Métodos discretos de Fourier

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Métodos discretos de Fourier

1Análisis de señales - Christian Grunfeld2017

ResumenResumen

Introducción al problema Serie de Fourier de tiempo discreto (SFTD o

DTFS) Transformada de Fourier de tiempo discreto

(TFTD o DTFT) Transformada discreta de Fourier (TDF o DFT)

Introducción al problema Serie de Fourier de tiempo discreto (SFTD o

DTFS) Transformada de Fourier de tiempo discreto

(TFTD o DTFT) Transformada discreta de Fourier (TDF o DFT)


IntroducciónIntroducciónYa vimos en tiempo continuo la representación de

señales periódicas en Series de Fourier detiempo continuo (SFTC o CTFS).

Vimos la extensión a señales no periódicas con laTransformada de Fourier (TF o FT)

¿Podremos hacer lo mismo para señales detiempo discreto?

Ya vimos en tiempo continuo la representación deseñales periódicas en Series de Fourier detiempo continuo (SFTC o CTFS).

Vimos la extensión a señales no periódicas con laTransformada de Fourier (TF o FT)

¿Podremos hacer lo mismo para señales detiempo discreto?


Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDLa serie de Fourier de TD representa a señales

discretas periódicas como combinación linealde sinusoides reales o exponenciales complejas.

De esa manera nos sirve para encontrar larespuesta de SLIT ante entradas arbitrarias(periódicas por ahora) mediante superposiciónde respuestas a sinusoides individuales.

La serie de Fourier de TD representa a señalesdiscretas periódicas como combinación linealde sinusoides reales o exponenciales complejas.

De esa manera nos sirve para encontrar larespuesta de SLIT ante entradas arbitrarias(periódicas por ahora) mediante superposiciónde respuestas a sinusoides individuales.

Análisis de señales - Christian Grunfeld2017 4

Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDSi la señal en TD es periódica x[n]=x[n+N], su

representación mediante la SF es:

Donde es la frecuencia “digital” fundamentalde la señal periódica y la frecuencia de lacomponente k-ésima es kΩ0

eCnx njk

kk

0][

Si la señal en TD es periódica x[n]=x[n+N], surepresentación mediante la SF es:

Donde es la frecuencia “digital” fundamentalde la señal periódica y la frecuencia de lacomponente k-ésima es kΩ0


eCnx njk

kk

0][

N

20

Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDAhora podemos preguntarnos: ¿cuántos términos

deben considerarse en la suma para el caso deuna secuencia discreta periódica de período N?

Recordando la propiedad de las exponencialescomplejas discretas

Como habíamos visto antes, exponencialescomplejas con f ≠ no son todas diferentescomo ocurría en TC. Sólo hay N exponencialescomplejas distintas.

Ahora podemos preguntarnos: ¿cuántos términosdeben considerarse en la suma para el caso deuna secuencia discreta periódica de período N?

Recordando la propiedad de las exponencialescomplejas discretas

Como habíamos visto antes, exponencialescomplejas con f ≠ no son todas diferentescomo ocurría en TC. Sólo hay N exponencialescomplejas distintas.


eeeeee njknjknN

jNnjknjNnkNj 000002

)(

Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDÉsta es una diferencia fundamental entre TC y TD!

En TC necesitábamos infinitas sinusoides oexponenciales complejas!

En TD necesitamos sólo un número finito yademás la representación siempre se puedehacer exacta!

Ésta es una diferencia fundamental entre TC y TD!

En TC necesitábamos infinitas sinusoides oexponenciales complejas!

En TD necesitamos sólo un número finito yademás la representación siempre se puedehacer exacta!


Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TD

+


………….

+

+

+

Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDEn consecuencia se puede escribir la SF de una

señal periódica discreta como:

Donde k=<N> significa que la sumatoria debehacerse sobre cualquier conjunto de N valoresconsecutivos de k. Por ejemplo k=n0…n0+N-1.En particular n0 puede ser 0.

eCnx njk

Nkk

][

En consecuencia se puede escribir la SF de unaseñal periódica discreta como:

Donde k=<N> significa que la sumatoria debehacerse sobre cualquier conjunto de N valoresconsecutivos de k. Por ejemplo k=n0…n0+N-1.En particular n0 puede ser 0.


eCnx njk

Nkk

][

Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TD¿Cómo encontramos los coeficientes Ck?

Supongamos que tenemos muestras de una señalperiódica de TC en instantes t=nTs. Donde Ts esla separación entre muestras.

Este análisis también es válido para una señalarbitraria periódica de la cual no tenemos unaexpresión matemática, sólo muestras en algunosinstantes.

¿Cómo encontramos los coeficientes Ck?

Supongamos que tenemos muestras de una señalperiódica de TC en instantes t=nTs. Donde Ts esla separación entre muestras.

Este análisis también es válido para una señalarbitraria periódica de la cual no tenemos unaexpresión matemática, sólo muestras en algunosinstantes.


Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TD


Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDSabemos de la SFTC que:

Supongamos que no conocemos una formaexplícita de x(t) pero tenemos un conjunto deN datos que abarcan un período (podríaempezar en 0 o no). La separación entre esosdatos es Ts=T/N (período de muestreo).

dtetxT

kcT

Tktj 0

/2)(1

][

Sabemos de la SFTC que:

Supongamos que no conocemos una formaexplícita de x(t) pero tenemos un conjunto deN datos que abarcan un período (podríaempezar en 0 o no). La separación entre esosdatos es Ts=T/N (período de muestreo).


Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDPodemos entonces aproximar la integral por una

suma de varias integrales donde cada una cubreun tiempo Ts.

Cuanto más juntas estén las muestras mejor serála aproximación!

1

0

)1(

/2)(1

][N

n

Tn

nT

TknTjs dtenTx

Tkc

s

s

s

Podemos entonces aproximar la integral por unasuma de varias integrales donde cada una cubreun tiempo Ts.

Cuanto más juntas estén las muestras mejor serála aproximación!


1

0

)1(

/2)(1

][N

n

Tn

nT

TknTjs dtenTx

Tkc

s

s

s

Serie de Fourier de TDSerie de Fourier de TDPuede demostrarse, bajo ciertas condiciones

(|k|<<N), que:

Entonces tenemos:

Ecuación de síntesis

Ecuación de análisis

1

0

/2)(1

][N

n

Nknjs enTx

Nkc

Puede demostrarse, bajo ciertas condiciones(|k|<<N), que:

Entonces tenemos:


Ecuación de análisisAnálisis de señales - Christian Grunfeld2017 14

1

0

][1

][N

n

njkenxN

kc

ekcnx njk

Nk

][][

T. de Fourier de tiempo discretoT. de Fourier de tiempo discreto

Igual que como hicimos para tiempo continuo,para extender la SFTC a señales no periódicas,ahora lo vamos a hacer con la SFTD paradefinir la TFTD.

x[n] – aperiódica de duración finita y[n] – periódica de período N

x[n] = y[n] en N

Igual que como hicimos para tiempo continuo,para extender la SFTC a señales no periódicas,ahora lo vamos a hacer con la SFTD paradefinir la TFTD.

x[n] – aperiódica de duración finita y[n] – periódica de período N

x[n] = y[n] en N



La representación en SFTD de y[n] será:

Donde:

Como x[n]=y[n] en un período y luego x[n]=0,la sumatoria puede extenderse para x[n] y darálo mismo:

ekcny njk

Nk

][][

Nn

njkenyN

kc ][1

][

La representación en SFTD de y[n] será:

Donde:

Como x[n]=y[n] en un período y luego x[n]=0,la sumatoria puede extenderse para x[n] y darálo mismo:


Nn

njkenyN

kc ][1

][

n

njkenxN

kc ][1

][


Definiendo:

Tenemos:

Donde Ω0=2π/N es el espaciamiento de lasmuestras en el dominio de la frecuencia.

enxeX nj

n

j

][)(

)(1

][ 0eXN

kc jk

Definiendo:

Tenemos:

Donde Ω0=2π/N es el espaciamiento de lasmuestras en el dominio de la frecuencia.


)(1

][ 0eXN

kc jk


Combinando las ecuaciones:

Ya que Ω0=2π/N o lo que es lo mismo 1/N=Ω0/2π

A medida que N aumenta, Ω0 disminuye y lasumatoria se convierte en una integral.

eeXN

ny njk

Nk

jk 00 )(1

][

Combinando las ecuaciones:

Ya que Ω0=2π/N o lo que es lo mismo 1/N=Ω0/2π

A medida que N aumenta, Ω0 disminuye y lasumatoria se convierte en una integral.


000 )(

2

1][

eeXny njk

Nk

jk


X(ejΩ) y ejΩn son periódicas en Ω de período 2πentonces el producto también es periódico.

Cada término de la sumatoria representa el áreade un rectángulo de altura X(ejkΩo)ejΩon y anchoΩ0.

A medida que N ∞ la sumatoria se vuelve unaintegral pero el producto Ω0N=2π y el intervalode integración siempre tendrá un ancho de 2π.

Por lo tanto:

X(ejΩ) y ejΩn son periódicas en Ω de período 2πentonces el producto también es periódico.

Cada término de la sumatoria representa el áreade un rectángulo de altura X(ejkΩo)ejΩon y anchoΩ0.

A medida que N ∞ la sumatoria se vuelve unaintegral pero el producto Ω0N=2π y el intervalode integración siempre tendrá un ancho de 2π.

Por lo tanto:


2

)(2

1][][ deeXnynx njj


Ec. de análisis

Ec. de síntesis

deeXnx

enxeX

eXnx

njj

n

njj

j

2)(

21

][

][)(

)(][

Ec. de análisis

Ec. de síntesis


deeXnx

enxeX

eXnx

njj

n

njj

j

2)(

21

][

][)(

)(][


Ejemplo 1:

][][ nuanx n 1a


eaeaenuaeXjw

n

jw njwn

n

njw

1

1)(][)(

0


Ejemplo 2:

][nx1

0

Nn 1

Nn 1


)2(

)21()( 1

1

1wsen

NsenweeX

N

Nn

jwnjw


Para la convergencia de la ecuación de análisis senecesitan condiciones similares a laTransformada de Fourier:

En la ecuación de síntesis por lo general no hayproblemas de convergencia ya que se integrasobre un intervalo finito.

n

nx ][

Para la convergencia de la ecuación de análisis senecesitan condiciones similares a laTransformada de Fourier:

En la ecuación de síntesis por lo general no hayproblemas de convergencia ya que se integrasobre un intervalo finito.


n

nx ][


Algunas propiedades: Periodicidad: la TFTD siempre es periódica en w

con período 2. Linealidad:

Desplazamiento en t y en w

)(][

)(][

22

11

eXnx

eXnxjwF

jwF

Algunas propiedades: Periodicidad: la TFTD siempre es periódica en w

con período 2. Linealidad:

Desplazamiento en t y en w


)(][

)(][

22

11

eXnx

eXnxjwF

jwF

)()(][][ 2121 eXbeXanxbnxa jwjwF

)(][

)(][

)(][

)(

0

00

0

eXnxe

eXennx

eXnx

wwjFnwj

jwnjwF

jwF

Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier

Antiguamente se buscaban solucionescontinuas para operar simbólicamente. Hoy en día se prefieren soluciones discretas

y numéricas para operar con computadoras. Como vimos, la TFTD es una transformada

de señales discretas pero sigue siendocontinua. Podremos encontrar una transformada de

señales discretas que también sea discreta?

Antiguamente se buscaban solucionescontinuas para operar simbólicamente. Hoy en día se prefieren soluciones discretas

y numéricas para operar con computadoras. Como vimos, la TFTD es una transformada

de señales discretas pero sigue siendocontinua. Podremos encontrar una transformada de

señales discretas que también sea discreta?



Podremos utilizar algo como el teoremadel muestreo pero en frecuencia? Ya que la TFTD es continua pero

periódica (de periodo 2π), podremosmuestrear un periodo (no hay másinformación). Bajo qué condiciones esas muestras serán

suficientes para reconstruir mi señaldiscreta?

Podremos utilizar algo como el teoremadel muestreo pero en frecuencia? Ya que la TFTD es continua pero

periódica (de periodo 2π), podremosmuestrear un periodo (no hay másinformación). Bajo qué condiciones esas muestras serán

suficientes para reconstruir mi señaldiscreta?


Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierMuestreamos el espectro de x[n], X(ejω), con un tren dedeltas y sólo me van a interesar las N muestras que caenen un periodo. Las demás se repiten.Las N muestras quedan en las frecuencias 2πk/N, conk=0..N-1.

x[n] X(ejω)


n

x[n]

ω

X(ejω)

. . .

. . .

. . .

. . .

0 π 2π-π2π/N 2π(N-1)/N. . .

N muestras

2π/N

Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierVamos a llamar XN(ejω) al espectro resultante de multiplicar alespectro de x[n] por el tren de deltas:

k

jjN N

kN

eXeX )2

(2

)()(

Si queremos encontrar la señal xN[n] sabemos que es la convoluciónde x[n] y de la antitransformada del tren de deltas:


Si queremos encontrar la señal xN[n] sabemos que es la convoluciónde x[n] y de la antitransformada del tren de deltas:

k

F

k

kNnN

kN

)()2

(2 1

kk

N kNnxkNnnxnx ][)(][][

Notar que la señal xN[n] es periódica de periodo N. (Extensiónperiódica de x[n]).

Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierBajo qué condiciones la extensión periódica xN[n] (resultante demuestrear el espectro y quedarme con N muestras) me permiteobtener mi señal original x[n]?

x[n] xN[n]

. . . . . .

N=5


n n

n

xN[n]

. . . . . .

n

xN[n]

. . . . . .

N=4

N=3

k

N kNnxnx ][][


deN

keXN

deeXnx nj

k

jnjjNN

22

)2

()(1

)(2

1][

2)

2()(

1 2

deN

keXN

nj

k

kj N


2)

2()(

1 2

deN

keXN

nj

k

kj N

eeXN

knjN

k

kj NN 22

1

0

)(1

Ecuación 1


emxeX kmj

m

kj NN 22

][)(

TFTD evaluada en los puntos ω=2πk/N

Ahora necesitamos ir en el otro sentido para encontrar latransformación inversa.

Haciendo el cambio de variables: m = n - lN, 0 ≤ n < N, -∞ < l < ∞


elNnx lNnkj

l

N

n

N )(1

0

2

][

Haciendo el cambio de variables: m = n - lN, 0 ≤ n < N, -∞ < l < ∞

enxelNnx knjN

nN

knjN

n l

NN 22

1

0

1

0

][][

Ecuación 2

Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierEntonces podemos finalmente formalizar de la siguiente manera:

Sea x[n] tal que x[n]=0 para n<0 y n≥N entonces X[k] es la DFTde N puntos de x[n] donde X[k] es el conjunto de N valorestomados de la TFTD X(ej2πk/N), con 0 ≤ k < N.


ekXN

nx knjN

k

N2

1

0

][1

][

enxN

kX knjN

n

N2

1

0

][1

][

para 0 ≤ n < N y0 en otro caso

para 0 ≤ k < N y0 en otro caso


Ecuación de análisis

Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de FourierEn MATLAB existen funciones para calcular la TDF y su

inversa.X=fft(x) calcula la TDF del vector x de N componentes

y devuelve el vector X del mismo tamaño.x=ifft(X) calcula la TDF inversa del vector X de N

componentes y devuelve el vector x del mismo tamaño.fftshift(X) reordena las componentes de frecuencia

entre positivas y negativas. Lleva la componente defrecuencia 0 (k=0) al centro del espectro.

Ojo que MATLAB numera los índices de 1 a N !!

En MATLAB existen funciones para calcular la TDF y suinversa.

X=fft(x) calcula la TDF del vector x de N componentesy devuelve el vector X del mismo tamaño.

x=ifft(X) calcula la TDF inversa del vector X de Ncomponentes y devuelve el vector x del mismo tamaño.

fftshift(X) reordena las componentes de frecuenciaentre positivas y negativas. Lleva la componente defrecuencia 0 (k=0) al centro del espectro.

Ojo que MATLAB numera los índices de 1 a N !!



La TDF es periódica de período N.

Y puede representar señales aperiódicas como periódicas(cero fuera del intervalo 0..N-1 o extensión periódica).

Las demás propiedades son similares a las SFTC y TFTC(ver tabla siguiente) pero teniendo en cuenta el largo N delas secuencias.

][][][][1

0

/2

1

21

0

/)(2 kXenxeenxNkXN

n

NknjnjN

n

NnNkj

La TDF es periódica de período N.

Y puede representar señales aperiódicas como periódicas(cero fuera del intervalo 0..N-1 o extensión periódica).

Las demás propiedades son similares a las SFTC y TFTC(ver tabla siguiente) pero teniendo en cuenta el largo N delas secuencias.


FrecuenciaFrecuencia contínuacontínua y discretay discreta

Para TC: x(t)=Acos(wt) -<t<w=2f=2/T

Para TD: x[n]=Acos(n) -<n< = 2F= 2/N

Los rangos en TC son:- <f < - <w <

Los rangos en TD son:-1/2 < F <1/2 - < <

Para TC: x(t)=Acos(wt) -<t<w=2f=2/T

Para TD: x[n]=Acos(n) -<n< = 2F= 2/N

Los rangos en TC son:- <f < - <w <

Los rangos en TD son:-1/2 < F <1/2 - < <


Muestreo de señales analógicasMuestreo de señales analógicasSi muestreamos a xa(t)=cos(2ft) cada Ts

x[n]=xa(nTs)=Acos(2fnTs )

Comparando x[n]=Acos(2Fn)

F = fTs = f / fs

Se denomina frecuencia normalizada ó relativa.

Si muestreamos a xa(t)=cos(2ft) cada Ts

x[n]=xa(nTs)=Acos(2fnTs )

Comparando x[n]=Acos(2Fn)

F = fTs = f / fs

Se denomina frecuencia normalizada ó relativa.


Los 4 métodos de FourierLos 4 métodos de Fourier


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