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Apresentacao Linguagem do calculo proposicional

NHI2049-13 — Logica Basica(Logica Classica de Primeira Ordem)

Professor : jair.donadelli@ufabc.edu.br

pagina da disciplina na web:http://professor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/logica

Logica Basica

O assunto

O que e logica?

Disciplina que se ocupa do estudo sistematico das formas deargumento, a ideia de que a validade de um argumento edeterminada pela sua forma logica e nao pelo seu conteudo.

Logica Basica

O assunto

Silogismo aristotelico

Premissa Todo homem e mortalPremissa Socrates e homem

Conclusao Socrates e mortal

Logica Basica

O assunto

Premissa Todo carro e FerrariPremissa Fusca e carro

Conclusao Fusca e Ferrari

Logica Basica

O assunto

Premissa Todo A e BPremissa C e A

Conclusao C e B

Logica Basica

O assunto

O que e logica?

Logica Matematica estuda as formas de argumentos matematicospor meio de uma linguagem formal criada artificialmente.

Logica Simbolica estuda as abstracoes simbolicas que capturam ascaracterısticas formais dos argumentos da linguagem natural.

Logica Basica

O assunto

Logica contemporanea

Os logicos contemporaneos1 constroem linguagens simbolicas, rigorosas e livres de

ambiguidades e de contexo, adequadas para lidar com arelacao de consequencia. As linguagens possuem duasdimensoes relevantes:

a sintatica: os sımbolos da linguagem e as regras decombinacao as quais estao sujeitos para a construcao dostermos e formulas;a semantica define precisamente o significado das formulas.

2 especificam um sistema dedutivo: axiomas tomados dentre asformulas e especificam as regras de inferencia que independemda semantica.

Logica Basica

Linguagem

Por que precisamos criar uma linguagem para formalizar as formasde raciocınio?

Logica Basica

Linguagem

Paradoxo do mentiroso

Esta afirmacao e falsa.

Logica Basica

Linguagem

Paradoxo do Barbeiro

Havia, no vilarejo, um barbeiro que so fazia a barba de todas aspessoas que nao faziam a propria barba.

Logica Basica

Linguagem

Paradoxo de Richard

O menor numero natural que nao pode ser definido com menos devinte palavras.

Logica Basica

Linguagem

Paradoxo de Russel

O conjunto de todos os conjuntos que nao pertencem a si mesmos.

Logica Basica

Linguagem×Metalinguagem

Linguagem da logica definida para descrever e demonstrar comrigor os fatos matematicos.

A logica matematica e, em si, parte da matematica.

Qual linguagem utilizaremos quando construımos a logica?Metalinguagem

Logica Basica

Discussao informal

O que queremos formalizar? Informalmente:

Proposicoes: sentencas declarativas que podem assumir umvalor-verdade dentre, por exemplo, verdadeiro ou falso.

Logica Basica

Discussao informal

O que queremos formalizar? Informalmente: I

Sentencas atomicas

1 o quadrado de todo numero e positivo.

2 27 e um quadrado perfeito.

3 O conjunto vazio e unico.

4 25 e a soma de quatro quadrados perfeitos.

Logica Basica

Discussao informal

Sentencas compostas

nao α expressa a negacao da sentenca α;

α e β expressa a conjuncao das sentencas α e β;

α ou β expressa a disjuncao inclusiva;

se α, entao β expressa uma forma condicional;

α se, e somente se β representa a bicondicional α se β e αsomente se β.

Logica Basica

Discussao informal

5 um numero diferente de 2 e primo se, e somente se, for ımpar.

2 e positivo ou 2 e positivo.

7 Se√

2 e positivo, entao 2 e positivo.

8 27 nao e um quadrado perfeito e 9 e um quadrado perfeito.

9 O conjunto vazio nao e unico.

Logica Basica

Linguagem formal da logica proposicional

Linguagem da logica proposicional — Sımbolos

Alfabeto: o conjunto dos sımbolos que compoem linguagem

sımbolos proposicionais atomicos p1 p2 p3 . . .

Conectivos logicos

nome sımbolo

negacao ¬disjuncao ∨conjucao ∧

implicacao →bi-implicacao ↔

Pontuacao ( )

Logica Basica

Linguagem da logica proposicional — Sintaxe I

As sequencias de sımbolos da linguagem com significado saochamadas de formulas bem formadas ou, simplesmente,formula. O conjunto das formulas bem formadas e a linguagemda logica proposicional.

Logica Basica

Linguagem da logica proposicional — Sintaxe II

Regras de formacao das formulas:

(F1) sımbolos proposicionais atomicos sao formulas, chamadasformulas atomicas;

(F2) se α e formula, (¬α) e formula;

(F3) se α e β sao formulas, entao sao formulas:(α ∧ β), (α ∨ β), (α→ β) e (α↔ β);

(F4) nao ha outras formulas alem das obtidas pelo uso das regras(F1), (F2) e (F3) finitas vezes.

A ultima regra assegura que todas as formulas podem serconstruıdas passo-a-passo pelas regras anteriores.

Logica Basica

Linguagem da logica proposicional — Sintaxe III

Representamos (metalinguagem) as formulas por letras gregasα, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, π, ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ωeventualmente indexadas com numeros naturais.

Representamos (metalinguagem) os conectivos ∨, ∧, → e ↔genericamente, por �

Representamos (metalinguagem) as variaveis proposicionais poralgumas das letras p, q, r , s, t, u, v , x , z (se precisar mais, usamosas variaveis formais).

Logica Basica

Linguagem da logica proposicional — Sintaxe IV

Exemplos

p1, (¬p2), (p3 → (p1 ∧ (¬p1)));

p1 ← p2, ))¬p1, nao sao formulas.

(α ∧ (β ∧ γ)) e formula diferente de ((α ∧ β) ∧ γ) ?

Logica Basica

Linguagem L0

L0 e o conjunto de todas as formulas,

e o menor conjunto X formado pelas sequencias de sımbolos daalfabeto que satisfaz

1 p1, p2, . . . ∈ X ,

2 se α, β ∈ X entao(¬α), (α ∨ β), (α ∧ β), (α→ β), (α↔ β) ∈ X .

Logica Basica

Princıpio de inducao

Metateorema: Princıpio de inducao para formulas

Suponha que uma propriedade de formulas

(1) vale para toda formula atomica e

(2) se vale para a formula α entao tambem vale para (¬α) e

(3) se vale para as formulas α e β, entao tambem vale para(α�β).

Entao essa propriedade vale para todas formulas da linguagemproposicional.

Logica Basica

Definicao recursiva: grau de complexidade

1 grau(α) = 0 se α e formula atomica;

2 grau(¬α) = grau(α) + 1; e

3 grau(α�β) = max{grau(α), grau(β)

Que, por inducao, esta definido para toda formula, i.e., temos

grau : L0 → N

Logica Basica

Unicidade da representacao

Metateorema da leitura unica

Para toda formula α, uma, e apenas uma, das afirmacoes abaixo everdadeira:

α e uma formula atomica;

existe uma unica formula β tal que α = (¬β);

existem unicas formulas β e γ e um conectivo� ∈ {∧,∨,→,↔} tais que α = (β�γ).

Logica Basica

Exemplo

Arvore de formacao

((p1 ∧ p2

((¬p3) ∨ (p4 ↔ p5)

(p1 ∧ p2)

((¬p3) ∨ (p4 ↔ p5))

(¬p3)

(p4 ↔ p5)

Logica Basica

Subformulas

As formulas intermediarias que aparecem no processo deconstrucao de uma formula atraves das regras (F1)–(F3) saochamadas de subformulas

Exemplo: p, q, (¬p) e (q ∧ (¬p)) sao subformulas de(p → (q ∧ (¬p))).

Logica Basica

Definicao recursiva

Exercıcio: De uma definicao recursiva para subformula.

Logica Basica

Semantica

Valoracao I

Valoracao de L0 e uma funcao

w : L0 → {0, 1}

tal que

w(¬α) = 1− w(α).

w(α ∧ β) = min{w(α),w(β)}.

w(α ∨ β) = max{w(α),w(β)}.

w(α→ β) = max{1− w(α),w(β)}

w(α↔ β) =max

{min{w(α),w(β)},min{1− w(α), 1− w(β)}

}Professor : jair.donadelli@ufabc.edu.br

Logica Basica

Semantica

Valoracao II

Valoracao de L0 e uma funcao

w : L0 → {0, 1}

tal que

w(¬α) = 1− w(α).

w(α ∧ β) = min{w(α),w(β)}.

w(α ∨ β) = max{w(α),w(β)}.

w(α→ β) = max{1− w(α),w(β)}

w(α↔ β) = 1− |w(α)− w(β)| =max

{min{w(α),w(β)},min{1− w(α), 1− w(β)}

}Professor : jair.donadelli@ufabc.edu.br

Logica Basica

Semantica

Valoracao III

α ∧ β α = 0 α = 1

β = 0 0 0β = 1 0 1

α ∨ β α = 0 α = 1

β = 0 0 1β = 1 1 1

α→ β α = 0 α = 1

β = 0 1 0β = 1 1 1

α↔ β α = 0 α = 1

β = 0 1 0β = 1 0 1

Logica Basica

Semantica

Valoracao IV

Se w(p1) = w(p3) = 0 e w(p2) = 1 entao,

w((p1 ∨ p2)→ p3) = max{1− w(p1 ∨ p2),w(p3)}= max{1−max{w(p1),w(p2)},w(p3)}= max{1−max{w(p1),w(p2)},w(p3)}

O valor de α depende so dos valores nos atomos.

Logica Basica

Semantica

Valoracao V

Se w(p1) = w(p3) = 0 e w(p2) = 1 entao,

w((p1 ∨ p2)→ p3) = max{1− w(p1 ∨ p2),w(p3)}= max{1−max{w(p1),w(p2)},w(p3)}= max{1−max{w(p1),w(p2)},w(p3)}= max{1−max{0, 1}, 0}

= max{0, 0} = 0.

O valor de α depende so dos valores nos atomos.

Logica Basica

Semantica

Valoracao VI

Metateorema da valoracao

Sejam v e w duas valoracoes de L0.Seja α uma formula tal que v(p) = w(p) para toda formulaatomica p ∈ Sf(α).Entao v(α) = w(α).

Demonstracao.

Por inducao na formula. �

Logica Basica

Semantica

Interpretacao I

Interpretacao e uma funcao

v : {p1, p2, . . . } → {0, 1}

Interpretacao de uma formula e uma funcao

v : {p ∈ Sf(α) : p e atomico} → {0, 1}

Uma interpretacao de p → (q ∨ s) e

p = 0, q = 1, s = 0

Nela a formula tem valor-verdade 1.

Logica Basica

Semantica

Interpretacao II

V = {p1, p2, . . . }

Metateorema da extensao de interpretacao para valoracao

Dada um interpretacao v : V → {0, 1}, existe uma unica valoracaov : L0 → {0, 1} tal que

v(p) = v(p)

para qualquer formula atomica p ∈ V .

v e chamada extensao de v

Logica Basica

Semantica

Interpretacao III

Demonstracao.

Por contradicao.

Tome α de grau mınimo onde duas extensoes u e v diferem.

α e ¬β ou α e β� γ.

grau(β), grau(γ) < grau(α) logo u(β) = v(β) e u(γ) = v(γ).

Mas, entao u(α) = v(α), absurdo. �

Logica Basica

Semantica

Tautologia e Contradicao I

α ∈ L0 e

satisfazıvel se existe v

v(α) = 1

tautologia se para todo v

v(α) = 1

contradicao se para todo v

v(α) = 0

Logica Basica

Semantica

Tautologia e Contradicao II

Por exemplo, para qualquer v

v(α↔ ¬¬α) = max{

min{v(α), v(¬¬α)},min{1− v(α), 1− v(¬¬α)}

= max{v(α), 1− v(α)

Logica Basica

Semantica

Tautologia e Contradicao III

Algumas das tautologias notaveis

Nao contradicao ¬(α ∧ (¬α))Terceiro excluıdo α ∨ (¬α)

Algumas das implicacoes tautologicas notaveis

Lei da adicao α→ (α ∨ β)Lei da simplificacao (α ∧ β)→ αModus Ponens (α ∧ (α→ β))→ βModus Tollens ((¬β) ∧ (α→ β))→ ¬αSilogismo disjuntivo ((α ∨ β) ∧ ¬α)→ βSilogismo hipotetico ((α→ β) ∧ (β → γ))→ (α→ γ)Reducao ao absurdo ((α ∧ (¬β))→ (γ ∧ (¬γ)))→ (α→ β)

Logica Basica

Semantica

Tautologia e Contradicao IV

Algumas bi-implicacoes tautologicas notaveis sao

Dupla negacao α↔ ¬(¬α)Implicacao (α→ β)↔ (¬α ∨ β)Bi-implicacao (α↔ β)↔

((α→ β) ∧ (β → α)

)Comutatividade (α ∨ β)↔ (β ∨ α)

(α ∧ β)↔ (β ∧ α)Associatividade ((α ∨ β) ∨ γ)↔ (α ∨ (β ∨ γ))

((α ∧ β) ∧ γ)↔ (α ∧ (β ∧ γ))Distributividade (α ∧ (β ∨ γ))↔ ((α ∧ β) ∨ (α ∧ γ))

(α ∨ (β ∧ γ))↔ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ))Contrapositiva (α→ β)↔ ((¬β)→ (¬α))Negacao da implicacao ¬(α→ β)↔ (α ∧ (¬β))Leis de De Morgan ¬(α ∨ β)↔ ((¬α) ∧ (¬β))

¬(α ∧ β)↔ ((¬α) ∨ (¬β))

Logica Basica

Semantica

Tautologia e Contradicao V

Notacao

v satisfaz αv � α

α e tautologia� α

⊥ e falsidade, ie, para todo v

v(⊥) = 0

> e verdade, ie,

> = ¬⊥

Logica Basica

Semantica

Tabela-verdade I

Metateorema da decidibilidade

Existe um algoritmo que, dado uma formula α ∈ L0, decide se α esatisfazıvel.

Logica Basica

Semantica

Tabela-verdade II

Tabela-verdade: metodo mecanico e eficiente para estudar ospossıveis valores-verdade de uma formula.

(1) O primeiro passo para montar a tabela-verdade de umaformula e destrincha-la nas subformulas.

(2) Em seguida, montamos uma coluna para cada subformula,colocando as mais elementares a esquerda, e as maiscomplexas a direita, partindo das formulas atomicas ate aformula toda.

(3) Escrevemos uma linha para cada possıvel interpretacao(valoracao das formulas atomicas) e usamos as regras dosconectivos para completar a tabela.

Logica Basica

Semantica

Tabela-verdade III

Tabela-verdade para α =(p1 ∧ p2

((¬p3) ∨ (p4 ↔ p5)

)p1 p2 p3 p4 p5 p1 ∧ p2 ¬p3 p4 ↔ p5 (¬p3) ∨ (p4 ↔ p5) α

0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 1 0 1 0 1 10 0 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 1 1 10 0 1 0 0 0 1 1 1 10 0 1 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 1 0 1 10 0 1 1 1 0 1 1 1 10 1 0 0 0 0 0 1 1 10 1 0 0 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 0 0 0 10 1 0 1 1 0 0 1 1 10 1 1 0 0 0 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 0 0 10 1 1 1 0 0 0 0 0 10 1 1 1 1 0 0 1 1 1

Logica Basica

Semantica

Tabela-verdade IV

p1 p2 p3 p4 p5 p1 ∧ p2 ¬p3 p4 ↔ p5 (¬p3) ∨ (p4 ↔ p5) α

1 0 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1 0 1 11 0 0 1 0 0 1 0 1 11 0 0 1 1 0 1 1 1 11 0 1 0 0 0 0 1 1 11 0 1 0 1 0 0 0 0 11 0 1 1 0 0 0 0 0 11 0 1 1 1 0 0 1 1 11 1 0 0 0 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 0 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 1 0 1 1 11 1 1 0 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 0 1 1 1

Logica Basica

Equivalencia logica

Equivalencia logica I

α e β sao equivalentes se tem o mesmo valor que qualquerinterpretacao

Equivalentemente � α↔ β

Notacao: α ≡ β

Logica Basica

Equivalencia logica

Equivalencia logica II

Algumas equivalencias notaveis

dupla negacao α ≡ ¬¬αimplicacao γ → δ ≡ (¬γ) ∨ δbi-implicacao γ ↔ δ ≡ (γ → δ) ∧ (δ → γ)comutatividade α ∨ β ≡ β ∨ αleis de De Morgan ¬(γ ∧ δ) ≡ (¬γ) ∨ (¬δ)

¬(γ ∨ δ) ≡ (¬γ) ∧ (¬δ)distributiva α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)contrapositiva (α→ β) ≡ ((¬β)→ (¬α))

Logica Basica

Equivalencia logica

Equivalencia logica III

Notemos que

γ ∧ δ ≡ ¬¬(γ ∧ δ)

≡ ¬(¬γ ∨ ¬δ)

γ → δ ≡ (¬γ) ∨ δ

γ ↔ δ ≡ (γ → δ) ∧ (δ → γ)

≡ (¬γ ∨ δ) ∧ (¬δ ∨ γ)

≡ ¬(¬(¬γ ∨ δ) ∨ ¬(¬δ ∨ γ)

)Professor : jair.donadelli@ufabc.edu.br

Logica Basica

Equivalencia logica

Equivalencia logica IV

So precisamos dos conectivos ¬ e ∨.

Logica Basica

Equivalencia logica

Equivalencia logica V

O mesmo vale para

¬ e ∨.

¬ e →.

Logica Basica

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