Post on 07-Apr-2016
Números reais e expressões algébricas
Números reais e expressões algébricasConjuntos numéricos
2
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Conjunto dos números naturais ( )
= {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
= {–3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ...}
ou
Conjunto dos números inteiros ( )
Números reais e expressões algébricas
Exemplos: 0,666... = –
Os números racionais na reta numerada
Entre dois números racionais diferentes sempre existe outro número racional.
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números quepodem ser escritos na forma de fração com numerador e denominador inteirose denominador diferente de zero.
Conjunto dos números racionais ( )
–3 –2 –1 0 1 2 3
= ou 2 : 3 = ou (–3) : 5
= X | X = , com a , b e b 0
–
3
Conjuntos numéricos
Números reais e expressões algébricasConjunto dos números irracionais ( )
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Número irracional é todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica.
e = 2,71828182...
= 3,14159265...= 1,4142135...
= 2,2360679...
Números reais e expressões algébricasNúmeros irracionais notáveis
C = . d
C = 2 r
Circunferência
DiâmetroRaio
Centro
7,222 cm
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Números reais e expressões algébricasFI ( ): o número de ouro dos gregos
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A razão áurea (ou razão de ouro) é representada, aproximadamente, por 1,6. Seu valor é dado por:
Para os gregos antigos, esse número representava harmonia, equilíbrio e beleza. Ele aparece em diversos lugares, como, por exemplo, no corpo humano, nas artes, na arquitetura e na natureza.
30,70 m : 18,24 m 1,6≃
Partenon
ab
30,70 m
18,24m
LEV
DO
LGA
CH
OV
/ S
HU
TTE
RS
TOC
K /
GLO
W IM
AG
ES
CA
SA
DE
TIP
OS
/ A
RQ
UIV
O D
A E
DIT
OR
A
= = 1,6180339887...
Números reais e expressões algébricasOperações com números irracionais
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= = =
Adição e subtração
– = (5 – 3) .
Multiplicação e divisão
= 10 . 3
= = = 3
= =
∙
= 2
2 ∙5 ∙= 30
Números reais e expressões algébricasConjunto dos números reais ( )
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Lê-se “união com” =
Reunindo o conjunto dos números racionais ( ) com o conjunto dos númerosirracionais ( ), obtemos o conjunto dos números reais ( ).
Números reais e expressões algébricas
: conjunto dos números naturais
: conjunto dos números inteiros
: conjunto dos números racionais
*: conjunto dos números naturais sem o zero
*: conjunto dos números racionais sem o zero
‒: conjunto dos números inteiros negativos com o zero
+: conjunto dos números reais positivos com o zero
Subconjuntos de
+: conjunto dos números inteiros positivos*
: conjunto dos números irracionais
9
‒: conjunto dos números inteiros negativos*
Números reais e expressões algébricas
0 1 2 3
Conjunto dos números reais ( )
10
Para cada número real há um ponto correspondente na reta numerada e, para cada ponto da reta, há um número real correspondente. Por isso, existe uma correspondência um a um entre os números reais e os pontos de uma reta.
‒3 ‒2 ‒1
‒2,444... ‒1,75 0,25 1,333...
– 2
Números reais e expressões algébricasComparação e operações com números reais
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No caso de comparação e operações que envolvem os números reaisirracionais, vamos considerar seus valores aproximados (números racionais).
0 1 2 3 4 5
< 2 1,73
5 > 4,69
> 3,16
1,73 2,1 3,16 4,69
Números reais e expressões algébricasDesigualdade em
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Eles mostram a diferença entre x < 3 e x ≤ 3.
Se x < 3, então x pode ser –1; 2; 2,9 ou 2,99, mas não pode ser 3. A bolinhavazia indica que x pode ser qualquer número menor que 3, sem incluir o 3.
Se x ≤ 3, então x pode assumir todos esses valores menores que 3 e também o valor 3. A bolinha cheia indica isso.
Bolinha cheia ≤ ou ≥
0 1 2 3 4 5‒1‒2‒3‒4
x < 3
0 1 2 3 4 5‒1‒2‒3‒4
x ≤ 3
Bolinha vazia < ou > x > 3 x ≥ 3
Números reais e expressões algébricas
x5 – 15x4 + 85x3 – 225x2 + 274x = 120
x + + = 10
MU
SE
U B
RIT
ÂN
ICO
, LO
ND
RE
S /
FOTO
: H
E N
EW
YO
RK
TIM
ES
/ LA
TIN
STO
CK
PA
ULO
MA
NZI
/ A
RQ
UIV
O D
A E
DIT
OR
A
Expressões algébricas
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Números reais e expressões algébricasExpressões algébricas e variável
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As expressões que indicam operações matemáticas e contêm letras e númerossão chamadas expressões algébricas ou expressões literais.
Exemplos:
– 1 2r + 5 2(m + 1)
Variável vem de “variar”
Variável
Números reais e expressões algébricasSituações representadas por expressões algébricas
100 + 5p
600 + 10% de x ou
ou ou 600 + 0,1x
600 + . x
600 +
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Números reais e expressões algébricasPodemos simplificar tanto as expressões algébricas como as expressões numéricas.
Expressões numéricas:
= + = 10 + 3 = 13
Expressões algébricas:
2x + 6x = (2 + 6) . x = 8 . x = 8x
3y + 5y + y = (3 + 5 + 1) . y = 9 . y = 9y
3 . (x + 4) = 3 . x + 3 . 4 = 3x + 12
= + = 2x + 6
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Números reais e expressões algébricas
O denominador em uma expressão algébrica necessariamente tem de serdiferente de zero, pois não existe divisão por zero.
Exemplos:
Restrições para o denominador
Valor numérico de uma expressão algébrica
P = 5x Para x = 3 cm
P = 5 . 3 = 15 cm
O valor numérico da expressão algébrica 3x – 2y para x = –2 e y = é:
3x – 2y = 3 . (–2) – 2 . = –6 – = –6 – 1 = –7
, a ≠ b , x ≠ –1 , x ≠ 0
x
x
x x
x
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Números reais e expressões algébricasFórmulas
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Densidade de um corpo
Densidade é a razão da massa de um corpo pelo seu volume ocupado.
d =
massa (em g)
volume (em cm3)
A densidade da água é 1 g/cm3.
Os corpos que afundam na água são os de densidade maior do que 1 g/cm3.
FAB
IO Y
OS
HIH
ITO
MA
TSU
UR
A /
AR
QU
IVO
DA
ED
ITO
RA
Números reais e expressões algébricasA conta da energia elétrica
k = ou k = (t . W) : 1000
1 kW = 1000 watts
1 kWh = quantidadede eletricidade em 1 hora poraparelho de 1000 watts.
Exemplo:
Um aparelho que utiliza 2500 watts fica ligado em uma fábrica por 4 horas. Qual é o consumo de quilowatts-hora?
k = = 10 kWh
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Números reais e expressões algébricasGeneralizações
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Se n indica um número natural qualquer, então:
• P = 2n indica que P é par.
P = 2n
n = 1
n = 2
n = 3
P = 2(1) = 2
P = 2(2) = 4
P = 2(3) = 6
• I = 2n + 1 indica que I é ímpar.
I = 2n + 1
n = 0
n = 1
n = 2
I = 2(0) + 1 = 1
I = 2(1) + 1 = 3
I = 2(2) + 1 = 5...
.
.
.