Post on 14-Jul-2022
Análisis de señalesAnálisis de señalescurso 2017curso 2017
Métodos discretos de Fourier
1Análisis de señales - Christian Grunfeld2017
ResumenResumen
Introducción al problema Serie de Fourier de tiempo discreto (SFTD o
DTFS) Transformada de Fourier de tiempo discreto
(TFTD o DTFT) Transformada discreta de Fourier (TDF o DFT)
Introducción al problema Serie de Fourier de tiempo discreto (SFTD o
DTFS) Transformada de Fourier de tiempo discreto
(TFTD o DTFT) Transformada discreta de Fourier (TDF o DFT)
2Análisis de señales - Christian Grunfeld2017
IntroducciónIntroducciónYa vimos en tiempo continuo la representación de
señales periódicas en Series de Fourier detiempo continuo (SFTC o CTFS).
Vimos la extensión a señales no periódicas con laTransformada de Fourier (TF o FT)
¿Podremos hacer lo mismo para señales detiempo discreto?
Ya vimos en tiempo continuo la representación deseñales periódicas en Series de Fourier detiempo continuo (SFTC o CTFS).
Vimos la extensión a señales no periódicas con laTransformada de Fourier (TF o FT)
¿Podremos hacer lo mismo para señales detiempo discreto?
3Análisis de señales - Christian Grunfeld2017
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDLa serie de Fourier de TD representa a señales
discretas periódicas como combinación linealde sinusoides reales o exponenciales complejas.
De esa manera nos sirve para encontrar larespuesta de SLIT ante entradas arbitrarias(periódicas por ahora) mediante superposiciónde respuestas a sinusoides individuales.
La serie de Fourier de TD representa a señalesdiscretas periódicas como combinación linealde sinusoides reales o exponenciales complejas.
De esa manera nos sirve para encontrar larespuesta de SLIT ante entradas arbitrarias(periódicas por ahora) mediante superposiciónde respuestas a sinusoides individuales.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 4
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDSi la señal en TD es periódica x[n]=x[n+N], su
representación mediante la SF es:
Donde es la frecuencia “digital” fundamentalde la señal periódica y la frecuencia de lacomponente k-ésima es kΩ0
eCnx njk
kk
0][
Si la señal en TD es periódica x[n]=x[n+N], surepresentación mediante la SF es:
Donde es la frecuencia “digital” fundamentalde la señal periódica y la frecuencia de lacomponente k-ésima es kΩ0
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 5
eCnx njk
kk
0][
N
20
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDAhora podemos preguntarnos: ¿cuántos términos
deben considerarse en la suma para el caso deuna secuencia discreta periódica de período N?
Recordando la propiedad de las exponencialescomplejas discretas
Como habíamos visto antes, exponencialescomplejas con f ≠ no son todas diferentescomo ocurría en TC. Sólo hay N exponencialescomplejas distintas.
Ahora podemos preguntarnos: ¿cuántos términosdeben considerarse en la suma para el caso deuna secuencia discreta periódica de período N?
Recordando la propiedad de las exponencialescomplejas discretas
Como habíamos visto antes, exponencialescomplejas con f ≠ no son todas diferentescomo ocurría en TC. Sólo hay N exponencialescomplejas distintas.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 6
eeeeee njknjknN
jNnjknjNnkNj 000002
)(
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDÉsta es una diferencia fundamental entre TC y TD!
En TC necesitábamos infinitas sinusoides oexponenciales complejas!
En TD necesitamos sólo un número finito yademás la representación siempre se puedehacer exacta!
Ésta es una diferencia fundamental entre TC y TD!
En TC necesitábamos infinitas sinusoides oexponenciales complejas!
En TD necesitamos sólo un número finito yademás la representación siempre se puedehacer exacta!
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 7
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TD
+
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 8
………….
+
+
+
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDEn consecuencia se puede escribir la SF de una
señal periódica discreta como:
Donde k=<N> significa que la sumatoria debehacerse sobre cualquier conjunto de N valoresconsecutivos de k. Por ejemplo k=n0…n0+N-1.En particular n0 puede ser 0.
eCnx njk
Nkk
][
En consecuencia se puede escribir la SF de unaseñal periódica discreta como:
Donde k=<N> significa que la sumatoria debehacerse sobre cualquier conjunto de N valoresconsecutivos de k. Por ejemplo k=n0…n0+N-1.En particular n0 puede ser 0.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 9
eCnx njk
Nkk
][
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TD¿Cómo encontramos los coeficientes Ck?
Supongamos que tenemos muestras de una señalperiódica de TC en instantes t=nTs. Donde Ts esla separación entre muestras.
Este análisis también es válido para una señalarbitraria periódica de la cual no tenemos unaexpresión matemática, sólo muestras en algunosinstantes.
¿Cómo encontramos los coeficientes Ck?
Supongamos que tenemos muestras de una señalperiódica de TC en instantes t=nTs. Donde Ts esla separación entre muestras.
Este análisis también es válido para una señalarbitraria periódica de la cual no tenemos unaexpresión matemática, sólo muestras en algunosinstantes.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 10
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TD
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 11
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDSabemos de la SFTC que:
Supongamos que no conocemos una formaexplícita de x(t) pero tenemos un conjunto deN datos que abarcan un período (podríaempezar en 0 o no). La separación entre esosdatos es Ts=T/N (período de muestreo).
dtetxT
kcT
Tktj 0
/2)(1
][
Sabemos de la SFTC que:
Supongamos que no conocemos una formaexplícita de x(t) pero tenemos un conjunto deN datos que abarcan un período (podríaempezar en 0 o no). La separación entre esosdatos es Ts=T/N (período de muestreo).
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 12
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDPodemos entonces aproximar la integral por una
suma de varias integrales donde cada una cubreun tiempo Ts.
Cuanto más juntas estén las muestras mejor serála aproximación!
1
0
)1(
/2)(1
][N
n
Tn
nT
TknTjs dtenTx
Tkc
s
s
s
Podemos entonces aproximar la integral por unasuma de varias integrales donde cada una cubreun tiempo Ts.
Cuanto más juntas estén las muestras mejor serála aproximación!
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 13
1
0
)1(
/2)(1
][N
n
Tn
nT
TknTjs dtenTx
Tkc
s
s
s
Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDPuede demostrarse, bajo ciertas condiciones
(|k|<<N), que:
Entonces tenemos:
Ecuación de síntesis
Ecuación de análisis
1
0
/2)(1
][N
n
Nknjs enTx
Nkc
Puede demostrarse, bajo ciertas condiciones(|k|<<N), que:
Entonces tenemos:
Ecuación de síntesis
Ecuación de análisisAnálisis de señales - Christian Grunfeld2017 14
1
0
][1
][N
n
njkenxN
kc
ekcnx njk
Nk
][][
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Igual que como hicimos para tiempo continuo,para extender la SFTC a señales no periódicas,ahora lo vamos a hacer con la SFTD paradefinir la TFTD.
x[n] – aperiódica de duración finita y[n] – periódica de período N
x[n] = y[n] en N
Igual que como hicimos para tiempo continuo,para extender la SFTC a señales no periódicas,ahora lo vamos a hacer con la SFTD paradefinir la TFTD.
x[n] – aperiódica de duración finita y[n] – periódica de período N
x[n] = y[n] en N
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 15
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
La representación en SFTD de y[n] será:
Donde:
Como x[n]=y[n] en un período y luego x[n]=0,la sumatoria puede extenderse para x[n] y darálo mismo:
ekcny njk
Nk
][][
Nn
njkenyN
kc ][1
][
La representación en SFTD de y[n] será:
Donde:
Como x[n]=y[n] en un período y luego x[n]=0,la sumatoria puede extenderse para x[n] y darálo mismo:
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 16
Nn
njkenyN
kc ][1
][
n
njkenxN
kc ][1
][
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Definiendo:
Tenemos:
Donde Ω0=2π/N es el espaciamiento de lasmuestras en el dominio de la frecuencia.
enxeX nj
n
j
][)(
)(1
][ 0eXN
kc jk
Definiendo:
Tenemos:
Donde Ω0=2π/N es el espaciamiento de lasmuestras en el dominio de la frecuencia.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 17
)(1
][ 0eXN
kc jk
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Combinando las ecuaciones:
Ya que Ω0=2π/N o lo que es lo mismo 1/N=Ω0/2π
A medida que N aumenta, Ω0 disminuye y lasumatoria se convierte en una integral.
eeXN
ny njk
Nk
jk 00 )(1
][
Combinando las ecuaciones:
Ya que Ω0=2π/N o lo que es lo mismo 1/N=Ω0/2π
A medida que N aumenta, Ω0 disminuye y lasumatoria se convierte en una integral.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 18
000 )(
2
1][
eeXny njk
Nk
jk
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
X(ejΩ) y ejΩn son periódicas en Ω de período 2πentonces el producto también es periódico.
Cada término de la sumatoria representa el áreade un rectángulo de altura X(ejkΩo)ejΩon y anchoΩ0.
A medida que N ∞ la sumatoria se vuelve unaintegral pero el producto Ω0N=2π y el intervalode integración siempre tendrá un ancho de 2π.
Por lo tanto:
X(ejΩ) y ejΩn son periódicas en Ω de período 2πentonces el producto también es periódico.
Cada término de la sumatoria representa el áreade un rectángulo de altura X(ejkΩo)ejΩon y anchoΩ0.
A medida que N ∞ la sumatoria se vuelve unaintegral pero el producto Ω0N=2π y el intervalode integración siempre tendrá un ancho de 2π.
Por lo tanto:
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 19
2
)(2
1][][ deeXnynx njj
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Ec. de análisis
Ec. de síntesis
deeXnx
enxeX
eXnx
njj
n
njj
j
2)(
21
][
][)(
)(][
Ec. de análisis
Ec. de síntesis
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 20
deeXnx
enxeX
eXnx
njj
n
njj
j
2)(
21
][
][)(
)(][
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Ejemplo 1:
][][ nuanx n 1a
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 21
eaeaenuaeXjw
n
jw njwn
n
njw
1
1)(][)(
0
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 22
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Ejemplo 2:
][nx1
0
Nn 1
Nn 1
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 23
)2(
)21()( 1
1
1wsen
NsenweeX
N
Nn
jwnjw
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 24
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Para la convergencia de la ecuación de análisis senecesitan condiciones similares a laTransformada de Fourier:
En la ecuación de síntesis por lo general no hayproblemas de convergencia ya que se integrasobre un intervalo finito.
n
nx ][
Para la convergencia de la ecuación de análisis senecesitan condiciones similares a laTransformada de Fourier:
En la ecuación de síntesis por lo general no hayproblemas de convergencia ya que se integrasobre un intervalo finito.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 25
n
nx ][
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Algunas propiedades: Periodicidad: la TFTD siempre es periódica en w
con período 2. Linealidad:
Desplazamiento en t y en w
)(][
)(][
22
11
eXnx
eXnxjwF
jwF
Algunas propiedades: Periodicidad: la TFTD siempre es periódica en w
con período 2. Linealidad:
Desplazamiento en t y en w
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 26
)(][
)(][
22
11
eXnx
eXnxjwF
jwF
)()(][][ 2121 eXbeXanxbnxa jwjwF
)(][
)(][
)(][
)(
0
00
0
eXnxe
eXennx
eXnx
wwjFnwj
jwnjwF
jwF
T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 27
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier
Antiguamente se buscaban solucionescontinuas para operar simbólicamente. Hoy en día se prefieren soluciones discretas
y numéricas para operar con computadoras. Como vimos, la TFTD es una transformada
de señales discretas pero sigue siendocontinua. Podremos encontrar una transformada de
señales discretas que también sea discreta?
Antiguamente se buscaban solucionescontinuas para operar simbólicamente. Hoy en día se prefieren soluciones discretas
y numéricas para operar con computadoras. Como vimos, la TFTD es una transformada
de señales discretas pero sigue siendocontinua. Podremos encontrar una transformada de
señales discretas que también sea discreta?
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 28
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier
Podremos utilizar algo como el teoremadel muestreo pero en frecuencia? Ya que la TFTD es continua pero
periódica (de periodo 2π), podremosmuestrear un periodo (no hay másinformación). Bajo qué condiciones esas muestras serán
suficientes para reconstruir mi señaldiscreta?
Podremos utilizar algo como el teoremadel muestreo pero en frecuencia? Ya que la TFTD es continua pero
periódica (de periodo 2π), podremosmuestrear un periodo (no hay másinformación). Bajo qué condiciones esas muestras serán
suficientes para reconstruir mi señaldiscreta?
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 29
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierMuestreamos el espectro de x[n], X(ejω), con un tren dedeltas y sólo me van a interesar las N muestras que caenen un periodo. Las demás se repiten.Las N muestras quedan en las frecuencias 2πk/N, conk=0..N-1.
x[n] X(ejω)
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 30
n
x[n]
ω
X(ejω)
. . .
. . .
. . .
. . .
0 π 2π-π2π/N 2π(N-1)/N. . .
N muestras
2π/N
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierVamos a llamar XN(ejω) al espectro resultante de multiplicar alespectro de x[n] por el tren de deltas:
k
jjN N
kN
eXeX )2
(2
)()(
Si queremos encontrar la señal xN[n] sabemos que es la convoluciónde x[n] y de la antitransformada del tren de deltas:
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 31
Si queremos encontrar la señal xN[n] sabemos que es la convoluciónde x[n] y de la antitransformada del tren de deltas:
k
F
k
kNnN
kN
)()2
(2 1
kk
N kNnxkNnnxnx ][)(][][
Notar que la señal xN[n] es periódica de periodo N. (Extensiónperiódica de x[n]).
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierBajo qué condiciones la extensión periódica xN[n] (resultante demuestrear el espectro y quedarme con N muestras) me permiteobtener mi señal original x[n]?
x[n] xN[n]
. . . . . .
N=5
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 32
n n
n
xN[n]
. . . . . .
n
xN[n]
. . . . . .
N=4
N=3
k
N kNnxnx ][][
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier
deN
keXN
deeXnx nj
k
jnjjNN
22
)2
()(1
)(2
1][
2)
2()(
1 2
deN
keXN
nj
k
kj N
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 33
2)
2()(
1 2
deN
keXN
nj
k
kj N
eeXN
knjN
k
kj NN 22
1
0
)(1
Ecuación 1
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier
emxeX kmj
m
kj NN 22
][)(
TFTD evaluada en los puntos ω=2πk/N
Ahora necesitamos ir en el otro sentido para encontrar latransformación inversa.
Haciendo el cambio de variables: m = n - lN, 0 ≤ n < N, -∞ < l < ∞
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 34
elNnx lNnkj
l
N
n
N )(1
0
2
][
Haciendo el cambio de variables: m = n - lN, 0 ≤ n < N, -∞ < l < ∞
enxelNnx knjN
nN
knjN
n l
NN 22
1
0
1
0
][][
Ecuación 2
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierEntonces podemos finalmente formalizar de la siguiente manera:
Sea x[n] tal que x[n]=0 para n<0 y n≥N entonces X[k] es la DFTde N puntos de x[n] donde X[k] es el conjunto de N valorestomados de la TFTD X(ej2πk/N), con 0 ≤ k < N.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 35
ekXN
nx knjN
k
N2
1
0
][1
][
enxN
kX knjN
n
N2
1
0
][1
][
para 0 ≤ n < N y0 en otro caso
para 0 ≤ k < N y0 en otro caso
Ecuación de síntesis
Ecuación de análisis
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierEn MATLAB existen funciones para calcular la TDF y su
inversa.X=fft(x) calcula la TDF del vector x de N componentes
y devuelve el vector X del mismo tamaño.x=ifft(X) calcula la TDF inversa del vector X de N
componentes y devuelve el vector x del mismo tamaño.fftshift(X) reordena las componentes de frecuencia
entre positivas y negativas. Lleva la componente defrecuencia 0 (k=0) al centro del espectro.
Ojo que MATLAB numera los índices de 1 a N !!
En MATLAB existen funciones para calcular la TDF y suinversa.
X=fft(x) calcula la TDF del vector x de N componentesy devuelve el vector X del mismo tamaño.
x=ifft(X) calcula la TDF inversa del vector X de Ncomponentes y devuelve el vector x del mismo tamaño.
fftshift(X) reordena las componentes de frecuenciaentre positivas y negativas. Lleva la componente defrecuencia 0 (k=0) al centro del espectro.
Ojo que MATLAB numera los índices de 1 a N !!
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 36
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier
La TDF es periódica de período N.
Y puede representar señales aperiódicas como periódicas(cero fuera del intervalo 0..N-1 o extensión periódica).
Las demás propiedades son similares a las SFTC y TFTC(ver tabla siguiente) pero teniendo en cuenta el largo N delas secuencias.
][][][][1
0
/2
1
21
0
/)(2 kXenxeenxNkXN
n
NknjnjN
n
NnNkj
La TDF es periódica de período N.
Y puede representar señales aperiódicas como periódicas(cero fuera del intervalo 0..N-1 o extensión periódica).
Las demás propiedades son similares a las SFTC y TFTC(ver tabla siguiente) pero teniendo en cuenta el largo N delas secuencias.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 37
Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 38
FrecuenciaFrecuencia contínuacontínua y discretay discreta
Para TC: x(t)=Acos(wt) -<t<w=2f=2/T
Para TD: x[n]=Acos(n) -<n< = 2F= 2/N
Los rangos en TC son:- <f < - <w <
Los rangos en TD son:-1/2 < F <1/2 - < <
Para TC: x(t)=Acos(wt) -<t<w=2f=2/T
Para TD: x[n]=Acos(n) -<n< = 2F= 2/N
Los rangos en TC son:- <f < - <w <
Los rangos en TD son:-1/2 < F <1/2 - < <
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 39
Muestreo de señales analógicasMuestreo de señales analógicasSi muestreamos a xa(t)=cos(2ft) cada Ts
x[n]=xa(nTs)=Acos(2fnTs )
Comparando x[n]=Acos(2Fn)
F = fTs = f / fs
Se denomina frecuencia normalizada ó relativa.
Si muestreamos a xa(t)=cos(2ft) cada Ts
x[n]=xa(nTs)=Acos(2fnTs )
Comparando x[n]=Acos(2Fn)
F = fTs = f / fs
Se denomina frecuencia normalizada ó relativa.
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 40
Los 4 métodos de FourierLos 4 métodos de Fourier
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 41
Los 4 métodos de FourierLos 4 métodos de Fourier
Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 42