Post on 29-Mar-2020
Ondas Eletromagnéticas
Física Geral F-428 1
2
Radiação Eletromagnética
&
Ondas Eletromagnéticas
3
Veremos:
• Radiação eletromagnética é uma forma de energia que se
propaga no espaço, em meios materiais ou mesmo no
vácuo;
• No vácuo, ela se propaga na forma de ondas
eletromagnéticas com uma velocidade bem definida,
designada c , a velocidade da luz no vácuo;
• Ela é emitida e absorvida por partículas com carga
elétrica aceleradas;
• Numa onda eletromagnética, temos o campo elétrico
e o campo magnético que oscilam, e guardam uma
relação fixa entre si;
• e são perpendiculares entre si, e também
perpendiculares à direção em que a onda se propaga.
Ondas Eletromagnéticas:
E
B
E
B
4
• As duas últimas equações mostram que variações espaciais ou temporais do
campo elétrico (magnético) implicam em variações espaciais ou temporais do
campo magnético (elétrico). 5
No vácuo!!!!
Um pouco da história.....
• Oersted mostrou que corrente elétrica produz
campo magnético.
• Faraday mostrou que campos magnéticos
variáveis no tempo produzem campos elétricos.
• Maxwell mostrou que campos elétricos variáveis
no tempo produzem campos magnéticos
variáveis no tempo (lei da indução de Maxwell).
6
trBtrE ,,
(reciprocidade)
A equação de onda
Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra
vetorial, podemos obter as seguintes equações de onda com fontes
: 0),(e0),( trJtr
7
A equação de onda
8 Aqui u pode ser qualquer uma das componentes de E ou B: Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz.
A equação de onda
9
0 = 8,85418 10-12 C2/ N. m2
0 = 4 10-7 T.m/A
Hoje: c = 299792458 m/s
James Clerk Maxwell 1862
“A velocidade das ondas transversais em nosso meio hipotético, calculada a partir dos experimentos eletromagnéticos dos Srs. Kolhrausch e Weber, concorda tão exatamente com a velocidade da luz, calculada pelos experimentos óticos do Sr. Fizeau, que é difícil evitar a inferência de que a luz consiste nas ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos”.
10
O experimento de Hertz (1885-1889)
11 (Descoberta das ondas de rádio)
A confirmação experimental veio
com Heinrich Hertz
12
Ondas podem ser...
• Unidimensionais;
• Bidimensionais;
• Tridimensionais;
Vamos começar simples....
com as unidimensionais
13
Uma brincadeira... peguemos uma função ...
x
14
y=x2 y=(x-a)2
y
y=(x-a)2= (x-vt)2
x=0 x=a
No caso de uma função oscilante...
Podemos fazer a função se deslocar no sentido
positivo ou negativo de x:
sen(kx - t) ou sen(kx + t)
No nosso caso:
15
tkxsenBB
tkxsenEE
z
y
max
max
A equação de onda
2k
16
(onda se propaga na direção x)
Período:
Freqüência:
Comprimento
de onda:
Velocidade de
uma onda:
T
1f
T
v fk
Freqüência
angular: 2 f
Número de
onda:
2k
Ondas eletromagnéticas
17
Ondas eletromagnéticas
(3ª Eq. de Maxwell)
• Sejam: )sen(),(e)sen(),( tkxBtxBtkxEtxE mzmy
cB
Ec
kB
E
z
y
m
m
Bz transverso à direção
de propagação da onda:
00
1c
x
z
y
18
Usando a forma integral...
19
t
B
x
E
t
Bdx
dt
dBdx
dt
dΦ
dxx
Etx,Etdx,xEd.
dt
dΦd.
B
B
xconst
sE
sE
E ainda...
20
t
E
x
B
t
Edx
dt
dEdx
dt
dΦ
dxx
Btdx,xBtx,Bd.
dt
dΦd.
E
E
00
00
xconst
sB
sB
cktkxEctxkEtxE 00y ;)sin()(sin),(
Ondas eletromagnéticas planas
21
Os campos em um ponto distante P....
22
Os campos no ponto distante P:
23
Ondas planas...
• As expressões para Ey e Bz nos dão as
componentes respectivas para cada x e cada t.
• Agora os valores de Ey e Bz dependem apenas de x
e não dependem das coordenadas y e z do ponto no
espaço. Isso significa que todos os pontos com o
mesmo x terão as mesmas componentes dos
campos.
• Portanto, em todos os pontos do plano que
corresponde a um dado x, os campos serão iguais.
24
tkxsenBB
tkxsenEE
z
y
max
max
Para ajudar você a imaginar uma onda plana...
25
Uma pergunta....
• E se a propagação da onda fosse na
direção y?
• Se a propagação fosse na direção z?
• Se a propagação fosse numa direção
qualquer ?
26
Outra pergunta...
• Por quê escolhemos a função seno?
• Não poderíamos escolher a função
cosseno?
• E se a onda seguisse uma função mais
complicada?
27
• Em geral, qualquer função periódica pode ser escrita como uma
série (soma) possivelmente infinita de funções seno e cosseno:
uma série de Fourier:
Ex.: Onda quadrada
28
Outro exemplo:
29
Por essa razão...
• Já que as equações de onda são lineares
nos campos (implicando que somas de
soluções são solução),
• E qualquer função periódica pode ser
escrita como uma soma de funções senos
e cossenos,
• Então podemos simplificar e estudar
apenas as soluções senoidais..
30
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
As densidades de energia elétrica e magnética
2
0
0
2
2
2
1
2),(como E
c
Etru
c
EB
B
0
22
02
),(e2
1),(
BtruEtru
BE
A densidade total de energia armazenada no campo de radiação
2
0),(),(),( Etrutrutru
BE
00
1c
31
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
x
z
y
k
0E
0B
danad ˆ
tc
U
Definindo
BES
0
1
0E
0B S
|| SI
S
(vetor de Poynting) :
A
danSdt
dUP ˆ
IBE 0||
ta
UI
Potência transmitida:
32
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
Como )(sin),( 22
0
2 trkEtrE
A média temporal da densidade de energia é dada por
2
00
2
1
0
22
00
2
02
1)(sin
1Edttrk
TEEu
T
Intensidade da radiação: definida pela média
2
002
1Eccuc
V
U
ta
U
ta
UI
x
z
y
k
0E
0B
ad
tc
U
33
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
x
z
y
k
0E
0B
ad
tc
U
Como:
ktrkc
EBE ˆ)(sin2
2
0
2
000
2
0
2
1
2|| Ec
c
EBE
2
002
1Ec
ta
UI
IBE 0||
)sin(),( 0 trkEtrE
34
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
Se a potência fornecida pela fonte é Pf temos
A
fdanSP ˆ
Emissão isotrópica:
SrSnS ˆˆ
24 R
PSI
f
Ondas eletromagnéticas esféricas
SRPf
24
35
Ondas eletromagnéticas
Transporte de momento linear: Pressão de radiação
x
z
y
k
0E
0B
dansd ˆ
tc
U
0E
0B S
O mesmo elemento que transporta
a energia também transporta o
momento linear
U
kc
Up ˆ
Densidade de momento linear ( ):
kc
Sk
c
u
V
p ˆ||ˆ2
BEc
S
02p
cuIS
BES
0
1
p
36
Momento linear transferido para um
objeto em que incide a radiação
kc
Up
aˆ
Ondas eletromagnéticas
Transporte de momento linear: Pressão de radiação
kc
Up
rˆ2
no caso de absorção
total da radiação
no caso de reflexão
total da radiação
(colisão elástica)
p
p
p
k
Obs.: ppppp otransferidrefletido
2)()(
kc
Up ˆ
37
Ondas eletromagnéticas
Transporte de momento linear : Pressão de radiação
tIAU
c
I
A
FessãoPr
c
IA
t
pF a
absa
a
Pressão de radiação
na absorção total
p
c
I
A
FressãoP
c
IA
t
pF r
refr
r
22Pressão de radiação
na reflexão total
p
p
kc
Up
aˆ
kc
Up
rˆ2
38
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
Polarização linear:
Direção do campo elétrico ),( trE
39
Onda linearmente polarizada
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
)sin(),(0
trkEtrE
ytkzE
xtkzEtrE
ˆ)cos(
ˆ)sin(),(
0
0
Polarização linear Polarização circular 2
0
22 ),(),( EtrEtrE yx
40
41
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
42
Em uma onda não polarizada a
direção instantânea do vetor
polarização varia com o tempo.
Pode-se produzir uma onda não-
polarizada superpondo duas
ondas linearmente polarizadas em
direções perpendiculares e com
amplitudes variando
aleatoriamente (ao acaso).
Ondas eletromagnéticas não polarizadas ondas com E em diferentes direções,
mas todas elas saindo do papel
com a mesma amplitude; ou superpondo
duas ondas polarizadas .
43
Polarização circular
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
Polarização elíptica
ytkzExtkzEtrEyx ˆ)cos(ˆ)sin(),(
00
1),(),(
2
0
2
2
0
2
y
y
x
x
E
trE
E
trE
xE
yE
44
fios metálicos
Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material
usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz
polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada.
Exemplo:
http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/
eixo de polarização
45
46
Você quer testar seus óculos de sol?
As lentes contêm cristais longos, alinhados em uma direção,
que absorvem luz que neles incide // à direção do
alinhamento e deixa passar luz polarizada ao alinhamento.
47
Uma analogia mecânica
48
Ondas eletromagnéticas
Ao invés de examinar o que está acontecendo
microscopicamente com as moléculas do filtro
ou material polarizador, vamos definir:
eixo de polarização direção de
polarização
de modo que a componente do E // a essa
direção é transmitida e a componente do E
a essa direção é absorvida!
49
Exemplo:
luz não-polarizada fica polarizada ao passar pelo polarizador:
Apenas a componente da luz na direção de
polarização do filtro consegue atravessá-lo:
I = ½ I0
(regra da metade)
Ondas eletromagnéticas não polarizadas
Polarizadores
ANTES: Intensidade da radiação incidente não-polarizada
(ex.: luz natural)
DEPOIS: Intensidade da
radiação polarizada ao
longo de : y
2
0
0202
02
cos2
cosI
dI
II
50
51
Outro exemplo:
se a luz que incide
no filtro já for polarizada:
apenas a componente na direção de polarização (y) é transmitida!
Considerando que Ey= E cos , a intensidade da luz transmitida será
I = I0 cos2
(lei de Malus, ou do cosseno ao quadrado)
z
y
Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
Intensidade de uma componente
da radiação incidente:
)(2
1
2
1 2
0
2
||00
2
000EEcEcI
sin
cos
00
0||0
EE
EE
Intensidade da radiação
polarizada ao longo de :
2
0cosII
y
yExEE ˆˆ0//00
eixo de polarização
2
||002
1EcI
52
Visualização através de um polarizador:
Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
53
54
Resumo da aula
• Ondas eletromagnéticas consistem de campos
elétricos e magnéticos oscilantes;
• Os campos variáveis criam um ao outro
reciprocamente, mantendo a propagação da onda
autossustentável: um E variável cria B e um B
variável cria um E;
• E e B são perpendiculares à direção de
propagação da onda (ondas transversais) e E é
perpendicular a B;
• Ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo
com velocidade c.
55 c = 299 792 458 m/s (exato)!
Resumo da aula
• A direção de E B dá a direção de propagação
da onda (lembre da regra da mão direita!);
• Ondas eletromagnéticas transportam energia (S)
e momento p (e, portanto, exercem pressão P);
• Ondas eletromagnéticas podem ser polarizadas
(linear, circular, elíptica) ou não-polarizadas;
• Certos materiais polarizadores deixam passar
apenas a componente do campo elétrico
paralela ao eixo de polarização.
56
Ondas eletromagnéticas
Problema 1 (Cap.33; Ex.4)
Um certo laser de hélio-neônio emite luz
vermelha em uma faixa estreita de comprimentos
de onda em torno de 632,8 nm, com uma
“largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em
unidades de frequência, da luz emitida?
57
Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de
comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100
nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?
nm)0050,08,632(2
HzGHzmm
smf 5,71075,01010
)108,632(
/103 1092
229
8
222
1 cf
cf
c
d
dfc
cf
!1074083,4)108,632(
103 14
9
8
Hzfmas:
Note que: f
fff
zf
ff H10)004,0083,474(2
12
58
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma
potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção
de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor.
Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as
extremidades da antena receptora.
Ondas eletromagnéticas
Problema 2
59
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média
de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está
a 4,00 km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal
entre as extremidades da antena receptora.
kWP
d
PItkxEE
f
f
m
4
4;)(sen
2f
d = 4 km
E
B
x
y
L =
0,65 m
2/1
002
)()(...c
P
d
LLdEdydEmef
f
m
L
mL
mVVmFsm
W
m
mL 80080,0
)/1085,8()/103(2
104
104
65,02/1
128
3
3
;2
)(2
12/1
2
0
2
0dc
PdEEcI
f
mm mF /1085,8 12
0
60
Problema 3 (Cap.33; Ex.16)
Uma fonte pontual isotrópica emite luz com um comprimento de
onda de 500 nm e uma potência de 200 W. Um detector de luz é
posicionado a 400 m da fonte. Qual é a máxima taxa dB/dt com a
qual a componente magnética da luz varia com o tempo na posição
do detector?
sTt
B
max
/1044,3 6c = 2,998 108 m/s
Ondas eletromagnéticas
Problema 4 (Cap.33; Ex.27)
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg
(incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de
qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um
laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá
após transcorrer um dia, por causa do momento linear
associado à luz do laser?
62
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta),
está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta
ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após
transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?
m
xvv ˆ
luzn pp
dt
dpF
dt
pdF luz
nn
n
mc
Pama
c
PFn
xc
Upluz
ˆ
c
P
dt
dU
dt
dpluz
c
1attvvatvtv )(0se;)( 00
skgmkWP 86400606024dia1;1500;10
!/109,1/1031500
8640010 3
8
4
smsmkg
sWt
mc
Pv
63
Problema 5 (Cap.33; Ex.30)
Pretende-se levitar uma pequena esfera, totalmente absorvente,
0,500 m acima de uma fonte luminosa pontual e isotrópica fazendo
com que a força para cima exercida pela radiação seja igual ao peso
da esfera. A esfera tem 2,00 mm de raio e uma massa específica de
19,0 g/cm3. (a) Qual deve ser a potência da fonte luminosa? (b)
Mesmo que fosse possível construir uma fonte com essa potência, por
que o equilíbrio da esfera seria instável?
Ondas eletromagnéticas
Problema 6 (Cap.33; Ex.37)
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois
filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização
da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são
para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da
intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto
vale ?
65
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em
relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos
filtros são para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade
incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale ?
900 I2
I0
I1
E
1,00
2
I
I
dado:
1,0sencossen90sencos90coscos 2222
0
2
I
I
)90(coscos)90(cos;cos 220
212
201 IIIII
2224 cos;01,001,0coscos xxx
2
775,01
2
4,011x
4,703354,0cos1125,0
6,199421,0cos8875,0
22
11
66