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Novas Configurações de Antenas, Filtros e FSS
com Fractais de Fuga no Tempo para
Aplicações em Microondas e Ondas
Milimétricas
Diego Ramalho Minervino
Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de
Computação da UFRN (área de concentração:
Telecomunicações) como parte dos requisitos para
obtenção do título de Doutor em Ciências.
Número de ordem PPgEEC: D209
Natal, RN, dezembro de 2017
Minervino, Diego Ramalho. Novas configurações de antenas, filtros e FSS com fractais defuga no tempo para aplicações em microondas e ondas milimétricas/ Diego Ramalho Minervino. - 2017. 110 f.: il.
Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande doNorte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação emEngenharia Elétrica e de Computação. Natal, RN, 2019. Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D'Assunção.
1. Microfita - Tese. 2. Filtros - Tese. 3. Antenas - Tese. 4.FSS - Tese. 5. Microondas - Tese. 6. Ondas milimétricas - Tese.I. D'Assunção, Adaildo Gomes. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 621.396.67
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Elaborado por Ana Cristina Cavalcanti Tinôco - CRB-15/262
A minha mãe, Fátima, por nunca
ter perdido a fé em mim.
"Nenhum homem realmente
produtivo pensa como se estivesse
escrevendo uma dissertação."
Albert Einstein
Agradecimentos
À Deus, por tudo.
Ao professor Adaildo Gomes D’Assunção, pela orientação, amizade, paciência,
colaboração, respeito, carinho e sugestões para o desenvolvimento deste trabalho.
Ao professor Custódio Peixeiro, junto ao IST (Instituto Superior Técnico – Lisboa, PT)
pela colaboração, amizade e sugestões para a pesquisa.
Ao professor Paulo Henrique (IFPB), pela amizade e por acreditar em meu potencial e
me incentivar a entrar na pós-graduação.
Ao professor Alfredo Gomes Neto (IFPB), pela amizade e por me indicar a pós-
graduação.
Ao professor Adaildo Jr. Pela amizade e apoio nas medições.
À minha mãe, Fátima, pelo amor, apoio incondicional, incentivo, compreensão e
paciência nos difíceis momentos.
A minha amiga e irmã (consideração), Albanisa, pela ajuda, diversão, apoio, amizade e
companheirismo.
Também agradeço aos funcionários do IST, Carlos Brito, António Almeida e Jorge
Farinha pela amizade, respeito e por terem me ajudado a construir e medir os protótipos
do trabalho.
À Capes e INCT-CSF, pelo apoio financeiro.
Resumo
Neste trabalho são investigadas e propostas novas configurações de dispositivos e
circuitos de micro-ondas e ondas milimétricas, com configurações fractais de fuga no
tempo, como os Conjuntos de Julia e Mandelbrot, que são estruturas definidas por uma
relação de recorrência de cada ponto no espaço. Especificamente, será investigada a
distribuição das correntes nas superfícies dos elementos condutores de filtros, antenas
planares e superfícies seletivas em frequência (FSS) com as geometrias fractais
consideradas, para aplicações tanto em sistemas de comunicações sem fio (wireless
communication systems), como em sistemas de comunicações em ondas milimétricas,
na faixa de frequência entre 0,7 a 30 (GHz). Foram consideradas estruturas planares de
transmissão como as linhas de microfita e o coplanar waveguide (CPW), no
desenvolvimento de filtros e antenas com geometrias euclidianas e fractais para
aplicações em micro-ondas e ondas milimétricas. A opção por estruturas de linhas de
microfita para o desenvolvimento de novas configurações de antenas e filtros se justifica
pela larga aplicação dessas linhas de transmissão, resultando sempre na fabricação de
circuitos planares com estruturas leves, de dimensões reduzidas, de baixo custo, fáceis
de construir e, principalmente, fáceis de integrar com outros circuitos de micro-ondas e
ondas milimétricas. O grande interesse em relação às aplicações na faixa de ondas
milimétricas está associado ao crescimento da utilização nas bandas L e S, a velocidade
de transmissão entre circuitos, sistemas de comunicações sem fio e na redução dos
componentes para a utilização em comprimentos de micro-ondas e ondas milimétricas.
Inicialmente, o estudo das configurações de fractais de fuga no tempo foi voltado para
aplicações em micro-ondas em antenas alimentadas por cabo coaxial e CPW. Por fim,
foram realizadas simulações, medições e construções dos protótipos de antenas, filtros e
FSSs com propósito de validar o trabalho realizado nesta tese de doutorado.
Palavras chaves: Microfita, filtros, antenas, CPW, FSS, micro-ondas, ondas
milimétricas.
Abstract
In this work, new configurations of devices and circuits of millimeter waves and
microwaves with fracturing configurations of escape-time are investigated and
proposed, such as the Julia and Mandelbrot sets, which are structures defined by a
recurrence relation of each point in space. Specifically, it will be investigated the
distribution of currents on the surfaces of filter conductors, planar antennas and
frequency selective surfaces (FSS) with the considered fractal geometries, for
applications in both wireless communication systems and systems in millimeter waves,
in the frequency range between 0.7 and 30 (GHz). Transmission planar structures such
as the microstrip lines and the coplanar waveguide (CPW) were considered in the
development of filters and antennas with Euclidean and fractal geometries for
microwave and millimeter wave applications. The choice of microstrip line structures
for the development of new antenna and filter configurations is justified by the wide
application of these transmission lines, always resulting in the manufacture of flat
circuits with small structures, low cost, easy to construct and especially easy to integrate
with other microwave and millimeter wave circuits. The great interest in applications in
the millimeter wave range is associated to the growth of the use in the L and S bands,
the speed of transmission between circuits, wireless communications systems and the
reduction of components for use in wavelengths and millimeter waves. Initially, the
study of time-fracturing fracturing was focused on microwave applications in antennas
fed by coaxial cable and CPW. Finally, simulations, measurements and constructions of
prototypes of antennas, filters and FSSs were carried out to validate the work done in
this doctoral thesis.
Keywords: Microstrip, filters, antennas, CPW, FSS, microwaves, millimeter waves.
Sumário
Lista de Figuras ................................................................................................................. i
Lista de Tabelas .............................................................................................................. vii
Lista de Símbolos e Abreviaturas ..................................................................................... x
Capítulo 1 Introdução ..................................................................................................... 11
Capítulo 2 Fractais .......................................................................................................... 16
2.1 – Conjuntos de Mandelbrot ................................................................................ 19
2.2 – Conjuntos de Julia ............................................................................................ 24
2.3 – Conclusão .......................................................................................................... 27
Capítulo 3 Filtros ............................................................................................................ 28
3.1 – Filtros de microfita ........................................................................................... 30
3.2 – Conclusão .......................................................................................................... 34
Capítulo 4 Antenas ......................................................................................................... 35
4.1 – Tipos de antenas ............................................................................................... 36
4.2 – Parâmetros de antenas ..................................................................................... 38
4.3 – Antenas de microfita ........................................................................................ 47
4.4 – Patch circular .................................................................................................... 49
4.5 – Conclusão .......................................................................................................... 59
Capítulo 5 Superfícies Seletivas em Frequência ............................................................ 60
5.1 – Abordagens teóricas ......................................................................................... 62
5.2 – Conclusão .......................................................................................................... 66
Capítulo 6 Resultados Teóricos e Experimentais ........................................................... 67
6.1 – Filtros................................................................................................................. 68
6.2 – Antenas .............................................................................................................. 73
6.3 – Superfícies seletivas em frequência ................................................................ 90
6.4 – Conclusão .......................................................................................................... 95
Capítulo 7 Conclusão ..................................................................................................... 97
Referências Bibliográficas .............................................................................................. 99
i
Lista de Figuras
Figura 2.1 - Fractal de Koch: (a) curvas de Koch e (b) Floco de Neve de Koch ........... 17
Figura 2.2 - Conjunto de Cantor ..................................................................................... 18
Figura 2.3 - Triângulos de Sierpinski ............................................................................. 18
Figura 2.4 - Conjunto de Mandelbrot: pontos não divergentes (preto), pontos
divergentes (tons de azul) (imagem retirada de um programa gratuito Fraqtive -
https://fraqtive.mimec.org/). ........................................................................................... 20
Figura 2.5 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2, n = 3 e uma matriz: (a) 10x10 e (b)
1000x1000 ...................................................................................................................... 21
Figura 2.6 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2, n = 9 e uma matriz: (a) 10x10 e (b)
1000x1000 ...................................................................................................................... 21
Figura 2.7 - Conjunto de Mandelbtot e sua réplica em ad infinitum com zoom de 100
vezes. .............................................................................................................................. 22
Figura 2.8 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2 e com número de iterações n: (a) n =1,
(b) n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 20. ...................................................................................... 23
Figura 2.9 - Conjunto de Mandelbrot com n = 20 iterações e níveis d: (a) d =2, (b) d = 5,
(c) d = 10 e (d) d = 50. .................................................................................................... 23
Figura 2.10 - Conjunto de Julia cujos pontos: (a) não escapam para o infinito e (b)
escapam para o infinito. .................................................................................................. 25
Figura 2.11 - Conjunto de Julia d = 2 e c = -0,7 com número de iterações n: (a) n =1, (b)
n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 20............................................................................................. 26
Figura 2.12 - Conjunto de Julia com c = 0,1 + 0,5i com n = 20 e níveis d: (a) d = 2, (b) d
= 3, (c) d = 10 e (d) d = 50.............................................................................................. 26
Figura 2.13 - Formação do conjunto de Julia com d = 2, c = 0.28+0.52i e: (a) matriz
10x10 e n = 20, (b) matriz 1000x1000 e n = 20 e (c) matriz 1000x1000 e n = 100. ...... 27
Figura 3.1 - Tipos de filtros de microfita; (a) cascata, (b) série, (c) paralelo e (d) série-
paralelo ........................................................................................................................... 30
Figura 3.2 - Linha de transmissão em microfita ............................................................. 31
Figura 4.1 - Tipos de antenas; (a) corneta em uma câmara anecóica, (b) antena fractal de
Julia no tecido, (c) antena tipo CPW, (d) cornetas sendo usadas para aferição de FSS e
(e) antena patch fractal. .................................................................................................. 37
Figura 4.2 - Antenas do tipo; (a) monolopos planares com patch circular, (b) arranjo de
patches quadrados usando fractal de Peano, (c) arranjo linear 4x2, (d) arranjo linear tipo
monopolo 2x1, (e) arranjo linear tipo monopolo 4x1 e (f) arranjo linear tipo monopólio
4x2 .................................................................................................................................. 38
Figura 4.3 - Diagramas de radiação; (a) bi dimensional e (b) tridimensional. ............... 40
Figura 4.4 - Tipos de diagramas de radiação; (a) isotrópico, (b) direcional e (c) omni-
direcional. ....................................................................................................................... 41
Figura 4.5 - Exemplo de uma antena com polarização circular: (a) razão axial
(adimensional) e (b) S11 da antena com os pontos de polarização circular ................... 45
Figura 4.6 - Patch de microfita ....................................................................................... 48
Figura 4.7 - Elementos geométricos para o patch; (a) circular, (b) quadrado, (c)
retangular, (d) losango, (e) pentágono, (f) fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5 + 0,51i,
(g) fractal de Julia com d = 4 e c = 0,72 + 0,35i, (h) fractal de Julia com d = 5 e c = 0,66
+ 0,13i, (i) fractal de Mandelbrot com d = 2, (j) fractal de Mandelbrot com d = 3 e (l)
fractal de Mandelbrot com d = 4. ................................................................................... 48
Figura 4.8 - S11 dos patches circular e dos fractais de Julia. ......................................... 53
Figura 4.9 - Diagramas de radiação dos patches circular e Julia em: (a) = 0° e (b) =
90°. .................................................................................................................................. 54
Figura 4.10 - S11 dos patches circular e dos fractais de Mandelbrot ............................. 54
Figura 4.11 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot em: (a) = 0° e
(b) = 90°. ...................................................................................................................... 55
Figura 4.12 - S11 das antenas patches circular e Mandelbrot ........................................ 56
Figura 4.13 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot CPW em: (a)
= 0° e (b) = 90°. ........................................................................................................... 57
Figura 4.14 - Patch circular no topo, logo abaixo, da esquerda para direita, os fractais de
Mandelbrot (2ª linha) e Julia (3ª linha) com d = 2, 3, 4, 5 e 6, respectivamente, e os
modelos CPW com o patch circular e os fractais Mandelbrot com d = 4 e 5. ............... 58
Figura 5.1 - Modelos de FSS; (a) tipo abertura e (b) tipo patch ..................................... 60
Figura 5.2 - Exemplo de cascateamento de FSS. ............................................................ 61
Figura 5.3 - Setup de medição de uma FSS .................................................................... 61
Figura 6.1 - Filtro de Julia com c = -0,43x + 0,56iy em microfita no substrato de tecido
(jeans) alimentado por cabo coaxial ............................................................................... 69
Figura 6.2 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.1 .......................................... 69
Figura 6.3 - Filtro de Julia com c = -0,69x – 0,007iy em microfita no substrato de tecido
(jeans) alimentado por cabo coaxial ............................................................................... 70
Figura 6.4 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.3 .......................................... 70
Figura 6.5 - Filtro de Julia com c = -0,15x + 0,73iy em microfita no substrato de tecido
(jeans) alimentado por linhas de microfita. .................................................................... 71
Figura 6.6 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.5 .......................................... 71
Figura 6.7 - Fotografias (a) Câmara anecóica (IST) e (b) antena fixada para medição do
diagrama de radiação. ..................................................................................................... 74
Figura 6.8 - Antena do tipo CPW com geometria circular para faixa de ondas
milimétricas .................................................................................................................... 75
Figura 6.9 - Resultado experimental da antena da Figura 6.8 ........................................ 75
Figura 6.10 - Antena fractal de Julia (d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy) alimentada por cabo
coaxial ............................................................................................................................. 77
Figura 6.11 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.10 .......................... 78
Figura 6.12 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.10,
nas frequências de: (a) 9,04 GHz, (b) 17,58 GHz, (c) 19,75 GHz, (d) 23,55 GHz e (e)
25,69 GHz ....................................................................................................................... 79
Figura 6.13 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy) alimentada por cabo
coaxial ............................................................................................................................. 80
Figura 6.14 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.13 .......................... 81
Figura 6.15 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.13
na frequência de: (a) 21,5 GHz e (b) 24,2 GHz .............................................................. 81
Figura 6.16 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,7x) alimentada por cabo coaxial .. 82
Figura 6.17 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.16............................ 83
Figura 6.18 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.16
nas frequências em: (a) 11,2 GHz e (b) 18,9 GHz ......................................................... 83
Figura 6.19 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 2 e n = 20) alimentada por cabo coaxial
........................................................................................................................................ 84
Figura 6.20 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.19 .......................... 85
Figura 6.21 - Resultado experimental do diagrama de radiação, na frequência 21,6 GHz,
da antena da Figura 6.19 ................................................................................................. 85
Figura 6.22 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 4 e n = 20) alimentada por cabo coaxial
........................................................................................................................................ 86
Figura 6.23 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.22 .......................... 87
Figura 6.24 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.22
nas frequências de: (a) 15,8 GHz e (b) 27,2 GHz........................................................... 87
Figura 6.25 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 3 e n = 20) alimentada por cabo coaxial
........................................................................................................................................ 88
Figura 6.26 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.25 .......................... 89
Figura 6.27 - Resultado experimental do diagrama de radiação, na frequência 24,76
GHz, da antena da Figura 6.25 ....................................................................................... 89
Figura 6.28 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com
geometria de Mandelbrot (d = 2 e n =20) do patch. ....................................................... 91
Figura 6.29 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.28 .............................. 91
Figura 6.30 - Resultado experimental da FSS de Mandelbrot (d = 3 e n = 20), simulada e
medida no tecido brin. .................................................................................................... 92
Figura 6.31 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com
geometria de Mandelbrot (d = 4 e n = 20) do patch. ...................................................... 93
Figura 6.32 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.31 ............................. 93
Figura 6.33 - Células das FSSs de Mandelbrot e suas respectivas orientações de
polarização com: (a) d = 5 e (b) d = 6. ........................................................................... 94
Figura 6.34 - Resultados simulados das FSSs de Mandelbrot (Figura 6.33) com d = 5 e d
= 6 com estabilidade angular. ......................................................................................... 95
Lista de Tabelas
Tabela 4.1 - Dados calculados do patch circular com uso das equações aproximadas
(4.14 – 4.15) usando r = 2,2 e h = 0,51 mm .................................................................. 51
Tabela 4.2 - Dados simulados das antenas com geometrias circular e fractais de fuga no
tempo .............................................................................................................................. 53
Tabela 6.1 - Dados simulados e medidos dos filtros ...................................................... 72
Tabela 6.2 - Dados da antena CPW circular ................................................................... 76
Tabela 6.4 - Dados S11 da antena fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy ......... 80
Tabela 6.5 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy ............. 82
Tabela 6.6 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,7x .............................. 84
Tabela 6.7 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 2 com n = 20. ................. 86
Tabela 6.8 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 4 e n = 20 ....................... 88
Tabela 6.9 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 3 e n = 20. ...................... 90
Tabela 6.10 - Dados simulados e medidos das FSS de Mandelbrot no tecido ............... 94
x
Lista de Símbolos e Abreviaturas
permeabilidade magnética
BW bandwidth
CPW coplanar waveguide
fc frequência de corte
fr frequência de ressonância
FSS superfície seletiva em frequência
h altura do substrato dielétrico
l comprimento da linha de transmissão
MoM Método dos Momentos
P.H polarização horizontal
P.V polarização vertical
r raio do círculo
R resistência
t espessura da camada de metalização da linha de microfita
TEM transverse electromagnetic
TLM modelo de linha de transmissão
W largura da linha de microfita
Zc impedância do circuito
Zn Valor da iteração n dos fractais de fuga no tempo
n número de iterações dos fractais de fuga no tempo
c pontos de iteração dos fractais de fuga no tempo
d nível dos fractais de fuga no tempo
ε permissividade elétrica
εr permissividade elétrica relativa
εre permissividade elétrica efetiva
η impedância característica do meio
λ comprimento de onda
Capítulo 1
Introdução
O uso de fractais, em sistemas de telecomunicações, vem se tornando comum devido a
sua característica geométrica de autosimilaridade, dimensões não-Euclidianas e perímetro
infinito [1]-[14]. Essas características dos fractais, em telecomunicações, têm propriedades
de aumentar o comprimento elétrico do dispositivo, fazendo com que o mesmo tenha
redução de suas características de propagação, como a frequência. Essa característica faz
com que o dispositivo seja miniaturizado, podendo chegar a 50% de redução ou mais [15]-
[16].
Mandelbrot definiu fractal como "um sistema organizado para o qual a dimensão de
Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica Euclidiana, cujas
estruturas sejam auto-semelhantes, ou a dimensão de Hausdorff é igual a dimensão de
Minkowski-Bouligand” [1]. Ou seja, na dimensão Euclidiana, os valores são inteiros, por
exemplo, um ponto a dimensão é zero, uma linha a dimensão é um, e assim,
sucessivamente. A dimensão fractal pertence aos números Reais, ou seja, uma dimensão
fractal poderá ter um valor como 1,513, por exemplo [1]-[5]. Simplificando, o todo forma a
parte e a parte forma o todo, ou ainda, a parte reflete o todo, assim como, o todo reflete a
parte [1]-[5].
Os fractais podem ser denominados em três categorias principais. Estas categorias são
determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado, são elas [2]-[5]:
Os sistema de funções iteradas possuem uma regra fixa de substituição geométrica.
Conjunto de Cantor, triângulo de Sierpinski, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva
do dragão de Harter-Heighway, T-Square, esponja de Menger, são alguns dos exemplos
deste tipo de fractal.
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Os fractais de fuga no tempo são fractais definidos por uma relação de recorrência em
cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são os conjuntos
de Mandelbrot e de Julia e o fractal de Lyapunov.
Os fractais aleatórios são gerados por processos estocásticos ao invés de
determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.
Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua autossimilaridade. Existem
três tipos de autossimilaridade encontrados em fractais [1]-[5]:
Autossimilaridade exata - é a forma em que a autossimilaridade é mais evidente. O
fractal é idêntico em diferentes escalas exemplos desses fractais são os gerados por
sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma autossimilaridade exata.
Quase-autossimilaridade - é uma forma mais solta de autossimilaridade. O fractal
aparenta ser, aproximadamente, idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-
autossimilares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou
degenerada. Os fractais definidos por relações de recorrência, como os conjuntos de
Mandelbrot, são exemplos dessa quase-autossimilaridade.
Autossimilaridade estatística - é a forma menos evidente de autossimilaridade. O
fractal possui medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas.
Os fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem autossimilaridade estatística.
Neste trabalho, foram desenvolvidas configurações de antenas e filtros com motivos
fractais de fuga no tempo para aplicações em micro-ondas e ondas milimétricas.
Em relação ao estudo de circuitos com geometrias fractais de fuga no tempo neste
trabalho, destacam-se os conjuntos de Julia e Mandelbrot, pois tais geometrias não foram
abordadas em aplicações de circuitos integrados de micro-ondas (ou de ondas milimétricas)
[61], destacam-se a diferente forma de iteração e os níveis desses fractais quando
comparados com os fractais de iteração ou geométricos, como, por exemplo, as curvas de
Koch. Nestes casos, dependendo da iteração da equação complexa dos fractais de Julia e de
Mandelbrot, as geometrias se tornam complexas e similares às dos neurônios e do sistema
circulatório humano [7]-[13]. Portanto, o estudo destes fractais é oportuno e permitirá
determinar as respostas de antenas de microfita e de coplanar waveguide (CPW) à
excitação através de correntes elétricas ou de ondas eletromagnéticas, além de permitir
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 13
comparar os seus resultados com os das antenas de microfita e de CPW projetadas com
geometrias tradicionais [41]-[60].
Os estudos observados, em relação ao uso dos conjuntos de Julia e Mandelbrot, foram
relacionados à criptografia, sistemas embarcados e engenharia biomédica, mas não tendo
sido observados estudos dessas geometrias para aplicações em antenas, filtros e FSSs, por
exemplo, o que justifica a execução desta tese [7]-[13].
Atualmente, o espectro de frequências disponibilizado para os sistemas de
telecomunicações, na faixa inferior de micro-ondas (até 10 GHz), se encontra saturado
devido ao grande aumento da demanda por novos serviços, em decorrência do incrível
avanço tecnológico na área. Assim, tornou-se indispensável o desenvolvimento de sistemas
com aplicações em frequências mais elevadas e, em particular, em ondas milimétricas (30 a
300 GHz) [17]-[32].
O desenvolvimento de sistemas de comunicações de quarta e quinta gerações e das
redes massivas de sensores (IoT – Internet of Things), tem requerido a identificação de
materiais adequados (com baixas perdas) e a realização de estudos visando o
desenvolvimento de novos componentes, como conectores, laminados e circuitos, como
filtros, FSS e antenas [17]-32]. A despeito do desafio tecnológico, que inclui o estudo de
propagação de ondas e o desenvolvimento de novos circuitos, com dimensões milimétricas
que possibilitará a redução dos tamanhos dos dispositivos e/ou manterem suas dimensões,
aumentando suas capacidades e velocidades de transmissão entre os circuitos [17]-[32].
Sabe-se que à medida que as frequências vão aumentando, em contra partida, os
comprimentos de onda vão diminuindo, fazendo que os desafios em se obter materiais mais
adequados, de baixas perdas, compactos, fáceis de produzir e de custo reduzido sejam mais
elevados [17]-[32].
Alguns trabalhos vêm sendo desenvolvidos em ondas milimétricas (30 a 300 GHz)
com o intuito de propor alternativas à utilização das bandas L e S [17][32]. A pesquisa em
ondas milimétricas vem aumentando ao longo dos anos, devido à demanda por serviços em
comunicações sem fio mais rápidos, maiores larguras de banda e menos interferências com
outras faixas de frequência, demasiadamente saturadas devido ao grande aumento de
dispositivos no mercado, além disso, é possível estender o conhecimento das características
de propagação em ondas milimétricas em substratos dielétricos, por exemplo [17]-[32].
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Pesquisas recentes nos mostram que a utilização das faixas em ondas milimétricas, nas
quais serão implementadas à tecnologia 5G e IoT, aumentaram a velocidade das
comunicações sem fio em 100 vezes, também fará que cidades inteiras tornem-se
inteligentes, com todos os dispositivos conectados, como por exemplo, geladeira, lâmpadas,
fogões, quadros de energia e até tubulações de água [17]-[32]. Mas, para isso, além de
modelos matemáticos de propagação, dispositivos que possuam boas respostas nestas faixas
de frequência, como antenas, filtros, coplanar waveguide (CPW), superfícies seletivas em
frequência (FSS) entre outros dispositivos devem ser pesquisados, testados e enfim
produzidos para atenderem a demanda desses serviços de comunicações sem fio [17]-[32].
Portanto, o avanço dos estudos em ondas milimétricas, e principalmente, com a
utilização de geometrias de fractais de fuga no tempo, é muito importante para o
desenvolvimento de novos dispositivos e circuitos integrados de altas frequências, pois
essas geometrias fractais de fuga são capazes de reduzir a superfície metálica do condutor
em até 60% e também, reduzir em até, aproximadamente, 40% a frequência de ressonância
projetada para o dispositivo em questão [61]. Os fractais de fuga no tempo, além de
existirem inúmeras possibilidades de formas geométricas, como os Conjuntos de Julia,
também possibilitará observar o comportamento dessas geometrias em aplicações como
antenas, filtros e FSS. Desse modo, a análise do comportamento da distribuição de corrente
na superfície do condutor com essas geometrias de fractais de fuga no tempo, torna-se
relevante devido aos detalhes da borda da geometria, além disso, é possível reproduzi-las
em três dimensões, pois se trata de uma geometria que recorre a vários pontos no espaço.
Foram utilizados softwares comerciais como o Ansoft Designer e o Ansoft HFSS, para
a modelagem das geometrias estudadas, além de programas computacionais, de criação de
imagens, na etapa de projeto, com a definição do layout de cada configuração considerada.
Em seguida, foram construídos e medidos protótipos para a verificação das suas respostas
em frequência, através de analisadores de rede, nos Laboratórios de Telecomunicações do
IST-IT (Instituto Superior Técnico – Instituto de Telecomunicações), em Lisboa, UFRN
(Universidade Federal do Rio Grande do Norte) e do IFPB (Instituto Federal da Paraíba).
Foram efetuadas comparações entre os resultados simulados e medidos para fins de
validação do trabalho.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 15
A contribuição principal desta tese de doutorado são as aplicações das geometrias de
fractais dos Conjuntos de Julia e Mandelbrot em antenas, filtros e FSS, em micro-ondas e
ondas milimétricas, principalmente, podendo ser aplicadas nas comunicações de quarta e
quinta gerações, IoT, aplicações médicas, militares e onde os profissionais necessitem de
dispositivos vestíveis, para comunicação. Foram obtidos resultados teóricos e
experimentais, tais como, largura de banda, diagrama de radiação (caso das antenas),
ganho, polarização e frequências de ressonância.
A apresentação desta tese está dividida em seis capítulos, de forma a evidenciar os
referenciais teóricos e experimentais para o estudo dos circuitos e das estruturas
mencionadas.
O Capítulo 2 apresenta uma breve história dos tipos de fractais, com ênfase nos fractais
de fuga no tempo, detalhando o desenvolvimento desses fractais e como abordar essas
geometrias em dispositivos como as antenas e as FSS.
O Capítulo 3 descreve as características principais dos filtros de microfita, abordando a
teoria de linhas de microfita.
O Capítulo 4 apresenta as características principais das antenas, priorizando os
diagramas de radiação, largura de banda, ganho e polarização. Um subcapítulo sobre
antenas de microfita é apresentado com foco em particular nos patches circulares, pois são
deles que deriva-se os fractais de Julia e Mandelbrot. Essas antenas foram projetadas em
micro-ondas (até 30 GHz) que possam ser aplicadas em sistemas de quarta e quinta
gerações.
O Capítulo 5 abordará a teoria básica sobre superfícies seletivas em frequência (FSS),
pois foram feitas três estruturas com as geometrias de Mandelbrot em tecido, com
aplicações em dispositivos vestíveis.
O Capítulo 6 apresenta os resultados simulados e medidos realizados dos filtros,
projetados em substratos de tecido para micro-ondas. Antenas, todas projetadas para
aplicações em até 30 GHz com uso do substrato Duroid 5880 e, por fim, as FSS todas
projetadas em tecido.
O Capítulo 7 são as conclusões finais para esta tese de doutorado.
Capítulo 2
Fractais
No passado, final do século XIX, matemáticos tem-se preocupados em grande parte
com conjuntos e funções para que os métodos de cálculo clássico possam ser aplicados.
Estas novas estruturas, na época, com definições ou funções que são suficientemente suaves
ou regulares (exemplo, curvas de Koch) foram ignoradas e denominadas como
“patológicas” ou dignas de estudo. Certamente, elas foram consideradas como curiosidades
individuais e apenas, raramente, foram pensadas como uma classe para a qual uma teoria
geral poderia ser aplicada [22]-[26].
Com o passar dos anos, esta atitude mudou. Foi percebido que uma grande quantidade
de objetos “não-regulares” existiam na matemática. Além disso, conjuntos irregulares
fornecem uma representação melhor de muitos fenômenos materiais do que as geometrias
clássicas [23]-[26]. A geometria fractal fornece um quadro geral para o estudo de tais
conjuntos irregulares.
Em 1872, Karl Weierstrass [22]-[26], descreveu uma função contínua, porém não
diferenciável em todo o seu domínio. Helge Von Koch [8], em 1904, fez infinitas adições
de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial, cujo nome ficou conhecido como “Floco
de Neve de Koch” (Figura 2.1). No limite, a curva de Koch possui as mesmas
características da função de Weierstrass, contudo sua definição é mais simples e intuitiva.
A curva de Von Koch, da origem a geometria conhecida como “Flocos de Neve de
Koch” (Figura 2.1b). Sendo E0 um segmento de linha da unidade de comprimento. O
conjunto E1 consiste em quatro segmentos obtidos por remoção do terceiro meio de E0 e
substituindo-o pelos dois outros lados do triângulo equilátero com base no seguimento
removido. Construímos E2, aplicando o mesmo procedimento para cada um dos segmentos
em E1, e assim, sucessivamente. Assim Ek vem substituir o terço
CAPÍTULO 2. FRACTAIS 17
médio de cada segmento de linha reta de Ek-1 pelos outros dois lados de um triângulo
equilátero. Quando k é grande, as curvas de Ek-1 diferem apenas em pequenos detalhes e
como k tende ao infinito, a sequência de curvas poligonais Ek se aproxima de uma curva
limite F, chamando a curva de Von Koch [23]-[26].
Outro fractal é conjunto de Cantor é um dos fractais mais conhecidos e mais facilmente
construídos, no entanto, ele exibe muitas características típicas fractais. Ele é constituído a
partir de uma unidade de intervalo por uma sequência de operações de redução (Figura 2.2).
Deixando E0 no intervalo [0,1], E1 será obtido pela redução do terço médio de E0, de modo
que E1 consiste em dois intervalos [0,1/3] e [2/3, 1]. Excluindo os terços médios desses
intervalos obtemos E2, assim E2 compreende os quatro intervalos [0,1/9], [2/9, 1/3], [2/3,
7/9] e [8/9, 1]. Continuando, dessa forma, obtemos Ek excluindo um terço de cada intervalo
de Ek-1. Assim Ek consiste em 2k intervalos de cada comprimento de 3
-k [23]-[26].
Figura 2.1 - Fractal de Koch: (a) curvas de Koch e (b) Floco de Neve de Koch
18 CAPÍTULO 2. FRACTAIS
Figura 2.2 - Conjunto de Cantor
Uma das aplicações para esse tipo de fractal pode ser vista em antenas de microfita
com aplicações em bandas ultra largas como também serem aplicadas em antenas ou filtros
reconfiguráveis devido as suas características fractais como visto na Figura 2.2.
Muitos outros conjuntos podem ser construídos utilizando o procedimento de recursão.
Por exemplo, o triângulo de Sierpinski é obtido por remoção repetida (invertida) de
triângulos equiláteros de um triângulo equilátero inicial da unidade de lado de comprimento
(Figura 2.3), outra definição é a substituição repetida de um triângulo equilátero por três
triângulos de meia altura [23]-[26].
Figura 2.3 - Triângulos de Sierpinski
Inúmeras aplicações com essas geometrias vistas foram utilizadas em antenas [18], FSS
[27]-[31] e filtros [32], com objetivos de aumentar o comprimento elétrico da estrutura,
assim, reduzindo seu tamanho, ou seja, a cada iteração do fractal a frequência de
ressonância da estrutura diminui [18].
2.1 CONJUNTOS DE MANDELBROT 19
2.1 – Conjuntos de Mandelbrot
Sistemas dinâmicos complexos são campos fascinantes da matemática. Tem tanto
apelo visual das infinitas belas variações fractais, como também o apelo intelectual dos
desenvolvimentos matemáticos sofisticados. Seus desafios teóricos têm atraído
pesquisadores de todo mundo [1]-[16].
Um objeto central do estudo de sistemas dinâmicos complexos é o conjunto de
Mandelbrot (M) uma forma fractal clássica dos polinômios quadráticos fc(z) = z2 + c. O
conjunto de Mandelbrot tem uma definição extremamente simples: é um fractal definido
como um conjunto de pontos “c”, no plano complexo, para o qual a sucessão definida
recursivamente (que não tende ao infinito) é representada por [15]:
𝑀 = 𝑐 ∈ ℂ: 𝑓𝑐𝑛(𝑧) 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑛 → ∞
No entanto M apresenta uma estrutura geométrica e combinatória rica, com muitos
detalhes intrigantes. Embora esteja definido em termos de polinômios quadráticos o
conjunto de Mandelbrot reaparece em, virtualmente, todos os outros membros da família de
mapas racionais, como pode ser observado em experiências de computador [15].
A teoria matemática do conjunto de Mandelbrot e objetos relacionados sofreu um
rápido desenvolvimento durante as duas últimas décadas [4]-[16]. Seus artigos vão desde a
exposição sistemática do conhecimento atual sobre o conjunto de Mandelbrot, até novos
trabalhos com resultados inéditos ou difíceis de encontrar na literatura [14].
Fixado um número inteiro 2 ≤ d ≤ ∞ na equação czzf d
c )( , o conjunto de
Mandelbrot é definido genericamente como 𝑀𝑑 ⊂ ℂ tal que, o conjunto de pontos c com o
conjunto de Julia J(fc) estão conectados. Equivalentemente, c não tende ao infinito, pois se
trata de pontos recorrentes no espaço do plano complexo. O conjunto de Mandelbrot
tradicional é a versão quadrada M2, ou seja,
(2.1)
O conjunto de Mandelbrot pode-se ser definido como o conjunto de todos os pontos c
do plano complexo para os quais a série de iterações,
czzfc 2)(
20 CAPÍTULO 2. FRACTAIS
(2.2)
em que
(2.3)
e
(2.4)
não diverge para infinito, ou seja, aqueles pontos para os quais |Zn| se mantém finito após
um número qualquer de iterações. Observa-se na Figura 2.4 em que |Zn| diverge para o
infinito (tons de azul) e |Zn| não diverge para o infinito (tons de preto). Na Figura 2.5a,
observa-se o conjunto de Mandelbrot em uma matriz 10x10, ou seja, 100 pontos no espaço
complexo, com d igual a 2 e n igual a 3, na Figura 2.5b a matriz é 1000x1000 pontos no
espaço, ou seja, quanto mais pontos no espaço mais a geometria é suavizada. Na Figura 2.6,
o mesmo processo de iteração como na Figura 2.5 foi realizado, com a diferença que desta
vez, o n é igual a 9.
Figura 2.4 - Conjunto de Mandelbrot: pontos não divergentes (preto), pontos divergentes
(tons de azul) (imagem retirada de um programa gratuito Fraqtive -
https://fraqtive.mimec.org/).
cZZ d
nn 1
00 Z
iyxc
2.1 CONJUNTOS DE MANDELBROT 21
Figura 2.5 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2, n = 3 e uma matriz: (a) 10x10 e (b)
1000x1000
Figura 2.6 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2, n = 9 e uma matriz: (a) 10x10 e (b)
1000x1000
O conjunto de Mandelbrot, em sua representação gráfica, pode ser dividido em um
conjunto infinito de cardioides, localizado ao centro do plano complexo [6]. Existe uma
infinidade (contável) de quase círculos (o maior deles é a única figura que, de fato, é um
círculo exato e localiza-se à esquerda do cardioide) que tangenciam o cardioide e variam de
tamanho com raio tendendo assintoticamente a zero [6].
22 CAPÍTULO 2. FRACTAIS
Cada um desses círculos tem seu próprio conjunto infinito (contável) de pequenos
círculos cujos raios também tendem assintoticamente a zero. Esse processo se repete
infinitamente, gerando uma figura fractal. Dentro do conjunto de Mandelbrot há réplicas do
conjunto ad infinitum (Figura 2.7). É uma característica dos objetos fractais. Só a limitada
precisão das computações faz com que, a partir de certa altura, o conjunto ad infinitum
deixe de acontecer [6].
Figura 2.7 - Conjunto de Mandelbtot e sua réplica em ad infinitum com zoom de 100
vezes.
Com o uso das equações (2.1)-(2.4), pode-se formar as imagens fractais de Mandelbrot
com o nível de iteração que se deseja, na Figura 2.8, assim como nas Figura 2.5 e Figura
2.6 observa-se essas iterações e como os conjuntos de Mandelbrot são formados, desse
modo temos:
2.1 CONJUNTOS DE MANDELBROT 23
Figura 2.8 - Conjunto de Mandelbrot com d = 2 e com número de iterações n: (a) n =1, (b)
n = 2, (c) n = 5 e (d) n = 20.
O conjunto de Mandelbrot à medida que aumenta o nível do fractal (d ) ele tende a
se tornar novamente a geometria circular que o derivou [ver equação (2.2)]. Podem-se
observar essas características do fractal na Figura 2.9.
Figura 2.9 - Conjunto de Mandelbrot com n = 20 iterações e níveis d: (a) d =2, (b) d = 5,
(c) d = 10 e (d) d = 50.
24 CAPÍTULO 2. FRACTAIS
2.2 – Conjuntos de Julia
O conjunto de Julia de uma função complexa foi nomeado pelo matemático francês
Gaston Julia, que descobriu no século XX, muitas das propriedades básicas deste conjunto.
Uma precisa definição de conjunto de Julia de um polinômio é: a fronteira da coleção de
pontos (os pontos c da equação (2.2)) cujas órbitas escapam para o infinito (em que |Zn| não
diverge para o infinito). Isto significa que pontos, em um conjunto de Julia, têm órbitas que
não escapam para o infinito (Figura 2.10a), mas arbitrariamente muito perto existem pontos
cujas órbitas escapam (Figura 2.10b) [2]-[5].
O conjunto de Julia é uma derivação ao conjunto de Mandelbrot, cada ponto no plano
complexo no conjunto de Mandelbrot corresponde a um conjunto de Julia diferente. Os
pontos que pertencem ao conjunto de Mandelbrot correspondem precisamente aos
conjuntos de Julia conexos (Figura 2.10a), e os pontos fora do conjunto de Mandelbrot
correspondem aos conjuntos de Julia desconexos (Figura 2.10b) [2]-[5].
Intuitivamente, os conjuntos de Julia correspondem aos pontos próximos à fronteira do
conjunto de Mandelbrot, pontos mais internos ao conjunto de Mandelbrot correspondem a
formas geométricas relativamente simples, enquanto os pontos mais externos lembram
poeira rodeada por manchas de cores, isso significa que à medida que os pontos c do
conjunto de Julia ficam mais afastados da geometria conexa de Mandelbrot a imagem do
conjunto de Julia torna-se desconexa, lembrando grãos de areia espalhado em uma
superfície (Figura 2.10). Alguns programas, como o Fractive, permitem que o usuário
escolha um ponto e veja o conjunto de Julia correspondente, tornando fácil a navegação
[2]-[5].
O conjunto de Mandelbrot contém estruturas muito semelhantes aos conjuntos de Julia,
de fato, para qualquer valor c, a região do conjunto de Mandelbrot ao redor de c lembra o
centro do conjunto de Julia com parâmetro c [2]-[5].
Os conjuntos de Julia fornecem uma ilustração mais marcante de como um processo,
aparentemente, simples pode levar a conjuntos altamente complexos. No plano complexo
uma simples função como czzf 2)( , com c uma constante, pode dar origem a fractais
de uma aparência exótica (Figura 2.10) [2]-[5].
2.2 CONJUNTOS DE JULIA 25
Figura 2.10 - Conjunto de Julia cujos pontos: (a) não escapam para o infinito e (b) escapam
para o infinito.
Conjuntos de Julia surgem em conexão com a iteração de uma função de uma variável
complexa f, de modo que estão relacionadas com os sistemas dinâmicos. No entanto, por
limitar-se a funções que são analíticas no plano complexo, isto é, diferenciável na medida
em que wzfwzfzf w 0
' lim)( , existe um número complexo, onde 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ,
assim podem-se usar técnicas poderosas da teoria da variável complexa para obter
informações mais detalhadas sobre a estrutura de tais conjuntos [2]-[5].
Do mesmo modo que o conjunto de Mandelbrot é formado, o conjunto de Julia
também é, ou seja, o número de iterações (n), a quantidade de pontos no espaço e o nível
(d), com a diferença que o ponto no espaço complexo é fixo, assim, como exemplo, uma
geometria que foi utilizada como antena nesta tese (Figura 6.16) (Julia d = 2 e c = -0,7) vê-
se a formação da geometria de Julia de acordo com o número de iterações:
26 CAPÍTULO 2. FRACTAIS
Figura 2.11 - Conjunto de Julia d = 2 e c = -0,7 com número de iterações n: (a) n =1, (b) n
= 2, (c) n = 5 e (d) n = 20.
Também se pode observar, igualmente com o fractal de Mandelbrot que à medida que
é aumentado o nível do fractal, o mesmo tende a voltar à geometria que a derivou, a
geometria circular, observa-se essa relação na Figura 2.12:
Figura 2.12 - Conjunto de Julia com c = 0,1 + 0,5i com n = 20 e níveis d: (a) d = 2, (b) d =
3, (c) d = 10 e (d) d = 50.
Também é importante notar, que a quantidade de pontos no espaço e o nível de iteração
n são importantes para que a geometria tenha uma forma melhor definida Figura 2.13.
2.2 CONJUNTOS DE JULIA 27
Figura 2.13 - Formação do conjunto de Julia com d = 2, c = 0.28+0.52i e: (a) matriz 10x10
e n = 20, (b) matriz 1000x1000 e n = 20 e (c) matriz 1000x1000 e n = 100.
2.3 – Conclusão
Neste capítulo foi visto uma breve história dos fractais ditos como fractais geométricos
ou fractais de funções iteradas, conceitos a respeito dos mesmos, alguns exemplos e uma
visão um pouco mais elaborada em relação aos fractais geométricos com embasamentos
matemáticos e algumas aplicações. Também existem os fractais aleatórios que são
determinados por processos estocásticos ao invés de determinísticos.
Foi visto, com mais detalhes, os conjuntos de Mandelbrot e Julia, objeto desta tese, que
são os fractais conhecidos como fractais de fuga no tempo, que são uma recorrência de cada
ponto no espaço complexo, suas apresentações matemáticas e como são formados.
Aplicações destas geometrias serão vistas no capítulo de filtros, antenas e FSS.
O estudo destas geometrias fractais de fuga no tempo, em particular o fractal de Julia,
nos permite uma possibilidade quase infinita de formas, que possibilitam uma redução nas
antenas, filtros e FSS que utilizam geometrias circulares. Existe um limiar em que a
geometria de Julia se aproxima da frequência de ressonância do patch circular que será
visto no capítulo 4.
Este capítulo é fundamental para os capítulos seguintes, pois se trata de uma geometria
que foi utilizada para modelamento dos dispositivos desta tese, tais como as antenas
alimentadas por cabo coaxial, FSS e os filtros.
Capítulo 3
Filtros
Um filtro é um circuito de duas portas utilizado para controlar a resposta de frequência
de certo ponto num sistema de RF, micro-ondas ou ondas milimétricas, proporcionando
transmissão à frequência dentro da banda passante do filtro e de atenuação na faixa de
rejeição do filtro. Quanto à resposta em frequência, os filtros podem ser classificados em:
passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa. As aplicações podem ser encontradas
virtualmente, em, qualquer tipo de comunicação de RF, micro-ondas ou ondas milimétricas
[24]-[44].
O desenvolvimento da teoria e da prática de filtros começou nos anos que procederam
a II Guerra Mundial por pioneiros como Mason, Darlington, Fano, Lauson e Richards. O
método de parâmetro por imagens do filtro foi desenvolvido no final de 1930 e foi útil para
filtros de baixa frequência nos rádios e telefonia. No início de 1950 um grupo no Stanford
Reaserch Institute, (composto por G. Matthaei, L. Young, E. Jones, S. Cohn, entre outros)
tornou-se muito ativo no desenvolvimento de filtros e acopladores de micro-ondas.
Atualmente, a maioria dos projetos dos filtros, de micro-ondas e ondas milimétricas,
são feitos com projetos assistidos por computador, com base no método de perda de
inserção. Por causa de contínuos avanços na síntese com elementos distribuídos, o aumento
de supercomputadores de baixa temperatura, o avanço no desenvolvimento de novos
materiais, a incorporação de dispositivos ativos em filtros, design de filtros de micro-ondas
e ondas milimétricas continua sendo uma área de pesquisa muito ativa [24]-[44].
Um processo mais moderno, o chamado método de perda de inserção, utiliza técnicas
de síntese de rede para projetar filtros com resposta de frequência completamente
específica. O projeto é simplificado, começando com os protótipos de filtros passa-baixa
que são normalizados em termos de impedância e frequência. Transformações, como as de
3.1 FILTROS DE MICROFITA 29
Richard e identidade de Kuroda são, então, aplicadas para converter os designs de
protótipos para o nível de faixa de frequência e impedância desejadas [36], [39].
Os filtros podem ser desenvolvidos a partir de elementos concentrados (com indutores
e capacitores) ou de elementos distribuídos (com seções de linhas de transmissão e stubs).
Também existe a possibilidade de constituição com elementos unicamente passivos, ou
com a incorporação de elementos ativos (como varactores, diodos pin e chaves MEMS)
[36], [39].
Os filtros passivos são muito utilizados na área de Telecomunicações, em sistemas de
comunicações, de radar e de telemetria, por exemplo, além de aplicações industriais e
médicas, pois, não necessitam de alimentação para funcionarem. Por outro lado, os filtros
ativos necessitam de uma alimentação externa para funcionarem, contudo sua precisão de
resposta em frequência é maior [36], [39].
Recentemente, o desenvolvimento de novas configurações de filtros tem aumentado o
interesse de muitos pesquisadores. Isto está relacionado com o grande aumento na
utilização do espectro eletromagnético, o que tem dificultado a expansão dos sistemas de
telecomunicações atuais, por parte das concessionárias de telecomunicações, para
atendimento da demanda crescente da sociedade por novos bens e serviços na área [36]-
[44]. Além disso, também existe a demanda específica para atender aos requisitos dos
sistemas de comunicações mais avançados.
Por isso, atualmente, pesquisadores de todo o mundo estão desenvolvendo pesquisas
em filtros objetivando, por exemplo, o aumento da eficiência, a miniaturização e a melhoria
de desempenho nas regiões de transição (rejeição/transmissão) desses dispositivos, como
também realizam pesquisas sobre filtros reconfiguráveis, que permitam o ajuste de suas
características principais, tais como frequências de corte, faixas de transmissão/rejeição e
largura de banda (transmissão/rejeição) [31]-[44].
O desenvolvimento de novas configurações de filtros, em estruturas planares (como as
de microfita), é parte essencial, tanto ao desenvolvimento de novas tecnologias para
sistemas de comunicações, como ao desenvolvimento de novos dispositivos portáteis [43],
[44].
Neste capítulo é apresentado, de forma resumida, modelos de filtros em microfita e
conceito de linha de microfita.
30 CAPÍTULO 3. FILTROS
3.1 – Filtros de microfita
Geralmente, os filtros de microfita são compostos por associações (em série, em
paralelo e em cascata) de seções de linhas de transmissão e/ou de stubs (em curto e/ou em
aberto), como mostrado na Figura 3.1. Estes filtros são muito utilizados nas faixas de
microondas e ondas milimétricas, em sistemas de comunicações sem fio e em inúmeras
aplicações, tais como, Wi-Fi, WiMax, Bluetooth, 5G, entre outros [24]-[44]. As geometrias
mais adequadas dependem das aplicações, por exemplo, filtros em cascata (Figura 3.1a) são
utilizados para aplicações rejeita-faixa, ou stubs em aberto (Figura 3.1c), utilizados em
sistemas passa-faixas, mas de modo geral, as geometrias Euclidianas são as mais comuns
em filtros de microfita, diferente das geometrias dispostas nesta tese, como os fractais de
fuga no tempo (Capítulo 2 e Capítulo 6). Os filtros podem ser encontrados em diversos
dispositivos, sendo eles, portáteis, transmissores e receptores de micro-ondas para sistemas
de comunicações de alta potência, TV digital, sistemas de radar, sistemas de telemetria,
dentre outros [24]-[44].
Figura 3.1 - Tipos de filtros de microfita; (a) cascata, (b) série, (c) paralelo e (d) série-
paralelo
3.1 FILTROS DE MICROFITA 31
Linhas de microfita
A configuração típica de uma linha de microfita, ou apenas microfita, está ilustrada na
Figura 3.2. Sua estrutura é constituída por uma fita condutora uniforme, de largura W e
espessura t, impressa em um substrato dielétrico com permissividade elétrica relativa εr,
que por sua vez está montado sobre um plano de terra [25]-[39].
Geralmente, dispositivos projetados para operarem em até 10 GHz, nos cálculos para
projetos de filtros e de outros circuitos de microfita, inclusive de antenas, a espessura da
camada metálica fita condutora t é desprezível (aproximadamente 12 m), mas acima dessa
faixa de frequência os efeitos da espessura t são considerados [14]. Esta aproximação
simplifica a análise e o projeto dos circuitos desejados, sem afetar de forma significativa ou
não afetar os resultados dos circuitos integrados, na maioria das aplicações, na faixa de
micro-ondas entre 300 MHz até 10 GHz, pois acima de 10 GHz, as perturbações dos meios,
em que a onda passa, começam a interferir em seu comportamento [25]-[39].
Figura 3.2 - Linha de transmissão em microfita
Na linha de microfita, a propagação de ondas se dá na direção do seu eixo principal, ao
longo da estrutura. Os campos elétrico e magnético se concentram na região abaixo da fita
condutora, mas se distribuem em toda a região dielétrica (que não é homogênea) constituída
por ar (região acima da fita condutora, quando se trabalha com a fita suspensa) e pelo
material do substrato dielétrico [25]-[39].
t
h
W
L
32 CAPÍTULO 3. FILTROS
Devido à sua constituição, a microfita não pode propagar uma onda TEM, apenas com
componentes transversais dos campos não nulas, e a velocidade de propagação não depende
apenas da permissividade, εr, e da permeabilidade, µ, do material dielétrico. A não
homogeneidade da região dielétrica, composta pelo substrato dielétrico e pelo ar (quando
possível), acarreta o surgimento de componentes longitudinais dos campos elétrico e
magnético, e em consequência a velocidade de propagação dependerá das dimensões da
microfita e das propriedades do substrato dielétrico [25]-[39].
Quando as componentes longitudinais dos campos elétrico e magnético (associados ao
modo de propagação em uma linha de microfita) são muito menores que as componentes
transversais, elas podem ser desprezadas. Neste caso, as características do modo de
propagação se aproximam das de um modo TEM. Isto permitiu definir o modelo de análise
conhecido como “aproximação quase-TEM”, que é válida especialmente para a faixa de
frequências de microondas 300 MHz a 10 GHz [25]-[39].
Nestas condições, a permissividade relativa efetiva, re, e a impedância característica da
microfita, Zc, podem ser expressas, para W/h ≤ 1, como [39]:
(3.1)
(3.2)
e para W/h ≥ 1, como:
(3.3)
(3.4)
sendo η = 120π Ω, que é a impedância característica do espaço livre.
25,0
104,01212
1
2
1
h
W
W
hrrre
h
W
W
hZ
re
c 25,08
ln2
5,0
1212
1
2
1
W
hrrre
1
444,1ln677,0393,1
h
W
h
WZ
re
c
3.1 FILTROS DE MICROFITA 33
Similarmente, existem expressões aproximadas para a síntese de linhas de microfita,
quando o objetivo principal é determinar suas dimensões físicas a partir da escolha da
impedância característica desejada e das propriedades do material do dielétrico utilizado.
As expressões de síntese apresentadas em (3.5) a (3.7) estão entre as mais usadas [39].
(3.5)
onde,
(3.6)
e
(3.7)
A ocorrência de descontinuidades em circuitos de microfita, como filtros, é muito
comum, tanto por imposições dos projetos como pela necessidade de redução das suas
dimensões, especialmente por envolverem a utilização de stubs (terminados em circuito-
aberto ou curto-circuito), gaps, curvas e junções de seções de microfita distintas [39].
Neste trabalho, são considerados os casos de tocos inseridos na geometria fractal de
Julia para uma melhor resposta do filtro (Figura 6.1, Figura 6.3, Figura 6.5, Erro! Fonte de
referência não encontrada.). Em geral, o efeito dessas descontinuidades é analisado
através de circuitos equivalentes, que permitem obter expressões aproximadas e precisas,
que podem ser incorporadas em programas de análise. Existem numerosas formas de
expressões para descontinuidades de microfita disponíveis na literatura [25]-[39].
2;61,0
39,0)1ln(2
1)12ln(1
2
2;2
82
hWBBB
hWe
e
h
W
rr
r
A
A
rr
rrZA
11,023,0
1
1
2
1
600
rZB
02
377
34 CAPÍTULO 3. FILTROS
3.2 – Conclusão
Neste capítulo foi visto uma introdução sobre filtros e os processos de
desenvolvimento e síntese que existem na literatura. Embora, os métodos de
desenvolvimento e síntese dos filtros são apenas o ponto de partida para a construção do
filtro, os mesmos são finalizados nos softwares comerciais Ansoft Designer e HFSS. Foi
apresentada a teoria de filtros usados nas áreas de Eletrônica e de Telecomunicações, tanto
em sistemas de comunicações, radar e telemetria, como em aplicações industriais, médicas,
ondas milimétricas e 5G.
Também foram apresentadas as equações, aproximadas, de projeto e as seções de
linhas de microfita.
Uma atenção especial foi dada ao projeto de filtros para aplicações na faixa de micro-
ondas em substratos têxteis com geometrias fractais de Julia com tocos de impedância, de
maior interesse nesta tese. Este capítulo é a base teórica em que, os filtros construídos nesta
tese, estão fundamentados.
Capítulo 4
Antenas
Uma antena é um dispositivo que transmite/recebe ondas eletromagnéticas. Ela é um
componente intermediário entre o espaço livre e um dispositivo de guiamento. Um
dispositivo de guiamento, ou linha de transmissão, pode ter a forma de um cabo coaxial, um
tubo oco (guia de onda) ou uma linha de microfita, sendo usado para transportar a energia
eletromagnética da fonte de transmissão à antena ou da antena ao receptor [45]-[48].
No circuito equivalente, a fonte é representada por uma linha de impedância
característica Ze e a antena é representada por uma carga ArLA jXRRZ conectada à
linha de transmissão. A resistência de carga RL é usada para representar as perdas de
condução e dielétricas associadas à estrutura da antena, enquanto Rr, refere-se como
resistência de radiação e é usada para representar a parte imaginária da impedância
associada à radiação da antena [45], [47].
Ondas refletidas na interface, junto com ondas viajando da fonte à antena, criam, ao
longo do comprimento da linha de transmissão, padrões de interferência construtiva e
destrutiva, referidos como ondas estacionárias, que representam bolsões de concentração e
armazenamento de energia, características de dispositivos ressonantes. Se o sistema de
antena não for adequadamente projetado, a linha de transmissão pode, em grande parte,
funcionar como um dispositivo de armazenamento e energia [45], [47].
Para sistemas de comunicações sem fio, a antena é um dos componentes cruciais. Um
bom projeto de antena pode amenizar outros requisitos do sistema e melhora o desempenho
do mesmo. O sistema 5G é um exemplo no qual a recepção/transmissão podem ser
melhorados com o uso de antenas de alto desempenho [57]. As antenas exercem em um
sistema a mesma função em que os olhos e os óculos exercem nas pessoas, ou seja, se a
36 CAPÍTULO 4. ANTENAS
visão está mal, a recepção dos sinais de imagem são maus, neste caso se faz necessário o
uso de um dispositivo que melhore a recepção, os óculos.
4.1 – Tipos de antenas
Existem na literatura, modelos de antenas que podem ser estudadas com seus modelos
matemáticos, projetadas e construídas, como os arranjos de antenas, antenas patch com
alimentações por linha de microfita, CPW, antenas com alimentação coaxial, antenas do
tipo corneta, antenas em tecido e mais uma gama de antenas existentes (Figura 4.1 e Figura
4.2). Cada antena tem sua particularidade e utilidade, existem tipos de antenas apropriadas
para transmissão de longo alcance (arranjos ou antenas de alto ganho) que possuem um
ganho elevado para a transmissão, antenas cornetas (que são utilizadas para padronização
de antenas) também muito utilizadas em câmaras anecóicas e medições de FSS (Frequency
Selectives Surfaces), antenas do tipo CPW ou monopolo são bastante utilizadas em
dispositivos móveis devido as suas características de radiação omni-direcional, antenas em
tecido que podem ser utilizadas em fardamentos militares e/ou em hospitais para
monitoramento de indivíduos, entre outras.
Nesta tese, os conceitos básicos de alguns tipos de antenas, parâmetros fundamentais
(que servem para qualquer tipo de antena) serão vistos. Por fim, as antenas planares, terão
uma ênfase maior, principalmente as circulares e as antenas fractais de fuga no tempo, que
são os conjuntos de Julia e Mandelbrot [45], [47].
4.1 TIPOS DE ANTENAS 37
Figura 4.1 - Tipos de antenas; (a) corneta em uma câmara anecóica, (b) antena fractal de
Julia no tecido, (c) antena tipo CPW, (d) cornetas sendo usadas para aferição de FSS e (e)
antena patch fractal.
38 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Figura 4.2 - Antenas do tipo; (a) monolopos planares com patch circular, (b) arranjo de
patches quadrados usando fractal de Peano, (c) arranjo linear 4x2, (d) arranjo linear tipo
monopolo 2x1, (e) arranjo linear tipo monopolo 4x1 e (f) arranjo linear tipo monopólio 4x2
4.2 – Parâmetros de antenas
Para descrever o desempenho de uma antena a definição de diversos parâmetros se faz
necessária. Alguns desses parâmetros são inter-relacionados e nem todos são necessários
ser especificados para uma descrição completa do desempenho da antena. As definições e
os desenvolvimentos matemáticos apresentados são limitados dos parâmetros das antenas
desta tese, tais quais são eles; diagrama de radiação, diretividade, eficiência de antenas,
ganho, largura de banda, polarização e impedância de entrada. Essas definições são
importantes para entendermos mais a frente os dados coletados, pois algumas medições
realizadas nesta tese, em laboratório, dos protótipos construídos, foram utilizados esses
parâmetros fundamentais de antenas [45], [47].
4.2 PARÂMETROS DE ANTENAS 39
Diagrama de radiação
O diagrama de radiação de uma antena é definido como “uma função matemática ou
representação gráfica das propriedades de radiação da antena em função das coordenadas
espaciais. Na maioria dos casos, o diagrama de radiação é determinado na região de campo
distante e é representado como uma função das coordenadas direcionais. As propriedades
de radiação, intensidade de campo, diretividade, fase ou polarização.” A propriedade de
radiação de maior interesse é a distribuição bi ou tridimensional (Figura 4.3) de energia
radiada em função da posição do observador ao longo de um percurso ou superfície de raio
constante. Uma curva representando o campo elétrico (magnético) recebido a um raio
constante é referida como diagrama de amplitude de campo [45], [47].
Para esta tese de doutorado o que será levado em consideração no estudo de caso são
os lóbulos principais. Um lóbulo principal é definido como “o lóbulo de radiação que
contém a direção de máxima radiação [47]”.
Para um diagrama de amplitude de uma antena em geral haverá três componentes de
campo elétrico (Er, Eθ, E) em cada ponto de observação na superfície de uma esfera de raio
r = re. Na região de campo distante, para todas as antenas, a componente radial E é nula ou
desprezível em comparação com qualquer uma das outras componentes [47]. Dependendo
da sua geometria e da distância de observação, pode haver somente uma, duas ou todas as
três componentes e a magnitude de campo elétrico total seria [47]:
(4.1)
Existem três tipos de diagramas de radiação: isotrópicas, direcionais e omni-direcionais
(Figura 4.4).
Um radiador isotrópico (Figura 4.4a) é definido como “uma antena hipotética sem
perda que tem a mesma radiação em todas as direções.” Seria uma antena ideal, contudo
não realizável fisicamente, este tipo de antena é utilizada como referência para expressar as
propriedades direcionais de antenas reais [47].
222
EEEE r
40 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Uma antena direcional (Figura 4.4b) é aquela que “tem a propriedade de radiar ou
receber ondas eletromagnéticas mais eficientemente em algumas direções que em outras.”
Este termo é usualmente aplicado a uma antena cuja diretividade máxima é
significativamente maior que um dipolo de meia-onda [47].
Uma antena omnidirecional (Figura 4.4c) é aquela que “tem diagrama essencialmente
não-direcional em um dado plano e um diagrama direcional em qualquer plano ortogonal.”
Um diagrama omni-direcional é, então, um tipo especial de diagrama direcional [47].
Figura 4.3 - Diagramas de radiação; (a) bi dimensional e (b) tridimensional.
4.2 PARÂMETROS DE ANTENAS 41
Figura 4.4 - Tipos de diagramas de radiação; (a) isotrópico, (b) direcional e (c) omni-
direcional.
Diretividade
A diretividade de uma antena é definida como “a razão entre a intensidade de radiação
em uma dada direção da antena e a intensidade de radiação média [47]”. A intensidade de
radiação média é igual à potência total radiada pela antena dividido por 4π. Se a direção
não for especificada, a direção de máxima intensidade de radiação fica implícita. Assim
temos que a diretividade pode ser escrita como [45], [47]:
(4.2)
onde U é a intensidade de radiação e Prad é a potência radiada.
No caso de antenas com lóbulo principal estreito, ou seja, lóbulo direcional, o ângulo
sólido de feixe é aproximadamente igual ao produto das larguras de feixe de meia potência
em dois planos perpendiculares.
Se as larguras de feixe forem dadas em graus a equação de diretividade pode ser escrita
como [47]:
(4.3)
radP
U
U
UD
4
0
dddd
D2121
2
0
412531804
42 CAPÍTULO 4. ANTENAS
No caso de conjuntos planos, uma melhor aproximação pode ser representada por [47]:
(4.4)
Frequentemente é conveniente expressar a diretividade em decibéis (dB), assim
podemos transformar a diretividade adimensional em dB.
Eficiência de antenas
A eficiência total de uma antena e0 leva em consideração as perdas nos terminais de
entrada e no interior da estrutura da antena. Essas perdas podem ser divididas em [47]:
Reflexões causadas por descasamento de impedâncias entre a linha de
transmissão e a antena.
Perdas I2R (em condutores dielétricos).
Em geral, a eficiência total pode ser escrita como:
(4.5)
onde
e0 → eficiência total (adm)
er → eficiência de reflexão (descasamento) = (1-||2) (adm)
ec → eficiência condutiva (adm)
ed → eficiência dielétrica (adm)
→ coeficiente de reflexão de tensão na entrada dos terminais da antena
00 ZZZZ inin , onde Zin é a impedância de entrada da antena e Z0 é a impedância
característica da linha de transmissão.
VSWR é a taxa de onda estacionária de tensão
1
1.
Usualmente ec e ed são de cálculo difícil, mas podem ser determinados
experimentalmente através de um aparelho chamado Wheeler cap [72].
ddA grausD
21
20
32400
)(
32400
dcr eeee 0
4.2 PARÂMETROS DE ANTENAS 43
Ganho
Outra medida útil para descrever o desempenho de uma antena é o ganho. Embora o
ganho de uma antena seja, aproximadamente, relacionado à diretividade, esta é uma medida
que leva em consideração, tanto a eficiência como as propriedades direcionais da antena.
Ganho de uma antena (em uma dada direção) é definido como “a razão entre a
intensidade de radiação que seria obtida se a potência aceita pela antena fosse radiada
isotropicamente.” A intensidade de radiação correspondente à potência radiada
isotropicamente é igual à potência aceita pela antena dividida por 4π. O ganho é expresso
na forma de equação como [47]:
(4.6)
onde,
(4.7)
Largura de banda
A largura de banda de uma antena é definida como “a faixa de frequências na qual o
desempenho da antena, referido algumas características, atende um padrão especificado.” A
largura de banda pode ser considerada a faixa de frequências, nos dois lados de uma
frequência central, na qual as características da antena (impedância de entrada, ganho, etc.)
tem valores dentro de limites aceitáveis definidos a partir dos correspondentes valores na
frequência central. Desse modo podemos escrever a largura de banda como [47]:
(4.8)
onde,
ffinal é a frequência superior de operação aceitável
finicial é a frequência inferior de operação aceitável
inP
UG
),(4
e
PP rad
in
inicialfinal ffBW
44 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Por exemplo, na comunidade científica a faixa de operação aceitável é abaixo de -10
dB sendo assim uma antena com operação de 22 a 27 [GHz] possui uma largura de banda
de 5 GHz com frequência central de 24,5 GHz essa antena hipotética possui uma largura de
banda de, aproximadamente, 10%, esse valor é considerado baixo, caracterizando a antena
como de banda estreita. À medida que se aumenta a frequência de operação fica mais difícil
obter uma antena banda larga, pois, por exemplo, uma antena 2:1, ou seja, uma antena com
frequência superior duas vezes maior que a frequência inferior, por exemplo, uma antena
que trabalha de 1 a 2 [GHz] é mais fácil projetar que uma antena de 22 a 44 [GHz].
Polarização
A polarização de uma antena em uma dada direção é definida como “a polarização da
onda transmitida pela antena.” Na prática, a polarização da energia radiada varia com a
direção do centro da antena de modo que partes do diagrama de radiação podem ter
polarizações diferentes [45]-[54].
A polarização da onda radiada é definida como a propriedade de uma onda
eletromagnética que descreve a direção e amplitude, variante no tempo, do vetor de campo
elétrico, ou seja, é a curva traçada, em função do tempo pela extremidade do vetor em um
ponto fixo do espaço e o sentido em que é traçada, sendo observada ao longo da direção de
propagação [45], [54].
A polarização pode ser classificada como linear, circular ou elíptica. Se o vetor
descreve o campo elétrico em um ponto no espaço como uma função do tempo e sempre
estiver direcionada ao longo de uma linha reta, o campo é dito linearmente polarizado. As
polarizações linear e circular são casos particulares da polarização elíptica, onde a elipse
movimenta-se em linha reta ou em uma circunferência perfeita, respectivamente. No caso
da polarização circular, pode ser classificada como circular direita (sentido horário) ou
circular esquerda (sentido anti-horário).
Em geral, as características de polarização de uma antena podem ser representadas por
seu diagrama de polarização, cuja definição é “a distribuição espacial das polarizações de
um vetor de campo excitado (radiado) pela antena, sendo a distribuição tomada sobre a
4.2 PARÂMETROS DE ANTENAS 45
esfera de radiação. Em cada ponto da esfera de radiação a polarização é usualmente
decomposta em um par de polarizações ortogonais, a co-polarização e a polarização
cruzada”.
A razão axial (RA) da polarização de uma antena é igual a:
(4.9)
onde,
(4.10)
(4.11)
Pode-se observar virtualmente o tipo de polarização da antena com o simulador Ansoft
Designer, nas figuras abaixo se observa que a razão axial estão abaixo de 2 dB (polarização
circular) (Figura 4.5a) nos cortes em = -30° e = 40° e acima disso teremos polarização
linear.
Figura 4.5 - Exemplo de uma antena com polarização circular: (a) razão axial
(adimensional) e (b) S11 da antena com os pontos de polarização circular
RAOB
OA
menoreixo
maioreixoRA 1,
2
1
21
224422 )2cos(22
1000000
yxyxyx EEEEEEOA
2
1
21
224422 )2cos(22
1000000
yxyxyx EEEEEEOB
46 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Impedância de entrada
Impedância de entrada é definida como “a impedância apresentada pela antena em seus
terminais ou a razão entre tensão e corrente em um par de terminais, ou a razão entre
componentes apropriadas de campo elétrico e magnético em um ponto.”.
A impedância de entrada de uma antena é definida como [47]:
(4.12)
onde,
ZA é a impedância da antena nos terminais a e b (Ω)
RA é a resistência da antena nos terminais a e b (Ω)
XA é a reatância da antena nos terminais a e b (Ω)
Em geral a parte resistiva é dividida em duas componentes [47]:
(4.13)
onde,
Rr é a resistência de radiação da antena.
RL é a resistência de perda da antena.
Uma maneira eficiente de verificar a impedância de uma antena é através da carta de
Smith ela nos permite identificar a impedância com precisão da antena.
AAA jXRZ
LrA RRR
4.3 ANTENAS DE MICROFITA 47
4.3 – Antenas de microfita
Existem muitas vantagens associadas à utilização das antenas de microfita, dentre as
quais podem ser destacadas: as pequenas dimensões, o peso reduzido, o baixo custo e a
praticidade, tanto de fabricação como de instalação. Naturalmente, existem algumas
desvantagens, como por exemplo, a largura de banda estreita, o baixo ganho e a pouca
eficiência, entretanto, estas desvantagens podem ser contornadas com a adoção de
monopolos, o uso de arranjos de antenas e a utilização de materiais dielétricos anisotrópicos
e condutores com condutividade maior, respectivamente [48].
Tipicamente, a antena de microfita é constituída por um patch condutor, impresso
sobre um substrato dielétrico, que por sua vez está depositado sobre um plano de terra,
como mostrado na Figura 4.6. O patch condutor pode assumir diversas geometrias, tais
como: quadrado, retângulo, triângulo, círculo, anel, coração, estrela e, inclusive, os fractais
de fuga no tempo (Figura 4.7). Entretanto, a utilização de algumas desses formatos se torna
complexa, como nos casos de leiautes como coração, estrela e fractais, pela dificuldade em
estabelecer as suas equações básicas e a relação existente com os parâmetros das antenas,
como por exemplo, com a(s) frequência(s) de ressonância desejada(s).
Os avanços tecnológicos recentes e a necessidade de miniaturização dos equipamentos
usados em sistemas de telecomunicações, como os dispositivos portáteis, têm contribuído
para o aumento da importância das antenas planares, em decorrência da facilidade de
fabricação, do baixo custo e da facilidade de integração com outros circuitos, tornando-as
muito atrativas para a indústria, que necessita reduzir custos e aumentar a eficiência do
processo de produção, para melhor atender à grande e crescente demanda por bens e
serviços na área de Telecomunicações [55]-[61].
48 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Figura 4.6 - Patch de microfita
Figura 4.7 - Elementos geométricos para o patch; (a) circular, (b) quadrado, (c) retangular,
(d) losango, (e) pentágono, (f) fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5 + 0,51i, (g) fractal de
Julia com d = 4 e c = 0,72 + 0,35i, (h) fractal de Julia com d = 5 e c = 0,66 + 0,13i, (i)
fractal de Mandelbrot com d = 2, (j) fractal de Mandelbrot com d = 3 e (l) fractal de
Mandelbrot com d = 4.
4.4 PATCH CIRCULAR 49
Métodos de análise
Os métodos de análise das antenas de microfita podem ser classificados em dois
grandes grupos: o dos modelos aproximados (baseados em uma aproximação quase-
estática) e o dos métodos de onda completa (baseados em soluções das equações de onda)
[47].
O primeiro grupo é composto, essencialmente, pelos métodos da linha de transmissão e
da cavidade, enquanto que o segundo grupo é composto, principalmente, pelos métodos dos
momentos (MoM), dos elementos finitos (FEM), da diferença finita no domínio do tempo
(FDTD) e pela análise do domínio espectral (SDA) [47].
Os métodos utilizados nos softwares comerciais usados neste trabalho são: o método
dos momentos (MoM), empregado no Ansoft Designer, e o método dos elementos finitos
(FEM), implementado no Ansoft HFSS [55]-[61].
4.4 – Patch circular
O patch circular é uma das configurações mais populares de antenas de microfita. Esta
geometria tem recebido bastante atenção, devido aos modos suportados pela a antena com
essa geometria, pois podemos tratá-la como uma cavidade circular [47].
No patch circular, a alteração em sua geometria para conseguir a frequência de
ressonância desejada é realizada alterando o raio do círculo, desse modo, a não ser que seja
usado o modo de onda completa, o patch circular só pode ser convenientemente analisado
usando o modelo de cavidade. A cavidade é composta de dois condutores elétricos perfeitos
nas faces superior e inferior, representando o patch e o plano de terra, e uma parede
cilíndrica condutora magnética perfeita em volta da borda circular da cavidade. O material
dielétrico da cavidade é considerado como truncado da extensão do patch.
50 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Frequência de ressonância
As frequências de ressonância do patch são determinadas usando as seguintes equações
aproximadas [47]:
(4.14)
Onde X’mn representa os zeros das derivadas da função de Bessel Jm(x), que determina a
ordem das frequências de ressonância. Os primeiros valores de X’mn em ordem crescente
são 2012,48318,3,0542,3,8412,1 '
31
'
01
'
21
'
11 XeXXX [47]:
A equação para a frequência de ressonância do patch circular, não mostra os efeitos da
borda, o “franjamento” faz com que o patch pareça maior eletricamente, mas podemos
reduzir esse efeito, utilizando um raio efetivo, chamado de re, que é calculado com a
equação aproximada [47]:
(4.15)
Para exemplificar o uso das equações aproximadas (4.14)-(4.15) junto ao uso do
programa Ansoft Designer para ajustar as dimensões, em uma tabela, serão mostrados os
resultados simulados dos patches com geometrias circular, de Mandelbrot e Julia, nesses
resultados se observa a redução da frequência com o uso dos fractais de fuga no tempo,
contudo como foi visto no Capítulo 2, à medida que se aumenta o nível dos fractais de fuga
a geometria tende a se tornar novamente circular, desse modo, a frequência tende a igualar
novamente com a frequência do patch circular.
A Tabela 4.1 mostra os dados calculados através das equações aproximadas (4.14) e
(4.15), como também o raio ajustado através de simulação com o uso do programa Ansoft
Designer, o modo utilizado como principal foi o TM11 em 25 GHz, a diferença entre as
r
Xf mn
mnr
'
2
1)(
0
21
7726,12
ln2
1
h
r
r
hrr
r
e
4.4 PATCH CIRCULAR 51
frequências dos raios calculados e simulados são de 7,4%. A partir desse raio calculado e
ajustado pelo programa aplica-se as equações de transformação da geometria circular para
as geometrias fractais de fuga no tempo. O ponto de alimentação das antenas fractais de
fuga é aproximado aos pontos do raio do patch circular, ou seja, se o ponto de alimentação
do patch circular for igual a r = 3 mm, então toda a extensão, em que o raio é 3 mm, será a
alimentação do patch circular e, a partir, desses pontos pode-se encontrar o ponto de
alimentação para as antenas fractais de fuga no tempo, pois, como foi visto no Capítulo 2,
os fractais de fuga no tempo são derivados da geometria circular.
Patch circular Raio
(r)
fr
(simulada)
Raio simulado 2,29 mm 25 GHz
Raio calculado 2,13 mm 27 GHz
Tabela 4.1 - Dados calculados do patch circular com uso das equações aproximadas (4.14 –
4.15) usando r = 2,2 e h = 0,51 mm
52 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Antenas Frequência
(GHz)
BW
(MHz)
Ganho
(dB)
Eficiência
(%)
Área
do
patch
(mm2)
Circular
24,97 1330 6,97 84,72 16,475
Julia N2
19,92 420 6,61 84,92 11,62
Julia N3
19,58 380 6,27 79,98 8,5591
Julia N4
16,43 140 5,8 72,61 8,9886
Julia N5
21,67 530 6,63 84,14 10,554
Julia N6
23,71 830 6,75 84,53 10,876
Mandel N2
27,45 1310 6,79 83,56 9,7251
Mandel N3
23,32 650 6,67 83,95 7,2822
Mandel N4
23,39 700 6,71 84,33 10,216
Mandel N5
25,11 990 6,81 83,95 9,9337
Mandel N6
25,12 1060 6,81 84,14 10,486
Circular CPW
24,08 14280 6,69 -- --
Mandel N4
CPW 9,8 8020 2,39 -- --
Mandel N5
CPW 9,74 7510 2,36 -- --
4.4 PATCH CIRCULAR 53
Tabela 4.2 - Dados simulados das antenas com geometrias circular e fractais de fuga no
tempo
Figura 4.8 - S11 dos patches circular e dos fractais de Julia.
54 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Figura 4.9 - Diagramas de radiação dos patches circular e Julia em: (a) = 0° e (b) =
90°.
Figura 4.10 - S11 dos patches circular e dos fractais de Mandelbrot
4.4 PATCH CIRCULAR 55
Figura 4.11 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot em: (a) = 0° e (b)
= 90°.
56 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Figura 4.12 - S11 das antenas patches circular e Mandelbrot
4.4 PATCH CIRCULAR 57
Figura 4.13 - Diagramas de radiação dos patches circular e Mandelbrot CPW em: (a) =
0° e (b) = 90°.
Na Figura 4.14 veremos os modelos simulados referentes à Tabela 4.2, as geometrias
foram aumentadas em cinco vezes para que, no processo de fabricação litográfica, os erros
de construção das antenas também diminuam em cinco vezes. Observa-se que, mesmo
sendo menores fisicamente, as antenas fractais de Julia e Mandelbrot, possuem frequências
de ressonância, em grande parte delas, menores que a da antena circular. Uma atenção
especial para as antenas CPW de Mandelbrot que, além de uma redução visível na área do
patch, também houve uma redução de, aproximadamente, 60% na frequência de
ressonância.
58 CAPÍTULO 4. ANTENAS
Figura 4.14 - Patch circular no topo, logo abaixo, da esquerda para direita, os fractais de
Mandelbrot (2ª linha) e Julia (3ª linha) com d = 2, 3, 4, 5 e 6, respectivamente, e os
modelos CPW com o patch circular e os fractais Mandelbrot com d = 4 e 5.
4.5 CONCLUSÃO 59
4.5 – Conclusão
Neste capítulo, foram vistos conceitos gerais sobre antenas que foram utilizados nesta
tese, como diagrama de radiação, ganho, largura de banda e eficiência. Foi visto também as
fórmulas aproximadas utilizadas para criação do protótipo do patch circular, como o raio
adequado para uma determinada frequência de ressonância. A partir desse modelo inicial a
antena é simulada e ajustada com a utilização do programa Ansoft Designer, inclusive um
melhor ponto de alimentação para um casamento de impedância mais preciso. A partir
desse ajuste, a geometria circular passa a ter um tratamento através das equações complexas
dos fractais de Julia e Mandelbrot vistas no Capítulo 2, dando origem as antenas fractais de
Julia e Mandelbrot.
Devido à sua origem, as antenas fractais de fuga no tempo, possuem um ponto de
alimentação equivalente ao ponto de alimentação do patch circular, ou seja, se a antena
circular de microfita for alimentada no ponto onde seu raio é 3 mm, por exemplo, a antena
fractal de fuga no tempo vai possuir alimentação próximo a esse raio de 3 mm.
Pode-se observar, também, que as características de propagação dos fractais são
próximos as das antenas circulares, os diagramas de radiação são semelhantes, como
também as curvas de S11, contudo perde-se em largura de banda, em compensação temos
uma redução bastante significativa na frequência de ressonância, cerca de 34% podendo
essa porcentagem aumentar variando o ponto c para os conjuntos de Julia.
Capítulo 5
Superfícies Seletivas em Frequência
Uma superfície seletiva em frequência (FSS) é um arranjo periódico de aberturas ou de
elementos condutores distribuídos ao longo de um plano sobre um substrato, como, por
exemplo, fibra de vidro, duroid, ar, entre outros. Elas possuem um comportamento de,
basicamente, filtros passa-faixa (Figura 5.1a) ou rejeita-faixa (Figura 5.1b) de frequências
em ondas eletromagnéticas. Elas podem ser de aberturas, com superfície composta por
material condutor e apenas cortes geométricos periodicamente projetados para a frequência
desejada, ou tipo patch que são formadas por patches compostos por materiais condutores.
Essas FSS comportam-se como filtros passa-faixa e rejeita faixa, respectivamente [62],
[63].
Figura 5.1 - Modelos de FSS; (a) tipo abertura e (b) tipo patch
Estudos recentes estão investindo na utilização de "cascateamento" de FSS, que são as
sobreposições de estruturas seletivas uma após a outra, porém a dificuldade do projeto é a
análise das equações de espalhamento após a passagem da onda através da primeira
5.1 ABORDAGENS TEÓRICAS 61
superfície, assim dificultando cada vez mais quando se utiliza várias estruturas
"cascateadas" [64], [68].
Figura 5.2 - Exemplo de cascateamento de FSS.
O setup de medição de uma FSS pode ser realizado com a utilização de duas antenas do
tipo corneta, uma receptora e outra transmissora, ligadas a um analisador de redes vetorial,
uma corneta na porta um e a outra na porta dois. Antes de tudo se faz necessário uma
medição sem a FSS para obter a referência das perdas no ar livre, depois de feito essa
medição, a FSS é posta em seu lugar e enfim a medição é realizada (Figura 5.3).
Figura 5.3 - Setup de medição de uma FSS
62 CAPÍTULO 5. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA
Enfim, o estudo de modificações de estruturas, tais como, tipos de dielétricos, modelos
de aberturas ou patches condutores fractais, acoplamento, entre outras formas de arranjos,
tem como finalidade aumentar a largura da banda da transmissão ou da reflexão da onda,
como também transformar a FSS em um estrutura multibanda, dependendo do tipo de
modelo estudado, sendo mais aplicadas nas bandas X e Ku, mas também, projetos
realizados recentemente, estão sendo realizados em bandas S e C [64]-[71].
5.1 – Abordagens teóricas
Superfícies seletivas em frequência atuam no controle na onda eletromagnética no
espaço, trabalhando como filtros. Algumas estruturas atuam com um comportamento
multibanda com faixas estreitas, sendo aplicadas mais nas áreas militares. Outras possuem
comportamento de faixa ultra larga tendo em vista uma aplicação de passar ou rejeitar uma
banda inteira de frequências, por exemplo, a banda X [62]-[71].
As equações de base das estruturas podem ser facilmente reproduzidas ou
extremamente difíceis, tais como, estruturas complexas envolvendo fractais aleatórios ou de
fuga no tempo e até mesmo alguns fractais geométricos. Com o uso dos programas Ansoft
Designer e HFSS as equações de base das estruturas complexas dos fractais são formuladas
por computador, facilitando o estudo das estruturas complexas. Os dois programas foram
utilizados nesta tese de doutorado para as simulações dos protótipos que serão apresentados
no Capítulo 6 [62], [63].
Potenciais vetoriais e equações de espalhamento
Para calcular as equações de campo e que possamos deduzi-las, tem-se que obter os
potenciais vetoriais para campos com corrente elétrica (tipo patch) ou magnética (tipo
abertura). Como neste trabalho a análise da FSS foi do tipo patch então obtem-se os
potenciais para correntes elétricas [62], [63].
5.1 ABORDAGENS TEÓRICAS 63
Com o cálculo dos potenciais vetoriais e tendo a equiparação das equações de
Maxwell com os potenciais, calcula-se a equação de espalhamento da onda, desse modo
[62]:
(5.1)
Multiplicando a equação acima por )( 00 jj
(5.2)
Separando as componentes Ax e Ay e pondo como operador matricial tem
(5.3)
onde a soma com o 2
0k advém de tAj 0 .
Sabendo que Ax = G * Jx e Ay = G * Jy, define-se a Transformada de Fourier como [62]:
(5.4)
(5.5)
Tira-se da equação as derivadas parciais JGJG~~
e AjyAjx , ,
portanto,
(5.6)
tt
inc
t Aj
AjE 0
0
1
tt
inc
t Ak
jAjE
2
0
00
y
x
inc
y
inc
x
A
A
kyyx
yxk
x
k
j
E
E
2
02
22
22
02
2
2
0
0
dxdyeeyxff yjxj ),(),(~
ddeefyxf yjxj),()2(
1),(
2
y
x
inc
y
inc
x
J
JG
kj
kj
k
j
E
E2
0
2
2
0
2
2
0
0
)(
)(
64 CAPÍTULO 5. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA
Então (5.6) no domínio de Fourier se tem
(5.7)
onde,
(5.8)
onde I é o tensor identidade.
Para satisfazer o Teorema de Floquet, a corrente deve ficar na forma [62]:
(5.9)
Onde inc
xk e a são respectivamente o número de ondas incidentes e a periodicidade da
mesma na direção “x”.
Definindo uma nova função, para satisfazer o Teorema de Floquet, tem-se:
(5.10)
Por isso, J’(x) é uma função periódica que pode ser representada como componentes de
Fourier:
(5.11)
e
(5.12)
Com a direção em “y” utiliza-se kyinc com periodicidade “n” desse modo a equação
(5.7) torna-se:
ddeeJ
JG
k
k
jyxE
yxEyjxj
y
x
inc
y
inc
x~
~~1
)2(
1
),(
),(22
0
22
0
0
2
Ik
jG
222
02
~
ajk incxexJaxJ )()(
xjk incxexJxJ
)()('
m
xamj
meJxJ )2(' ~)(
m
xkamj
m
incxeJxJ
2~)(
5.1 ABORDAGENS TEÓRICAS 65
(5.13)
onde,
(5.14)
e
(5.15)
Quando o ângulo de incidência (Ω) for diferente de 90° se tem:
(5.16)
Analogamente, para uma corrente magnética em uma superfície de abertura tem-se,
(5.17)
m
yjxj
nmy
nmx
nm
n nnm
nmm
inc
y
inc
x nm eeJ
JG
k
k
abjyxE
yxE
),(~
),(~
)(~2
),(
),(22
0
22
0
0
inc
xm ka
m
2
inc
yn kb
n
2
inc
ymn ka
m
bsen
n
)cot(
2
)(
2
m
yjxj
mnmny
mnmnx
mnmn
n nnm
nmm
inc
y
inc
x mnmn eeM
MG
k
k
abjyxH
yxH
),(~
),(~
)(~4
),(
),(22
0
22
0
0
66 CAPÍTULO 5. SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA
5.2 – Conclusão
Neste capítulo sabe-se o que é uma FSS, como também, conceitos básicos sobre FSS,
com algumas aplicações na literatura e suas equações de formação e espalhamento da onda.
As FSS são basicamente de aberturas (Figura 5.1a) e tipo patch (Figura 5.1b), elas possuem
características de passa-faixa e rejeita faixa, respectivamente. As geometrias para
modelagem das estruturas são infinitas (Figura 4.7), podendo, elas, serem, de certo modo,
melhores ou piores que as outras, cabem aos pesquisadores analisarem e deduzirem quais as
melhores geometrias para determinada aplicação.
O uso de FSS é importante para filtragem de frequências de ondas planas em
determinadas superfícies, cujo ambiente se faz necessário o uso dessas estruturas para
reduzir ou eliminar as frequências indesejadas de um determinado ambiente como, por
exemplo, o espaço, penitenciárias, escolas, entre outros ambientes que sejam sensíveis a
determinadas frequências de ondas eletromagnéticas.
Nesta tese de doutorado as FSS simuladas e medidas foram projetadas em tecido (brim)
com geometria fractal de Mandelbrot e os resultados simulados e medidos estão no capítulo
a seguir.
Capítulo 6
Resultados Teóricos e Experimentais
Neste capítulo serão vistos os resultados teóricos e experimentais realizados ao longo
dos dias da pesquisa para esta tese de doutorado. Os resultados simulados foram realizados
com o auxílio dos programas comerciais Ansoft Designer e HFSS. Os dispositivos
estudados foram projetados para frequências entre 1 a 30 [GHz].
Alguns protótipos foram fabricados nos laboratórios do Instituto Nacional de Ciência e
Tecnologia de Comunicações Sem Fio (INCT-CSF) em substratos de tecido e os mesmos
foram medidos nos laboratórios de telecomunicações da UFRN e IFPB. Outros protótipos
foram construídos e medidos nos laboratórios do Instituto Superior Técnico (IST) em
Lisboa, Portugal. Nos laboratórios do IST foram medidas as perdas de retorno e os
diagramas de radiação das antenas nas câmaras anecóicas.
Em princípio, os protótipos foram projetados, simulados e medidos para frequências da
tecnologia 5G (11, 24 e 25 a 28 GHz) no IST, em substratos de Duroid 5880. Logo em
seguida, superfícies seletivas em frequência (FSS) e filtros com as geometrias dos fractais
de fuga no tempo foram projetados para frequências abaixo de 10 GHz.
O processo de fabricação das antenas fractais de Julia e Mandelbrot podendo ser
aplicadas em 5G foi realizado através da fotolitografia, um processo feito através da luz
ultravioleta inserindo a imagem na placa, o processo reduz o erro dos detalhes da geometria
complexa, melhorando a resposta do dispositivo. Um microscópio foi utilizado para
observar os detalhes da antena após sua corrosão. Os conectores utilizados foi o SMA até
18 GHz, o diâmetro do pino de alimentação do conector foi reduzido de 1,5 mm para 0,5
mm, com um torno, pois o diâmetro original do pino do conector é grande em relação ao
ponto de alimentação coaxial da antena, mesmo o conector trabalhando até 18 GHz as
respostas simuladas e medidas até 28 GHz ficaram com erros de deslocamento de
frequência abaixo de 5%.
68 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Os protótipos de FSS e filtros no tecido foram fabricados e medidos na UFRN e no
IFPB, os resultados simulados e medidos dos protótipos se comportaram como esperado,
com precisões acima de 97%, resultados esses muito promissores para continuidade da
pesquisa com essa geometria.
6.1 – Filtros
Os resultados dos filtros feitos nesta tese de doutorado que foram projetados para
frequências de micro-ondas e ondas milimétricas, o material utilizado foi o tecido jeans.
Foram projetados filtros com linhas de impedância com alimentação em 50 Ohms e
também foram utilizados geometrias fractais de Julia e Mandelbrot, esse último foi
utilizado o método de parametrização para encontrar a frequência de ressonância do filtro.
O filtro da Figura 6.1, foi projetado com a geometria de Julia em c = -0,43x + 0,56iy
no substrato Jeans com altura de 1,1 mm, permissividade elétrica de 1,92 e tangente de
perdas de 0,074, esses dados foram medidos no laboratório da UFRN [Gustavo]. A linha
próxima da porta um é de 75 Ω e da porta dois é de 50 Ω, essas linhas foram inseridas para
obter uma melhor resposta do filtro, a diferença, entre as impedâncias equivalentes das
linhas, foi observada em simulação e essa diferença é que melhora o resultado previsto em
projeto, sem as linhas o filtro não responde como esperado. É um filtro com alimentação
coaxial (portas um e dois), com uma precisão de, aproximadamente, 97% (Figura 6.2).
6.1 FILTROS 69
Figura 6.1 - Filtro de Julia com c = -0,43x + 0,56iy em microfita no substrato de tecido
(jeans) alimentado por cabo coaxial
Figura 6.2 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.1
70 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
O filtro da Figura 6.3, também foi projetado com a geometria de Julia com c = -0,69x –
0,007iy e no substrato de tecido jeans, as linhas de impedância também são as mesmas do
filtro da Figura 6.1 com o mesmo objetivo de otimização da resposta do filtro, seu resultado
(Figura 6.4) nos mostra uma precisão de 93%.
Figura 6.3 - Filtro de Julia com c = -0,69x – 0,007iy em microfita no substrato de tecido
(jeans) alimentado por cabo coaxial
Figura 6.4 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.3
6.1 FILTROS 71
O filtro da Figura 6.5, diferente dos dois vistos acima, são filtros alimentados por linha
e as mesmas são de 50 Ω, a geometria de Julia possui ponto c = -0,15x + 0,73iy, o resultado
desse protótipo tem uma precisão de, aproximadamente, 100%, com comportamento de um
rejeita faixa de 1,1 a 2,1 [GHz], com uma largura de banda de 1 GHz.
Figura 6.5 - Filtro de Julia com c = -0,15x + 0,73iy em microfita no substrato de tecido
(jeans) alimentado por linhas de microfita.
Figura 6.6 - Resultado experimental do filtro da Figura 6.5
72 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Os filtros vistos nesta seção foram projetados em tecido jeans em faixas de micro-
ondas. Os resultados desses filtros são bastante promissores. A facilidade de incorporação
do filtro de microfita no circuito é o maior interesse para a continuação de pesquisas neste
ramo da ciência, sobretudo as telecomunicações, pois se ver, cada vez mais, os dispositivos
evoluindo, diminuindo e melhorando a cada dia.
Os filtros fractais mostraram bons comportamentos, como também, são estruturas
ressonantes originais que podem funcionar como filtros e antenas devido ao seu elemento
central. Um estudo mais aprofundado poderá fornecer infinidades de possibilidades
utilizando as equações e formas complexas dos conjuntos de Julia e Mandelbrot.
Dados 01 02 03
BW S21
(simulada)
[GHz]
0,27 0,88 1,17
BW S21
(medida)
[GHz]
0,06 0,94 1,24
fr
(Simulada)
[GHz]
1,5 2,8 1,7
fr
(Medida)
[GHz]
1,45 2,7 1,7
Tabela 6.1 - Dados simulados e medidos dos filtros
6.2 ANTENAS 73
6.2 – Antenas
As medições e construções dos protótipos das antenas desta tese foram realizadas no
Instituto Superior Técnico (IST) em Lisboa, Portugal. No processo de construção
utilizamos uma câmara fotolitográfica para inserção da imagem do patch na camada
metálica, após esse processo fotolitográfico, o substrato vai para a corrosão com o
Percloreto de Ferro. O processo fotolitográfico foi importante, pois os detalhes complexos
das geometrias de Julia e Mandelbrot são muitos, para frequências com comprimentos de
onda, relativamente, grandes os detalhes não são tão importantes, pois, pequenos detalhes
são irrelevantes quando se trata de um comprimento de onda muito grande, contudo à
medida que diminuímos o comprimento de onda esses detalhes fazem a diferença, como
por exemplo, uma variação na frequência de ressonância da antena ou menos bandas de
frequências em faixas entre 20 e 30 GHz, se uma antena fractal de Mandelbrot ou Julia
possui quatro bandas ela pode passar a ter duas ou, no máximo, três.
Todas as antenas a seguir foram projetadas para faixas próximas das ondas
milimétricas, construídas no substrato de Duroid 5880 com altura de 0,51 mm e
permissividade elétrica de 2,2. Além das medições de S11 das antenas, também foram
medidos os diagramas de radiação em uma câmara anecóica (Figura 6.7a) e foram obtidos
resultados com precisão acima de 95%, tanto os resultados dos S11 como os dos diagramas
de radiação.
Alguns resultados próximos de 30 GHz e acima, divergem um pouco da resposta
simulada devido ao uso do conector SMA que trabalha bem até 18 GHz. Acima dessa
frequência começam a existir perdas que influenciam no resultado medido, contudo grande
parte das antenas possuem resultados com precisão acima do esperado, mesmo trabalhando
com frequências acima da frequência ideal do conector, validando ainda mais os resultados,
pois, com o conector adequado para frequências acima de 18 GHz, os resultados teriam
menos interferências, ruídos e desvios de frequências, melhorando as respostas.
74 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Figura 6.7 - Fotografias (a) Câmara anecóica (IST) e (b) antena fixada para medição do
diagrama de radiação.
A antena da Figura 6.8 é um CPW com patch circular alimentado por uma linha de 50
Ω apropriada para frequência de 45 GHz, os resultados (Figura 6.9) são promissores, pois
mesmo com a utilização de um conector que trabalha bem até 18 GHz a antena se
comportou como esperado com poucas perdas. Observe que a curva da medição se
comporta como a da simulação com uma perda de poucos dBs.
6.2 ANTENAS 75
Figura 6.8 - Antena do tipo CPW com geometria circular para faixa de ondas milimétricas
Figura 6.9 - Resultado experimental da antena da Figura 6.8
76 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Antena
fr
(simulado)
[GHz]
BW
(simulado)
[GHz]
fr1
(medido)
[GHz]
fr2
(medido)
[GHz]
BW1
(medido)
[MHz]
BW2
(medido)
[MHz]
CPW
circular 40,5 48,8 21,9 36,3 2200 5970
Tabela 6.2 - Dados da antena CPW circular
A antena da Figura 6.10, também é um fractal de Julia, mas com d = 3 e ponto c = 0,5x
+ 0,42iy. Os resultados dessa antena possuem uma precisão de 98%, mesmo nas faixas
acima da suportada pelo conector.
Também foram medidos os diagramas de radiação dessa antena nas frequências em que
possui ressonância, ao todo foram cinco medições realizadas na câmara anecóica com
cortes em = 0° e = 90°, os resultados simulados e medidos possuem erros abaixo de 3%
em relação as frequências de ressonância e aos ganhos.
6.2 ANTENAS 77
Figura 6.10 - Antena fractal de Julia (d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy) alimentada por cabo
coaxial
78 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Figura 6.11 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.10
Simulado
Medido
Frequência
6.2 ANTENAS 79
Figura 6.12 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.10,
nas frequências de: (a) 9,04 GHz, (b) 17,58 GHz, (c) 19,75 GHz, (d) 23,55 GHz e (e) 25,69
GHz
80 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Ressonância Frequência (GHz) Ganho (dBi)
Simulado Medido Simulado Medido
1ª 8,95 9,04 5,23 4,98
2ª 17,05 17,58 4,90 4,34
3ª 19,57 19,75 5,48 5,62
4ª 23,85 23,55 5,95 4,85
5ª 24,99 25,69 8,18 6,01
Tabela 6.3 - Dados S11 da antena fractal de Julia com d = 3 e c = 0,5x + 0,42iy
A antena da Figura 6.13 é uma antena fractal de Julia com d = 2 e ponto c = -0,39x +
0,55iy, a antena possui uma concordância próxima de 93% nas frequências acima de 20
GHz com seus dados simulados e medidos, possui um bom ganho com faixa estreita que é
uma característica comum entre as antenas dos tipos patches diretivas.
Figura 6.13 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy) alimentada por cabo
coaxial
6.2 ANTENAS 81
Figura 6.14 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.13
Figura 6.15 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.13 na
frequência de: (a) 21,5 GHz e (b) 24,2 GHz
82 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Ressonância Frequência (GHz) Ganho (dBi)
Simulado Medido Simulado Medido
1ª 21,2 21,5 3,15 3,5
2ª 23,8 24,2 6,12 6,47
Tabela 6.4 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,39x + 0,55iy
A antena da Figura 6.16 também é um fractal de Julia com d = 2 e ponto em c = -0,7x.
Os dados simulados e medidos possuem precisão de 90% na primeira ressonância e 98% na
segunda, tanto o S11 quanto os ganhos e diagramas de radiação da antena.
Figura 6.16 - Antena fractal de Julia (d = 2 e c = -0,7x) alimentada por cabo coaxial
6.2 ANTENAS 83
Figura 6.17 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.16
Figura 6.18 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.16
nas frequências em: (a) 11,2 GHz e (b) 18,9 GHz
84 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Ressonância Frequência (GHz) Ganho (dBi)
Simulado Medido Simulado Medido
1ª 12,4 11,2 7,12 7,21
2ª 18,5 18,9 7,15 6,68
Tabela 6.5 - Dados da antena fractal de Julia com d = 2 e c = -0,7x
A antena da Figura 6.19 é um fractal de Mandelbrot com d = 2 e com n = 20, os
resultados de S11 diferentes, apenas, 1,36% em relação à medição e simulação, como
também os resultados do diagrama de radiação simulados e medidos. Essa antena possui
apenas uma ressonância, diferente das outras já vistas, anteriormente, que possuem
multibandas de ressonância.
Figura 6.19 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 2 e n = 20) alimentada por cabo coaxial
6.2 ANTENAS 85
Figura 6.20 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.19
Figura 6.21 - Resultado experimental do diagrama de radiação, na frequência 21,6 GHz, da
antena da Figura 6.19
86 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Ressonância Frequência (GHz) Ganho (dBi)
Simulado Medido Simulado Medido
1ª 22 21,6 3,59 4,99
Tabela 6.6 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 2 com n = 20.
A antena da Figura 6.22 é um fractal de Mandelbrot com d = 4 e n = 20, os resultados de
S11 e digramas de radiação validam a proposta, pois existe uma concordância evidente nas
curvas de simulação e medição.
Figura 6.22 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 4 e n = 20) alimentada por cabo coaxial
6.2 ANTENAS 87
Figura 6.23 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.22
Figura 6.24 - Resultado experimental do diagrama de radiação da antena da Figura 6.22
nas frequências de: (a) 15,8 GHz e (b) 27,2 GHz.
88 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Ressonância Frequência (GHz) Ganho (dBi)
Simulado Medido Simulado Medido
1ª 15 15,8 5,24 7,76
2ª 28,5 27,2 6,26 9,31
Tabela 6.7 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 4 e n = 20
A antena da Figura 6.25 é um fractal de Mandelbrot com d = 3 e n = 20, os resultados de
S11 e digramas de radiação possuem uma precisão de 99,4%, essa antena foi submetida,
aceita e publicada na revista Microwave and Optical Technology Letters (MOTL) [61] e é a
primeira antena fractal de Mandelbrot do mundo, assim validando a proposta. Observa-se
que existem concordâncias evidentes nas curvas de simulação e medição.
Figura 6.25 - Antena fractal de Mandelbrot (d = 3 e n = 20) alimentada por cabo coaxial
6.2 ANTENAS 89
Figura 6.26 - Resultado experimental (S11) da antena da Figura 6.25
Figura 6.27 - Resultado experimental do diagrama de radiação, na frequência 24,76 GHz,
da antena da Figura 6.25
90 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
Ressonância Frequência (GHz) Ganho (dBi)
Simulado Medido Simulado Medido
1ª 24,62 24,76 7,38 6,45
Tabela 6.8 - Dados da antena fractal de Mandelbrot com d = 3 e n = 20.
6.3 – Superfícies seletivas em frequência
As FSS simuladas e medidas neste capítulo foram todas produzidas no tecido brim com
as geometrias de Mandelbrot com d = 2, 3 e 4 e n = 20. As simulações e medições foram
realizadas no laboratório de medidas de telecomunicações do IFPB. Percebe-se que no
gráfico de comparação de resultados existem duas siglas, P.H e P.V que são Polarização
Horizontal e Polarização Vertical, respectivamente. Essas medidas de polarizações foram
efetuadas com o propósito de averiguar a existência de estabilidade de rotação.
As FSS de Mandelbrot, d = 2 e 4, possuem duas frequências de rejeição quando
viramos as FSS para o modo P.H e P.V, nas Figura 6.29, Figura 6.30 e Figura 6.32 podemos
observar como foram realizadas as medições. Os resultados simulados e medidos
concordam-se, validando a proposta.
6.3 SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 91
Figura 6.28 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com geometria
de Mandelbrot (d = 2 e n =20) do patch.
Figura 6.29 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.28
18,00 mm
18,0
0 m
m
PX
PYP.V
P.H
92 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
A FSS da Figura 6.30 com patch fractal de Mandelbrot com d = 3 e n = 20. Uma FSS
de banda larga com resultados simulado e medido que concordam entre si.
Figura 6.30 - Resultado experimental da FSS de Mandelbrot (d = 3 e n = 20), simulada e
medida no tecido brin.
18,00 mm
32
,00
mm
PX
PYP.V
P.H
6.3 SUPERFÍCIES SELETIVAS EM FREQUÊNCIA 93
Figura 6.31 - Superfície seletiva em frequência construída no tecido (brin) com geometria
de Mandelbrot (d = 4 e n = 20) do patch.
Figura 6.32 - Resultado experimental (S21) da FSS da Figura 6.31
18,00 mm
18
,00 m
m
PX
PY
P.H
P.V
94 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
FSS
P.H P.V
Simulado Medido Simulado Medido
fr BW fr BW fr BW fr BW
[GHz]
Mandelbrot
d = 2 11,7 2,3 11,2 2,2 9,2 2,4 8,8 1,9
Mandelbrot
d = 3 7,4 5,2 6,9 3,6 9,5 2,2 -- --
Mandelbrot
d = 4 10,5 3,1 10,4 1,8 8,9 2,4 8,9 2,2
Tabela 6.9 - Dados simulados e medidos das FSS de Mandelbrot no tecido
Uma característica foi observada nessa geometria fractal de Mandelbrot para FSS,
quando o nível do fractal aumenta (Figura 6.33), a FSS mantém uma estabilidade de rotação
(Figura 6.34), isso acontece devido à característica do fractal em se aproximar da geometria
circular na medida em que aumentamos o nível fractal (Figura 2.10).
Figura 6.33 - Células das FSSs de Mandelbrot e suas respectivas orientações de
polarização com: (a) d = 5 e (b) d = 6.
6.4 CONCLUSÃO 95
Figura 6.34 - Resultados simulados das FSSs de Mandelbrot (Figura 6.33) com d = 5 e d =
6 com estabilidade angular.
6.4 – Conclusão
Neste capítulo foram vistos os protótipos construídos e medidos desta tese, seus
resultados simulados e medidos e a concordância dos mesmos comparados. Os resultados
se validam mostrando que o trabalho realizado ao longo do doutorado e as intenções dos
resultados estão condizentes.
Os resultados medidos foram uma contribuição dos laboratórios de medidas em
telecomunicações do Instituto Superior Técnico (IST) de Lisboa, Portugal e o Instituto
Federal da Paraíba (IFPB). As medições dos diagramas de radiação foram realizadas no IST
em duas câmaras anecóicas, uma para frequências até 18 GHz e outra para frequências até
110 GHz.
Também para as antenas em micro-ondas (faixas entre 18 GHz e 30 GHz) e ondas
milimétricas houve uma adaptação dos conectores SMA, que trabalham até 18 GHz, em um
[d = 5] (P.H)
[d = 5] (P.V)
[d = 6] (P.H)
[d = 6] (P.V)
96 CAPÍTULO 6. RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS
torno mecânico para diminuir o diâmetro do pino de alimentação, pois o ponto de
alimentação das antenas possuem um diâmetro de 0,5 mm e os pinos possuíam um
diâmetro de 1,5 mm.
Capítulo 7
Conclusão
Nesta tese foram apresentadas aplicações em dispositivos e circuitos de micro-ondas e
ondas milimétricas, configurações de fractais de fuga do tempo, que são estruturas
definidas por uma relação de recorrência de cada ponto no espaço, dois exemplos deles são
os conjuntos de Julia e Mandelbrot.
Foi investigada a distribuição das correntes nas superfícies dos elementos condutores
de filtros, ressoadores e antenas planares com as geometrias fractais consideradas, para
aplicações tanto em sistemas de comunicações sem fio (wireless communication systems),
como em sistemas de comunicações em ondas milimétricas, na faixa de frequência entre
0,7 a 30 (GHz).
No desenvolvimento de antenas com geometrias euclidianas e fractais para aplicações
em micro-ondas e ondas milimétricas, às opções por estruturas de linhas de microfita para o
desenvolvimento de novas configurações de antenas e filtros se justifica pela larga
aplicação dessas linhas de transmissão, resultando sempre na fabricação de circuitos
planares com estruturas leves, de dimensões reduzidas, de baixo custo, fáceis de construir e,
principalmente, fáceis de integrar com outros circuitos de micro-ondas e ondas
milimétricas.
O grande interesse em relação às aplicações na faixa de ondas milimétricas está
associado tanto ao crescimento da utilização do espectro eletromagnético nas bandas L e S,
quanto à velocidade de transmissão entre circuitos.
Inicialmente, o estudo foi voltado para aplicações em micro-ondas das configurações
de fractais de fuga no tempo em antenas alimentadas por cabo coaxial. Além disso, foram
98 CAPÍTULO 7. CONCLUSÃO
realizados nos laboratórios do IST (Instituto Superior Técnico – Lisboa, PT), as construções
e medições dos protótipos desenvolvidos para ondas milimétricas. Foram efetuadas
comparações entre resultados simulados (Ansoft Designer e HFSS) e medidos, tais
comparações validaram a proposta imposta por esta tese de doutorado, com a maioria dos
resultados, com precisões acima de 95%, mesmo com a utilização de conectores SMA que
trabalham até 18 GHz, ainda assim foram observados resultados promissores até 30 GHz.
Com a utilização dos fractais de fuga no tempo (Conjuntos de Julia e Mandelbrot), foi
observado, em alguns casos, uma redução de 34,2% na frequência de ressonância e 45,44%
na área do patch, essa diminuição foi observada no quarto nível do fractal de Julia e à
medida que aumentamos o nível o fractal, tanto de Julia quanto de Mandelbrot, tende a
voltar a geometria circular.
Foi observado, também, nas FSS no tecido, com a geometria fractal de Mandelbrot,
uma estabilização angular e de rotação nas geometrias acima do quinto nível do fractal.
Essa característica é interessante, pois dependendo da aplicação da FSS pode-se decidir
qual tipo de FSS será usada no projeto, se com estabilidade (níveis acima do quinto) ou
com reconfiguração mecânica de frequência através da rotação da estrutura (níveis abaixo
do quinto).
A validade da proposta desta tese está no estudo dessas geometrias complexas como
filtros, antenas e FSS, proposta essa, que ainda não foram feitas com tais objetivos,
inclusive a utilização das mesmas em frequências de ondas milimétricas, frequências nas
quais estão sendo pesquisadas para aplicações em comunicações 5G. Essas geometrias
fractais renderam a primeira antena de Mandelbrot do mundo [14].
Um estudo com esses fractais de fuga com algoritmos genéticos para identificar um
ponto ótimo dessa geometria, para que se obtenha um ponto da equação complexa em que a
redução de frequência e área do patch seja máxima, como também a observação das
infinitas variações dos conjuntos de Julia, a utilização de fendas nos patches com contornos
fractais de Julia ou Mandelbrot, cascateamento de FSS, metamateriais, divisores de RF,
estruturas reconfiguráveis, dispositivos 3D, dentre outras inúmeras aplicações para esse tipo
de geometria.
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