Parte 1. Convolução e Correlação

Bruno Barufaldi

Processamento Digital de Imagens

Convolução Operação de filtragem no domínio espacial Local (não pontual)

vizinhança Muito utilizada em SLIT (Sistemas Lineares

Invariantes no Tempo) Em processamento de imagens digitais, é

possível realizar operações de filtragem de maneira simples.

Convolução A convolução entre duas funções s(t) e h(t),

representada por s(t)*h(t) gera uma função g(t) dada por:

Não é trivial.

Convolução Representação gráfica:

Convolução Primeiro passo:

Rebatimento de h(t) em relação a origem e deslocamento da função resultante por t

Convolução

Sinal original

Sinal rebatido Sinal deslocado

Convolução Integração:

O resultado do produto será nulo para qualquer valor de t onde não houver interseção entre os intervalos

Convolução A convolução discreta é a extensão direta da

convolução contínua:

Em situações mais comuns, temos sequências de entradas finitas, ou seja:

Convolução Se s[n] e h[n] têm N0 e N1 amostras, temos:

N = N0 + N1 – 1 (extensão por zeros).

Convolução Exemplo:

Convolução

s = [1,2,3,4,5,2,1]; h = [3,2,1,0,1,2]; N =12.

g[0] = s[0]*h[0-0] = 3g[1] = s[0]*h[1-0] + s[1]*h[1-1] = 8g[2] = s[0]*h[2-0] + s[1]*h[2-1] + s[2]*h[2-2] =

14…Não esqueçam de extender com 0s!

Convolução Resultado:

Convolução

Outro exemplo:

s = [5,4,2,3,1,0,2]; h = [1,0,3,2,4,1];

Convolução

s = [5,4,2,3,1,0,2]; h = [1,0,3,2,4,1]; N = 12.

g[0] = s[0]*h[0-0] = 5g[1] = s[0]*h[1-0] + s[1]*h[1-1] = 4g[2] = s[0]*h[2-0] + s[1]*h[2-1] + s[2]*h[2-2] = 17g[3] = 10+12+0+3 = 25 g[9]

=0+0+0+0+0+2+0+0+0 = 2g[4] = 20+8+6+0+1 = 35 g[10] =

0+0+0+0+0+2+0+0+0+0 = 2g[5] = 5+16+4+9+0+0 = 34 g[11] = 0g[6] = 0+4+8+6+3+0+2 = 23g[7] = 0+0+2+12+2+0+0+0 = 16g[8] = 0+0+0+3+4+0+0 +0 = 7

Convolução)()()( knhkxny

k

0 0

0

k

k

k

x(k) y(k)

h(-2-k)

Convolução)()()( knhkxny

k

0 0

0

k

k

k

x(k) y(k)

h(-1-k)

Convolução)()()( knhkxny

k

0 0

0

k

k

k

x(k) y(k)

h(0-k)

Convolução)()()( knhkxny

k

0 0

0

k

k

k

x(k) y(k)

h(1-k)

Convolução)()()( knhkxny

k

0 0

0

k

k

k

x(k) y(k)

h(2-k)

Convolução)()()( knhkxny

k

0 0

0

k

k

k

x(k) y(k)

h(3-k)

Convolução)()()( knhkxny

k

0 0

0

k

k

k

x(k) y(k)

h(4-k)

Convolução)()()( knhkxny

k

0 0

0

k

k

k

x(k) y(k)

h(5-k)

Convolução)()()( knhkxny

k

0 0

0

k

k

k

x(k) y(k)

h(6-k)

Convolução Sinal Bidimensional

Máscaras convolucionais

h h’h-1,-1 h-1,0 h-1,1

h0,-1 h0,0 h0, 1

h1,-1 h1,0 h1,1

h1,1 h1,0 h1,-1

h0,1 h0,0 h0,-1

h-1,1 h-1,0 h-1,-1

Convolução Fórmula:

Em que:i = 0, 1,..., R-1, j = 0, 1,..., C-1.f = imagem original

1

0

1

0,,, '

R

a

C

bbjaibaji hfg

Convolução Exemplos de máscaras convolucionais

Aguçamento

0 -c 0

-c 4c+d -c

0 -c 0

-c -c -c

-c 8c+d -c

-c -c -c

Convolução Exemplos de máscaras convolucionais

Detecção de bordas

-1/8 -1/8 -1/8

-1/8 1 -1/8

-1/8 -1/8 -1/8

-1 -1 -1

0 0 0

1 1 1

Convolução Exemplos de máscaras convolucionais

Detecção de bordas

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

-1 -1 0

-1 0 1

0 1 1

Convolução Exemplos de máscaras convolucionais

Relevo

0 0 0

0 1 0

0 0 -1

0 0 -1

0 1 0

0 0 0

0 0 2

0 -1 0

-1 0 0

Convolução Exemplos de máscaras convolucionais

Gaussiano

1/16 2/16 1/16

2/16 4/16 2/16

1/16 2/16 1/16

Convolução Exemplos de máscaras convolucionais

Média

1/(MN) 1/(MN) ...

1/(MN) 1/(MN) ...

... ... ...

Correlação Convolução

Correlação