Ondas Eletromagnéticas - USPmacbeth.if.usp.br/~gusev/Ondas.pdf · ondas linearmente polarizadas em...

Ondas Eletromagnéticas

Física Geral F-428 1

2

Radiação Eletromagnética

&

Ondas Eletromagnéticas

3

Veremos:

• Radiação eletromagnética é uma forma de energia que se

propaga no espaço, em meios materiais ou mesmo no

vácuo;

• No vácuo, ela se propaga na forma de ondas

eletromagnéticas com uma velocidade bem definida,

designada c , a velocidade da luz no vácuo;

• Ela é emitida e absorvida por partículas com carga

elétrica aceleradas;

• Numa onda eletromagnética, temos o campo elétrico

e o campo magnético que oscilam, e guardam uma

relação fixa entre si;

• e são perpendiculares entre si, e também

perpendiculares à direção em que a onda se propaga.

Ondas Eletromagnéticas:

E

B

E

B

• As duas últimas equações mostram que variações espaciais ou temporais do

campo elétrico (magnético) implicam em variações espaciais ou temporais do

campo magnético (elétrico). 5

No vácuo!!!!

Um pouco da história.....

• Oersted mostrou que corrente elétrica produz

campo magnético.

• Faraday mostrou que campos magnéticos

variáveis no tempo produzem campos elétricos.

• Maxwell mostrou que campos elétricos variáveis

no tempo produzem campos magnéticos

variáveis no tempo (lei da indução de Maxwell).

6

trBtrE ,,

(reciprocidade)

A equação de onda

Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra

vetorial, podemos obter as seguintes equações de onda com fontes

: 0),(e0),( trJtr

7

A equação de onda

8 Aqui u pode ser qualquer uma das componentes de E ou B: Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz.

A equação de onda

9

0 = 8,85418 10-12 C2/ N. m2

0 = 4 10-7 T.m/A

Hoje: c = 299792458 m/s

James Clerk Maxwell 1862

“A velocidade das ondas transversais em nosso meio hipotético, calculada a partir dos experimentos eletromagnéticos dos Srs. Kolhrausch e Weber, concorda tão exatamente com a velocidade da luz, calculada pelos experimentos óticos do Sr. Fizeau, que é difícil evitar a inferência de que a luz consiste nas ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos”.

10

O experimento de Hertz (1885-1889)

11 (Descoberta das ondas de rádio)

A confirmação experimental veio

com Heinrich Hertz

12

Ondas podem ser...

• Unidimensionais;

• Bidimensionais;

• Tridimensionais;

Vamos começar simples....

com as unidimensionais

13

Uma brincadeira... peguemos uma função ...

x

14

y=x2 y=(x-a)2

y

y=(x-a)2= (x-vt)2

x=0 x=a

No caso de uma função oscilante...

Podemos fazer a função se deslocar no sentido

positivo ou negativo de x:

sen(kx - t) ou sen(kx + t)

No nosso caso:

15

tkxsenBB

tkxsenEE

z

y

max

max

A equação de onda

2k

16

(onda se propaga na direção x)

Período:

Freqüência:

Comprimento

de onda:

Velocidade de

uma onda:

T

1f

T

v fk

Freqüência

angular: 2 f

Número de

onda:

2k

Ondas eletromagnéticas

17


(3ª Eq. de Maxwell)

• Sejam: )sen(),(e)sen(),( tkxBtxBtkxEtxE mzmy

cB

Ec

kB

E

z

y

m

m

Bz transverso à direção

de propagação da onda:

00

1c

x

z

y

18

Usando a forma integral...

19

t

B

x

E

t

Bdx

dt

dBdx

dt

dΦ

dxx

Etx,Etdx,xEd.

dt

dΦd.

B

B

xconst

sE

sE

E ainda...

20

t

E

x

B

t

Edx

dt

dEdx

dt

dΦ

dxx

Btdx,xBtx,Bd.

dt

dΦd.

E

E

00

00

xconst

sB

sB

cktkxEctxkEtxE 00y ;)sin()(sin),(

Ondas eletromagnéticas planas

21

Os campos em um ponto distante P....

22

Os campos no ponto distante P:

23

Ondas planas...

• As expressões para Ey e Bz nos dão as

componentes respectivas para cada x e cada t.

• Agora os valores de Ey e Bz dependem apenas de x

e não dependem das coordenadas y e z do ponto no

espaço. Isso significa que todos os pontos com o

mesmo x terão as mesmas componentes dos

campos.

• Portanto, em todos os pontos do plano que

corresponde a um dado x, os campos serão iguais.

24

tkxsenBB

tkxsenEE

z

y

max

max

Para ajudar você a imaginar uma onda plana...

25

Uma pergunta....

• E se a propagação da onda fosse na

direção y?

• Se a propagação fosse na direção z?

• Se a propagação fosse numa direção

qualquer ?

26

Outra pergunta...

• Por quê escolhemos a função seno?

• Não poderíamos escolher a função

cosseno?

• E se a onda seguisse uma função mais

complicada?

27

• Em geral, qualquer função periódica pode ser escrita como uma

série (soma) possivelmente infinita de funções seno e cosseno:

uma série de Fourier:

Ex.: Onda quadrada

28

Outro exemplo:

29

Por essa razão...

• Já que as equações de onda são lineares

nos campos (implicando que somas de

soluções são solução),

• E qualquer função periódica pode ser

escrita como uma soma de funções senos

e cossenos,

• Então podemos simplificar e estudar

apenas as soluções senoidais..

30


Transporte de energia

As densidades de energia elétrica e magnética

2

0

0

2

2

2

1

2),(como E

c

Etru

c

EB

B

0

22

02

),(e2

1),(

BtruEtru

BE

A densidade total de energia armazenada no campo de radiação

2

0),(),(),( Etrutrutru

BE

00

1c

31



x

z

y

k

0E

0B

danad ˆ

tc

U

Definindo

BES

0

1

0E

0B S

|| SI

S

(vetor de Poynting) :

A

danSdt

dUP ˆ

IBE 0||

ta

UI

Potência transmitida:

32



Como )(sin),( 22

0

2 trkEtrE

A média temporal da densidade de energia é dada por

2

00

2

1

0

22

00

2

02

1)(sin

1Edttrk

TEEu

T

Intensidade da radiação: definida pela média

2

002

1Eccuc

V

U

ta

U

ta

UI

x

z

y

k

0E

0B

ad

tc

U

33



x

z

y

k

0E

0B

ad

tc

U

Como:

ktrkc

EBE ˆ)(sin2

2

0

2

000

2

0

2

1

2|| Ec

c

EBE

2

002

1Ec

ta

UI

IBE 0||

)sin(),( 0 trkEtrE

34



Se a potência fornecida pela fonte é Pf temos

A

fdanSP ˆ

Emissão isotrópica:

SrSnS ˆˆ

24 R

PSI

f

Ondas eletromagnéticas esféricas

SRPf

24

35


Transporte de momento linear: Pressão de radiação

x

z

y

k

0E

0B

dansd ˆ

tc

U

0E

0B S

O mesmo elemento que transporta

a energia também transporta o

momento linear

U

kc

Up ˆ

Densidade de momento linear ( ):

kc

Sk

c

u

V

p ˆ||ˆ2

BEc

S

02p

cuIS

BES

0

1

p

36

Momento linear transferido para um

objeto em que incide a radiação

kc

Up

aˆ


Transporte de momento linear: Pressão de radiação

kc

Up

rˆ2

no caso de absorção

total da radiação

no caso de reflexão

total da radiação

(colisão elástica)

p

p

p

k

Obs.: ppppp otransferidrefletido

2)()(

kc

Up ˆ

37


Transporte de momento linear : Pressão de radiação

tIAU

c

I

A

FessãoPr

c

IA

t

pF a

absa

a

Pressão de radiação

na absorção total

p

c

I

A

FressãoP

c

IA

t

pF r

refr

r

22Pressão de radiação

na reflexão total

p

p

kc

Up

aˆ

kc

Up

rˆ2

38


Polarização da radiação

Polarização linear:

Direção do campo elétrico ),( trE

39

Onda linearmente polarizada



)sin(),(0

trkEtrE

ytkzE

xtkzEtrE

ˆ)cos(

ˆ)sin(),(

0

0

Polarização linear Polarização circular 2

0

22 ),(),( EtrEtrE yx

40

41



42

Em uma onda não polarizada a

direção instantânea do vetor

polarização varia com o tempo.

Pode-se produzir uma onda não-

polarizada superpondo duas

ondas linearmente polarizadas em

direções perpendiculares e com

amplitudes variando

aleatoriamente (ao acaso).

Ondas eletromagnéticas não polarizadas ondas com E em diferentes direções,

mas todas elas saindo do papel

com a mesma amplitude; ou superpondo

duas ondas polarizadas .

43

Polarização circular



Polarização elíptica

ytkzExtkzEtrEyx ˆ)cos(ˆ)sin(),(

00

1),(),(

2

0

2

2

0

2

y

y

x

x

E

trE

E

trE

xE

yE

44

fios metálicos


Polarizadores

A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material

usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz

polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada.

Exemplo:

http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/

eixo de polarização

45

http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/

46

Você quer testar seus óculos de sol?

As lentes contêm cristais longos, alinhados em uma direção,

que absorvem luz que neles incide // à direção do

alinhamento e deixa passar luz polarizada ao alinhamento.

47

Uma analogia mecânica

48


Ao invés de examinar o que está acontecendo

microscopicamente com as moléculas do filtro

ou material polarizador, vamos definir:

eixo de polarização direção de

polarização

de modo que a componente do E // a essa

direção é transmitida e a componente do E

a essa direção é absorvida!

49

Exemplo:

luz não-polarizada fica polarizada ao passar pelo polarizador:

Apenas a componente da luz na direção de

polarização do filtro consegue atravessá-lo:

I = ½ I0

(regra da metade)

Ondas eletromagnéticas não polarizadas

Polarizadores

ANTES: Intensidade da radiação incidente não-polarizada

(ex.: luz natural)

DEPOIS: Intensidade da

radiação polarizada ao

longo de : y

2

0

0202

02

cos2

cosI

dI

II

50

51

Outro exemplo:

se a luz que incide

no filtro já for polarizada:

apenas a componente na direção de polarização (y) é transmitida!

Considerando que Ey= E cos , a intensidade da luz transmitida será

I = I0 cos2

(lei de Malus, ou do cosseno ao quadrado)

z

y


Polarizadores

Intensidade de uma componente

da radiação incidente:

)(2

1

2

1 2

0

2

||00

2

000EEcEcI

sin

cos

00

0||0

EE

EE

Intensidade da radiação

polarizada ao longo de :

2

0cosII

y

yExEE ˆˆ0//00

eixo de polarização

2

||002

1EcI

52

Visualização através de um polarizador:


Polarizadores

53

Resumo da aula

• Ondas eletromagnéticas consistem de campos

elétricos e magnéticos oscilantes;

• Os campos variáveis criam um ao outro

reciprocamente, mantendo a propagação da onda

autossustentável: um E variável cria B e um B

variável cria um E;

• E e B são perpendiculares à direção de

propagação da onda (ondas transversais) e E é

perpendicular a B;

• Ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo

com velocidade c.

55 c = 299 792 458 m/s (exato)!

Resumo da aula

• A direção de E B dá a direção de propagação

da onda (lembre da regra da mão direita!);

• Ondas eletromagnéticas transportam energia (S)

e momento p (e, portanto, exercem pressão P);

• Ondas eletromagnéticas podem ser polarizadas

(linear, circular, elíptica) ou não-polarizadas;

• Certos materiais polarizadores deixam passar

apenas a componente do campo elétrico

paralela ao eixo de polarização.

56


Problema 1 (Cap.33; Ex.4)

Um certo laser de hélio-neônio emite luz

vermelha em uma faixa estreita de comprimentos

de onda em torno de 632,8 nm, com uma

“largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em

unidades de frequência, da luz emitida?

57

Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de

comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100

nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?

nm)0050,08,632(2

HzGHzmm

smf 5,71075,01010

)108,632(

/103 1092

229

8

222

1 cf

cf

c

d

dfc

cf

!1074083,4)108,632(

103 14

9

8

Hzfmas:

Note que: f

fff

zf

ff H10)004,0083,474(2

12

58

Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma

potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção

de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor.

Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as

extremidades da antena receptora.


Problema 2

59

Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média

de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está

a 4,00 km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal

entre as extremidades da antena receptora.

kWP

d

PItkxEE

f

f

m

4

4;)(sen

2f

d = 4 km

E

B

x

y

L =

0,65 m

2/1

002

)()(...c

P

d

LLdEdydEmef

f

m

L

mL

mVVmFsm

W

m

mL 80080,0

)/1085,8()/103(2

104

104

65,02/1

128

3

3

;2

)(2

12/1

2

0

2

0dc

PdEEcI

f

mm mF /1085,8 12

0

60


Uma fonte pontual isotrópica emite luz com um comprimento de

onda de 500 nm e uma potência de 200 W. Um detector de luz é

posicionado a 400 m da fonte. Qual é a máxima taxa dB/dt com a

qual a componente magnética da luz varia com o tempo na posição

do detector?

sTt

B

max

/1044,3 6c = 2,998 108 m/s



Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg

(incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de

qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um

laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá

após transcorrer um dia, por causa do momento linear

associado à luz do laser?

62

Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta),

está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta

ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após

transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?

m

xvv ˆ

luzn pp

dt

dpF

dt

pdF luz

nn

n

mc

Pama

c

PFn

xc

Upluz

ˆ

c

P

dt

dU

dt

dpluz

c

1attvvatvtv )(0se;)( 00

skgmkWP 86400606024dia1;1500;10

!/109,1/1031500

8640010 3

8

4

smsmkg

sWt

mc

Pv

63


Pretende-se levitar uma pequena esfera, totalmente absorvente,

0,500 m acima de uma fonte luminosa pontual e isotrópica fazendo

com que a força para cima exercida pela radiação seja igual ao peso

da esfera. A esfera tem 2,00 mm de raio e uma massa específica de

19,0 g/cm3. (a) Qual deve ser a potência da fonte luminosa? (b)

Mesmo que fosse possível construir uma fonte com essa potência, por

que o equilíbrio da esfera seria instável?



Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois

filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização

da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são

para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da

intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto

vale ?

65

Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em

relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos

filtros são para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade

incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale ?

900 I2

I0

I1

E

1,00

2

I

I

dado:

1,0sencossen90sencos90coscos 2222

0

2

I

I

)90(coscos)90(cos;cos 220

212

201 IIIII

2224 cos;01,001,0coscos xxx

2

775,01

2

4,011x

4,703354,0cos1125,0

6,199421,0cos8875,0

22

11

66

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