Post on 04-Mar-2021
ESTABILIDADE
PólosZerosEstabilidade
Introdução
Uma característica importante para um sistema de controle é que ele seja estável.
Se uma entrada finita é aplicada ao sistema de controle, então a saída deverá ser finita e não infinita, isto é, aumentar sem limite.
0 10 20 30 40 500.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2−
f t( )
500 t
0 10 20 30 40 502
1.33
0.67
0
0.67
1.33
21.664
1.732−
f t( )
500 t
ESTABILIDADE
EstávelQuando sujeito a uma entrada impulso a saída tende a zero à medida que o tempo tende a infinito.
InstávelQuando sujeito a uma entrada impulso a saída tende a infinito à medida que o tempo tende a infinito.
Criticamente estávelQuando sujeito a uma entrada impulso a saída não vai para zero nem infinito, mas tende um valor finito diferente de zero.
Estável Criticamente estável
Instável
Pólos e Zeros
Função de transferência
( ) ( )( )01
22
11
012
21
1
bsbsbsbsasasasasKsG
nn
nn
n
mm
mm
m
+++++
+++++=
−−
−−
−−
−−
K
K
Se as raízes do denominador e do numerador são conhecidas:
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )n
m
pspspszszszsKsG
++++++
=K
K
21
21
mzzz −−− K21, são chamados zerosSão os valores de s para os quais a função de transferência é zero
nppp −−− K21, são chamados pólosSão os valores de s para os quais a função de transferência é infinita
ZEROS são os valores de s para os quais a função de transferência é zero
PÓLOS são os valores de s para os quais a função de transferência é infinita, isto é, eles fazem o denominador tornar-se zero
( ) ( )( )86
12 +−
−=
ssssG ( )
( ) ( )241−−
−=
sssExemplo:
Zero = +1Pólos = +4 e +2Pólos e zeros podem ser quantidades complexas ou reais
( ) ( )( )1
22 +
−=
sssG ( )
( ) ( )112
jsjss
+−−
=
Zero = +2Pólos = +j1 e – j1 ωσ js +=
Determinar os pólos e os zerosda Função de Transferência.
Exemplo:
( )( )( ) ( ) ( ) ( )4320
15−++−
−+=
ssssss( )
sssssssG
241454
234
2
−−+−+
=
Os pólos são: 0, –2, –3, e +4.Os zeros são: –5 e +1.
Determinar os pólos e os zerosda Função de Transferência.
Exemplo:
( )( ) ( )7,15,07,15,0
4jsjs
s−+++
+=( )
34
2 +++
=ss
ssG
Os pólos são: –0,5 – j1,7 e –0,5 + j1,7.ωσ js +=O zero é: –4.
DIAGRAMA DE PÓLOS E ZEROS
ωσ js += +jω
–jω
0-2 -1
1
2
3
-3
-2
-1
x
x
pólo = –1+j2
zero=2zero = –3
+σ–σo1 2 3x
pólo = 3
-3o
pólo = –1–j2
Um pólo é marcado com x Um zero é marcado com o
ESTABILIDADE E PÓLOS
A estabilidade de um sistema pode ser determinada considerando a variação da saída com o tempo quando é sujeito a uma entrada impulso.
EstávelA saída diminui com o tempo
InstávelA saída aumenta com o tempo
Considere um sistema sem zeros e com um pólo em –2
( )2
1+
=s
sG ( ) ( )ss
s io θθ2
1+
=⇒
( )2
1+
=s
soθ⇒( ) 1=siθEntrada impulso
( ) to et 2−=θ⇒Transformada inversa de Laplace
te 2−O valor de diminui com o tempo
t
θo
0O sistema é ESTÁVEL
Considere um sistema sem zeros e com um pólo em +2
( )2
1−
=s
sG ( ) ( )ss
s io θθ2
1+
=⇒
( )2
1−
=s
soθ⇒( ) 1=siθEntrada impulso
( ) to et 2=θ⇒Transformada inversa de Laplace
te2O valor de aumenta com o tempo
t
θo
0O sistema é INSTÁVEL
Considere um sistema sem zeros e com pólos em (–2 ± j1)
( )( )[ ] ( )[ ]1212
1jsjs
sG−−−+−−
=
( )( )[ ] ( )[ ]
( )sjsjs
s io θθ1212
1−−−+−−
=⇒
Entrada impulso ( ) 1=siθ ( )( )[ ] ( )[ ]1212
1jsjs
so −−−+−−=θ
Transformada inversa de Laplace⇒ ( )
−=
−−
22
jeeet
jtjtt
oθ
O valor de te t sen2−
diminui com o tempo
O sistema é ESTÁVEL
( )( )bsas ++1 ⇔ ( )btat ee
ab−− −
−1
( ) tet to sen2−=θ
t
θo
0
⇒
O sistema será INSTÁVELSe qualquer pólo tiver a parte real positiva
ωj±
O sistema será ESTÁVELSe todos os pólos tiverem a parte real negativa
O sistema será CRITICAMENTE ESTÁVELSe qualquer pólo tiver a parte real nula
A saída será OSCILATÓRIA se existirem pólos envolvendo
xσ
jω
0 2
12
-2-1
1-1-2 σ
jω
0 2
12
-2-1
1-1-2 σ
jω
0 2
12
-2-1
1-1-2x x
x
x
x σ
jω
t
θo
0
Instável
x
Estável
σ
jω
t
θo
0
xEstável
σ
jω
t
θo
0 σ
jω
t
θo
0
Instávelx
x
Criticamente Estável
σ
jω
t
θo
0
x x
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
A determinação da estabilidade de um sistema envolve:A determinação das raízes do denominador da função de
transferênciaA consideração de que a parte real de qualquer uma delas
seja negativaAs raízes não são muito facilmente obtidas se o denominador tem a forma:
012
21
1 asasasasa nn
nn
nn +++++ −
−−
− K
e n é maior que 3 ou 4O critério de Routhcritério de Routh--HurwitzHurwitz apresenta um método que pode ser usado em tais situações
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
O primeiro teste consiste em inspecionar os coeficientes da equação acima:
Se os coeficientes são todos positivos e nenhum é zero, o sistema pode ser estável.
Se qualquer coeficiente é negativo, o sistema é instável.Se qualquer coeficiente é zero, o sistema pode ser no máximo
criticamente estável.
012
21
1 asasasasa nn
nn
nn +++++ −
−−
− K
( )132 23 +++ sss ⇒ Pode ser estável
( )132 23 ++− sss ⇒ É instável
( )sss 32 23 ++ ⇒ Pode ser no máximo criticamente estável
Para sistemas que têm denominadores que podem ser estáveis, um segundo teste deve ser realizado.
012
21
1 asasasasa nn
nn
nn +++++ −
−−
− K
Arranjo de Routh:
na1−na
2−na3−na
4−na5−na
ns1−ns
LL
As linhas seguintes no arranjo são determinadas por cálculos feitos a partir dos elementos nas duas linhas imediatamente acima.
Linhas sucessivas são calculadas até que apenas zeros apareçam.
O arranjo deve conter (n+1) linhasUma linha correspondente a cada um dos elementos sn a s0.
012
21
1 asasasasa nn
nn
nn +++++ −
−−
− K
4−na5−na
LL
3b L
3c L
Elementos da 3a linha
31
21 −−
−
−= n
n
nn a
aaab
51
42 −−
−
−= n
n
nn a
aaab
na1−na
1b1c
2−na3−na
2b2c
ns1−ns2−ns3−ns
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ L
Elementos da 4a linha⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅2s1s
⋅⋅1x1y
1z
⋅2x2y
⋅3x
21
131 b
baac n
n
−= −
−
0s3
1
152 b
baac n
n
−= −
−
Regras práticas para determinar os elementos da matriz:
oo o
A BD E
EDAB − o o
o o oo o o
A B CD E F
FDAC −o o
o ooCF
Quando o arranjo estiver completo:Se todos os elementos na primeira coluna são positivos
Todas as raízes tem a parte real negativaO sistema é ESTÁVEL
Se existem elementos negativos na primeira colunaO número de trocas de sinal na primeira coluna é igual ao
número de raízes com a parte real positivaO sistema é INSTÁVEL
EXEMPLO: Usar o critério Routh-Hurwitz para determinar se o sistema que tem a seguinte função de transferência é estável:
( )1432
12234 ++++
+=
ssssssG A B
D EA CD F
12 4
3 14sA primeira coluna tem todos os elementos positivos.
O sistema é ESTÁVEL
3s1 12s
1s 210s
0 10 20 30 40 500.5
0
0.5
11
0.5−
g t( )
500 t
EXEMPLO: Usar o critério Routh-Hurwitz para determinar se o sistema que tem a seguinte função de transferência é estável:
( )14
12234 +++++
=ssss
ssG A BD E
A CD F
0 2.5 5 7.5 1050
0
50
10051.983
23.222−
f t( )
100 t
A primeira coluna tem um elemento negativo.
O sistema é INSTÁVEL1
11 43−313
1
1 14s3s2s1s0s
EXEMPLO: Para o sistema mostrado, qual a faixa de K que resulta em estabilidade?
( )Ksss
sG1045
1023 +++
=
+–
( )siθ1
1+s
1G
( )410+ss
2G ( )soθ
K
( ) ( ) ( )
( ) ( )Ksss
ssssG
410
111
410
11
+++
++=
H
( )HGG
GGsG21
21
1+=
( )Ksss
sG1045
1023 +++
=
13s2s1s0s
4Para que a primeira coluna tenha somente valores positivos:5 K10
K24−024 >− K
010 >K
2<K
K10 0>K
20 << KK deve estar entre 0 e 2