Post on 07-Mar-2021
PESQUISA OPERACIONAL Resolução Gráfica
Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil
2 Prof. Volmir - UFPR
Objetivo: produzir um par de x1 e x2 que (i) satisfaça todas as restrições e (ii) tenha o maior valor da função objetivo. Um par de valores específicos (x1, x2) é considerado uma solução viável se satisfizer todas as restrições. (x1, x2) = (0, 0) e (x1, x2) = (1; 1) são viáveis. (x1, x2) = (1, -1) e (x1, x2) = (1, 2) não são viáveis. https://www.utdallas.edu/~metin/Or6201/simplex_s.pdf O valor da função objetivo em (0; 0) é 0 e em (1; 1) é 7.
Problema Considere o seguinte programa linear-pl
Determinação do gradiente
3
(x1, x2) é um ponto no sistema de coordenadas. Vamos transformar desigualdades em igualdades e desenhar linhas no sistema de coordenadas. Observe que cada linha (1) divide o plano em dois semi-planos: porção viável e porção inviável. Indicamos a porção viável com setas. Desenhe outras linhas (2), (3) e (4) e indique a porção viável para todas as linhas. A região que está no lado correto de todas as linhas: região viável ou viável? Observe que a restrição (3) é redundante (inativa).
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Representação gráfica do gradiente
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• Curva de nível representada no domínio • Gradiente representado no domínio • Gradiente perpendicular a tangente da curva de nível
O gradiente é um vetor que indica a direção na qual a função cresce “mais rapidamente”. No ponto onde a função é mínima/máxima, o vetor gradiente é nulo.
5
2010 ,, f
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86
86 21
,Z
xxZ
Função - plano
Gradiente e curvas de nível Equação de um plano
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86
86 21
,Z
xxZ
0
113105
3102030
21
21
21
x,x
xx
xx
Função - Plano
Domínio - Região em R2
Gradiente e curvas de nível Equação de um plano - pl
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0,
113105
3102030.
86 max
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xxZ
0,,,0113105
0,,,03102030
5113
10113
21
331
231
21
DCxx
BAxx
A
B
C
D
Solução gráfica – exemplo 1
8 8 Prof. Volmir - UFPR
0,
113105
3102030.
86 max
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xxZ
113105
3102030
21
21
xx
xx
Solução gráfica – exemplo 1
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8,6
4886 2148
Z
xxZ
8,6Z
48Z
9,2 46/5
4,2 21/5
98,8 494/5 Z
*
2
*
1
*
x
x
0,
113105
3102030.
86 max
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xxZ
113105
3102030
21
21
xx
xx
Solução única
Solução gráfica – exemplo 1
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B
A
C
D
E
F
05020445
05301553
6
5
02202
94
21
21
2
1
21
,,,
,,,
,,,
FExx
DCxx
x
x
BAxx
0
20445
1553
6
5
2
106
21
21
21
2
1
21
21
xx
xx
xx
x
x
xxas
xxZ
,
.
min
Solução gráfica – exemplo 2
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0
20445
1553
6
5
2
106
21
21
21
2
1
21
21
xx
xx
xx
x
x
xxas
xxZ
,
.
min
20445
1553
6
5
2
21
21
2
1
21
xx
xx
x
x
xx
Solução gráfica – exemplo 2
12 Prof. Volmir - UFPR
20445
1553
6
5
2
21
21
2
1
21
xx
xx
x
x
xx
0
20445
1553
6
5
2
106
21
21
21
2
1
21
21
xx
xx
xx
x
x
xxas
xxZ
,
.
min
10,6
60106 2160
Z
xxZ2,625 21/8
6250 5/8
03 Z
*2
*1
*
x
x ,
0 5 03 Z
1,15 15/13 3,08 40/13 03 Z
*
2
*
1
*
*
2
*
1
*
xx
xx
Solução múltipla
Solução gráfica – exemplo 2
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05505
06301863
21
21
,,,
,,,
DCxx
BAxx
0,
5
1863.
124 max
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xxZ
Solução gráfica – exemplo 3
14 Prof. Volmir - UFPR
0,
5
1863.
124 max
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xxZ
5
1863
21
21
xx
xx
Solução gráfica – exemplo 3
15 Prof. Volmir - UFPR
0,
5
1863.
124 max
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xxZ
5
1863
21
21
xx
xx
12,4
48124 2148
Z
xxZ
3
0
63 Z
*
2
*
1
*
x
x
Solução degenerada
Solução gráfica – exemplo 3
16 Prof. Volmir - UFPR
0,4,5,02045
0,5,3,01553
6
0,2,2,02
21
21
2
21
FExx
DCxx
x
BAxx
0,
2045
1553
6
2.
106 max
21
21
21
2
21
21
xx
xx
xx
x
xxas
xxZ
A
B
C
D
E
F
Solução gráfica – exemplo 4
17 Prof. Volmir - UFPR
2045
1553
6
2
21
21
2
21
xx
xx
x
xx
0,
2045
1553
6
2.
106 max
21
21
21
2
21
21
xx
xx
xx
x
xxas
xxZ
Solução gráfica – exemplo 4
18 Prof. Volmir - UFPR
0,
2045
1553
6
2.
106 max
21
21
21
2
21
21
xx
xx
xx
x
xxas
xxZ
10,6
60106 2160
Z
xxZ
2045
1553
6
2
21
21
2
21
xx
xx
x
xx
Solução ilimitada
Solução gráfica – exemplo 4
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0,
20
12.
max
21
21
21
21
xx
xx
xxas
xxZ
Solução inviável
Solução gráfica – exemplo 5
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Solução gráfica – Procedimento
21
I. Desenhe a reta de cada restrição no gráfico.
II. Identifique a região de soluções viáveis, isto é, a área do gráfico que simultanea-mente satisfaz a todas as restrições.
III. Encontre a solução ótima pelo seguinte método:
a. Desenhe uma ou mais curvas de nível da função objetivo e determine a direção na qual curvas paralelas resultam em aumentos no valor da função objetivo;
b. Desenhe curvas paralelas na direção do crescimento (indicada pelo gradiente de Z) até que a curva toque a região de soluções viáveis em um único ponto (ou em um segmento).
Prof. Volmir - UFPR