actividad 2
Gráficas de funciones cuadráticas de la forma caxy 2
En este tipo de fórmulas no está el término lineal (bx). (Recuerden que cuando ocurre
esto, es porque 0b ).
Realicen el gráfico en un mismo sistema de ejes cartesianos de las siguientes funciones
cuadráticas. Posteriormente volveremos a pedirles que elaboren conclusiones.
2xxf )( 22 xxg )( 12 xxh )( 42 xxi )(
Para representar estas funciones, pueden hacer una tabla con los mismos valores de x
para las cuatro fórmulas, así como ésta:
x 2xxf )( 22 xxg )( 12 xxh )( 42 xxi )(
-2
-1
0
1
2
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
77
Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta:
La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás gráficas.
¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o cambia?
¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica?
¿En qué sentido fue el desplazamiento?, ¿vertical u horizontal?
¿En cuántas unidades se desplazó?
Si 0c , ¿hacia dónde se desplaza?
Si 0c , ¿hacia dónde se desplaza?
Escriban a partir de estos interrogantes, una conclusión:
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Actividad 3
Gráficas de funciones de la forma 2 xay
Aquí la letra griega representa un número real cualquiera, lo expresamos con una
letra griega para que no lo confundan con alguno de los coeficientes.
Realicen, en un mismo sistema de ejes cartesianos, el gráfico de las siguientes
funciones cuadráticas. 2xxf )( 2
2 xxg )( 21 xxh )( 2
2 xxi )(
Antes de continuar con la actividad propuesta, deberíamos preguntarnos si la fórmula
22 xxg )( corresponde a una función cuadrática, porque es algo distinta a las
que veníamos trabajando.
Si pensamos que es 2222
xxx por definición de potencia, y aplicamos
la propiedad distributiva, resulta 44222 22 xxxxx , y como esta
última expresión es de la forma cbxaxxf 2 , podemos afirmar que la función
g(x) es una función cuadrática.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
78
Para representar estas funciones, pueden hacer otra tabla con los mismos valores de x
para las cuatro fórmulas, así como ésta:
x 2xxf )( 22 xxg )( 2
1 xxh )( 22 xxi )(
-3
-2
-1
0
1
2
3
Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta:
La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás gráficas.
¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o cambia?
¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica?
Si el vértice y el eje de simetría se modificaron, ¿qué fue lo que sucedió en cada caso?
¿En qué sentido fue el desplazamiento? ¿Vertical u horizontal?
¿En cuántas unidades se desplazó?
Si 0 , ¿hacia dónde se desplaza?
Si 0 , ¿hacia dónde se desplaza?
A partir de las respuestas a estos interrogantes, escriban su conclusión.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
79
Trabajo práctico Nº 7
a) Hallen la fórmula de la función cuadrática correspondiente al desplazamiento de 2xxf )( según se indica en cada caso:
(a) 3 unidades hacia arriba. (b) 2,5 unidades hacia la izquierda. (c) 1,5 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha
b) Indiquen cuál será el desplazamiento de la función 2xxf )( que coincidiría con
cada una de las siguientes fórmulas:
25 xxg )( 522 ,)( xxt
2
74
2 xxf )(
c) Grafiquen cada una de las funciones del punto anterior aplicando los
desplazamientos correspondientes al gráfico 2xxf )( , señalen en cada gráfico
el vértice y el eje de simetría.
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
80
Guía de trabajo Nº 4
Distintas maneras de escribir la ecuación de una función cuadrática
Ahora que repasado las funciones cuadráticas les contamos que una misma función se
puede expresar de distintas maneras:
Ecuación polinómica: cbxaxxf 2
Ecuación canónica, si conocemos el vértice y el coeficiente principal:
vx yxxaxf 2
Ecuación factorizada, si conocemos las raíces y el coeficiente principal:
21. xxxxaxf
Para pasar de la fórmula canónica y/o factorizada a la polinómica debemos aplicar la
propiedad distributiva. No se olviden de tener cuidado con los signos cuando
distribuyan.
Pero si tienen que pasar de la expresión polinómica a, por ejemplo, la canónica, es otra
la tarea: aquí debemos buscar las coordenadas del vértice. ¡Por suerte contamos con
una fórmula para hacerlo! Y ya lo practicamos, ¿se acuerdan? Y el coeficiente principal,
o sea “a” siempre estará expresado en la fórmula que nos dan, así que sólo queda
copiarlo.
Si la propuesta es pasar de la expresión polinómica a la fórmula factorizada,
calculemos las raíces de la parábola (sí, ¡también practicamos la fórmula!) y no nos
olvidemos de copiar el coeficiente principal.
Actividad 1
1) Expresen cada una de las siguientes funciones en la forma que se pide:
a) 342 xxxf )( , en la forma canónica.
b) 322
1 xxxf )( , en la forma polinómica.
c) 2322 xxf )( , en la forma polinómica.
d) 322 xxxf )( , en la forma factorizada.
2) Indiquen de qué manera esta expresada cada una de las siguientes funciones.
Realicen un gráfico aproximado de cada una de ellas sin construir tabla de valores.
a) 232
1 2 xy
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
81
x
y
x
y
x
y
x
y
b)
2
132 xxy
c) 254
1 xxy
3) Escriban las siguientes funciones cuadráticas en la forma más conveniente de
acuerdo con los datos y luego hallen las expresiones polinómicas de cada una.
(a) El vértice es (-3;-2) y el coeficiente principal es -2. (b) Las raíces son -4 y 2, el coeficiente principal es -1. (c) El vértice es (-3;-2) y pasa por el punto (0;1)
(d) Corta al eje x en (-1;0) y (4;0) y pasa por el punto
6
54;
4) Sabiendo que las gráficas corresponden a una función cuadrática, relacionen cada
gráfico con su fórmula.
)2)(5()( xxxf 312 xxg 41 xxxh 2
3 xxi
a) b)
c) d)
Universidad Provincial de Ezeiza
Materia: Matemática
Curso de Ingreso 2013
82
Bibliografía Abdala C. – Real M. Turano C. Colección libros y +. Carpeta de matemática, Buenos
Aires, Aique, 2000. Laurito Liliana, Stisin Laura B. de, Trama Eduardo, Ziger Dora y Sidelsky Estela,
Matemática Activa 9, (1° Ed.), Buenos Aires, Puerto de Palos, 2001. de Guzmán M, Colera J y Salvador Adela, Matemáticas: Bachillerato 1, Madrid,
Anaya, 1990. de Guzmán M, Colera J y Salvador Adela, Matemáticas: Bachillerato 2, Madrid,
Anaya, 1990. Altman Silvia V., Comparatore Claudia R. y Kurzrok Liliana, Matemática Polimodal
Libro Temático, (1°Ed.), Buenos Aires, Editorial Longseller, 2002. Effenberger Pablo, Matemática 3, Programa Kapelusz Para Pensar, (1° Ed.), Buenos
Aires, Kapelusz Editora, 2011. Berio A., Colombo Ma. L., D´Albano C., Sardelia O. y Zapico I, Matemática I –
Polimodal, (1° Ed.), Buenos Aires, Puerto de Palos, 2001. Kaczor Pablo J., Schaposchnik Ruth A., Franco Eleonora, Cicala Rosa A. y Díaz
Bibiana, Matemática I (1° Ed.), Buenos Aires, Ediciones Santillana, 1999. Camoyrano Ma. B., Net G. y Aragón M., Matemática I: Modelos Matemáticos para
interpretar la realidad, Buenos Aires, Estrada, 2005. Paenza, Adrián, Matemática… ¿Estás Ahí? Sobre números, personajes, problemas y
curiosidades. Buenos Aires, Siglo XXI Ediciones, 2005. Echegoyen Susana N., Fagale Enrique D., Rodríguez Silvia A., Ávila de Kalan Marta I.
y Alonso Ma. Rosario, Matemática I, Buenos Aires, Kapelusz Editora, 2005.
Bibliografía para el docente Kaczor Pablo J., Schaposchnik Ruth A., Franco Eleonora, Cicala Rosa A. y Díaz
Bibiana, Matemática I (1° Ed.), Buenos Aires, Ediciones Santillana, 1999. Buschiazzo N. B., Fongi E. D., González Ma. Inés y Lagreca L., Matemática II (1° Ed.),
Buenos Aires, Ediciones Santillana, 2000.
Bibliografía para el alumno Berio A., Colombo Ma. L., D´Albano C., Sardelia O. y Zapico I, Matemática I –
Polimodal, (1° Ed.), Buenos Aires, Puerto de Palos, 2001. Berio A., Colombo Ma. L., D´Albano C., Sardelia O. y Zapico I, Matemática I –
Polimodal, (1° Ed.), Buenos Aires, Puerto de Palos, 2001. Altman Silvia V., Comparatore Claudia R. y Kurzrok Liliana, Matemática Polimodal,
Libro Temático, (1°Ed.), Buenos Aires, Editorial Longseller, 2002.
Bibliografía opcional Álvarez Areces, Santiago y Fernández Flórez, Manuel, 2000 Problemas de
Matemáticas, (3° Ed.), León (España): Editorial Everest, 2001. Rayner, David y Cabrillo, Ezequiel, Repasa con Ejercicios: Gráficas y Álgebra 2.
Oxford University Press España, 1998. de Guzmán M. y Colera J., Matemáticas I: C. O. U. Opciones A y B. Madrid: Anaya,
1989.