Parceria entre professor e centro de ciências...

Encontros II “Parte A”Temas 4 e 6

Profa. Dra. Claudia MunteInstituto de Física de São Carlos - USP

Pedro Donizete Colombo Juniorpedro.colombo@usp.br

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Observatório Dietrich Schiel

Adaptado de http://blogs.edf.org/climate411/wp-content/files/2007/07/ElectromagneticSpectrum.png

O ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO

http://osoleasaude.blogspot.com/2007/05/radiao-solar.html

NOSSA FONTE DE LUZ: O SOL

~330 a.C. Aristóteles

Luz existe independentemente do olho humano

~295 a.C. Euclides de Alexandria

1º tratado de Ótica: engloba tudo relacionado à visão direta (não refração nem reflexão)

“Raios de Visão”: para que um objeto possa ser visto devemos (a) iluminá-lo e (b) olhar para ele

~250 a.C. Archimedes

refração do raio de luz

estuda o fenômeno do “arco-íris”

~55 a.C. Tito Lucrécio

átomos são incolores; cores provém da incidência da luz

HISTÓRIA DA ESPECTROSCOPIA

~ 145 Ptolomeu

Ótica: inclui refração e reflexão

~ 1280 Alhazen (ibn al-Haitam)

cores surgem devido a diferentes condições da luz

pedra de leitura (lentes de cristais de rocha)

1289 Qutbaddin as-sIrazi

explicação para o arco-íris por analogia entre gotas de chuva e esfera de vidro contendo água

1608 Hans Lipperhey

descoberta da luneta (telescópio)

1609 Galileo Galilei

constrói telescópio e o aponta para o céu: atronomia

1626 Rene Descartes

Lei da Refração

1666 Isaac Newton

decomposição da luz solar em um prisma: 6 ou 7 (!) cores

recomposição em um segundo prisma

luz branca é uma mistura de diferentes tipos de “raios luminosos”, refratados em ângulos ligeiramente diferentes, cada um produzindo uma cor espectral

diferente

1777 Carl Wilhelm Scheele

luz violeta é a mais energética do espectro

1800 Friedrich Herschel

descobre a radiação infravermelhana luz solar

região espectral acima da cor vermelhafornece uma grande potência calorífica

1802 Johann Ritter

descobre a radiação ultravioleta na luz solar

região espectral abaixo da cor violeta é capaz de reduzir melhor a prata

1802 William Wollaston

5 ou 7 (!) linhas pretas no espectro solar

1802 Thomas Young

fenômeno da interferência, cálculo de

1814 Joseph Fraunhofer

desenvolvimento do espectroscópio: análise espectral

espectro do Sol possui centenas de linhas negras sobre as cores

espectro de cada estrela poderia fornecer sua composição química (“impressão

digital“)?

Espectro luminoso e composição química da atmosfera de um gigante exoplaneta, que gira em torno de uma estrela normal, comparável ao Sol. (Janeiro de 2010)

http://www.apolo11.com/spacenews.php?posic=dat_20100115-192511.inc

1848 Armand Fizeau

objetos se afastando em alta velocidade causam o deslocamento das linhas espectrais para o vermelho (“red-shift”)

movimento de uma estrela afeta a posição das linhas no seu espectro

(1924 Edwin Hubble

comprova a expansão do Universo)

1859 Robert Bunsen; Gustav Kirchhoff

espectroscopia: cada elemento químico possui seu espectro único (“impressão digital”)

descobrem novos elementos químicos(Césio, Rubídio)

espectro de elementos químicos dentrodo espectro solar: análise espectralde objetos cósmicos

Lítio Sódio Cobre

H

N

O

C

Ar

Fe

1864 James Maxwell

luz é radiação eletromagnética

1868 Joseph Lockyer

descoberta do gas solar Hélio (na Terra somente 27 anos depois)

1874 Hermann Vogel

vapor d’água presente nos espectros das atmosferas de Marte e Saturno: habitáveis!!

1885 Johann Balmer

linhas do espectro do Hidrogênio: Linhas de Balmer

gás quente

gás frio

rede de difração

Lâmpadaincandescente espectro contínuo

espectro de emissão

espectro de absorção

ANÁLISE ESPECTRAL

O elétron estando noestado excitado (n=2)retorna ao seu estadofundamental (n=1),e emite “algo” comenergia E.

O que é esse “algo”?

O que leva o elétron aoestado excitado?

E aumenta

emite energiaE = E2- E1

n=inteiro

ESPECTRO ATÔMICO

Fóton: velocidade c (m/s)frequência (Hz ou s-1)comprimento de onda (m)energia E (J)

e se relacionam:

A energia do fóton será:

O fóton será absorvido caso sua energia E for idêntica à diferença de energia E entre o estado fundamental e o estado excitado

c = 3 x 108 m/s (veloc. da luz) h = 6.624 x 10-34 J/s (const. de Planck)

c

c

hhE

fóton

estado excitado

estado fundamental

estado fundamental

fóton

ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

limite de ionização

estado fundamental

série de Lymann (UV)

série

de

Balm

er

série de Paschen (IR)

Hg

ÁTOMO MAIS COMLEXOS

Energias:translacionalrotacionalvibracional

Os diversos estados (fundamental, excitado) apresentam uma grande quantidade de níveis de energia permitidos.

MOLÉCULAS

REGIÕES ESPECTRAIS

INÍCIO DO SÉCULO XX Pilares

Mecânica (Newton) Eletromagnetismo (Maxwell)

Físicos reescrevem a estória bíblica da criação na forma

No início Ele criou os céus e a terra -

e Ele disse, “Faça-se a luz” -

Terceiro suporte Termodinâmica (Carnot, Mayer, Helmholtz, Clausius, Lord Kelvin) e

Mecânica Estatística (Maxwell, Clausius, Boltzmann, Gibbs)

𝐹= 𝐺𝑚𝑚′𝑟2 = 𝑚𝑎

ර 𝐸ሬԦ∙𝑑𝐴Ԧ= 𝑄𝜀0

ර 𝐵ሬԦ∙𝑑𝐴Ԧ= 0

ර 𝐸ሬԦ∙𝑑𝑠Ԧ= −𝑑ΦB𝑑𝑡

ර 𝐵ሬԦ∙𝑑𝑠Ԧ= 𝜇0𝐼+ 𝜀0𝜇0 𝑑ΦE𝑑𝑡

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Cálculo da intensidade de radiação emitida por uma cavidade

aquecida, em um determinado comprimento de onda

Solução: Planck (1900)

Baseia-se na termodinâmica e na mecânica estatística

Início da Mecânica Quântica

1. Radiação Térmica

Radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura

Corpo emite e absorve para o meio, continuamente

Corpo mais quente que o meio: taxa de emissão > taxa de absorção Corpo mais frio que o meio: taxa de emissão < taxa de absorção Equilíbrio térmico: taxa de emissão = taxa de absorção

Matéria em estado consensado (sólido, líquido) emite um espectro contínuo de radiação

Espectro é praticamente independente do material Espectro é dependente da temperatura do material Temperatura usual: corpo é visível pela luz que reflete Temperatura muito alta: corpo tem luminosidade própria Maior parte da radiação emitida está na região do infra-vermelho (fora do visível)

Primeiras medidas precisas do espectro de radiação

Lummer, Pringsheim (1899) Espectrômetro de prisma (lentes especiais transparentes em altos λ); bolômetro

Radiância espectral

= energia emitida em radiação com comprimento de onda entre λ e λ +dλ , por unidade de tempo e por unidade de área, de uma

superfície à temperatura T

=

( )

= potência irradiada entre λ e λ +dλ , por unidade de m2 , por um corpo à temperatura T

Radiância

= potência irradiada por unidade de m2 , por um corpo à temperatura T

= área total sob a curva

=

𝐸𝑇ሺ𝜆,𝜆+ 𝑑𝜆ሻ𝑡.𝑎

𝑅𝑇ሺ𝜆ሻ𝑑𝜆

𝜆.𝜈= 𝑐

𝑅𝑇 න 𝑅𝑇ሺ𝜆ሻ𝑑𝜆∞0

Espectro de radiação

Função de distribuição da radiância espectral em função do comprimento de onda λ da radiação emitida

versus λ

𝜆 (μm)

𝑅 𝑇ሺ 𝜆ሻ

(un

idad

es a

rbitr

ária

s)

𝑅𝑇ሺ𝜆ሻ 𝑅𝑇ሺ𝜆ሻ

Características da função de distribuição observada

Baixas T : pouca potência irradiada em altos λradiância nula para λ → 0 ou λ → ∞.

radiância cresce rapidamente com λ, fica máxima em λmax e depois decai lenta mas continuamente

T mais altas: λmax diminui linearmente com o aumento de Tpotência irradiada cresce com T de forma

mais rápida que a linear

Lei de Stefan (1879)

Potência irradiada obedece à equação Equação empírica, baseada nas observações experimentais 𝜎 = 5,67. 10-8 W.m-2.K-4 (constante de Stefan-Boltzmann)

Lei do Deslocamento de Wien (1894)

Comprimento de onda máximo obedece à equação cW = 2,898. 10-3 m.K-1 (constante de Wien)

𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊1𝑇

𝑅𝑇= 𝜎𝑇4

Lei exponencial de Wien (1896)

Função de densidade espectral deve ter a forma

F (λ,T): - relação entre F e a distribuição de velocidades de Maxwell; - impondo validade da Lei do Deslocamento:

⤇𝐹ሺ𝜆,𝑇ሻ= 𝛼𝑒𝛽 𝜆𝑇Τ

Experimentalmente confirmada por Paschen (1899) para baixos λ (1-4 m)

Discrepância para medidas posteriores (1900) em mais altos λ (4-60 m)

𝜌ሺ𝜆ሻ= 𝐹ሺ𝜆,𝑇ሻ𝜆3

𝜌ሺ𝜆ሻ= 𝛼𝑒𝛽 𝜆𝑇Τ𝜆3

Características Emite espectros térmicos de caráter universal Superfícies absorvem toda a radiação térmica que incide sobre ela Não reflete luz (é negro)

Exemplo especial de Corpo Negro

Cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifício Radiação térmica vinda do exterior incide sobre o orifício e é refletida repetidas

vezes pelas paredes interiores, sendo eventualmente absorvida pelas paredes Área do orifício é muito pequena: essencialmente toda a radiação que incide

sobre o orifício será absorvida pelo corpo (reflexão para fora é desprezível)

orifício absorve todaorifício tem as

a radiação térmica⤇ propriedades deincidente sobre ele

um corpo negro

2. Corpo Negro

Aquecendo-se uniformemente as paredes da cavidade até a temperatura T:

Paredes irão emitir radiação térmica que vai encher a cavidade

A pequena fração de radiação térmica que incidir sobre o orifício irá atravessá-

lo

Orifício irá atuar como um emissor de radiação térmica

Como o orifício tem as propriedades de um corpo negro, irá emitir uma radiação com

espectro de corpo negro

Mas o orifício nos dá uma amostra da radiação dentro da cavidade

Radiação dentro da cavidade tem um espectro de corpo negro à temperatura T

Densidade de energia (cavidade)

= energia contida em radiação com frequência entre ν e ν +dν , por unidade de volume da cavidade à temperatura T

=

Fluxo de energia (buraco)

= energia emitida em radiação com frequência entre ν e ν +dν , por unidade de área do buraco à temperatura T, por unidade de tempo

=

T aumenta ⤇ aumenta ⤇ aumenta

Cavidade Buraco(calculado) (medido)

𝜌𝑇ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈

𝑅𝑇ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈

𝜌𝑇ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈

𝐸𝑇ሺ𝜈,𝜈+ 𝑑𝜈ሻ𝑉

𝐸𝑇ሺ𝜈,𝜈+ 𝑑𝜈ሻ𝑡.𝑎

𝑅𝑇ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈

𝜌𝑇ሺ𝜈ሻ∝ 𝑅𝑇ሺ𝜈ሻ

3. Encontrando a função de distribuição

Supondo uma cavidade com paredes metálicas (temperatura T )Agitação térmica

movimento dos elétrons

paredes emitem radiação eletromagnética na faixa térmica dos

comprimentos de onda

Objetivo Estudar o comportamento das ondas eletromagnéticas no interior da cavidade

Obter a função de distribuição espectral da cavidade e do buraco

Estratégia

Mostrar que dentro da cavidade a radiação deve existir na forma de ondas estacionárias com nós sobre as superfícies metálicas (eletromagnetismo clássico)

Fazer uma contagem do número de ondas com frequências entre ν e ν +dν (argumentos geométricos)

Calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico

CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!!

Obter a densidade de energia multiplicando o número de ondas estacionárias, na unidade de frequência, por sua energia média

𝜌𝑇ሺ𝜈ሻ 𝑅𝑇ሺ𝜈ሻ

𝑁ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈

𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ

ONDAS ESTACIONÁRIAS

Toda radiação que incidir sobre as paredes da cavidade será totalmente refletida, e portanto terá a forma de ondas estadionárias

Prova: - onda eletromagnética é uma vibração transversal, com perpendicular à direção de propagação

- direção de propagação é perpendicular à parede- direção de é paralela à parede

- na parede não deve haver

Radiação dentro da cavidade existe na forma de ondas estacionárias,com nós sobre as superfícies

> x

a

0

𝐸ሬԦ 𝐸ሬԦ 𝐸ሬԦ

Cavidade “unidimensional”

Campo elétrico para a onda estacionária unidimensional

Impondo as condições de contorno obtemos

𝐸ሺ𝑥,𝑡ሻ= 𝐸0 sinሺ𝑘𝑥ሻsinሺ𝜔𝑡ሻ= 𝐸0 sin൬2𝜋𝜆 𝑥൰sinሺ2𝜋𝜈𝑡ሻ 𝜆𝜈= 𝑐= 𝜔𝑘

x = 0 , x = a ⤇ condições de contorno

𝐸= 0

𝜆𝑛 = 2𝑎𝑛 ou 𝜈𝑛 = 𝑐𝑛2𝑎 𝑛 ∈ℕ, ∀𝑡

n=3 n=2

n=1

> x

a0

CONTANDO ONDAS (diagrama para n)

Em uma dimensão

- número de pontos ni com frequência νi : ⤇- número de pontos entre n e n +dn :

- número de pontos com frequência entre ν e ν +dν :

⤇

𝑛𝑖 = 2𝑎𝑐 𝜈𝑖 𝑑𝑛 = 2𝑎𝑐 𝑑𝜈

𝑁ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈= ൬4𝑎𝑐൰𝑑𝜈

𝑁ሺ𝑛ሻ𝑑𝑛 = 𝑑𝑙 = 𝑑𝑛

𝑁ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈= 2.𝑁ሺ𝑛ሻ𝑑𝑛 = 2.𝑁ሺ𝜈ሻ𝑑𝑛𝑑𝜈𝑑𝜈= 2൬2𝑎𝑐൰𝑑𝜈

2 estados de polarização da luz

Número de ondas: resumo

Cavidade “unidimensional”:

Cavidade tridimensional:

Próximo passo: calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico

CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!!

Finalmente: calcular a densidade de energia espectral

𝑁ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈= ൬4𝑎𝑐൰𝑑𝜈

𝑁ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈= 8𝜋𝑉𝑐3 𝜈2𝑑𝜈

𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ

Tentativas de resolver o problema

Cavidade oca é preenchida por radiação preta, independentemente da composição da cavidade

Modelo simples para a substância da cavidade: cargas positivas e negativas acopladas por forças elásticas entre si = osciladores com uma própria

Radiação dos osciladores e sua interação com o campo de radiação deve seguir as leis da eletrodinâmica

Leis da eletrodinâmica ⤇ equações para o número de ondas

Osciladores ⤇ energias médias

𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ 𝑁ሺ𝜈ሻ

Primeira tentativa: Max Planck (1897-1899)

- leis da termodinâmica macroscópica (relação entre entropia S e energia interna U)

- partindo do princípio que a Lei de Wien é válida, a entropia de um oscilador deve ter a forma (a, b = constantes, e = base do ln)

- a energia média do oscilador será portanto

- função densidade de energia espectral:

Lei de Wien-Planck

Lei de Wien

𝜕𝑆𝜕𝑈= 1𝑇

𝑆= 𝑈𝑎𝜈ln൬𝑈𝑒𝑏𝜈൰

𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ= 𝑏𝜈𝑒𝑎𝜈 𝑇Τ

𝜌ሺ𝜈ሻ= 𝑁ሺ𝜈ሻ𝑉 𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ= 8𝜋𝜈2𝑐3 𝑏𝜈𝑒𝑎𝜈 𝑇Τ = 8𝜋𝜈2𝑐3 𝑏𝜈𝑒−𝛽𝜈 𝑇Τ

𝜌ሺ𝜈ሻ= 𝛼𝜈3𝑒−𝛽𝜈 𝑇Τ

𝜌ሺ𝜈ሻ= 8𝜋𝑏𝑐3 𝜈3𝑒−𝛽𝜈 𝑇Τ

Segunda tentativa: Rayleigh e Jeans (1900)

- lei da equipartição de energia: energia média de um oscilador vale (por grau de liberdade)

- para sistemas harmônicos teremos

- nos 3 casos (1D, 2D, 3D) o grau de liberdade é 1 (amplitude do campo elétrico) e a energia média será

- função densidade de energia espectral:

Lei de Rayleigh-Jeans

𝜀𝑐ഥ= 12𝐾𝑇

𝜌ሺ𝜈ሻ= 8𝜋𝐾𝑇𝑐3 𝜈2

𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ= 2𝜀𝑐ഥ

𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ= 𝐾𝑇

𝜌ሺ𝜈ሻ= 𝑁ሺ𝜈ሻ𝑉 𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ= 8𝜋𝜈2𝑐3 𝐾𝑇

Comparando Wien-Planck, Rayleigh-Jeans e experimental

- Rayleigh-Jeans: boa para baixas frequênciaspéssima para altas frequências(catástrofe do ultra-violeta)

- Wien-Planck: boa para altas frequênciasruim para baixas frequências

𝜌ሺ𝜈ሻ= 8𝜋𝐾𝑇𝑐3 𝜈2

experimental

R-J

W-P𝜌ሺ𝜈ሻ= 8𝜋𝑏𝑐3 𝜈3𝑒−𝑎𝜈 𝑇Τ

Frequência

Inte

nsi

dad

e

Terceira tentativa: Planck (1900)

- interpolação, considerada por muitos a mais importante da história da física; marca o início da evolução da teoria quântica

- percebeu que as expressões para a entropia nos dois casos (R-J e W-P) levavam a equações semelhantes para sua segunda derivada

Rayleigh-Jeans (R-J)Wien-Planck (W-P)

- Utilizando chega à equação para a energia do oscilador:

- função densidade de energia espectral:

𝜕𝑆𝜕𝑈= 1𝑇

𝜕2𝑆𝜕𝑈2 = 𝑐𝑡𝑒𝑈2 𝜕2𝑆𝜕𝑈2 = 𝑐𝑡𝑒𝑈

𝜕2𝑆𝜕𝑈2 = 𝑎𝑈ሺ𝑈+ 𝑏ሻ interpolação

𝑈= 𝑏′𝑒1 𝑎′𝑇Τ − 1

𝜌ሺ𝜈ሻ= 𝑁ሺ𝜈ሻ𝑉 𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ= 8𝜋𝜈2𝑐3 𝑏′𝑒1 𝑎′𝑇Τ − 1 = 8𝜋𝑏′𝑐3 𝜈2𝑒1 𝑎′𝑇Τ − 1

- Combinando com as duas equações nos seus limites de validade:

baixas frequências: Rayleigh-Jeans (R-J)

devemos ter

altas frequências: Wien-Planck (W-P)

devemos ter

- Solução: Lei de Planck

𝑏′𝑒1 𝑎′𝑇Τ − 1 →𝐾𝑇

8𝜋𝑐3 𝑏′𝑒1 𝑎′𝑇Τ − 1𝜈2 →8𝜋𝑐3 𝐾𝑇𝜈2

𝜌ሺ𝜈ሻ= 8𝜋𝑐3 𝜈2 𝐴𝜈𝑒𝐵𝜈 𝑇Τ − 1

8𝜋𝑐3 𝑏′𝑒1 𝑎′𝑇Τ − 1𝜈2 →8𝜋𝑐3 𝑏𝜈𝑒𝛽𝜈 𝑇Τ 𝜈2 𝑏′𝑒1 𝑎′𝑇Τ − 1 → 𝑏𝜈𝑒𝛽𝜈 𝑇Τ

Descrição para a radiação de corpo negro – situação em 19.10.1900

Rayleigh-JeansPlanck Wien-Planck

fundamentação existente ausente insatisfatória

teórica

validade baixas todas altas

(altos )(todos ) (baixos )

Descrição completa em 14.12.1900

Planck apresenta uma teoria completa para a radiação de corpo negro Coloca a Lei de Planck em base sólida (fundamentação teórica) Persiste no uso da entropia, porém parte para a termodinâmica estatística Consequência: energia total deve ser distribuída por uma quantidade finita de

osciladores Osciladores só podem armazenar um múltiplo de um quantum de energia Introduz a constante de Planck h Início da Mecânica Quântica

- função densidade de energia espectral:

Lei de Planck𝜌ሺ𝜈ሻ= 8𝜋𝑐3 𝜈2 ℎ𝜈𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ − 1

Cálculo da energia média – classicamente

Probabilidade de encontrar um ente com uma energia entre ε e ε +dε em um sistema em equilíbrio térmico à temperatura T :

Distribuição de Boltzmann

(K = cte. de Boltzmann = 1,38 .10-23 J/K)

A função P(ε) tem a forma:

𝑃ሺ𝜀ሻ= 𝑒−𝜀 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇

𝑃ሺ𝜀ሻ= 𝑒−𝜀 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇

𝑃ሺ0ሻ= 1𝐾𝑇

𝑃ሺ𝐾𝑇ሻ= 𝑒−1𝐾𝑇

𝑃ሺ∞ሻ= 0

න 𝑃ሺ𝜀ሻ𝑑𝜀∞0 = 1

Supondo que a energia seja uma variável contínua, a função εP(ε) terá a forma:

Novamente, supondo um contínuo de energias (integração), podemos calcular a energia média do sistema:

⤇ área sob a curva

Resolvendo a integral por partes, obtemos a energia média:

Lei de equipartição de energia

𝜀𝑃ሺ0ሻ= 0

𝜀𝑃ሺ𝐾𝑇ሻ= 1𝑒

𝜀𝑃ሺ∞ሻ= 0

Cálculo da energia média – quanticamente

Supondo que a energia seja uma variável discreta, a função εP(ε) terá a forma:

Novamente, supondo um discreto de energias (somatória), podemos calcular a energia média do sistema.

⤇ área sob a curva𝜀ҧ= σ 𝜀𝑛𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ∆𝜀∞𝑛=0σ 𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ∞𝑛=0 ∆𝜀 = 𝜀𝑛𝑒−𝜀𝑛 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇 ∆𝜀∞

𝑛=0

Teremos duas possibilidades:

⤇

⤇

∆𝜀< 𝐾𝑇 ሺ∆𝜀→0ሻ 𝜀ҧ∆𝜀→0 = 𝐾𝑇

∆𝜀> 𝐾𝑇 ሺ∆𝜀→∞ሻ 𝜀ҧ∆𝜀→∞ = 0

Resumindo: considerar a energia como tendo valores discretos leva a

que é um comportamento semelhante ao encontrado experimentalmente para a radiação de corpo negro

Para que os sistemas sejam equivalentes, devemos achar a relação entre Dε e Supondo a forma mais simples:

Caso essa forma for correta, a equação final obtida para a densidade de radiação espectral deverá representar bem os dados experimentais

Para encontrar a equação final, devemos calcular a soma

usando

𝜀ҧ∆𝜀→0 = 𝐾𝑇 𝜀ҧ∆𝜀→∞ = 0

𝜀ҧ𝜈→0 = 𝐾𝑇 𝜀ҧ𝜈→∞ = 0

∆𝜀= ℎ𝜈

𝜀ҧ= σ 𝜀𝑛𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ∆𝜀∞𝑛=0σ 𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ∞𝑛=0 ∆𝜀 ∆𝜀= ℎ𝜈

(i) energias são discretas, com

(ii) substituindo

∆𝜀= ℎ𝜈

𝜀= 0,ℎ𝜈,2ℎ𝜈,3ℎ𝜈,4ℎ𝜈,…

𝜀𝑛 = 𝑛ℎ𝜈 𝑛 ∈ℕ

𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ= 𝑒−𝜀 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇 = 𝑒−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇 𝑛 ∈ℕ

𝜀𝑛𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ= 𝜀𝑛 𝑒−𝜀 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇 = 𝑛ℎ𝜈𝑒−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇 𝑛 ∈ℕ

ℎ𝜈𝐾𝑇= 𝛼

𝜀𝑛 = 𝑛𝛼𝐾𝑇

𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ= 𝑒−𝑛𝛼𝐾𝑇

𝜀𝑛𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ= 𝑛𝛼𝑒−𝑛𝛼

(iii) substituindo na soma

(iv) truque

𝑑𝑑𝛼ሺln𝑓ሺ𝛼ሻሻ= 1𝑓ሺ𝛼ሻ 𝑑𝑑𝛼൫𝑓ሺ𝛼ሻ൯ 𝑓ሺ𝛼ሻ= 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝑑𝑑𝛼൬ln 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0 ൰= 1σ 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝑑𝑑𝛼൬ 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0 ൰

= 1σ 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0 𝑑𝑑𝛼𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

= 1σ 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0 −𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

= −σ 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0σ 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝜀ҧ= σ 𝜀𝑛𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ∆𝜀∞𝑛=0σ 𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ∆𝜀∞𝑛=0 = 𝐾𝑇𝛼σ 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0σ 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

(v) substituindo novamente na soma

(vi) truque para resolver a soma: substituir (Série de Maclaurin)

𝜀ҧ= 𝐾𝑇𝛼σ 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0σ 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0 = −𝐾𝑇𝛼 𝑑𝑑𝛼൬ln 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0 ൰

𝑒−𝛼 = 𝑋

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0 = 𝑋𝑛∞

𝑛=0 = 1+ 𝑋+ 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ = ሺ1− 𝑋ሻ−1 = ሺ1− 𝑒−𝛼ሻ−1

lnሺ1− 𝑒−𝛼ሻ−1 = −lnሺ1− 𝑒−𝛼ሻ 𝑑𝑑𝛼ln 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0 = − 𝑑𝑑𝛼lnሺ1− 𝑒−𝛼ሻ

= − 1ሺ1− 𝑒−𝛼ሻ 𝑑𝑑𝛼ሺ1− 𝑒−𝛼ሻ

= − 1ሺ1− 𝑒−𝛼ሻ𝑒−𝛼 × 𝑒𝛼𝑒𝛼

= − 1ሺ𝑒𝛼 − 1ሻ

(vii) substituindo novamente na soma

(viii) retornando teremos a equação final

Portanto, a energia média do sistema, supondo um discreto de energias, será

com

Por analogia, a energia média do oscilador (corpo negro) será

𝜀ҧ= −𝐾𝑇𝛼 𝑑𝑑𝛼൬ln 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0 ൰= 𝐾𝑇 𝛼

ሺ𝑒𝛼 − 1ሻ 𝛼= ℎ𝜈𝐾𝑇

𝜀ҧ= ℎ𝜈ሺ𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ − 1ሻ

𝜀ҧ= ℎ𝜈ሺ𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ − 1ሻ ∆𝜀= ℎ𝜈

𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ= 𝜀ҧ= ℎ𝜈ሺ𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ −1ሻ

Observando os limites dessa equação

(i) para

(expansão em série de Taylor)

(ii) para

Equação encontrada para a energia média satisfaz os requisitos nos limites

𝜀ҧ= 𝐾𝑇 𝛼ሺ𝑒𝛼 − 1ሻ

∆𝜀= ℎ𝜈≪𝐾𝑇 ⟹ 𝛼= ℎ𝜈𝐾𝑇≪1 ሺ→0ሻ 𝜀𝛼ȁc𝛼→0 = 1 +𝛼𝜀𝛼 +⋯

𝜀ҧ𝛼→0 = 𝐾𝑇 𝛼ሺ1 +𝛼𝜀𝛼 −1ሻ= 𝐾𝑇𝜀𝛼 = 𝐾𝑇

∆𝜀= ℎ𝜈≫𝐾𝑇 ⟹ 𝛼= ℎ𝜈𝐾𝑇≫1 ሺ→∞ሻ

𝜀𝛼ȁc𝛼→∞ ≫1 𝜀𝛼ȁc𝛼→∞ ≫𝛼

𝜀ҧ𝛼→∞ = 𝐾𝑇𝛼𝜀𝛼 = 0

Densidade de energia espectral – quanticamente

Max Planck (1900)

- distribuição de Boltzmann

- energia possui apenas valores discretos

- a energia média do oscilador será portanto

- função densidade de energia espectral:

Lei de Planck

h = cte. de Planck = 6,63 .10-34 J.s

Planck não alterou a distribuição de Boltzmann, e sim apenas tratou a energia das ondas eletromagnéticas como uma grandeza discreta, ao invés de contínua

𝑃ሺ𝜀ሻ= 𝑒−𝜀 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇

∆𝜀= ℎ𝜈

𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ= ℎ𝜈ሺ𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ −1ሻ

𝜌ሺ𝜈ሻ= 𝑁ሺ𝜈ሻ𝑉 𝑈ሺ𝜈,𝑇ሻ= 8𝜋𝜈2𝑐3 ℎ𝜈𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ − 1 = 8𝜋ℎ𝑐3 𝜈3𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ −1

𝜌ሺ𝜈ሻ= 8𝜋ℎ𝑐3 𝜈3𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ −1

Confirmando a lei de Stefan

Equação empírica (Stefan, 1879)

Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando teremos

Lei de Planck confirma a lei de Stefan

𝑅𝑇= 𝜎𝑇4 𝑅𝑇= 𝑐4𝜌𝑇= 𝑐4න 𝜌ሺ𝜈ሻ𝑑𝜈∞

0 = 𝑐48𝜋ℎ𝑐3 න

𝜈3𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ − 1𝑑𝜈∞0 𝑞= ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ

= 2𝜋ℎ𝑐2 ൬𝐾𝑇ℎ ൰

4න

𝑞3𝑒𝑞 −1𝑑𝑞∞0

න𝑞3𝑒𝑞 −1𝑑𝑞∞

0 = 𝜋415

𝑅𝑇= 2𝜋5𝐾415𝑐2ℎ3𝑇4 𝜎= 2𝜋5𝐾415𝑐2ℎ3 = 5,67.10−8 W m2K4Τ

Confirmando a lei do deslocamento de Wien

Equação empírica (Wien, 1894)

Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando

chega-se à equação que tem solução S numérica única, e portanto

Lei de Planck confirma a lei do deslocamento de Wien

𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊1𝑇

𝑑𝑑𝜈𝜌ሺ𝜈ሻ= 0 ; 𝑑2𝑑𝜈2𝜌ሺ𝜈ሻ< 0 ⟹ ponto de máximo

𝑥= ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥𝐾𝑇

𝑥3 +𝑒−𝑥 = 1

3൫𝑒ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇Τ −1൯−𝜈𝑚𝑎𝑥 ℎ𝐾𝑇𝑒ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇Τ = 0

𝑥= 𝑆= ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥𝐾𝑇 ⟹ 𝜈𝑚𝑎𝑥 = 𝑆𝐾ℎ𝑇 𝜆𝑚𝑎𝑥 =൬

𝑐𝑆ℎ𝐾൰1𝑇 ⟹ 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊1𝑇

4. Postulado de Planck

Quantização da energia em sistemas harmônicos simples

Qualquer ente físico, com um grau de liberdade cuja “coordenada” é uma função senoidal do tempo (executa oscilações harmônicas simples) pode possuir apenas energias totais ε que satisfaçam à relação

onde é a frequência de oscilação, e h uma constante universal (cte. de Planck)

“Coordenada” (sentido geral): qualquer quantidade que descreve a condição instantânea do ente

𝜀𝑛 = 𝑛ℎ𝜈 𝑛 ∈ℕ

𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ= 𝑒−𝜀 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇 = 𝑒−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇 𝑛 ∈ℕ

𝜀𝑛𝑃ሺ𝜀𝑛ሻ= 𝜀𝑛 𝑒−𝜀 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇 = 𝑛ℎ𝜈𝑒−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇Τ𝐾𝑇 𝑛 ∈ℕ