PCNA - Matemática

AULA 1

PCNA - Matemática Aritmética: • Operações básicas com frações • Potenciação • Radiciação • Módulo

Necessário para o Cálculo 1:

• Polinômios

• Operações com expressões algébricas

• Intervalos, inequações e módulo

• Funções

• Geometria

• Trigonometria

1. Aritmética e Expressões Algébricas

1.1 Ordem e precedência dos

cálculos • Exemplos:

1) 2 + 1 × 2 −6

2 × 5 + 3

2) 2 + 1 . 2 −6

2 . 5 + 3

3) 2 + 1 . 2 −6

2 . 5 + 3

1.2 Operações com Números

Fracionários

1.2.1 Soma e Subtração

• 1º Caso: 𝑎

𝑐±

𝑏

𝑐

• 2º Caso: 𝑎

𝑐±

𝑏

𝑑

Exemplos

Ex 1: 2

5+

4

5

Ex 2: 23

10+

3

10

Ex 3: 9

8+

2

8−

1

8

Ex 4: 2

3+

9

4

Ex 5: 2

5+

8

9 -

7

12

1.2.2 Multiplicação de

Números Fracionários

𝑎

𝑐×

𝑏

𝑐

𝑎

𝑐×

𝑏

𝑑

Exemplos

Ex 1: 3

14×

21

15

Ex 2: 1

10×

2

5

Ex 3: 10 ×5

3+

2

4

1.2.3 Divisão de Números

Fracionários

Conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda

𝑎𝑐𝑏𝑑

Exemplos

Ex 1:

1

72

5

Ex 2:

11

52

10

Ex 3: 35

1428

12

Resolva

1) Encontre o valor de A

𝐴 =

1 −14

+1

1 +14

1 +14

−1

1 +14

1.3 Expressões Algébricas • Recebe o nome de expressão algébrica a

expressão matemática na qual se faz uso de letras,

números e operações aritméticas.

Exemplos:

1)2 x

3−

7

x

2) 2 x:y

x−

4 x

y

Exemplos: Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões algébricas abaixo:

1) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦

2) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦

3) 𝑥 − 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦

4) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦

• A fatoração consiste em representar um número ou

uma expressão algébrica como produto,

respetivamente, de outros números ou de outras

expressões algébricas.

• Exemplos:

1) 6 𝑎 𝑏 − 12 𝑏

2) 9 𝑥 − 3 𝑥 𝑦

3) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦

1.3.1 Simplificação de Frações

Algébricas • Exemplos:

1)2x;4y

2x

2) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥

𝑎 + 𝑏

Resolva

2) Calcule a expressão 2𝑎

𝑥 − 3+

𝑎

𝑥−

2𝑎𝑥

𝑥2 − 3𝑥.

𝑥

2𝑎

3) Resolva a expressão

(𝑥 + 1𝑥 − 2 +

𝑥 − 3𝑥 + 2)

2𝑥2 − 2𝑥 + 8𝑥 − 2

1.4 Potenciação

• Potenciação

- Forma:

𝑎m

• Exemplos:

1) 24

2) −2 2

3) 33

4) −3 3

PROPRIEDADES

• Considere 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos, 𝑛 e 𝑚

inteiros:

1) Potência de expoente nulo e igual a 1:

𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎

2) Potência de base igual a 1:

1𝑛 = 1

3) Potencia de expoente negativo:

𝑎;𝑛 =1

𝑎𝑛

4) Multiplicação de potências de mesma base:

𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛:𝑚

5) Divisão de potências de mesma base: 𝑎𝑛

𝑎𝑚= 𝑎𝑛;𝑚

6)Multiplicação de potências de expoentes iguais:

𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛

7) Divisão de potências de expoentes iguais: 𝑎𝑛

𝑏𝑛=

𝑎

𝑏

𝑛

8) Potência de uma potência:

(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎 𝑛.𝑚

Exemplos

Ex 1: 44 × 41 Ex 2: 24 ÷ 21

Ex 3: 103 2

Ex 4: 2

7

;3

Ex 5: 2 × 11 5

Exemplos Ex. 6:

24

2+

42

22 + −3 ;3

Ex. 7: −3 ;2 −;3

7

;3

Ex. 8: 𝑥3 𝑦 𝑥 𝑦 ;2

Nos exemplos abaixo,

determine o valor de 𝑥. Ex. 9: 3𝑥 = 9

Ex. 10: 2𝑥 + 2𝑥:1 = 24

Ex. 11: 6𝑥;2 + 5 ∙ 6𝑥;1 = 6𝑥 − 5

Resolva 4) A expressão é igual a:

2 𝑥2𝑦 . 3(𝑥2𝑦3)

𝑥²𝑦²

5) Simplifique, sendo 𝑎. 𝑏 ≠ 0

a) (𝑎4..𝑏2)³

(𝑎.𝑏2)²

b) 𝑎4.. 𝑏3 3. (𝑎2. 𝑏)²

Resolva 6)Calcule o valor das expressões:

a)2−1; ;2 2:(;2)−1

22+2−2

b) 32;3−2

32:3−2

c)

−1

2

2.

1

2

3

−1

2

2 3

Resolva * Encontre o valor de x que satisfaz a equação:

22𝑥:1 − 3. 2𝑥:2 = 32

1.5 Radiciação • A radiciação é uma operação matemática inversa

da potenciação, ou seja,

𝑠𝑒 𝑎𝑛 = 𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑛 = 𝑎

𝒂𝒏 = 𝒃

índice

radicando raiz

• Propriedades:

Sejam 𝑛 ≠ 0 e 𝑚 ≠ 0

1) Raiz de radicando nulo:

0𝑛

= 0

2) Raiz de índice unitário nulo:

𝑎1 = 𝑎

3) Produto de radicais de mesmo índice:

𝑎𝑛 . 𝑏𝑛

. 𝑐𝑛 = 𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛

4) Divisão de radicais com mesmo índice:

𝑎𝑛

𝑏𝑛 =

𝑎

𝑏

𝑛 Ex: (

4

5)

3=

43

53

1.5 Radiciação

5) Potência de uma raiz:

( 𝑎𝑛 )𝑚= 𝑎𝑚𝑛 Ex: 4

2 3= 432

6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice:

( 𝑎𝑛 )𝑛= 𝑎

7) Raiz de uma raiz:

𝑎𝑛𝑚= 𝑎𝑛.𝑚

8) Multiplicação de raiz por uma constante

𝑎 𝑏𝑛

= 𝑎𝑛𝑏𝑛

Ex: 3 42

= 4.3^22

= 362

= 6

• A raiz é apenas uma forma de representar a

potenciação com expoente fracionário. Assim,

toda raiz pode ser escrita em forma de potência

como:

𝑎𝑚 𝑛

= 𝑎 𝑚𝑛

Exemplos

Ex 1: 5

Ex 2: 16

Ex 3: 20

Ex 4: 83

Ex 5: 723

Exemplos

• Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas:

Ex. 6: −273

. 108

Ex. 7: 356 ∙

3

33

• Simplifique as expressões abaixo, considerando 𝑎 > 0

EX.. 8: 𝑎 . 𝑎

Ex. 9: 𝑎3 . 𝑎3

1.6. Racionalização de

denominadores • 1° Caso:

𝒂

𝒃

• Exemplos:

30

2

3

4 × 6

2 + 5

7

• 2° Caso:

𝒂

𝒄 ± 𝒃

Exemplo:

23

4 : 7

• 3° Caso

𝒂

𝒃𝒏𝒎

Exemplo:

21

725 3

673

Resolva 1) Reduza à expressão mais simples

(𝒂 𝒃. 𝒃𝟒

)/ 𝒂. 𝒃𝟑

2) Encontre o Valor de y

𝑦 =3;2 + 2;1

1 − 7. 2;33

AULA 2

PCNA - Matemática Aritmética: • Logaritmos • Módulo

1.7. Logaritmos

log𝑏 𝑎 = c 𝑏𝑐 = 𝑎

onde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1

Exemplos: 1) log 100 = 𝑥

2) log 0,1 = 𝑥

3) 𝑙𝑜𝑔2 4 = 𝑥

4) 𝑙𝑜𝑔2

1

32= 𝑐

5) 𝑙𝑜𝑔3 1 = 𝑥

6) 𝑙𝑜𝑔14

(2 2) = 𝑥

7) ln1

𝑒= 𝑐

8) ln 𝑒 = 𝑐

1.7.1. Propriedades dos

logaritmos 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0.

𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏0 = 0

2) Logaritmo da base é 1.

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏1 = 1

3) Logaritmo de um produto

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎. 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐

4) Logaritmo de um quociente

𝑙𝑜𝑔𝑏

𝑎

𝑐= 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐

5) Logaritmo de uma potência

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

6) Mudança da base b para a base c

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏

7) Igualdade de logaritmos de mesma base

𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑦

8) Potência de base b e expoente log𝑏 𝑎 é igual a a.

𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎

Exemplos

1) 𝑙𝑜𝑔 0,1 ∙ 10

2) 𝑙𝑜𝑔21

16

3) 2𝑙𝑜𝑔2 4

4) 4𝑙𝑜𝑔2 4

5) 𝑒;3 𝑙𝑛 𝑥

6) 3 ln 𝑎 + ln 𝑏 − ln(𝑒)

Exemplos: 7) log 2 𝑥 = −3

8) 3 ln 𝑥 = 2

9) 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 4

10)3 𝑒4𝑥:8 = 1

1.3.2. Tipos particulares de logaritmos

log 𝑎 e ln 𝑎

Exemplos

Ex 1: log 100

Ex 2: log 1000

Ex 3: log1

10

Ex 4: log1

10000

Exemplos

Ex 1: ln 𝑒

Ex 2: ln 𝑒3

Ex 3: ln1

𝑒4

1) Encontre o valor de:

𝑙 =𝑙𝑜𝑔3 9 + 𝑙𝑜𝑔2

12

𝑙𝑜𝑔 100+

𝑙𝑛 𝑒;3 + 𝑙𝑜𝑔 1000 − 𝑙𝑜𝑔4 1/16

𝑙𝑛 𝑒2 + 𝑙𝑜𝑔 10 + 𝑙𝑜𝑔 100

2) Obtenha o valor da expressão:

log3 1 : log 0,01

log21

64 × log4 8

Resolva

Questões da Apostila

12) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois

terremotos estão relacionadas pela fórmula

𝑅1 − 𝑅2 = log10

𝑀1

𝑀2

Em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos

terremotos sob a forma de ondas que se propagam

pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um

correspondente a R1=8 e outro correspondente a

R2=6. Calcule a razão 𝑀1

𝑀2

Resolva

Resolva Questões da apostila:

13) Calcule o valor de S: 𝑆 = log4 (log3 9) + log2( log81 3) + log0,8( log16 32)

Resolva Questões da Apostila

14) Determine o valor de x na equação 𝑦 = 2log3(𝑥:4)

para que y seja igual a 8.

AULA 3

PCNA - Matemática • Módulo

1.8. Módulo ou Valor Absoluto A todo número real 𝑥 associa-se um valor absoluto,

também chamado de módulo, representado por 𝑥

definido por :

𝑥 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

• Interpretação Geométrica

• Propriedades

1) 𝑥 ≥ 0

2) 𝑥 = | − 𝑥|

3) 𝑥. 𝑦 = 𝑥 . |𝑦|

4) 𝑥/𝑦 = 𝑥 /|𝑦| com 𝑦 ≠ 0

5) 𝑥 = 𝑦 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ± 𝑦

6) 𝑥𝑛𝑛=

𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

; 𝑥 ∈ ℛ

• Observação: 𝑥 ± 𝑦 ≠ 𝑥 ± |𝑦|

Exemplos: 1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo, calcule:

𝑎) −3 + 5

𝑏) −3 − 5 − −3

𝑐) −2 . 3

𝑑) −3 2

𝑒) −3 33

𝑓) 2 𝑥 + 1

𝑥 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3

Exemplos: 2) Considerando 𝑎 = 10, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −5, calcule as expressões:

𝑎) 𝑎2. 𝑏

𝑏) 𝑎

𝑐

𝑐) 𝑐22

𝑑) 𝑐33

𝑒) 𝑎 − 𝑏

Exemplos: 3) Resolva as equações abaixo:

𝑎) 𝑥 + 2 = 8

𝑏) 2𝑥 + 1 = 3

𝑐) 4𝑥 + 1 = |5 − 2𝑥|

𝑑) 𝑥2 = 8

Resolva • Questões da apostila

22) Resolva as equações:

a) 5𝑥 − 3 = 12

c) 3𝑥 + 1 = |𝑥 − 3|

f) 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0

Resolva 23) Elimine o módulo:

a) 𝑥 + 1 + |𝑥|

b) |𝑥 + 2| − |𝑥 + 1|

1.9. Polinômios Define-se um polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 da seguinte

forma:

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + 𝑎𝑛;2𝑥𝑛;2 + ⋯ +𝑎1 𝑥 + 𝑎0𝑥0

Exemplos:

𝑎 𝑥 = 4𝑥4 − 2𝑥2 + 5

𝑏 𝑥 = 3 −5

2𝑥2 + 𝑥

𝑐 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥

1.9.1. Adição e Subtração de Polinômios

Dado dois polinômios:

• 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0𝑥0

• 𝑞 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0𝑥0

Soma:

• 𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = (𝑎𝑛+𝑏𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ +(𝑎0 +𝑏0)𝑥0

Subtração:

• 𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 = (𝑎𝑛−𝑏𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ + (𝑎0−𝑏0)𝑥0

Exemplo • Calcule 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) e 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥), sendo:

𝑝 𝑥 = −3𝑥2 + 5 − 𝑥 + 2𝑥3 𝑞 𝑥 = 4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2

• Calcule 𝑟 𝑥 = 2 𝑝 𝑥 − 3 𝑞(𝑥), onde:

𝑝 𝑥 = −2𝑥2 + 5𝑥 − 2

𝑞 𝑥 = −3𝑥3 + 2𝑥 − 1

1.9.2. Multiplicação de

Polinômios

𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 + 𝑓

Ex: Determine os produtos 𝑔 𝑥 𝑘(𝑥) e

𝑕 𝑥 𝑚(𝑥), sendo:

• 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1

• 𝑘 𝑥 = −𝑥2 + 3𝑥

• 𝑕 𝑥 = −𝑥 + 𝑥3

• 𝑚 𝑥 = 𝑥5 − 𝑥3

1.9.3. Produtos Notáveis

• Produto da soma pela diferença de dois termos:

𝑥 + 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2

• Quadrado da soma de dois termos:

𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥 + 𝑎 . 𝑥 + 𝑎 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

• Quadrado da diferença de dois termos:

𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥 − 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2

• Cubo da soma de dois termos:

𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3

• Cubo da diferença de dois termos:

𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3

Exemplos: 1) 𝑘 − 5 2

2) 2 𝑡 + 3 2

3) 3 − 2𝑥 3 + 2𝑥

4) 9𝑦2 + 𝑥2 − 6𝑦𝑥

1.9.4. Divisão de Polinômios

𝑎 𝑥 ÷ 𝑏 𝑥 = 𝑞 𝑥 +𝑟 𝑥

𝑏 𝑥

Exemplo 1) Calcule 𝑓(𝑥)/(𝑔(𝑥), sendo:

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1

Resolva Determine o quociente e o resto da seguinte divisão:

2𝑥3 − 9𝑥2 + 10𝑥 − 2

𝑥2 − 3𝑥 + 1

AULA 4

PCNA - Matemática • Polinômios

1.9.5. Raiz de um Polinômio Raízes ou zeros de um polinômio 𝑝(𝑥) são os valores

de 𝑥 que tornam 𝑝(𝑥) = 0.

• Polinômio de 1ª Grau

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Possui uma raiz 𝑥1 que pode ser calculada como:

𝑎𝑥1 + 𝑏 = 0 → 𝑥1 =−𝑏

𝑎

• Polinômio de 2º Grau

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Possui duas raízes 𝑥1 e 𝑥2 que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara.

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2 𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐

• Se ∆> 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e distintas

• Se ∆= 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e iguais

• Se ∆< 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes complexas

• Caso 1 – Raízes Reais Distintas

• Caso 2 – Raízes Reais Iguais

• Caso 3 – Raízes Complexas

Exemplos 1) Verifique se 𝑥 = −3 é raiz dos polinômios abaixo:

𝑝 𝑥 = 3 𝑥 + 9

𝑟 𝑥 = 𝑥2 + 6 𝑥 + 9

Exemplos 2) Encontre as raízes dos polinômios abaixo:

a) 𝑝 𝑥 = 3𝑥 − 6

b) 𝑔 𝑥 = 4𝑥2 + 16𝑥 + 16

c) 𝑝 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥

1.9.6. Fatoração de Polinômios Considere o polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ +𝑎1 𝑥 + 𝑎0

Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de 𝑝(𝑥) então, 𝑝(𝑥) pode ser

fatorado como:

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥𝑛;1 𝑥 − 𝑥𝑛

Exemplos 1) Fatore os polinômios abaixo:

a) 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

b) 𝑘 𝑥 = −8𝑥 + 2𝑥2 + 6

AULA 5

PCNA - Matemática • Intervalos; • Inequações

2.1. Intervalos Intervalos são trechos contínuos da reta numérica.

Intervalos

Limitados Ilimitados

2.1.1. Intervalos Limitados • Intervalo aberto de a até b

• Intervalo fechado de a até b

• Intervalo fechado em a e aberto em b

• Intervalo fechado em b e aberto em a

2.1.2. Intervalos Não Limitados

• Intervalo aberto de a até +∞

• Intervalo fechado de a até +∞

• Intervalo aberto de −∞ até a

• Intervalo fechado de −∞ até a

Exemplos 1) Dado o intervalo represente-o na reta numérica

a) ] − 2, 5]

b) [−1, 2]

Exemplos 1) Descreva o intervalo dado na reta numérica

a) 𝐼 = −2, +∞ = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≥ −2}

b) 𝐼 = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≤ 1 𝑂𝑈 3 ≤ 𝑥 < 6}

2.2. Inequações 2.2.1 Propriedades da desigualdade

Sejam a, b, c, e d números reais

• 1) Somar ou subtrair um número qualquer em

ambos os lados da inequação não altera o sinal da

mesma.

• i) Se 𝑎 < 𝑏 então:

𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

• ii) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 𝑑 então:

𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑

• 2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da

inequação por um número POSITIVO não altera o

sinal da mesma.

• i) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0 então:

𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐

• ii) Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0 então:

𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐

• 3) Multiplicar ou dividir ambos os lados do

inequação por um número NEGATIVO inverte o

sinal da desigualdade.

• i) Se 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então:

𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐

• ii) Se 𝑎 > 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então:

𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐

• 4) Desigualdade Triangular: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + |𝑦|.

Obs.: 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + |𝑦| somente se 𝑥 e 𝑦 forem

simultaneamente positivos ou negativos.

• 5) 𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

• 6) 𝑥 ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −𝑎

• 7) 𝑥𝑛𝑛=

𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

Exemplos • 1) 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1

• 2) 13 ≥ 2𝑥 − 3 ≥ 5

Resolva! d) 𝑥2 + 1 < 2𝑥2 − 3 ≤ −5𝑥

𝒅) 𝑥 − 3 4 ≤ 16

AULA 6

PCNA - Matemática Função: • Definição; • Domínio, Contradomínio e Imagem; • Tipo de função; • Gráfico de Funções.

3.1 Definição Uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por 𝑓:𝐴→𝐵, se todos

os elementos do conjunto A estão associados a um e

somente um elemento do conjunto B.

3.1 Definição • Funções definidas por fórmula

y pode ser calculado a partir de x, por meio de uma

fórmula (ou regra, ou lei).

• Lei de Correspondência

Lei que associa cada número real x ao número y,

Ex.: sendo y o dobro de x, temos:

y = 2x ou f(x) = 2x

3.2 Domínio e Contradomínio

Domínio

𝐷(𝑓) = { −3, 0, 3 }

Contradomínio

𝐶𝐷(𝑓)={ 0, 9, 18 }

Imagem

𝐼𝑚(𝑓)= { 0, 9 }

3.2 Domínio e Contradomínio

• Exemplo – Dada a função 𝑓(𝑥)=4𝑥²−2, determine:

[𝑓(0)−𝑓(2)]/𝑓(1).

Resolva – Considere a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1.

Calcule o valor da constante 𝑏 = {[𝑓(1)]2− 2.𝑓(1)}/4𝑓(0)

e um número real 𝑎 de modo que 𝑓 (𝑥) = 0.

3.2 Domínio e Contradomínio

• Exemplo 2 – Calcule o domínio da função 𝑓(𝑥) =

2𝑥 − 4

Resolva – Calcule o domínio da função:

𝑓(𝑥) =5

𝑥 + 1

𝑓 𝑥 =𝑥 − 2

3 − 𝑥.

3.3 Tipos de Função

Função Injetora

Função Bijetora

Função Sobrejetora

𝐶𝐷(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑓)

3.3 Tipos de Função • Função Constante

Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑘, com 𝑘 ∈ ℜ é

denominada função constante. 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑘

3.3 Tipos de Função • Função Constante

Exemplo – Plote o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2

3.3 Tipos de Função • Função Par

Uma função 𝑓 é dita ser uma função par se:

𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)

Gráfico?

• Função ímpar

Uma função 𝑓 é dita ser uma função impar se:

𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)

Gráfico?

3.3 Tipos de Função

Exemplo – Dada a função 𝑓, determine se ela é

uma função par ou uma função impar.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1;

b) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥

3.3 Tipos de Função Resolva – Verificar se a função é par ou ímpar.

a) cosx

b) senx

3.4 Gráfico de Funções • O gráfico de uma função 𝑓 é o conjunto de todos

os pares ordenados (𝑥,𝑦) no plano 𝑥𝑦 tal que 𝑥

pertence ao 𝐷(𝑓) e 𝑦 pertence a 𝐼(𝑓).

Pares ordenados (𝑥,𝑓(𝑥)), pois 𝑦=𝑓(𝑥).

Exemplo – Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥)= 9 − 𝑥

3.4 Gráfico de Funções • Análise de Gráficos

Escolha da atividade a ser feita no simulador

Exercícios

Referências Bibliográficas

Material Didático do PCNA

FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.

“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-

logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015

“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.

Acesso: Jun. 2015

AULA 7

PCNA - Matemática • Função Polinomial de 1° grau;

• Função Polinomial de 2° grau.

3.5 Função polinomial do 1° grau

• Definição

A função 𝑓 é dada por um polinômio de 𝟏º Grau:

𝑓(𝑥)=𝑎.𝑥+𝑏, com 𝑎 e 𝑏 reais e 𝑎 ≠ 0. 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=ℜ.

Exemplos:

f(x) = 5x – 3, em que a = 5 e b = -3

f(x) = - 2x – 7, a = -2 e b = -7

f(x) = 11x, a = 11 e b = 0

Função

Afim Linear

3.5 Função polinomial do 1° grau

• Coeficientes da função Afim

y = ax + b a = coeficiente angular

b = coeficiente linear

• Zero da função

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1°grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal que f(x) = 0.

Assim, a raiz de f(x) é x = ;𝑏

𝑎.

3.5 Função polinomial do 1° grau

• Gráfico de uma função Afim

Reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

3.5 Função polinomial do 1° grau

• Exemplo – Plote o gráfico da função dada pela

equação y= 2x+4

3.5 Função polinomial do 1° grau

Resolva – Plote o gráfico das funções dadas pelas

equações.

a) 𝑦 = −2 𝑥 − 2

b) 𝑦 = 3𝑥 − 9

c) 𝑦 = − 𝑥

2

d) 𝑦 = 3𝑥

3.5 Função polinomial do 1° grau

Resolva (definir questões)

3.6 Função do 2° Grau • Definição

Uma função 𝑓 é denominada de função de 2º grau

quando ela for dada por uma lei da forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 reais e 𝑎 ≠ 0 .

Exemplos

f(x) = 2x² + 3x +5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = x² - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = -x² + 2x, sendo a = -1, b = 2 e c = 0

3.6 Função do 2° Grau • Zero da função

Chamam-se zeros ou raízes da função do 2° grau f(x) = ax² +bx + c, a ≠ 0, os números reais x tal que f(x) = 0.

As raízes são solução da equação do 2° grau ax² + bx + c = 0. Logo, pela fórmula de Bláskara:

𝑥1 𝑒 𝑥2 = −𝑏 ± 𝑏² + 4𝑎𝑐

2𝑎

A quantidade de raízes depende do valor de ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐

3.6 Função do 2° Grau • Zero da função

Soma e produto das raízes

Função genérica do 2° grau com raízes 𝑟1 𝑒 𝑟2.

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑟2𝑥 − 𝑟1𝑥 + 𝑟1𝑟2

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑥(𝑟2 + 𝑟1) + 𝑟1𝑟2

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² − 𝑎𝑥(𝑟2 + 𝑟1) + 𝑎𝑟1𝑟2

Logo:

𝑏 = −𝑎𝑥(𝑟2 + 𝑟1) → 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. −𝑎

𝑐 = 𝑎𝑟1𝑟2 → 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. 𝑎

3.6 Função do 2° Grau • Exemplo – Obter os zeros da função f(x) = x² - 5x + 6

Caminho 1 – Fórmula de Bháskara

Caminho 2 – Soma e Produto de raízes

∗ 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0

Resolva – Obter os zeros da função f(x) = x² + 9x + 14

3.6 Função do 2° Grau • Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2° grau,

𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0, é uma curva chamada

parábola.

• Coordenadas do vértice do gráfico

𝑉 = −𝑏

2𝑎, −

∆

4𝑎

3.6 Função do 2° Grau • Gráfico

Concavidade da parábola e vértice

Domínio e imagem da função de 2º grau S𝑒 𝑎>0 , 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[𝑦𝑣 ,+∞)

S𝑒 𝑎<0 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=(−∞ ,𝑦𝑣 ]

3.6 Função do 2° Grau • Construção da Parábola

1° O valor do coeficiente “a” define a concavidade

2° Os zeros definem os pontos em que a parábola

intercepta o eixo x

3° O vértice V indica o ponto de mínimo (se a>0) ou

de máximo (se a<0)

4° A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é

o eixo de simetria da parábola

5° Para x = 0, temos 𝑦 = 𝑎. 0² + 𝑏. 0 + 𝑐; então, (0,c) é o

ponto em que a parábola toca o eixo y

3.6 Função do 2° Grau • Exemplo – Esboçar o gráfico 𝑓(𝑥)=3𝑥²−9𝑥+6.

Resolva – Esboçar o gráfico𝑓 𝑥 = 2𝑥² − 5𝑥 + 2

3.6 Função do 2° Grau Resolva – Uma empresa de armamentos bélicos

realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está

sendo fabricado. A empresa pretende determinar a

altura máxima que o míssil atinge após o lançamento

e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória

descrita pelo míssil é uma parábola representada

pela função y = – x2 + 3x, onde y é a altura atingida

pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também

em quilômetros). Quais serão os valores encontrados

pela empresa?

Exercícios

Referências Bibliográficas

Material Didático do PCNA

FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.

“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-

logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015

“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.

Acesso: Jun. 2015

AULA 8

PCNA - Matemática • Função Exponencial

• Função Logarítmica

• Função Inversa

3.7 Função Exponencial • Definição

Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , em que a é um número real dado, sendo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é denominada de função exponencial.

Ex.: 𝑓(𝑥) = 0.5𝑥

𝑓 𝑥 = 0.8𝑥 Para 0 < 𝑎 < 1

𝑓(𝑥) = 10𝑥

Para 𝑎 > 1 𝑓(𝑥) = 4𝑥

3.7 Função Exponencial • Gráfico

Intercepta o eixo Y no ponto (0,1)

Nunca intercepta o eixo X

𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+ ∗ = (0, +∞)

3.7 Função Exponencial Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 2𝑥

Utilizando o método de localizar alguns pontos do

gráfico e ligá-los.

𝑓 𝑥 = 2𝑥

X Y

-3

-2

-1

0

1

2

3

3.7 Função Exponencial Resolva – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 =

1

2

𝑥e depois compare

com o gráfico de 𝑓(𝑥) = 2𝑥.

*Utilizando o método de localizar alguns pontos do

gráfico e ligá-los.

𝑓 𝑥 =1

2

𝑥

3.7 Função Exponencial • Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de

Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑒;𝑥

3.7 Função Exponencial • Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de

Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖

𝑓 𝑥 = 𝑒;𝑥𝑒 𝑓 𝑥 = −𝑒;𝑥

3.7 Função Exponencial Exemplo – Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Resolva – Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.

3.8 Função Logarítmica • Definição

Dado um número real 𝑎 (com 0 < 𝑎 ≠ 1 ), chama-se

função logarítmica de base 𝒂 a função de ℜ∗: em ℜ

dada pela lei 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥.

Exemplos

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔10𝑥

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥

𝐷(𝑓)= ℜ∗: =(0,+∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=ℜ

3.8 Função Logarítmica Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥

Utilizando o método de localizar alguns pontos do

gráfico e ligá-los.

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥

𝑋 𝑌 = 𝑙𝑜𝑔1/𝟐𝑥

-2

-1

0

1

2

3.8 Função Logarítmica Resolva – Plote o gráfico de 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥 e compare

com o gráfico de 𝑓 𝑥 = 2𝑥.

Utilizando o método de localizar alguns pontos do

gráfico e ligá-los.

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥

X 𝑌 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙

-3

-2

-1

0

1

2

3

3.8 Função Logarítmica • Gráfico da função logarítmica

Intercepta o eixo X

no ponto (1,0)

Nunca intercepta

o eixo Y

3.8 Função Logarítmica • Gráfico

Estudo comparativo entre a função exponencial e a

função logarítmica

3.9 Função Inversa • Se 𝑓:𝐴→𝐵 for uma função bijetora então, ela

admite uma função inversa 𝑓−1:𝐵→𝐴.

• Exemplo

Dada a função 𝑓 calcule sua inversa 𝑓;1

𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 6

𝑓 𝑥 = 2𝑥

3.9 Função Inversa • Resolva (a definir)

Seja f: IR ë IR uma função definida por f(x) = ax + b. Se

o gráfico da função f passa pelos pontos cartesianos

A (1, 2) e B (2, 3), a função f -1(inversa de f ) é:

Referências Bibliográficas

Material Didático do PCNA

FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.

“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-

logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015

“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.

Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Alunos Online – Site oficial” Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/grafico-da-funcao-exponencial.html> Acesso: Jul. 2015

AULA 9

PCNA - Matemática • Função Composta;

*Função Modular.

* Tópico em anexo ao material didático do PCNA

3.10 Função Composta Sejam três conjuntos distintos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 que entre eles

existam as seguintes funções: 𝑓:𝐴→𝐵 𝑒 𝑔:𝐵→𝐶

Assim, irá existir outra função 𝑕∶𝐴→𝐶 tal que 𝑕(𝑥)=𝑔(𝑓(𝑥)) que é chamada de função composta de 𝑔 e 𝑓

denotada por (𝑔∘𝑓)(𝑥).

3.10 Função Composta Exemplo/Resolva (a definir)– Considere as funções

𝑔 𝑥 = 2𝑥2

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

Determine

• 𝑔 𝑜 𝑓

• 𝑓 𝑜 𝑔

• 𝑓 𝑜 𝑓

• 𝑔 𝑜 𝑔

* Função Modular • Função definida por mais de uma sentença

Sendo f uma função definida pelas sentenças:

Se x < 0, então f(x) = 1

Se x ≥ 0, então f(x) = x +1

Calcular f(-3), f(-√2), f(0), f(2) e construir o gráfico de f.

Y é uma função de x definida por 2 sentenças. Assim,

usa-se uma sentença ou outra, dependendo do

intervalo em que o valor de x se enquadra.

* Função Modular Chama-se função modular a função f de IR em IR

dada pela lei f(x) = I x I.

Utilizando o conceito de módulo de um número real,

a função modular pode ser caracterizada:

F(x) = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0− 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

* Função Modular • Gráfico

D = IR

Im = IR+

* Função Modular • Exemplo 1.

Se f(x) = x – 1 e g(x) =|x|, construa o gráfico da função

h(x), que é a composta de g com f.

De modo geral, para esboçar o gráfico de h(x) = |f(x)|:

1° quando f(x) ≥ 0, o gráfico de h(x) é o próprio gráfico

de f(x).

2° quando f(x) < 0, o gráfico de h(x) é o gráfico de -f(x).

* Função Modular • Exemplo 2.

Se f(x) = x² - 4 e g(x) =|x|, então a composta de g

com f é dada pela lei:

h(x) = g(f(x)) = g(x² - 4) =|x² - 4|

Construa o gráfico da função h(x) =|x² - 4|.

* Função Modular • Exemplo 2.

* Função Modular • Resolva

Construa o gráfico das seguintes funções definidas

em IR:

a) h(x) = |x|-1

b) f(x) = |3x|

c) r(x) = |x² + 4x|

d) g(x) = ||2x + 3|-2|

Referências Bibliográficas

Material Didático do PCNA

FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.

“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : < http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-

logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015

“Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>.

Acesso: Jun. 2015

AULA 10

PCNA - Matemática •Geometria Plana e Espacial.

4.1. Ponto 4.2. Reta

4.2.1 Postulados da Reta a)

b)

c)

4.3. Plano 4.3.1 Postulados do Plano

a) c)

b) d)

4.3.2. Posições Relativas de duas Retas no Plano

4.4. Espaço 4.4.1 Posições Relativas de duas Retas no Espaço

• Retas Coplanares: Duas retas são ditas coplanares

quando existe um plano que as contêm.

• Retas Reversas: Duas retas são ditas reversas

quando não existe um plano que as contêm.

Exemplo 1) De acordo com a figura abaixo, dê a

classificação em relação à posição relativa dos pares

de retas indicadas:

4.5. Segmento de Retas

4.5.1. Razão entre Segmentos de Reta • A razão os entre os segmentos (AB ̅) e (CD ̅ ),

respectivamente, de comprimentos 6 cm e 3 cm é

determinada por:

AB/CD=6/3=3

4.5.2. Segmentos Proporcionais • Exemplos:

1) Verifique se os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄, nesta

ordem, são proporcionais, sabendo que 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 18 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 4 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 12 𝑐𝑚.

2) Considere os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄,

proporcionais nesta ordem. Calcule as medidas dos

segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 sabendo que 𝐴𝐵 = 𝑥 + 3 𝑐𝑚 , 𝐶𝐷 = (𝑥 − 2) 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 40 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 30 𝑐𝑚

4.5.3. Teorema de Talles “Um feixe de retas paralelas determina, em duas

retas transversais, segmentos que são proporcionais”.

𝑠𝑒 𝑟//𝑠//𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝑀𝑁

𝑁𝑃

Exemplos: • 1) Determine o valor de 𝑥 na figura abaixo.

Exemplos: • 2) A figura abaixo mostra dois terrenos cujas laterais

horizontais são paralelas. Determine as medidas 𝑥 e

𝑦.

4.6. Circunferência e Círculo

4.6.1. Elementos da

Circunferência e do Círculo • Corda e Segmento Circular

• Arco e Setor Circular

• Diâmetro, Semicircunferência e Semicírculo

4.7. Ângulo

• Grau Radiano

Exemplos: 1) Determine o valor de 𝛼 = 45° em radianos.

2) Determine o valor de 𝛼 = 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 em graus.

4.7.2. Classificação dos

Ângulos • ângulos agudo

• Obtuso

• Reto

• Raso

• de uma volta

• e côncavo.

Exemplos: 1) Determine o valor do ângulo 𝑎, na figura abaixo,

sabendo que 𝑕 = 40°.

Exemplos: 2) Na figura, determinar os valores dos ângulos x , y e

z.

4.8.1. Semelhança de Polígonos • Ângulos correspondentes iguais:

𝐴 = 𝐴’; 𝐵 = 𝐵’; 𝐶 = 𝐶’; …

• Lados correspondentes proporcionais 𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=

𝐶𝐷

𝐶′𝐷′= ⋯ = 𝑘

onde 𝑘 é a razão de semelhança

Exemplos: 1) Determine o comprimentos x, y e z dos polígonos

da figura, sabendo que eles são semelhantes.

4.8.2. Semelhança de Triângulos a) Quanto aos lados c) Quanto a dois lados e um

ângulo

b) Quanto aos ângulos

Exemplos: 1) Determine o valor de x na figura.

AULA 11

PCNA - Matemática • Geometria.

4.9. Perímetro e Área • Perímetro: é a medida do contorno de um objeto

bidimensional.

• Área: é uma função que associa a cada figura um

número positivo que representa a medida de sua

superfície.

Exemplo • Considere uma sala cuja planta baixa está

indicada:

• a) Quantos metros de rodapé serão necessários

para contornar a sala?

• b) Deseja-se revestir o piso da sala com lajotas

quadradas de 1 𝑚2.Quantas lajotas serão

necessárias?

Resolva 5) A soma das áreas dos três quadrados abaixo é

igual a 83 𝑐𝑚2. Determine a área o quadrado maior.

4.9.1 Círculo

𝑆 = 𝜋. 𝑟2

4.9.2. Paralelogramo

4.9.3. Triângulo

4.9.4 Losango

𝑆 =𝐷. 𝑑

2

4.9.5. Trapézio

4.9.6. POLÍGONO REGULAR

Exemplo: • 1) Calcule a área da superfície composta pelas

áreas hachuradas e pontilhadas da figura.

Exemplo: 2) Calcule a área da coroa circular de raio 𝑅 = 20 𝑐𝑚

e largura 𝑡 = 5 𝑐𝑚, indicada na figura 4.53, isto é,

calcule a área da superfície colorida na figura.

4.10. Volume • Definição: é o espaço ocupado por um corpo e

também a capacidade do corpo de comportar

alguma substância.

• Unidades:

4.10.1 Cubo 𝑉 = 𝐿3

4.10.2 Paralelepípedo 𝑉 = 𝐿 ∙ 𝑙 ∙ 𝑕

4.10.3 Prisma V=Área da base x h

4.10.4 Cilindro 𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑕

4.10.5 Pirâmide 𝑉 =

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑕

3

4.10.6 Cone 𝑉 =

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑕

3

4.10.7 Esfera 𝑉 =

4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟3

3

Resolva • 6) Na figura 4.68, 𝐴𝐵𝐶 é um quadrante de um

círculo de raio igual a 3 𝑐𝑚 e 𝐴𝐷𝐸𝐹 é um quadrado

de lado igual a 1 𝑐𝑚. Considere o sólido gerado

pela rotação de 360° da região hachurada da

figura em torno da reta 𝐴𝐵. Determine o volume

deste sólido de revolução.

AULA 12

PCNA - Matemática • Geometria Analítica.

5.1. Sistema de Coordenadas

Unidimensional

5.2. Sistema de Coordenadas

Cartesianas Retangulares ou Plano

Cartesiano

Onde: 𝑃𝑥 = projeção ortogonal do ponto 𝑃 no eixo x 𝑃𝑦 = projeção ortogonal do ponto 𝑃 no eixo y O = origem (interseção entre os eixos)

5.3. Distância Entre Dois

Pontos No Plano Cartesiano

y

x

.

B(x2, y2)

A(x1, y1)

∆x

∆y

y2

y1

x1 x2

B

A

∆x

∆y

Exemplos

1 5

3

x

y

A(1, 3) B(5, 3)y

x

.

B(3, 6)

A(6, 2)

3

4

6

2

3 6

Determine a distância entre A e B nas duas figuras:

Resolva Para estimar a distância entre os pontos P1 e P2, um

engenheiro caminhou, sempre em linha reta, de P1 até A,

de A até B e de B até P2, medindo adequadamente essas

distâncias. Os valores medidos estão indicados na figura:

Após efetuar os cálculos necessários a partir das distâncias

medidas, o engenheiro estimou que a distância entre P1 e

P2 é de, aproximadamente:

5.4. Coeficiente Angular e

Equação da Reta

• 5.4.1 - Coeficiente angular de uma reta

𝒎 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶

y

x

.

B(x2, y2)

A(x1, y1)

∆x

∆y

y2

y1

x1 x2

r

Casos: 1º) Se 𝛂 = 0° 𝑜𝑢 𝛂 = 180°:

x

y

0

r

• 2º) Se 0° < 𝛂 < 90°, temos tan 𝛂 > 0 ⇒ 𝑚 > 0

x

y

0

r

α

• 3º)Se 90° < 𝛂 < 180°temos tan 𝛂 < 0 ⇒ 𝑚 < 0

x

y

0

r

α

• 4º) Se 𝛂 = 90°, a tan 𝛂 não é definida. Então dizemos

que quando 𝛂 = 90°, ou seja, quando uma reta é

vertical, ela não tem declividade.

x

y

0

r

. α

5.4.2- Equação da reta quando

conhecidos um ponto 𝐏(𝐱𝟎, 𝐲𝟎) e o

coeficiente angular da reta

y

x

.

P

P0

y

y0

x0 x

r

.

.

α

α

C

EXEMPLOS: • Determine a equação da reta que passa pelo

ponto A(-1, 4 ) e tem coeficiente angular 2.

RESOLVA: • Determine a equação da reta que passa pelo

ponto 𝐴 1, −2 e que tem coeficiente angular igual

a 1.

5.4.3 – Equação da reta quando

conhecidos dois pontos

𝐷𝑒𝑡 = 0

EXEMPLO: • Determine a equação da reta que passa pelos

pontos A(-1, -2) e B (5, 2)

• As retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares e se interceptam

no ponto 2,4 . A reta 𝑠 contém o ponto 0,5 .

Determine a equação da reta 𝑟.

RESOLVA

• Um ponto móvel 𝑃 −2 + 𝑡,4𝑡

3+ 2 desloca-se no

plano cartesiano e suas coordenadas variam em

função do tempo 𝑡(com 𝑡 ≥ 0). Qual a distância

percorrida pelo ponto entre os tempos 𝑡 = 0 e 𝑡 =6?

RESOLVA

5.4.4. FORMA REDUZIDA DA

EQUAÇÃO DA RETA

5.4.5. Retas paralelas e retas

perpendiculares

5.4.5. Retas paralelas e retas

perpendiculares

EXEMPLOS • Se as retas de equações (a+3)x + 4y – 5 = 0 e

x + ay + 1 = 0 são paralelas. Calcule o valor de a.

RESOLVA • 1) Trace o gráfico das retas 𝑟 e s e determine a

interseção entre elas. Sabendo que:

• →A reta 𝑟 é a reta de equação 𝑦 = −0,5𝑥 + 8.

• → A reta 𝑠 é perpendicular à reta 𝑟 e um de seus

pontos é o ponto 𝑃 2,2 .

AULA 13

PCNA - Matemática Trigonometria - 1

6.1. Conceitos Iniciais

6.1.1. Arcos e Ângulos

• Ângulo entre

retas

• Ângulo formando

um setor circular

6.1.2. Unidades de Ângulos

• Grau • Radiano

6.1.3. Tipos de Ângulos

• Ângulo Reto • Ângulo raso

• Ângulo

agudo • Ângulo

obtuso

• Ângulo de uma

volta

Ex 1: Um arco AB de uma circunferência tem

comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4

cm, qual a medida em radianos do arco AB se L=22

cm?

Exemplo:

6.1.4. Triângulo Retângulo

1. Possui um ângulo reto.

2. O maior lado, chamado

de hipotenusa, é oposto

ao ângulo reto,

3. Os outros lados são

chamados catetos.

• Teorema de Pitágoras

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

Para todo triângulo

retângulo tem-se que “o

quadrado da hipotenusa é

igual à soma dos

quadrados dos catetos”

• Relações Trigonométricas

cos 𝜃 =𝑏

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑐

𝑎

𝑡𝑔 𝜃 = 𝑐

𝑏

sec 𝜃 =𝑎

𝑏

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝜃 = 𝑎

𝑐

𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 = 𝑏

𝑐

Exemplo: Ex 2: Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.

Simulador: Triângulo Retângulo

• Lei dos Cossenos

Para um triângulo qualquer:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos (∝)

Onde ∝ é o ângulo oposto ao

lado 𝑎.

Exemplo 3) Um triângulo tem lados a = 10m, b = 13m e c= 15m.

Calcule o ângulo o menor, Â , do triângulo.

• Lei dos Senos Para um triângulo qualquer:

𝑎

𝑠𝑒𝑛(Â)=

𝑏

𝑠𝑒𝑛(𝐵 )=

𝑐

𝑠𝑒𝑛(𝐶 )

Sendo o lado 𝑎

oposto ao ângulo Â.

Exemplo 4) Calcule o valor do segmento AB do Triângulo

representado pelo desenho a seguir:

6.2. Círculo Trigonométrico

• 6.2.1 – Definição • Divisões em

Quadrantes

• Sentido positivo =

sentido anti-horário

•Sentido negativo =

sentido horário.

• Seno

6.2.2 - Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico

2. Redução ao

primeiro quadrante

1. Análise de

Sinal

•Cosseno

1. Análise de

Sinal

2. Redução ao

primeiro quadrante

• Ângulos correspondentes

• No II Quadrante: 180º − 𝛼;

• No III Quadrante: 180º + 𝛼;

• No IV Quadrante: 360º − 𝛼.

Exemplos: 5) Determine o valor de :

a) 𝑠𝑖𝑛;𝜋

3:

b) 𝑐𝑜 𝑠;𝜋

3:

•Tangente

1. Análise de

Sinal

2. Redução ao

primeiro quadrante

6) Determine o valor de:

• 𝑡𝑔(7𝜋

6):

• 𝑡𝑔3𝜋

4:

Exemplos:

Simulador: Círculo Trigonométrico

Resolva: • Calcule o valor da expressão:

𝑦 = sen 105° − cos 75°

• Calcule o valor numérico da expressão:

𝑦 = sen13𝜋

12. cos(

11𝜋

12)

• Ângulos notáveis

AULA 14

PCNA - Matemática Trigonometria - 2

6.3 – Relações Trigonométricas Inversas

• sec ∝ = 1

cos (∝)

• 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 ∝ = 1

sin (∝)

• 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝ = cos (∝)

sin (∝)

Simulador: Geogebra

Exemplos: Ex 1: Se 𝑠𝑒𝑛 ∝ =

1

2, com 0 < ∝ <

𝜋

2. Determine o valor

de 𝑠𝑒𝑐 ∝ .

Ex 2: Se 𝑠𝑒𝑛 ∝ = ;2

3, com

3𝜋

2< ∝ < 2𝜋. Determine o

valor de 𝑐𝑜𝑡𝑔(∝).

6.4 - Identidades Trigonométricas

• Obtida por simples aplicação de Pitágoras no

círculo trigonométrico.

• 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 (relação fundamental)

• 1 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥

• 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

• sin 𝑎 + 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎

• sin 𝑎 − 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑏 cos 𝑎

• cos 𝑎 + 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏

• cos 𝑎 − 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin (𝑏)

• sen 2𝑥 = 2. sen 𝑥 . cos(𝑥)

• cos 2𝑥 = cos² 𝑥 − sen²(𝑥)

• sen 𝑥

2= 1−cos (x)

2

• cos 𝑥

2= 1+cos x

2

Ex 3: Determine o valor de:

a) sen(105°)

b) cos(15°)

Exemplos:

• Dado que sin 𝑥 cos 𝑥 = 𝑚, calcule o valor de

𝑦 = sin4 𝑥 + cos4(𝑥) 𝑒 𝑧 = sin6 𝑥 + cos6(𝑥)

Resolva

Transformação de SOMA em PRODUTO

• 𝑠𝑖𝑛 𝑝 + 𝑠𝑖𝑛 𝑞 = 2 sin𝑝:𝑞

2cos (

𝑝;𝑞

2)

• sin 𝑝 − sin 𝑞 = 2 sin𝑝;𝑞

2cos (

𝑝:𝑞

2)

• 𝑐𝑜𝑠 𝑝 + 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = 2 cos𝑝:𝑞

2cos

𝑝;𝑞

2

• 𝑐𝑜𝑠 𝑝 − 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = −2 sin𝑝:𝑞

2sin

𝑝;𝑞

2

Exemplos: Ex 4: Transforme em produto:

a) cos 30º + cos 10º

b) sen 70º - sen 30º

Resolva • Transforme em produto:

a) 𝑦 = 1 + sin 2𝑥 :

b) 𝑦 = cos 3𝑥 + cos (𝑥)

AULA 15

PCNA - Matemática Trigonometria - 3

6.5. Funções Trigonométricas

6.5.1 Função Seno:

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

Domínio: ℝ

Imagem: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1

Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo

trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu

caráter oscilatório.

Período: 2𝜋

Simulador: Geogebra

Modificações no gráfico da função

• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. sen 𝑐𝑥 + 𝑑 ,

as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:

• A = deslocamentos verticais;

• B = alongamento vertical ou horizontal;

• C = encurtamento horizontal;

• D = deslocamentos horizontais.

• Se 𝑓 𝑥 = sen 𝑎𝑥 , 𝑎 > 1 , há o encurtamento

horizontal.

Ex 1: 𝑓 𝑥 = sen(2𝑥)

• Se 𝑓 𝑥 = B. sen(𝑥):

• B>1, ocorre um alongamento vertical;

• B<1, ocorre um alongamento horizontal.

Ex 2: 𝑓 𝑥 = 0,5. sen(𝑥):

Ex 3: Estude a função ∶ 𝑓 𝑥 = −0,5 + 0,5 . 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + π)

6.5.2 Função Cosseno:

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

Domínio: ℝ

Imagem: −1 ≤ 𝑦 ≤ 1

Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo

trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu

caráter oscilatório.

Período: 2𝜋

Simulador: Geogebra

Modificações no gráfico da função

• Processo semelhante ao da função seno.

• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. cos 𝑐𝑥 + 𝑑 ,

as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:

• A = deslocamentos verticais;

• B = alongamento vertical ou horizontal;

• C = encurtamento horizontal;

• D = deslocamentos horizontais.

𝑓 𝑥 = 0.5𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)

Exemplo: Ex 5: Estude a função ∶ 𝑓 𝑥 = 2 + 3 . 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + π)

6.5.4 Função Tangente:

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (𝑥) Domínio:

ℝ − (𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑜𝑠 à 𝜋

2 𝑜𝑢

3𝜋

2)

Imagem: −∞ ≤ 𝑦 ≤ ∞

Obs.: quando 𝑥 =𝜋

2,3𝜋

2, ou seus correspondentes depois de N

voltas, a função não existe.

Período: 𝜋

Modificações no gráfico da função

• Processo semelhante aos das funções seno e

cosseno.

• Para uma função do tipo 𝑓 𝑥 = 𝐴 + 𝐵. t𝑔 𝑐𝑥 + 𝑑 ,

as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos:

• A = deslocamentos verticais;

• B = alongamento vertical ou horizontal;

• C = encurtamento horizontal;

• D = deslocamentos horizontais.

𝑓 𝑥 = 5𝑡𝑔 (𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔(2𝑥)

Exemplo: Ex 6: Estude a função ∶ 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥 − 𝜋)

6.5.4. Função Arco-Seno • O arco-seno (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥)) é um ângulo definido pela

variável ∝ dependente de um valor x tal que

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ∝ isto é, 𝑠𝑒𝑛 ∝ = 𝑥.

∝ = arcsin (𝑥)

Exemplo: Ex 7: Para um triângulo retângulo de hipotenusa

2 cm e cujo ângulo 𝛼 é oposto a um cateto de

1cm, determine o valor de 𝛼.

6.5.5 Função Arco-Cosseno

• O arco-cosseno (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) é um ângulo ∝ cujo

valor de seu cosseno vale x, isto é, ∝ depende de x

tal que 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = ∝, cos ∝ = 𝑥.

∝ = arccos (𝑥)

Exemplo: 8) Sabe-se que um triângulo retângulo possui um

ângulo ∝ tal que o cateto adjacente a este

ângulo vale 2 cm e a hipotenusa do respectivo

triângulo possui valor de 4 cm. Determine o

ângulo ∝.

6.5.6 Função Arco-Tangente

• O arco-tangente (arctan (𝑥)) de um valor x, de

modo que seu resultado que é o ângulo 𝜃 é o

ângulo cuja a tangente é igual ao valor x. Ou seja,

se tan 𝜃 = 𝑥, tem-se que 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥).

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)

Exemplo: 9) Um triângulo retângulo possui um ângulo ∝ o

qual tem como cateto oposto b = 2.√2,e o cateto

adjacente valendo c =2.√2. Determine o ângulo ∝.

6.6. Sistema de Coordenadas Polares

• 𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎: 𝑥, 𝑦

• 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑟, 𝜃

• 𝑥, 𝑦 → (𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 )

• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

• 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦

𝑥)

Coordenadas polares no AutoCAD

• É definido o ângulo e o tamanho do segmento.

Exemplos: Ex 1: Converta as coordenadas polares dadas para

coordenadas cartesianas:

𝑎) 𝑟, 𝜃 = 2 ,3𝜋

2

𝑏) 𝑟, 𝜃 = −4 ,−𝜋

3

Ex 2: Converta as coordenadas cartesianas dadas

para coordenadas polares.

a) 𝑥, 𝑦 = 4 , 4

b) 𝑥, 𝑦 = −1 , − 3