Post on 03-Mar-2016
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Otimizao sem restries:
Suponha que a funo ( ) : nf x r de classe 2kC > tenha um extremo, mximo ou mnimo ou ponto de sela, em *x x=
r r. Vamos transformar o problema de n dimenses em um problema
de uma dimenso atravs da parametrizao: *x x th= +rr r
onde t e 0h r r
. Nesse caso a
funo de uma varivel ( ) ( )*g t f x th= + rr tem extremo em 0t = para h r . A condio de primeira ordem para ser ponto de mximo, mnimo ou sela que ( )0 0g = . Derivando ( )g t obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )* * *1 1 2 21 2
n nn
d f d f d f dg t x th x th x thdt x dt x dt x dt
= + + + + + +
L
( ) 1 21 2
nn
d f f fg t h h hdt x x x
= + + +
L
Logo, para ser um ponto extremo preciso que:
1 21 2
0nn
f f fh h hx x x
+ + + =
L
Agora, essa igualdade deve ser verdadeira para qualquer hr
. Escolhendo
( )0 0 0 0 0ih h =r L L ento 0j ij j i
f fh hx x
= =
implica que
( )* 0if x
x
=
r
. Fazendo 1,2, ,i n= L percebe-se que ( )* 0if x
x
=
r
para i . Em termos
vetoriais isso pode ser escrito da forma:
( )* 0f x = rr . Condies de Segunda Ordem:
Se o ponto extremo for de mximo ento ( )0 0g < , e se for de mnimo ento ( )0 0g > . Em outras palavras a condio de segunda ordem dada pelo sinal da segunda derivada:
( )0 1sign g = ponto de mximo, e ( )0 1sign g = + ponto de mnimo. Calculando a segunda derivada temos:
( )2 2
2 i i i ji i i ji i j i
d d f d f fg t h h h hdt x dt x x xdt
= = =
Ou seja:
( )2 2
2 i ji j j i
d fg t h hx xdt
=
A matriz Hessiana definida como: 2
ijj i
fHx x
=
. Trata-se de uma matriz simtrica pois
2 2
ij jij i i j
f fH Hx x x x
= = =
. Podemos escrever essa derivada na forma de uma
multiplicao de matrizes como ( )2
2d g t h H hdt
=
r r. Algumas pessoas usam a notao
2H f= , mas no gostamos dessa notao na fsica porque mesma do Laplaciano 2
22
i ix
= =
que um operador escalar e no tensorial como o Hessiano.
( )11 12 1 1
21 22 2 21 2
1 2
n
ni ij j n
i j
n n nn n
H H H hH H H h
h H h h h h
H H H h
=
L
LL
M M O M M
L
Nesse caso a condio para o ponto extremo ser de mximo que ( )2
2 0d g t h H hdt
= r r
, o que significa que a matriz Hessiana deve ser definida positiva. Se
a matriz Hessiana no for nem definida positiva, nem definida negativa, ento o ponto de sela. Anlise da definio de matrizes simtricas apresentada no apndice xxx. O fato de que a
definio da matriz Hessiana define a concavidade da curva apresentado no apndice xxx sobre srie de Taylor de funes multivariadas.
Teorema da funo envelope:
Suponha que desejamos achar o extremo de uma funo de xr que depende de um parmetro , ou seja o problema :
( ){ },extremo f x r sem restries. As condies de primeira ordem so:
( )*, 0ii
f f xx
= =
r
onde *xr o ponto extremo. Vamos definir uma funo de dada por
( ) ( )* ,f x = r . Note que se o problema for de mximo ento, para um xr fixo, [ ] ( ),f x r , s tocando a curva ( ) quando ( )*x x =r r . Se for de mnimo ento
[ ] ( ),f x r . Por isso a funo ( ) uma funo envelope para a funo [ ],f x r . Pergunta : quanto vale d
d
?
Incluir figuras da funo envelope!!
( )* *, ii i
f x dxd fd x d
= +
r
Entretanto ( )*,
0i
f xx
=
r
nos extremos, logo chegamos ao resultado do teorema da funo
envelope:
d fd
=
.
Otimizao com restrio de igualdade:
Suponha agora a seguinte problema: otimizar ( )f xr sujeito restrio ( )g x c=r , ou ( ) 0g x c =r . Agora nem todo xr permitido, s os que satisfazem restrio ( )g x c=r .
Existe um raciocnio intuitivo simples que nos permite resolver esse problema. O gradiente de uma funo perpendicular s curvas de nvel da mesma. Por um lado sabemos que 0df = porque na curva de nvel f constante. Por outro lado, das regras do clculo sabemos que:
( )1 2 1 21 2 1 2
, , , , , ,n n
n n
f f f f f fdf dx dx dx dx dx dxx x x x x x
= + + + =
L L L
O que significa que 0f d =rl , que nos leva concluso de que f d rl , com drl sendo um deslocamento infinitesimal na curva de nvel. A restrio ( )g x c=r uma curva de nvel da funo g . Alm disso, como a prpria restrio s deslocamentos sobre a mesma so possveis. Figura xxx mostraem vermelho a restrio e os gradientes da funo g . No mesmo grfico desenhamos em preto diferentes curvas de nvel da funo f e seus respectivos gradientes nos mesmos 3 pontos da restrio. Note que no ponto de encontro mais esquerda existe uma componente do gradiente da f ao longo da curva de restrio para direita. Isso significa um deslocamento para direita ao longo da curva de restrio aumentar o valor da funo f . J no ponto mais direita a componente do gradiente de f ao longo da curva est na direo esquerda, assim um deslocamento na curva de restrio nessa direo aumenta o valor de f . Apenas no ponto em que a restrio tangencia uma curva de nvel, com ambos os gradientes
paralelos, impossvel aumentar o valor de f atravs de deslocamentos na restrio.
Esse argumento nos indica, ento, que no ponto extremo com restrio os dois gradientes, da restrio e da funo f devem ser paralelos. Matematicamente isso escrito como f g = , ou ainda como ( ) 0f g = . A constante chamada multiplicador de Lagrange. Assim percebe-se que podemos definir uma funo Lagrangeana dada por:
( ) ( ) ( ), x f x g x c = r r rL Que se comporta como o problema da otimizao sem restries, ou seja:
( ), 0x =rL Assim as condies de primeira ordem para um extremo da funo f sujeito restrio
g c= so que ( ), 0 1,2, ,i
x i nx
= =
rLL . Essa equao deve ser resolvida em conjunto
com a restrio g c= . Entretanto, notamos que ( ) 0f g c
= implica em
( ) 0g c = , ou seja, a prpria restrio. Dessa forma, usando a funo Lagrangeana o nosso problema resolver o conjunto de equaes simultneas:
( ), 0 1,2, ,i
x i nx
= =
rLL
( ), 0x
=
rL
Uma demonstrao mais rigorosa desse resultado incluindo as condies de segunda ordem apresentado no apndice Otimizao com Restries: demonstrao rigorosa. Exemplos tambm so apresentados no apndice Exemplos de Otimizao com Restrio.
Teorema da funo envelope com restries:
Suponha que desejamos achar o extremo de uma funo de xr que depende de um parmetro , ou seja o problema :
( ){ },extremo f x r com a restrio ( ), 0g x c =r . Cujas solues so dadas por:
( )*, , 0ii
xx
= =
rL L e ( )*, , 0x = rL Novamente definimos a funo envelope por ( ) ( )* ,f x = r e
( )* *, ii i
f x dxd fd x d
= +
r
. S que agora ( )*,
0i
f xx
r
. Mas a restrio continua valendo, ou
seja, ( )*, 0g x =r , logo: ( )* *,
0ii i
g x xdg gd x
= + =
r
. Subtraindo esse zero na derivada de
temos:
( ) ( ) ( ) ( )* * * ** **
, , , ,i i
i ii i
i
i i i
f x f x g x g xdx dxdd x d x d
dxf g f gx x d
= + =
= +
r r r r
Agora sim 0i i
f gx x
= no extremo, logo:
d f gd
= =
L
dd
=
L
.
Esse teorema nos permite extrair uma interpretao do significado do multiplicador de Lagrange . Note que devido ao fato de que a restrio nula, ( ), 0g x c =r , a funo objetivo que se deseja otimizar ( ),f x r tem o mesmo valor de ( )f g c= L . Se derivamos em relao ao parmetro c vemos que ( )d c
dc c = =
L
. Ou seja, ( )c o preo por unidade c da restrio que se paga em no melhorar o objetivo por conta da restrio. Se ( ) 0c < poderamos aumentar a funo objetivo diminuindo o valor da restrio c , j se ( ) 0c > poderamos aumentar a funo objetivo aumentando o valor da restrio c , e se ( ) 0c = o mximo com restrio coincide com o mximo sem restrio e no h qualquer penalidade devido restrio.
Dualidade nos mtodos de otimizao.
Suponha o problema de otimizao, sem especificar priori se de mximo ou de mnimo:
Otimizar ( )f xr sujeito restrio ( ) og x g=r .
Condies de primeira ordem:
Achamos o Lagrangeano
( ) ( ) ( )1 , ox f x g x g = r r rL e procuramos a soluo das equaes:
1
j j j
f gx x x
= L
ento 0j j
f gx x
=
logo j j
f gx x
=
.
( )1 og x g
= +
rL ento ( ) og x g=r .
Resolvendo esse conjunto de equaes encontramos *xr , * e ( )*otf f x= r , no qual, obviamente, ( )* og x g=r .
Condies de segunda ordem:
O Hessiano orlado dado pelas derivadas segundas do Lagrangeano
2 2 21
ij iji j i j i j
f g f gx x x x x x
= =
L,
21
ii i
g gx x
= =
L
e 2
12 0
=
L
com as quais construmos a matriz:
1 2
1 11 11 12 12 1 1
2 12 12 22 22 2 2
1 1 2 2
0n
n n
n n
n n n n n nn nn
g g gg f g f g f g
H g f g f g f g
g f g f g f g
=
L
L
% L
M M M O M
L
.
Denotando um subdeterminante por:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 11 11 12 12 1 1
2 12 12 22 22 2 2
1 1 2 2
0
det
k
n k
n kk
k k k k k kk kk
g g gg f g f g f gg f g f g f g
g f g f g f g
=
L
L
L
M M M O M
L
Se a soluo for um ponto de mximo ento:
2 0 > , 3 0 < , 4 0 > , ou seja, [ ] ( )1 kksign = . J o ponto for de mnimo ento todos os subdeterminantes so negativos e:
[ ] 1ksign k = .
Problema DUAL.
Vamos inverter as funes objetivo e restrio e trocar o problema para:
Otimizar ( )g xr sujeito restrio ( ) maxf x f=r .
Agora o Lagrangeano dado por:
( ) ( ) ( )2 max, x g x f x f = r r rL e encontramos a soluo atravs das equaes:
2j j j
g fx x x
= L
ento 0j j
g fx x
=
logo j j
g fx x
=
.
Comparando com a situao anterior 1j j
g fx x
=
vemos que basta fazer 1 = para voltar
absolutamente s mesmas equaes anteriores. A restrio ser, obviamente, ( ) maxf x f=r .
( )2 maxf x f
= +
rL
Isso mostra que o mesmo ponto *xr , com **
1 = , ( )*maxf f x=r
, no qual sabemos que
( )* og x g=r , soluo das equaes de Lagrange. O problema dual, portanto, fornece a mesma soluo do problema original. Resta saber se mantm maximizao/minimizao ou se troca, maximizao se torna minimizao e vice-versa. Para isso precisamos das condies de segunda ordem.
Vejamos como fica o Hessiano orlado agora.
2 2 22
ij iji j i j i j
g f g fx x x x x x
= =
L
Usando o fato de que 1 = re-escrevemos essa derivada segunda como:
( )2 2 1 1ij ij ij iji j
g f f gx x
= =
L
2 22 11
i j i jx x x x
=
L L
As orlas so obtidas atravs de:
22
ii i
f fx x
= =
L
.
Por outro lado i i
g fx x
=
logo 1i i if g g= = ento:
22
ii
gx
=
L
2 22 1
i ix x
=
L L
Claro que 2
22 0
=
L
.
O Hessiano orlado, ento, muda para:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 11 11 12 12 1 1
2 12 12 22 22 2 2
1 1 2 2
01 1 1
1 1 1
1 1 1
n
n n
n n
n n n n n nn nn
g g g
g f g f g f g
H g f g f g f g
g f g f g f g
=
L
L
% L
M M M O M
L
.
No qual o sub-determinante de ordem k dado por:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 11 11 12 12 1 1
2 12 12 22 22 2 2
1 1 2 2
01 1 1
1 1 1det
1 1 1
k
n k
k n k
k k k k k kk kk
g g g
g f g f g f g
g f g f g f g
g f g f g f g
=
L
L
% L
M M M O M
L
Sabemos que multiplicar uma linha ou uma coluna por uma constante multiplica o determinante pela mesma constante, assim podemos pegar a primeira linha e colocar em evidncia, e para
cada uma das demais linhas colocar 1 em evidncia. Nesse caso temos que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 22
1 11 11 12 12 1 12
2 12 12 22 22 2 2
21 1 2 2
0
1 det
k
n kk
n kk
k k k k k kk kk
g g gg f g f g f gg f g f g f g
g f g f g f g
=
L
L
% L
M M M O M
L
Agora colocamos 2 na primeira coluna para obter:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 11 11 12 12 1 12
2 12 12 22 22 2 2
1 1 2 2
0
1 det
k
n kk
n kk
k k k k k kk kk
g g gg f g f g f gg f g f g f g
g f g f g f g
=
L
L
% L
M M M O M
L
Ou seja:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 1 11 11 12 12 1 1
2 12 12 22 22 2 23
1 1 2 2
0
1 det
k
k n k
n kk k
k k k k k kk kk
g g gg f g f g f gg f g f g f g
g f g f g f g
+
=
L
L
% L
M M M O M
L
Assim mostramos que:
( ) 13
1 kk kk
+
= %
Aqui temos dois casos:
1. Multiplicador de Lagrange positivo 0 >
Nesse caso o termo 31k no muda o sinal e
( ) [ ]11 kk ksign sign+ = % .
Se o soluo do problema 1 foi de mximo ento [ ] ( )1 kksign = e se foi de mnimo ento [ ] 1ksign = .
O problema dual ento ser:
( ) ( )11 1 1k kksign k+ = = % de mnimo quando o original mximo.
( ) ( ) ( )11 1 1k kksign + = = % , de mximo quando o original mnimo.
2. Multiplicador de Lagrange negativo 0 <
Nesse caso = e ( ) 3 33 1 k kk = portanto:
( )( ) [ ] ( ) [ ]
14
31
11
k
k k kksign sign sign+
= =
%,
[ ]k ksign sign = % Isso mostra que se o multiplicador de Lagrange negativo o problema dual tem a mesma caracterstica do que o problema original, ou seja, problema dual de maximizao tambm de maximizao e de minimizao tambm de minimizao.
Significado do sinal do multiplicador.
Quando o multiplicador positivo os gradientes de ambas as funes, ( )f x e ( )g x apontam na mesma direo, ou seja, no so apenas paralelos. Isso significa que ( )f x e ( )g x crescem/decrescem na mesma direo. J se o multiplicador negativo os gradientes apontam em direes opostas. Se uma das funes cresce em determinada direo a outra decresce. Figura xxx mostra intuitivamente o efeito do sinal de no problema dual.
Otimizao com restrio de desigualdade:
Suponha agora a seguinte problema: otimizar ( )f xr sujeito restrio ( )g x cr e compar-lo como problema otimizar ( )f xr sujeito restrio ( )g x c=r . Vamos usar a mesma figura
Conside a figura xxx. A regio vermelha a regio ( )g x b , significando que o gradiente da restrio aponta para fora dessa regio. Se o gradiente da funo f tambm aponta na mesma direo quer dizer que o mximo da funo estar na fronteira ( )g x b= e a restrio colou. Por outro lado se o gradiente de f est na direo contrria o mximo estar dentro da regio
( )g x b< e a restrio no tem qualquer efeito, ou seja, no colou. Nesse caso se procura o mximo sem restrio. No caso da restrio de igualdade, ( )g x b= , o ponto extremo tem que estar obrigatoriamente na fronteira, mas no no caso da restrio de desigualdade, ( )g x b . Note ento que no problema de achar mximo a restrio s cola se f g = se f e g estiverem na mesma direo, isto , 0 > . Vale notar que no problema de achar mnimo isso se inverte. Se se f e g estiverem na mesma direo podemos diminuir a funo entrando na regio de desigualdade. No caso de minimizao ento a restrio cola se 0 > .
Comparando ento com o problema de maximizao com restrio de igualdade temos que se 0 > a restrio colou e deve-se resolver o sistema de equaes:
{ }
( )
0 1,2, ,
0i i
f g i nx x
g x c
=
>
=
L
r
Por outro lado se a restrio no colou temos um problema de maximizao sem restrio e s
temos que resolver as equaes { }0 1,2, ,i
f i nx
=
L . Podemos escrever essas duas
possibilidades em um conjunto de equaes apenas da forma:
{ }( )
0 1,2, ,
00
i i
f g i nx x
g x c
=
=
L
r
Note que agora a condio ( ) 0g x c = r leva a apenas duas opes: 1. 0 ento ( ) 0g x c = r e a restrio colou, logo:
{ }( )
0 1,2, ,
00
i i
f g i nx x
g x c
=
=
L
r
2. ( ) 0g x c r e 0 = levando ao sistema { }0 1,2, ,i
f i nx
=
L .
Com esse exemplo podemos extrair as regras:
1. Maximizar ( )f xr s.r. ( )g x cr ento ( ) ( )f x g x c= r rL e devemos resolver as equaes: 0
ix
=
L
, ( ) 0g x c = r e 0 .
2. Maximizar ( )f xr s.r. ( )g x cr ento ( ) ( )f x g x c= + r rL e devemos resolver as equaes: 0
ix
=
L
, ( ) 0g x c = r e 0 .
3. Minimizar ( )f xr s.r. ( )g x cr ento ( ) ( )f x g x c= r rL e devemos resolver as equaes: 0
ix
=
L
, ( ) 0g x c = r e 0 .
4. Minimizar ( )f xr s.r. ( )g x cr ento ( ) ( )f x g x c= + r rL e devemos resolver as equaes: 0
ix
=
L
, ( ) 0g x c = r e 0 .
Note que restries do tipo ( )g x cr podem ser transformadas em ( )g x c r , logo o problema pode sempre ser tratado com a restrio do tipo ( )g x cr para maximizao e ( )g x cr para minimizao bastando redefinir ( )g xr e c . Dessa forma o Lagrangeano sempre ser do tipo
( ) ( )f x g x c= r rL , sempre exigindo que ( ) 0g x c = r e 0 . Essa regra ecvita ter que trocar o sinal de no Lagrangeano.
Otimizao com restries mistas:
1. Maximizar ( )f xr s.r. ( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; m mh x c h x c h x c= = =r r rL e ( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; k kg x b g x b g x b r r rL ento construmos o Lagrangeano dado por:
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1 1 1k k k m m mf x g b g b h c h c = r L LL Devemos resolver as equaes:
1. 0i
ix
=
L
2. ( ) 0j j jg x b j = r ou 0jj
=
L
3. h c= l l l
4. 0j j
5. ( )j jg x b j r 2. Minimizar ( )f xr s.r. ( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; m mh x c h x c h x c= = =r r rL e
( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; k kg x b g x b g x b r r rL ento construmos o Lagrangeano dado por:
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1 1 1k k k m m mf x g b g b h c h c = r L LL Devemos resolver as equaes:
1. 0i
ix
=
L
2. ( ) 0j j jg x b j = r ou 0jj
=
L
3. h c= l l l
4. 0j j
5. ( )j jg x b j r As condies de segunda ordem mudam se a restrio cola, usam-se ento as regras do Hessiano orlado, ou no cola, usam-se as regras do Hessiano sem orlas.
Problema de Kuhn-Tucker:
Kuhn-Tucker querem solues para variveis que se podem ser positivas, com um problema do tipo:
Maximizar ( )f xr s.r. ( ) ( ) ( )1 1 2 2; ; ; m mg x b g x b g x b r r rL e 1 20; 0; ; 0nx x x L . Usando a tcnica anterior oLagrangeano seria dado por:
( ) ( )j j j i ij i
f x g x b x = + r rL
As equaes conjuntas a serem resolvidas seriam:
1. 0jj iji i i
gf ix x x
= + = L
2. ( ) 0j j jg x b j = r ou 0jj
=
L
3. 0j jx j =
4. 0j j
5. 0j j
O Lagrangeano de Kuhn-Tucker no inclui as desigualdades { }0 1, 2, ,ix i n L , no considear os multiplicadores de Lagrange r , sendo escrito apenas como:
( ) ( )KT j j jj
f x g x b = r rL
Note que KT i ii
x= + L L . As equaes de Kuhn-Tucker so:
0 0KT KTi ii i ix x x
= + = = L L L
Como 0i ento 0KTix
L
. Se a restrio 0ix = cola escrevemos 0KTii
xx
=
L
0KTi
L
; 0KTii
=
L
; 0i e 0ix .
Equaes de Kuhn-Tucker:
1. 0KTix
L
2. 0KTii
xx
=
L
3. 0KTi
L
4. 0KTii
=
L
5. 0i
6. 0ix
Incluir exemplos de fixao!!
Clculo das Variaes:
Clculo das Variaes comea com o problema da curva brachistocrona levantado por Johann Bernoulli, chamando a ateno de seu irmo Jakob Bernoulli. Leonhard Euler trabalhou sobre o problema e seu livro Elementa Calculi Variationum gerou o termo Clculo das Variaes. Lagrange foi outro nome importante nesse campo e Legendre se preocupou com as condies de segunda ordem para discriminar mximos e mnimos.
Todo o clculo das variaes est baseado na regra de Leibnitz para derivada de integrais demonstrada no apndice Regra de Leibnitz. Essa regra afirma que:
( )( )
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( ),, , ,
h x h x
g x g x
f x td dh dgf x t dt dt f x h x f x g xdx x dx dx
= +
Funcional:
Um funcional associa um nmero cada funo ( )y t de um domnio de funes. O domnio pode restringir os tipos de funes, apenas as diferenciveis, por exemplo, ou funes que possuem determinados valores em determinados pontos, etc. A expresso abaixo representa um funcional:
( )2
1
, ,
t
t
J f t y y dt= & onde ( ) ( )dy t y tdt=&
Sabendo f e dada uma trajetria ( )y t , sabemos calcular ( )y t& , substituir em f e calcular o valor J obtido aps a integrao.A questo tpica do Clculo das Variaes se existe uma trajetria especial ( )*y t que torna o valor de J o maior possvel, ou o menor possvel, ou um extremo?
Vamos comear com 1t e 2t fixos e restringir o domnio das funes quelas trajetrias que passam nos pontos ( )1 1,t y e ( )2 2,t y com ( )y t diferenciveis. Nesse caso podemos parametrizar J tornando-a funo univariada de um parmetro da seguinte forma:
( ) ( ) ( )*y t y t t= + Onde ( )*y t a trajetrio tima e ( )t um desvio da trajetria tima. Como ( )y t e ( )*y t so diferenciveis, ento ( )t tambm diferencivel. Alm disso as restries dos pontos inicial e final da trajetria implica que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
2
*
1 1 1
*
2 2 2
0
0
y t y t y t
y t y t y t
= = =
= = =
Assim podemos construir a funo univariada da varivel :
( ) ( )21
* *, ,
t
t
J f t y y dt = + + &&
Que sabemos possuir um extremo em 0 = , ou seja, ( )0
0d Jd
=
= como condio de
primeira ordem. Alm disso as condies de segunda ordem so ( )2
20
0d Jd
=
< se o extremo
for de mximo e ( )2
20
0d Jd
=
> se o extremo for de mnimo.
Com os limites , 1 2,t t fixos a derivada da integral facilita, desprezando os termos das derivadas dos limites de integrao. Nesse caso:
( ) ( )21
* *, ,
t
t
d J f t y y dtd
= + +
&&
( )2
1
t
t
d f fJ dtd y y
= + &
&
Agora, 22 2
1 11
tt t
t tt
f f d fdt dty y dt y
=
&& & &
aps fazer a integral por partes com vd dt= & e fuy
=
&. O
termo uv nulo porque ( ) ( )1 2 0t t = = . Ento ( )0
0d Jd
=
= implica em:
( )2
1
0t
t
f d ft dt
y dt y = &
Em princpio o fato de que uma integral nula no significa que o integrando seja nulo. Entretanto no nosso caso a integral deve ser nula para qualquer funo arbitrria
( )t significando que a nica forma da integral ser nula sempre que:
0f d fy dt y
=
&
Essa a famosa equao de Euler-Lagrange.
A equao de Euler-Lagrange representa a condio de primeira ordem para que o funcional seja um extremo. Se de mximo ou de mnimo ser discutido no apndice Condies de Segunda Ordem do Clculo Variacional. O problema de otimizao do funcional liberando as condies de pontos fixos no incio e ou fim da trajetria discutido no apndice Condies de Transversalidade.
Generalizaes:
1. Mais de uma varivel dependente ( )2
1
1 2 1 2; , , , ; , , ,t
n n
t
J f t q q q q q q dt= & & &L L . Neste caso
temos uma equao de Euler-Lagrange para cada varivel:
( )0 1,2, ,k k
f d f k nq dt q
=
L
&
2. Mais de uma varivel independente da forma:
( )( )21
1 2 1 2 1 2, , , ; , , , ; , , ,t
n n n jjt
qJ f t t t q t t t q q q dt com qt
= =
L L L
Neste caso a equao de Euler-Lagrange deve ser estendida para cada t:
1 1 2 2
0k n n
f f f fq t q t q t q
=
L
& & &
3. Otimizao com restries do tipo 1. Achar o extremo de:
( )2
1
, ,
t
t
J f t q q dt= & sujeito restrio ( )2
1
, ,
t
t
g t q q dt C= & .
Agora usamos a parametrizao para criar duas funes de :
( ) ( )2
1
, ,
t
t
J f t q q dt = &
( ) ( )2
1
, ,
t
t
I g t q q dt C = = &
E usamos a tcnica dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o extreme. Nesse caso:
( ) ( )L J I C =
As solues so dadas pelas equaes 0L J I
= =
e ( ) 0I C
= =
L
. Agora:
2
1
0t
t
J f d f dty dt y
= = & e
2
1
0t
t
I g d g dty dt y
= = &
portanto:
2
1
0t
t
L f g d f g dty y dt y y
= =
& &
de onde extramos que:
( ) ( ) 0df g f gy dt y
= &
Assim percebemos que basta criar o Lagrangeano ( ) ( ), , , ,f t q q g t q q= & &L com sendo o multiplicador de Lagrange, nest caso, independente do tempo, e resolver a nova equao de Euler-Lagrange:
0dy dt y
=
&L L
4. Otimizao com restries do tipo 2. Achar o extremo de:
( )2
1
, ,
t
t
J f t q q dt= & sujeito restrio ( ), , 0g t q q =&
Agora como ( ), , 0g t q q =& podemos mudar para o tipo 1 fazendo ( ) ( )2
1
, , 0t
t
t g t q q dt = & , e o
multiplicador de Lagrange agora pode ser funo do tempo. Novamente camos na equao de Euler-Lagrange na forma:
( ) ( ) ( ), , , ,f t q q t g t q q= & &L e 0dy dt y
=
&L L
.
Teoria do Controle timo: A teoria do Controle timo uma matemtica do sculo XX e no mais a matemtica do sculo XIX. O matemtico russo L. S. Pontryagin publicou Princpio de Mximo com o qual ganhou o prmio Lenin em 1962, mesmo ano em que seu trabalho foi traduzido para o ingls. O matemtico americano Magnus R. Hestenes da Rand Corporation produziu um report Interno da Rand chamado A general Problem in the Calculus of Variations with Applications to Paths of Least Time.Mais tarde ele publicou um paper estendendo os resultados de Pontryagin com o ttulo On variational theory and Optimal Control Theory, Journal of SIAM, series A, vol.3 p23-48 (1965), e o livro Calculus of Variations and Optimal Control Theory, Wiley&Sons, NY (1966).
L.S. Pontryagin Magnus Hestenes
A teoria do Controle timo est focada em encontrar a melhor trajetria para uma varivel de controle ( )u t , sobre comando do controlador, que leva a varivel ( )y t a uma trajetria maximizadora/minimizadora de uma determinada funo objetivo. A varivel de controle ( )u t precisa, obviamente, interferir na trajetria de ( )y t , chamada de varivel de estado. O problema matemtico achar o extremo de:
( )0
, ,
T
J f t y u dt= sujeito restrio ( ), ,y g t y u=&
Exemplo: Suponha que exista um estoque S de petrleo e que a taxa de extrao, sobre comando do operador do sistema, seja ( )E t , definindo a relao entre estoque e taxa de extrao dada por:
( )dS E tdt
=
Com extrao nula no h consumo e a reserva de petrleo no gera qualquer bem estar. Por outro lado, a extrao vai exaurindo a reserva e diminuindo o consumo no futuro. O futuro vale
menos do que o presente e a funo bem estar acumulada pode ser calculada com uma taxa de desconto da forma:
( )0
Tt
acumU U E e dt=
O problema de otimizao, portanto, pode ser colocado na forma: Maximizar
( )0
Tt
acumU U E e dt=
Sujeito s restries ( )dS E tdt
= e ( )0 oS S= . Nesse caso ( ) ( ), , tf t S E U E e = e a restrio ( )S E t= & . A varivel de controle ( )E t e a de estado ( )S t .
O problema mais geral do controle timo colocado da seguinte forma: otimizar
( )0
, ,
T
J f t y u dt= sujeito restrio ( ), ,y g t y u=& dados ( )0y e condies sobre T e ( )y T .
A varivel de controle pode ser descontinua por partes, mas com descontinuidades finitas. Exemplo tpico o ligar e desligar da maioria dos controles de temperatura. J a varivel de estado deve ser contnua, notando que u atua na derivada de y , mas no diferencivel porque a derivada pode ser descontnua. A teoria mais geral do que o clculo das variaes, portanto, pois capaz de lidar com funes no diferenciveis. Alm disso capaz de manusear restries sobre a varivel de controle e admite solues de canto. Por exemplo, suponha o caso on-off em que { }0,1u , s pode assumir valores 0 (desligado) ou 1 (ligado). A trajetria tima para u pode ser do tipo:
( )1
*
1 2
2
1 [0, )0 [ , )1 [ , ]
t t
u t t t t
t t T
=
Vamos resolver esse problema com um multiplicador de Lagrange e denominamos:
( )u t varivel de controle ( )y t varivel de estado
( )t varivel de co-estado [costate variable] Nosso problema :
Otimizar:
( ) ( )0
, , ,
T
V y u f t y u dt=
sujeito s restries:
( ), ,y g t y u=& ( )0 oy y=
( ),T y T livres.
A restrio ( ), ,y g t y u=& pode ser re-expressa como ( ), , 0g t y u y t = & logo:
( ) ( )0
, , 0T
t g t y u y dt t = &
Logo podemos som-la na funo objetivo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
, , , , ,
T
V y u f t y u t g t y u t y dt = + &
Definindo um Hamiltoniano da forma:
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,H t y u f t y u t g t y u = +
e integrando por partes ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0 0
0 0T T T
Tt y dt y y dt T y T y y dt = + = + + & && re-
escrevemos o problema como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
, , , , 0 0T
V y u H t y u y dt T y T y = + + &
A parametrizao feita da seguinte forma:
( ) ( ) ( )*u t u t p t= +
( ) ( ) ( )*y t y t q t= + *T T T= +
( ) *y T y y= + ( )t varivel de co-estado [costate variable]
A funo objetivo univariada dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*
* * * * *
0
, , 0 0T T
V H t y q u p y q dt T T y T T y
+
= + + + + + + + &
Vamos impor ( )0
0d Vd
=
= :
( ) ( ) ( ) ( )*
* *
0
Td d dV H y dt H y T T y y T Td d d
= + + + + + + & & & &
( )*
*
0
T H Hq p q dt H y T y y Ty u
+ + + + + & & & &
( ) ( ) ( ) ( )*
* *
0
T
TH Hq t p t dt H T T T yy u
+ + + &
usando y T y = &
Como ( )q t e ( )p t so arbitrrias cada um de seus multiplicadores no integrando devem ser nulos independentemente, assim:
0H Hy y
+ = =
& & e 0H
u
=
Existe ainda uma equao escondida nesse sistema:
( )H f g g y
= + = =
& ou seja Hy
=
& .
Condies de transversalidade:
Se y livre, arbitrrio, ento, ( )* 0T =
Se 0T = , tempo limite especificado, ento ( )* 0H T Se T livre ento ( )* 0H T =
Assim, o problema de achar o extremo de ( ) ( )0
, , ,
T
V y u f t y u dt= sujeito s restries
( ), ,y g t y u=& e ( )0 oy y= , nos leva s seguintes equaes de movimento:
Defina o Hamiltoniano H f g= + e resolva o conjunto de equaes:
H y
=
&
; Hy
=
& ; 0Hu
=
e ( ) 0T = .
Ou seja, sempre se escolhe u que maximiza H em todo momento, e resolve-se H y
=
&
;
Hy
=
&.
Alm disso ainda existe a seguinte propriedade importante na trajetria tima: dH H H H H H H H H Hy udt t y u t y y
= + + + = +
&& &
dH Hdt t
=
Isso significa que se o Hamiltoniano no depende explicitamente do tempo ento 0dHdt
= e
H cte= uma constante, ou seja, existe uma lei de conservao.
Clculo das Variaes como um caso particular da Teoria do Controle timo: No clculo das variaes o problema de Lagrange era:
( )2
1
, , 0t
t
J t q q dt = = &L
Dando origem equao de Euler-Lagrange:
0dy dt y
=
&L L
Vamos re-expressar esse problema no formalismo Hamiltoniano:
Achar o extremo de ( ) ( )2
1
, , ,
t
t
V q u t q u dt= L sujeito restrio q u=& .
Neste caso H u= +L logo:
0 0Hu u u
= + = =
L L
Hq q
= =
& &L por outro lado d
dt u =
& L
portanto 0dq dt u
=
L L
lembrando
que u q= & recuperamos a equao de Euler-Lagrange:
0dq dt q
=
&L L
Exerccios de fixao da operacionalidade da teoria do controle timo esto apresentados no apndice. Exemplos de fixao da Teoria do Controle timo.
Apndice: Srie de Taylor A Srie de Taylor de uma funo de classe C , i.e., infinitamente diferencivel, pode ser explicada da seguinte forma simples e intuitiva. Desejamos aproximar a funo ( )f x em torno de
ox x= por uma srie de potncias na forma no
nn xxaxf )()(
0=
=
. O ndice n define a
ordem da aproximao, com ( ) of x a= para aproximao de ordem zero, ou seja, uma reta horizontal, ( ) ( )1o of x a a x x= + , ou seja uma reta com coeficiente angular 1a , para aproximao de ordem 1, ( ) ( ) ( )21 2o o of x a a x x a x x= + + para a aproximao de ordem 2, e assim por diante. intuitivo que a melhor aproximao seja aquela em que, no ponto
ox x= tanto
a funo quanto sua aproximao sejam idnticas. Nesse caso:
oxxn
on
n axxa o = =
=
|)(0
, logo ( )o oa f x= . Para determinar os outros coeficientes
na tambm vamos exigir que os valores das derivadas da
funo e da aproximao sejam idnticos em o
x x= , como mostra o grfico da figura 4, abaixo, para uma aproximao de ordem 2.
Srie de Taylor
x
f(x)
f(x)ordem 0ordem 1ordem 2
Figura 4. Srie de Taylor.
Podemos demonstrar que os coeficientes !
)()(n
xfa o
n
n = , onde n
nn
dxfd
xf =)()( , atravs dos seguintes passos:
1. nkxxkn
nxxknnnxx
dxd kn
okn
on
k
k= 0)( 0
3. !)( 0 nxxdxd n
n
n
=
4.
=
=
=
nk
nkok
k
kokn
n
xxkn
naxxa
dxd )()!(
!)(0
5. nk
xxk
okn
n
anxxadxd
o!|)(
0
=
==
6. Impondo que
=
==
0
)( |)()(k
xxk
okn
n
on
oxxa
dxd
xf chegamos a: !
)( 0n
xfa
n
n = .
Dessa forma, a Srie de Taylor, dada por: 1 2 ( )
0 0 0 0 0 00
'( )( ) ''( )( ) ( )( )( ) ( )1! 2! !
n nf x x x f x x x f x x xf x f xn
= + + + + +K L
Que pode ser escrita na forma condensada como: ( ) ( ) ( )
0( )
!
nno
o
n
f xf x x xn
=
=
Um caso particular da srie de Taylor a srie de Taylor-McLaurin, para a qual 0ox = :
LK +++
+++= nn
xn
fx
fx
fx
ffxf!
)0(!3
)0(!2
)0(''!1
)0(')0()()(
32
Que pode ser escrita na forma condensada como: ( ) ( )
0
0( )!
n
n
n
ff x xn
=
=
Em princpio essa uma srie infinita. Entretanto, uma srie infinita s ser til se for possvel mostrar que ela converge, ou seja, que pode ser truncada em determinado nmero de termos e
que o erro cometido com essa truncagem tende a zero medida que o nmero de termos includos cresce. O erro cometido com essa truncagem chama-se Resto. Uma srie de Taylor truncada em n s pode ser utilizada para funo diferencivel, pelo menos, n vezes. Mas isso relaxa a condio de que a funo deve ser infinitamente diferencivel.
Casos Particulares:
Funo exponencial: 0 !
kx
k
xe
k
=
=
A expanso da exponencial ( ) xf x e= imediata se notarmos que xxkk
eedxd
= e que, portanto,
1)0()( =kf . Nesse caso:
...
!...
!3!21
!
32
0++++++==
= kxxx
xkx
ek
k
kx
.
Binmio de Newton Generalizado:0 0
!( )!( )!
n nn n k k n k k
k k
nna x a x a x
kk n k
= =
+ = =
Lembrando da frmula do binmio de Newton ( ) ( )0 0!
! !
n nn n k k n k k
k k
nna b a b a b
kk n k
= =
+ = ==
.
Considere a expanso em srie de Taylor-McLaurin da funo ( ) ( )nf x a x= + , com n inteiro positivo. Nesse caso, sabemos que ( ) !(0) ( )!
k n knf a se n kn k
= >
, e ( ) (0) 0kf se k n= > e a srie de Taylor-McLaurin se torna um polinmio de grau n naturalmente truncada em k n= .
Ento, vale a igualdade: 0 0
!( )!( )!
n nn n k k n k k
k k
nna x a x a x
kk n k
= =
+ = =
, que o prprio binmio
de Newton. Os coeficientes dos primeiro e ltimo termos valem 1 pois ! 10 0!( 0)!n n
n
= =
e
! 1!( )!
n n
n n n n
= =
, uma vez que 0! 1= . 1 A srie de Taylor no agregou muito valor ao caso
das funes de potncia em que a expanso binomial de Newton j era muito conhecida.
1 A propriedade dos fatoriais que 1! 1= e ( )1 ! !n n n = . Fazendo 1n = temos que ( )1 1 1 ! 1! = que leva a 0! 1= . Fatoriais
de nmeros inteiros negativos divergem pois fazendo 0n = temos que ( )0 1 ! 0! = ou ( ) 11 !0
= .
Entretanto ela pode ser usada para generalizar o binmio de Newton para valores de n negativos ou no inteiros, em que a srie se torna infinita. A sim, ela agrega grande valor. Se n
negativo no escrevemos )!(!)1)...(2)(1(kn
nknnnn
=+ pela dificuldade dos
fatoriais de nmeros negativos. Nesse caso melhor colocar ( )1 em evidncia em cada termo e usar:
)!1|(|)!1|(|)1()1)...(2)(1(
+=+
n
knknnnnk
Caso particular do binmio de Newton para 1n = :
!)1()!11()!11()1()11)...(3)(2)(1( kkk k
k=
+=+
Esse resultado pode ser usado para a expanso de ( ) ( ) 11f x x = + . Nesse caso:
...1)1(!
!)1()1()( 3200
1 ++==
=+=
=
=
xxxxxk
kxxf
k
kk
k
kk
J para ( ) ( ) 11f x x = obtemos:
...1)(!
!)1()1()( 3200
1 ++++==
==
=
=
xxxxxk
kxxf
k
k
k
kk
.
Caso particular do binmio de Newton para 12n = :
Nesse caso teramos que calcular ( )
( )1 !2
1! !2k k
( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1! 1 2 1 !2 2 2 2 2 21 1! !2 2
11 1 1 1 1 3 5 2 11 1 2 1 1 2 1 !!2 2 2 2 2 2 2 2 2
kk k
k
k k
k k
kk k
+ = =
= + + + = =
L
L L
Onde ( )( ) 1!! 2 42
n n n n
=
L . Nesse caso:
( ) ( )120
( 1) 2 1 !!( ) 1 (1 )2 !
kk
kk
kf x x x xk
=
= + = + =
Agora notamos que:
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 !! 2 0 2 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 1 2 !k kk k k k k k k k= + + = =L L E escrevemos a srie como:
( ) ( )( )0( 1) 2 1 !!( ) 1
2 !!
kk
k
kf x x xk
=
= + = .
Logaritmo:1
1
( 1)(1 )k k
k
xLn xk
=
+ =
Para o caso do logaritmo, ( ) ( )0 ln 1 0f = = , e 1)1()( += xxf , as derivadas podem ser facilmente calculadas usando: kkk
kk xkx
dxd
xf
+=+= )1()!1()1()1()( 111)1(
)(, para
obter )!1()1()0( 1)( = kf kk . Desse resultado mostra-se que:
...
432)1(
!)!1()1()1(
432
1
1
1
1++=
=
=+
=
=
xxxx
kx
xkk
xLnk
kk
k
kk
e:
...]432
[)(!
)!1()1()1(432
11
1++++==
=
=
=
xxxx
kx
xkk
xLnk
k
k
kk
.
Apndice: Clculo do Resto da srie de Taylor Para calcular o Resto da Srie de Taylor, precisaremos do Teorema do Valor Mdio de
Cauchy. Partimos do teorema de Rolle: se ( )f x contnua e diferencivel em ( ),a b e ( ) ( )f a f b= ento existe um nmero entre a e b em que a primeira derivada dessa funo
igual a zero. Pode existir mais de um no intervalo, mas o teorema garante que existe pelo menos um.
Teorema do Valor Mdio de Cauchy (TVM) Tomemos duas funes diferenciveis ( )f x e ( )g x tal que ( ) ( )f a f b e
( ) ( )g a g b . Com elas construmos uma nova funo ( ) ( ) ( )F x f x g x= + e determinamos que obriga a ( )F x satisfazer as condies do Teorema de Rolle, ou seja, que ( ) ( )F a F b= , ou seja, ( ) ( ) ( ) ( )f a g a f b g b + = + . Resolvendo para obtemos )()(
)()(agbgafbf
= . Isso
significa ento que ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )f b f aF x f x g xg b g a
=
, satisfaz as condies do Teorema de Rolle.
Nesse caso, existe um nmero ( , )a b , i.e., a b , em que ( ) 0F = . Por outro lado )(')()(
)()()(')(' xgagbgafbf
xfxF
= , logo ( , ) / '( ) 0a b F = , ou seja:
( ) ( )'( ) '( ) '( ) 0( ) ( )
f b f aF f gg b g a
= =
.
O teorema do Valor Mdio de Cauchy afirma que: ( ) ( ) ( )( , ) / ( ) ( ) ( )
f f b f aa b
g g b g a
=
.
No caso particular em que ( )g x x= , ( ) 1g x = o TVM ele se reduz a ab
afbff
=
)()()(' . Resto da Srie de Taylor
Seja ]!
))((!1
))(('!0
))(([)()()(10
n
xbxfxbxfxbxfbfxFnn
++
+
= K o erro
cometido na truncagem da srie de Taylor at ordem n e seja )!1()()(
1
+
=
+
n
xbxG
n
. Como
( )F x e ( )G x satisfazem as condies do TVM de Cauchy ento:
)()()()(
)()(/),(
aGbGaFbF
GFba
=
. Por outro lado, derivando diretamente a funo ( )F x , obtemos:
]!
))((!2
))(('''!2
))(('''!1
))((''!1
))((''!0
))(('!0
))(('[)(')1(22
1100
n
xbxfxbxfxbxf
xbxfxbxfxbxfxbxfxF
nn
++
+
+
=
+
K
Como os termos intermedirios se cancelam [soma telescpica]:
!))(()('
)1(
n
xbxfxF
nn
=
+
.
Derivando diretamente ( )G x obtemos !
)()!1(
))(1()('n
xbn
xbnxG
nn
=
+
+= . Usando esses
resultados no TVM de Cauchy: ( 1)
( 1)
( )( )'( ) ! ( )( )'( )
!
n n
n
n
f bF n f
bGn
+
+
= =
Percebendo que ( ) ( ) 0F b G b= = , ento ( 1)( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nF b F a F a f
G b G a G a+ = =
. Logo,
nn
n abn
faGfaF )(
!)()()()(
)1()1(
==
++ . Fazendo x a= na ( )F a obtemos:
)!1())((]
!))((
!1))((')([)(
1)1()(1
+
=
++
+++
n
abfn
abafabafafbf
nnnn K ,
de onde tiramos que existe a b tal que: 1 ( ) ( 1) 1
'( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1! ! ( 1)!
n n n nf a b a f a b a f b af b f an n
+ + = + + + +
+ K .
O erro em truncar com n termos, tambm chamado de resto, dado por ( 1) 1( )( )
( 1)!n n
on
f x xRn
+ +=
+
e tende a zero quando n tende a infinito para valores de x suficientemente prximos de ox .
Apndice. Srie de Taylor de Funes Multivariadas:
Vamos comear com uma funo bivariada ( ) 2, :f x y e queremos a expanso em srie de Taylor de ( ),f x h y k+ + . Tomando y constante sabemos expandir:
( ) ( ) ( ), , ,! ! !
n n mn m nx y x
n n m
h h kf x h y k f x y k f x yn n m
+ + = + =
( ) ( ), ,! !
n mm ny x
n m
h kf x h y k f x yn m
+ + =
Claro que se tivssemos comeado com y constante teramos obtido:
( ) ( ), ,! !
n mn mx y
n m
h kf x h y k f x yn m
+ + =
Como no pode haver diferena entre as duas formas se percebe que
( ) ( ), ,m n n my x x yf x y f x y = . Agora vamos re-expressar a srie da forma:
( ) ( ) ( ), , ,! !
m mn nyx
n m
khf x h y k f x y T f x yn m
+ + = =
onde
! !
m mn nyx
n m
khTn m
= o operador srie de Taylor.
Agora queremos a srie em ordem crescente em l , de tal forma que n m+ = l , ento
( ) ( )0
1 !, ,
! ! !n n n n
x yn
f x h y k h k f x yn m
=
+ + =
ll l
l
l
l
Por outro lado, lembrando que que as derivadas so operadores lineares, sabemos que o operador
0
!! !
n n n nx y x y
n
h k h kn m
=
+ = ll l ll
Logo a srie de Taylor pode ser expressa como:
( ) ( ) ( ), ,!
xf x h y k f x y
+ + =
l
l
uur
l
O processo pode ser rapidamente generalizado para dimenses maiores do tipo
( ) : nf x r onde queremos a expanso em srie de Taylor de ( )f x x+ uurr . ( ) ( )1 21 2
1 2
1 2 11 2 1
1 2! ! !
nn
n
mm mmm m
m m m n
x x xf x x f xm m m
+ =
uurr rL
Agora fazemos 1 2 nm m m+ + + =L l e multiplicamos e dividimos por !l para obter:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2
1 1 2 20 0 01 2 1 2
1!
!! ! !
n
n
mm m
n nm m mn n
m m m
f x x x x x f xm m m
= = =
+ + + =
+ =
l l l
l
L l
uurr rL
l
lL
L
Por binmio de Newton sabemos que:
( ) ( ) ( ) ( )1 21 2
1 1 2 2 1 1 2 20 0 01 2 1 2
!! ! !
n
n
m nm m
n n n nm m mn n
m m m
x x x x x xm m m
= = =
+ + + =
= + + +
l l l
L l
L Ll
LL
Ou seja:
( ) ( ) ( ) ( )1 21 2
1 1 2 20 0 01 2 1 2
!! ! !
n
n
nmm m
n nm m mn n
m m m
x x x xm m m
= = =
+ + + =
=
l l l
L l
uurL
lL
L
A srie de Taylor em n variveis dada portanto por:
( ) ( ) ( ),!n
n
xf x x f x y
n
+ =
uuruurr
At ordem 2 podemos escrever a srie de Taylor multivariada como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212!f x h f x h f x h f x+ = + + r r rr r r r
Ou ainda como:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
12!
n n n
i i i ij ji i j
f x h f x h f x h f x h= = =
+ = + + rr r r r
A matriz ( ) ( )2
ij iji j
H f x f xx x
= =
r r
chamada de Matriz Hessiana.
Apndice. Convexidade de uma curva:
Funo cncava: uma funo cncava se para ( ) ( ) ( )1 2,x x x f x R x > onde ( )R x a reta secante que une os pontos ( )1 1,x f x ( )2 2,x f x . Esse o caso da figura 2(a). Funo convexa: uma funo convexa se para ( ) ( ) ( )1 2,x x x f x R x < onde ( )R x .Esse o caso da figura 2 (b).
Figura 2. (a) Funo cncava. (b) Funo convexa.
Vamos construir um ( )1 2,x x x atravs de um parmetro ( )0,1 da forma ( ) ( )2 11x x x = + . Se 0 = ento ( ) 10x x= e se 1 = ento ( ) 21x x= . Alm disso ( ) ( ) ( )2 1 2 2 21 1x x x x x x = + + = e ( ) ( ) ( )2 1 1 1 11 1x x x x x x = + + = , logo
( )1 2x x x< < pertence ao intervalo ( )1 2,x x . A equao da reta secante que passa pelos pontos ( )1 1,x f x e ( )2 2,x f x dada por ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1
1 2 1
R x f x f x f xx x x x
=
, ou seja,
( ) ( ) ( ) ( )11 2 12 1
x xR x f x f x f xx x
= +
ou, em termos de ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 11 2 1 1 2 12 1 2 1
1x x x x xR f x f x f x f x f x f xx x x x
+ = + = +
, que nos
leva, finalmente, a: ( ) ( ) ( ) ( )2 11R f x f x = + .
Da afirmamos que:
1. Se ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 1f x x f x f x + > + para ( )0,1 ento a funo ( )f x estritamente cncava
2. Se ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 1f x x f x f x + < + para ( )0,1 ento a funo ( )f x estritamente convexa.
Generalizao da convexidade para funes de n :
Seja 1 2( , , , )nX x x x=r
L um vetor em n e ( ) : nf X r uma funo escalar que associa um nmero real a um vetor. Ento:
1. Se ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 1f X X f X f X + > + r r r r para ( )0,1 ento a funo ( )f xr estritamente cncava.
2. Se ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11 1f X X f X f X + < + r r r r para ( )0,1 ento a funo ( )f xr estritamente convexa
Apndice Otimizao com Restries: demonstrao rigorosa.
Se ( )* 0n
gx
x
r
ento existe uma funo inversa local implcita tal que
( )1 2 1, , ,n nx x x x = L que pode ser utilizada para eliminar a varivel nx e camos em funes de 1n variveis dadas por:
( ) ( )1 2 1 1 2 1 1 2 1, , , , , , , , , ,n n nG x x x g x x x x x x = L L L e
( ) ( )1 2 1 1 2 1 1 2 1, , , , , , , , , ,n n nF x x x f x x x x x x = L L L Note que a F j inclui a restrio, automaticamente satisfeita quando fizemos
( )1 2 1, , ,n nx x x x = L . Ento as condies de ponto extremo da F so as usuais:
[ ]0 1,2, , 1iF i n
x
=
L e
21 1
1 1
21 1
1 1
0 max
0 min
n n
i ji j i jn n
i ji j i j
F h hx x
F h hx x
= =
= =
Agora 0i i n i
G g gx x x x
= + =
pois G c= , o que significa que i
i
n
gx
x gx
=
. Por outro
lado 0i i n i
F f fx x x x
= + =
, ento 0n
i i
n
fxf g
x xgx
=
. Como n
n
fx
gx
=
uma
constante, calculada no ponto *xr
temos que:
0i i
f gx x
=
ou ainda que [ ] 0 1,2, , 1if g i n
x = =
L .
Por outro lado [ ] 0nn n n n n n n
n
fxf g f g f ff g
x x x x x x xgx
= = = =
automaticamente. Portanto podemos estender a condio para
( ) 0 1,2, ,i
f g c i nx
= = L .
Definindo a funo Lagrangeana dada por: ( ) ( ), x f g x c = r rL vemos que as condies de primeira ordem para um extremo so que ( ), 0 1,2, ,
ix i n
x = =
r
LL . Essa
equao deve ser resolvida em conjunto com a restrio, mas notamos que
( ) 0f g c
= implica em ( ) 0g c = , ou seja, a prpria restrio. Usando a
funo Lagrangeana o nosso problema resolver o conjunto de equaes simultneas:
( ), 0 1,2, ,i
x i nx
= =
rLL
( ), 0x
=
rL
A condio de segunda ordem um pouco mais complicada. Vamos usar a notao jj
f fx
=
para simplificar. Nesse caso temos:
j j n j
j j n j
F f fG g g
= +
= +
Sabemos que 0j j n jG g g = + = , logo j j jF F G= e ij ij ijF F G= . Por outro lado:
( ) ( )( ) ( )
ij ij nj i in nn i j n ij
ij ij nj i in nn i j n ij
F f f f f fG g g g g g
= + + + +
= + + + +
Subtraindo as duas equaes obtemos:
( ) ( ) ( )( ) ( )ij ij ij ij in in j nj nj i
nn nn i j n n ij
F G f g f g f gf g f g
= + + +
+ +
Agora:
0nn n n nn
ff g f gg
= =
Ento:
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1
n n n n n n
ij ij i j ij ij i j in in i j ji j i j i jn n n n
nj nj j i i nn nn i i j jj i i j
F G h h f g h h f g h h
f g h h f g h h
= = = = = =
= = = =
= + +
+ +
Definindo um 1
1
n
n i ii
h h
=
= e usando o fato de que n
ii
gg
= temos que 1
1
1 nn i i
inh g h
g
=
= ,
ou seja, 1
10
n
i i n ni
g h g h
=
+ = , i.e., 1
0n
i ii
g h=
= nos garante que hr
est na curva ( )g x h c+ =rr . Nesse caso temos que:
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1 11
1
n n n n n
ij ij i j ij ij i j in in i ni j i j in
nj nj j n nn nn n nj
F G h h f g h h f g h h
f g h h f g h h
= = = = =
=
= + +
+ +
Assim conclumos que:
( ) ( )1 1 1 11 1 1 1 1 1
n n n n n n
ij i j ij ij i j ij ij i ji j i j i j
F h h F G h h f g h h
= = = = = =
= =
Hessiano orlado:
O Hessiano orlado definido como:
1
1 11 1
1
0 nn
n n nn
f ff H H
H
f H H
=
L
L%
M M O M
L
. Note as duas orlas nas
primeira linha e primeira coluna da matriz Hessiana. A condies de segunda ordem dos pontos de mximo e mnimo sero dadas pela definio do Hessiano orlado discutido no apndice Definio de matrizes simtricas com restrio. Note que o Hessiano orlado poderia sair diretamente do Lagrangeano se incluirmos como uma varivel pois:
( ) ( )2 ,i i
x g xx x
=
r rL e
( )22,
0x
=
rL
Apndice. Definio de matrizes simtricas:
Dizemos que a matriz
11 12 1
21 22 2
1 2
n
nn n
n n nn
m m m
m m mM
m m m
=
L
L
M M O M
L
definida positiva se 0h Mh >r r
para qualquer 0h r r
. A matriz ser definida negativa se 0h Mh r r
ento 0kkM > e se 0h Mh , ou ainda, [ ]det 1ksign M = para qualquer [ ]1,k n .
b. Se M definida negativa ento [ ] ( ) 1det 1 kksign M += , ou seja, o sinal do determinante vai alternando na forma ( ) + + L .
A melhor forma de prova esse teorema diagonalizar as submatrizes, mas instrutivo analisar o caso de uma matriz 2 2 e outra 3 3 com a tcnica de completar quadrado.
Matriz 2 2 :
( ) 11 1212 22
m m hq h k
m m k
=
( ) 11 12 2 211 12 2221 22
2m h m k
q h k m h m hk m km h m k
+ = = + + +
2 21211 22
112mq m h hk m km
= + +
2 22 2 2 212 12 12
11 2211 11 11
2 m m mq m h hk k k m km m m
= + + +
2 22 2 2 212 12 12
11 2211 11 11
2 m m mq m h hk k m k km m m
= + + +
2 2212 11 22 12
1111 11
m m m mq m h k km m
= + +
( ) ( )( )2*2 2
11
detdet
detM
q M h kM
= + onde * 1211
mh h km
= + .
Se 0q > e como *2 0h > e 2 0k > preciso que 1det 0M > e 21
det 0det
MM
> o que implica
em 1det 0M > e 2det 0M > . Por outro se 0q < preciso que 1det 0M < e 21
det 0det
MM
<
o que implica em 1det 0M < e 2det 0M > .
Matriz 3 3 :
( )11 12 13
12 22 23
13 23 33
m m m hq h k l m m m k
m m m l
=
( )11 12 13
12 22 23
13 23 33
m h m k m lq h k l m h m k m l
m h m k m l
+ +
= + + + +
2 2 211 12 13 22 23 332 2 2q m h m hk m hl m k m kl m l= + + + + +
[ ]2 2 211 12 13 22 23 332 2q m h m k m l h m k m kl m l= + + + + +
( ) ( )
( )
2211 12 13 12 132
11 11
2 2 212 13 22 23 33
11
1 12
1 2
q m h m k m l h m k m lm m
m k m l m k m kl m lm
= + + + + +
+ + + +
( )2
22 212 1311 22 12 13 23 33
11 11
1 2m k m lq m h m k m k m l m kl m lm m
+= + + + + +
( ) ( ) ( )
212 13
1111
2 2 2 211 22 12 11 23 12 13 11 33 13
11 11 11
1 1 12
m k m lq m hm
m m m k m m m m kl m m m lm m m
+= + +
+ + +
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
212 13
1111
2 211 22 12 11 23 12 13 11 23 12 132 2
22 211 11 22 12 11 22 12
2 211 22 12 11 23 12 13 2 2 2
11 33 132211 1111 22 12
2
1
m k m lq m hm
m m m m m m m m m m mk kl l
m m m m m m m
m m m m m m ml m m m l
m mm m m
+= + +
+ + + +
+
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
22211 22 12 11 23 12 1312 13
11 211 11 11 22 12
22 2 211 22 12 11 33 13 11 23 12 132
11 11 22 12
1
m m m m m m m lm k m lq m h km m m m m
m m m m m m m m m m lm m m m
+ = + + + +
+
( ) ( )( )
( )
22211 22 12 11 23 12 1312 13
11 211 11 11 22 12
2 2 2 2 211 22 33 11 22 13 11 12 33 12 13 2
2 2 2 2 211 11 22 12 11 23 11 12 13 23 12 13
12
m m m m m m m lm k m lq m h km m m m m
m m m m m m m m m m ml
m m m m m m m m m m m m
+ = + + + +
+
+
+
( ) ( )( )
( )( )
22211 22 12 11 23 12 1312 13
11 211 11 11 22 12
2 2 211 22 33 12 13 23 11 23 22 13 12 33 2
211 22 12
2
m m m m m m m lm k m lq m h km m m m m
m m m m m m m m m m m ml
m m m
+ = + + + +
+ +
( ) ( )( )( )( )
32*2 *2 21
1 2
detdetdet
det detMM
q M h k lM M
= + +
Ento se 0q > exigimos que 1det 0M > , 21
det 0det
MM
> e 3
2
det 0det
MM
> o que implica em
1det 0M > , 2det 0M > e 3det 0M > . Mas se 0q < preciso que 1det 0M < ,
2
1
det 0det
MM
< e 3
2
det 0det
MM
< o que implica em 1det 0M < , 2det 0M > e 3det 0M < .
No entanto a melhor forma de provar o caso geral usar a tcnica de diagonalizao de matrizes.
J sabemos que se a matriz M definida positiva ou negativa ento as sub-matrizes kM possuem a mesma definio. Sabemos que uma transformao de similaridade do tipo
1M S M S = preserva o determinante e queremos descobrir o sinal de k k kq h M h=r r
. Seja kS a matriz que diagonaliza kM , simtrica, ou seja k k k kS M S D = , ento podemos fazer
k k k k k k kq h S S M S S h =r r
, ou seja, k k k k kq h S D S h =r r
. Agora definimos *k k kh S h=r r
logo
*k k kh h S=r r
logo * *k k kq h D h=r r
.
Mas
1
2
0 00 0
0 0
k
k
D
=
L
L
M M O M
L
ento *2
1
ki i
iq h
=
= . Logo se 0q > ento 0i i > , mas
se se 0q < ento 0i i < . Se 0i i > ento det 0kD > , mas se 0i i < ento [ ] ( )det 1 kksign D = . Como a transformao de similaridade preserva os determinantes
ento, a condio 0q > implica em [ ]det 1ksign M k= + e a condio 0q < implica em [ ] ( )2det 1ksign M k= .
Apndice: Definio de matrizes simtricas com restrio.
Suponha agora que os vetores possveis devem obedecer a uma restrio do tipo:
1 2 0f h f k+ = . Nesse caso as duas variveis h e k no so mais independentes, mas devem obedecer a relao 2
1
fh kf= .
Assim 2
2 2 2 2 22 211 12 22 11 12 222
112 2f fq A h A hk A k A k A k A kff= + + = +
22 2
2 11 1 2 12 1 22 21
2 kq f A f f A f A f = +
E o sinal de q ser definido pelo sinal de ( ) ( )2 22 11 1 2 12 1 222sign q sign f A f f A f A= + . Agora percebemos que
1 22 2
1 11 12 2 11 1 2 12 1 22
2 12 22
0det 2
f ff A A f A f f A f Af A A
= +
logo em
lugar de encontrar os sinais de dois subdeterminantes encontramos o sinal de apenas um mas com uma orla.
Generalizando:
Sem restrio com uma matriz Hessiana n n da forma
11 12 1
12 22 2
1 2
n
n
n n nn
H H HH H H
H
H H H
=
L
L
M M O M
L
ento
a matriz definida positiva se ( )1 11det detH H= , 11 12212 22
det detH H
HH H
=
,
11 12 1
12 22 2
1 2
det det
k
kk
k k kk
H H HH H H
H
H H H
=
L
L
M M O M
L
at
11 12 1
12 22 2
1 2
det det
n
nn
n n nn
H H HH H H
H
H H H
=
L
L
M M O M
L
forem
todos positivos. A matriz ser definida negativa se 2 1det 0kH + < e 2det 0kH > .
Com restrio:
1
1 11 1
1
0 nn
n n nn
f ff H H
H
f H H
=
L
L%
M M O M
L
ser definido positivo se os determinantes
3det 0H
Apndice. Definio de Matrizes e concavidade das curvas:
A definio da matriz Hessiana tambm define a concavidade da funo. Se ( )f xr estritamente cncava ou convexa ento:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 1
f x x f x f x concavaf x x f x f x convexa
+ > +
+ < +
r r r r
r r r r para x e xr r
.
Ento tambm vale para x x h = +rr r
com 0h r r
mas com 0h r
. Nesse caso
( ) ( )1 1x x x x h x h + = + + = +r rr r r r r ento: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1
1
f x h f x f x h concavaf x h f x f x h convexa
+ > + +
+ < + +
r rr r r
r rr r r
Agora, por srie de Taylor at segunda ordem sabemos que:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
12!
n n n
i i i ij ji i j
f x h f x h f x h f x h= = =
+ = + + rr r r r
Que pode ser escrita como:
( ) ( ) ( ) 12f x h f x h f x h Hh + = + +r r r rr r r
Fazendo h hr r
temos que:
( ) ( ) ( ) 22f x h f x h f x h Hh + = + +r r r rr r r
Logo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
112 2
112 2
f x h f x h Hh f x f x h f x h Hh concava
f x h f x h Hh f x f x h f x h Hh convexa
+ + > + + +
+ + < + + +
r r r r r rr r r r r
r r r r r rr r r r r
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
22 2
2 2
f x h f x h Hh f x h f x h Hh concava
f x h f x h Hh f x h f x h Hh convexa
+ + > + +
+ + < + +
r r r r r rr r r r
r r r r r rr r r r
2
22 2
2 2
h Hh h Hh concava
h Hh h Hh convexa
>
e a concavidade definida por: 00
h Hh concavah Hh convexa
r r
r r
ou seja, se o Hessiano for definido negativo a funo cncava e se for definido positivo a funo convexa. intuitivo que funes cncavas possuam mximos enquanto funes convexas possuam mnimo.
Apndice. Exemplos de Otimizao com Restrio:
1. Maximizar 1 2y x x= s.r. 1 24 16x x+ = .
( ) [ ]1 2 1 2, 4 16x x x x x = + rL
( )21
0 1xx
= =
L
( )12
4 0 2xx
= =
L
( ) ( )1 24 16 0 3x x
= + =
L
Das equaes (1) e (2) temos que 12 4x
x = = logo 1 24x x= . Jogando essa relao na restrio [equao (3)] temos ( )2 2 2 14 4 16 0 2 8 2x x x x + = = = = A matriz Hessiana orlada
2 2 2
21 1
2 2 2
1 221 1 212 2 2
21 1 2 2
0 1 41 0 14 1 0
x x
H x e xx x xx
x x x x
= =
%
L L L
L L L
L L L
.
Entre os sub-determinantes 0 1 2,D D e D s o 2D interessa pois uma restrio comea no 1+1+1=3, e troca-se o sinal em relao ao determinante sem restrio. determinante
2
0 1 4det 1 0 1 4 4 8 0
4 1 0D
= = + = >
.
Como 2 0D > com uma restrio o 2D sem restrio seria negativo, matriz definida negativa. Assim ponto de mximo.
Esse problema tambm fcil de resolver por substituio. Da restrio temos que ( )1 24 4x x= . Substituindo na funo objetivo ( )2 24 4y x x= , logo
( )2 2 22
4 4 4 16 8 0dy x x xdx
= = = e 2 2x = e ( )1 4 4 2 8x = = . A segunda derivada 2
22
8 0d ydx
= < , logo o ponto de mximo.
2. Maximizar ( ), ,f x y z xz yz= + s.r. 2 2 1y z+ = e 3xz = .
( ) ( ) ( )2 21 2, 1 3x xz yz y z xz = + + rL ( ) ( )2 21 0 1z z z
x = = =
L
( )12 0 2z yy
= =
L
( )1 22 0 3y x z xz
= + =
L
( ) ( )2 21
1 0 4y z
= + =
L
( ) ( )2
3 0 5xz
= =
L
Da equaes (1) ou 2 1 = ou 0z = . Mas 0z = entra em contradio com 3 0 3xz = = . Logo, obrigatoriamente, 2 1 = .
12 0z y =
12 0y z =
Extraindo z e substituindo ( )2 21 14 1 4 0y y y = = com duas opes 0y = ou ( )211 4 0 = . Novamente se 0y = ento 0z = em contradio com 3xz = . Logo 21 14 = e
112
+ = e 112
= .
Para 11 2 02 2
y z y z+ = = =
Para 11 2 02 2
y z y z = + = =
Em qualquer um dos dois casos y z= a restrio 2 2 21 2 1y z z+ = = , logo 12
z = , 12
y = e 3 3 2xz
= = . Assim temos 4 pontos extremos:
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 1, , , , 3 2, , , ,1
22 21 1 1
, , , , 3 2, , , ,122 2
1 1 1, , , , 3 2, , , ,1
22 21 1 1
, , , , 3 2, , , ,122 2
x y z
x y z
x y z
x y z
=
=
=
=
Agora vamos ao Hessiano Orlado:
2 2 2 2 2
21 2 1 1 11
2 2 2 2 2
21 2 2 2 222 2 2 2 2
21 2
2 2 2 2 2
21 2
2 2 2 2 2
21 2
x y z
x y z
Hx x x y x zx
y y x y y zy
z z x z y z z
=
%
L L L L L
L L L L L
L L L L L
L L L L L
L L L L L
( )
( )2
1
2 1
0 0 0 2 20 0 00 0 0 12 0 0 2 12 1 1 2
y zz x
z
yz x
=
.
Como 2 1 = ento
1
1
0 0 0 2 20 0 00 0 0 02 0 0 2 12 0 1 2
y zz x
H zyz x
=
%
So 3 variveis e 2 restries ento s o sub-determinante total 4D interessa. Podemos usar a coluna ou a linha 3 cheia de zeros para diminuir a ordem do determinante:
11
11
0 0 0 2 20 0 2 2
0 0 00 0 0
det det0 0 0 02 0 2 1
2 0 0 2 12 1 2
2 0 1 2
y zy z
z xz
zzy
yz x
z x
=
Agora usamos a linha 2 para diminuir mais uma ordem:
( )4 11
0 2 2det 2 2 1
2 1 2
y zD z z y
z
=
( ) ( )2 2 2 2 2 24 1 1 14 4 8 8 8D z zy zy z y z zy z y = + + + = + + como 2 2 1y z+ = ento:
[ ]24 18D z zy = + Para 21 1
1 1 1 1 12 2 2 2
z y zy z zy = = = = + = + = portanto 24 8 0D z= <
logo se trata de ponto de mximo.
Para 1 11 1 1 1 12 2 2 2
zy zy = = + = = portanto 24 8 0D z= > logo se trata
de ponto de mnimo
Assim os pontos ( ) 1 1, , 3 2, ,2 2
x y z =
e ( ) 1 1, , 3 2, ,2 2
x y z =
so pontos de
mximo enquanto os pontos ( ) 1 1, , 3 2, ,2 2
x y z =
e ( ) 1 1, , 3 2, ,2 2
x y z =
so
pontos de mnimo. Voltando funo objetivo vemos que 1 1 1 1 1 1 73 2, , 3 2 3
2 22 2 2 2 2f = + = + =
logo 72
o valor mximo. J
1 1 1 1 1 1 53 2, , 3 2 32 22 2 2 2 2
f = = =
m logo 52
o valor mnimo.
Apndice. Regra de Leibnitz:
Seja ( ) ( )( )
( ),
h x
g x
F x f x t dt= . Queremos calcular ( )d F xdx .
( ) ( )( )
( )( )
( )
( ), ,
h x x h x
g x x g x
F x f x x t dt f x t dt+
+
= +
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ), , , ,
g x h x h x x h x
g x x g x h x g x
F x f x x t dt f x x t dt f x x t dt f x t dt+
+
= + + + + +
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ), , , ,
h x h x x g x x
g x h x g x
F x f x x t f x t dt f x x t dt f x x t dt+ +
= + + + +
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ), , 1 1
, ,
h x h x x g x x
g x h x g x
F x f x x t f x tdt f x x t dt f x x t dt
x x x x
+ + + = + + +
Agora, seja ( ),P x t tal que ( ) ( ), ,P x t f x tx
=
, ou seja, ( ) ( ), ,P x t f x t dt= , ento:
( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
, ,1,
, ,
, ,
x x
x
P x x x x P x x xf x x t dtx x
P x x x x P x x x x x xx x x x
P d dx x f x x
dx dx
+ + + + + = =
+ + + + = =
+
= =
Ento:
( )( )
( )( )( )1 , ,
h x x
h x
dhf x x t dt f x x h xx dx
+
+ = +
( )( )
( )( )( )1 , ,
g x x
g x
dgf x x t dt f x x g xx dx
+
+ = +
Logo:
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( ), , ,
h x
g x
dF x f x t dh dgdt f x h x f x g xdx x dx dx
= +
Ou seja, a regra de Leibnitz de derivar integrais :
( )( )
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( ),, , ,
h x h x
g x g x
f x td dh dgf x t dt dt f x h x f x g xdx x dx dx
= +
Casos particulares?
1. Os limites no dependem de x . Nesse caso:
( ) ( ),,b b
a a
f x td f x t dt dtdx x
=
2. O integrando no depende de x . Nesse caso:
( )( )
( )( )( ) ( )( )
h x
g x
d dh dgf t dt f h x f g xdx dx dx
=
Apndice. Condies de Segunda Ordem do Clculo Variacional:
J sabemos que ( )21
t
y yt
dJ f f dtd
= + & & onde yffy
=
e y
ffy
=
& &. Aplicando a segunda derivada
temos:
( )21
22 2
2
t
yy yy yy yyt
d J f f f f dtd
= + + + & & & && & &
Que pode ser escrito na forma matricial:
( )2
1
2
2
tyy yy
yy yyt
f fd J dtf fd
=
& & &
&
&&
Assim:
2
2 0d Jd > se a matriz
yy yy
yy yy
f ff f
& & &
&
for definida positiva e o extremo de mnimo.
2
2 0d Jd < se a matriz
yy yy
yy yy
f ff f
& & &
&
for definida negativa e o extremo de mximo.
Logo, usando as regras dos determinantes das matrizes definidas positivas e negativas, temos que o extremo ser de mximo ou mnimo se ( )2 0yy yy yyf f f >& & & . Se essa condio no for satisfeita o ponto de sela. Ser mnimo se 0yyf >& & e mximo se 0yyf
Apndice. Condies de Transversalidade:
Suponha agora o problema de encontrar o extremo de ( )0
, ,
T
J f t y y dt= & sem a exigncia de que
T e ou ( )y T sejam fixos. Para simplificar vamos manter o ponto inicial fixo em ( ) ( )1 1, 0, ot y y= . A nova parametrizao,considerando ( )*y t a trajetria tima, *T o tempo final timo e ( )* * *fy y T= o y final timo, ser:
( ) ( ) ( )*y t y t t= + ( )*T T t T= +
*
f fy y y= + Agora o funcional dado por:
( ) ( )*
* *
0
, ,
T T
J f t y y dt
+
= + + &&
E devemos derivar tambm o limite de integrao usando a regra de Leibnitz, da forma:
( ) ( )*
*
0
T Td f fJ dt f T T Td y y
+
= + + + &
&
Logo
( ) ( )*
*
00
Td f fJ dt f T Td y y
=
= + +
&&
A integral por partes agora tambm deve ser feita com cuidado porque o termo uv no mais nulo:
( ) ( )*
* * *
* *
0 0 00
TT T Tf f d f f d fdt dt T T dty y dt y y dt y
= =
&& & & & &
Substituindo no resultado anterior temos:
( ) ( ) ( ) ( )*
* * *
00
Td f d f fJ dt T T f T Td y dt y y
=
= + +
&& &
Agora ( ) ( )* * * *f fy y y y T T y T = = + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
* * * *
* * * * * * * *
* *
y T T y T T T T
y T T y T y T T y T T T
y y T T T
+ = + + +
+ = + + +
= + + &
Logo
( )* *T T y y T + = & e no limite 0 ( )* *T y y T = & . Substituindo na equao acima temos:
( ) ( )* *
*
00
Td f d f f fJ dt T y f y Td y dt y y y
=
= + +
& && & &
O extremo ser dado pela condio:
( )* *
*
0
0T f d f f fdt T y f y T
y dt y y y + + =
& && & &
Novamente a funo ( )t arbitrria significando que a integral e os outros dois termos devem ser nulos independentemente. Para a integral ser nula continua valendo a equao de Euler-Lagrange:
0f d fy dt y
=
&
Mas a ela devemos acrescentar as condies de transversalidade:
( )*
* 0f fT y f y Ty y
+ = &
& &
Exemplos de fixao:
Considere o problema de encontrar a distncia origem em um plano ,x y . A trajetria agora ( )y x e manteremos a notao fazendo x t= . Nesse caso 2 2 21d dt dy y dt= + = + &l e
2
0
1T
y dt= + &l . A funo objetivo ( ) 2, , 1f t y y y= +& & . Nesse caso 0yf = e
2 2
1 22 1 1
yy yfy y
= =
+ +&
& &
& &. Note que ( ) ( ) ( )
22 2 2
2 3 32 22 22
11 1 1
1 11yy
yy yy y yf
y yy
+ + +
= = =
+ ++& &
&& &
& & &
& &&
o que
significa que 0yyf >&& sempre, e o problema de mnimo.
Equao de Euler-Lagrange 0y ydf fdt
=& nos leva a 0yd fdt
=& ou seja yf c=& , logo
21y
cy
=
+
&
&. Assim ( ) 22 2 2 2 2 21 1 1
c cy c y y y ac c
= + = = =
& & & & . Se y a=& ento
y at b= + . Como ( )0 0y = , ento 0b = e a reta y at= que passa na origem uma soluo. Retas gerando distncias mnimas so esperadas. Falta determinar o coeficiente angular da reta.
Caso 1. 2T t fixo= = e ( ) 2y T y= , ento 2 2y at= , logo 22
ya
t= e a reta ( ) 2
2
yy t tt
= a
trajetria de menor distncia entre a origem e o ponto ( )2 2,t y .
Caso 2. 2T t fixo= = mas ( )y T livre= , ento vamos impor que ( ) 0yf T =& . Mas 21yyfy
=
+&
&
&
, y a=& logo 21
yaf ta
= +
& logo 0a = e a reta horizontal ( ) 0y t = a trajetria de menor distncia entre a origem e o ponto ( )2 ,0t . Caso 3. T livre= mas ( ) fy T y= , ento vamos impor que ( ) ( ) 0yf T yf T =&& . Mas 2 21 1f y a= + = +& , y a=& e
21y
af ta
= +
& logo
( ) ( ) 22 2
111 1
yaf T yf T a aa a
= + =+ +
&& 0a = . Entretanto, para que
2
1 01 a
=
+ preciso
que a e a reta horizontal ( ) 0y t = e 0yyTa
= . A trajetria a reta vertical entre a
origem e o ponto ( )0, fy . Caso 4. O ponto final deve cair na reta ( )T T = + . Nesse caso impomos a condio
( ) ( ) 0yf T yf T =&& , com =& temos que a condio dada por ( ) yf y f= &&& ,. Mas ( )2
21
1a
a aa
+ = +
, logo 2 21 1a a a a + = = e 1a = . Nesse caso 1y t= a reta perpendicular ( )T T = + que passa pela origem. O ponto de encontro
das retas dado por 1 T T = + ou seja 2 1T
+= , ou seja, 21T
= + .
Exerccio: Considere o problema da trajetria de menor distncia da origem at o crculo ( ) ( )2 2 2o oy y T T R + = . Mostre que a trajetria a reta que passa pela origem e pelo centro do crculo ( ),o oT y . Determine T e ( )y T .
Apndice. Exemplos de fixao da Teoria do Controle timo: Exemplos de fixao:
1. Maximizar ( )12 20
1T
V u dt= + s.r. y u=& e ( )0y A= .
Nesse caso ( )12 21H u u= + + , ( ) ( )12 21 1 2 02
Hu u
u = + + =
logo
21u
u=
+,
ento:2 2
2 2 2 2 2 22 2 21 1 1
uu u u u
u
= = + = =
+
0Hy
= =
& logo o = constante. Como ( ) 0T = ento 0 = , logo 0u = . Neste caso
0y =& e y A= .
2. Vamos apresentar um problema em que a varivel de controle pode ser descontnua.
Maximizar ( )2
0
2 3V y u dt= s.r. y y u= +& ; ( )0 4y = ; ( )2y livre= e ( ) [ ]0, 2u t .
Nesse caso ( )2 3H y u y u= + + .
Maximizar H em relao u : 0 3
30 3
seHseu
> >
= = < o u que maximiza H ser 2u = , o maior valor permitido para o u . J se 3 < o u que maximiza H ser 0u = , o menor
valor permitido. Dessa forma podemos escrever:
( )* 2 30 3
seu t
se
>=
Notando que o fato de que H uma funo linear de u implica que Hu
=
sempre, para
qualquer u , e a condio 0Hu
=
sempre, no pode valer nesse caso para determinar u . O
critrio claro que escolhendo u que maximiza H o tempo todo teremos Hdt mximo.
Encontrando :
2Hy
= =
& logo 2 + = & uma equao diferencial de primeira ordem. Usando a
soluo 1t
oe = + , temos que 1 2t to oe e + + = , ou seja, 1 2 = e ( )1 0toe + = , ou
seja, 1 = . Dessa forma 2toe = .
Por outro lado as condies de transversalidade impem que ( )2 0 = logo 2 2 0oe = e 22o e = , portanto, ( )22 1te = . Para 0t = ( ) ( )20 2 1 12.778 3e = > e, claro, ( )2 0 = . O
tempo limite em que ( )* 3t = definido por ( )*22 1 3te = , ou seja, *2 52te = . Aplicando o logaritmo de ambos os lados, *2 ln 5 ln 2t = , ou seja, * 2 ln 5 ln 2 1.084t = + . Com isso temos:
( )* 2 0 1.0840 1.084 2
tu t
t
Usando a condio inicial ( )0 4Iy = tiramos que 1 2 4a = logo 1 6a = . A outra condio que ( )y t contnua, ento ( ) ( )* *I IIy t y t= , logo * *26 2t te a e = de onde extramos que
( )*2 2 3 ta e= . Finalmente temos:
( ) ( )( )**
*
*
2 3 1 0
2 3 2
t
t t
e t ty t
e e t t