Post on 12-Jun-2015
Polígonos regulares
1. Definição
Consideremos, num plano, n pontos , A1, A2,..., An, ordenados de modo que três pontos não sejam colineares (não alinhados).Chamamos de polígono a figura formada pela união dos n segmentos consecutivos.
2. Região poligonal
É a região do plano formada pela união dos pontos do polígono com os pontos do seu interior. Se a região poligonal for convexa, o polígono será denominado polígono convexo.
» Figura convexa: Se quaisquer que sejam os pontos distintos A e B pertencentes a F, o segmento da reta AB está
contido em F.
» Figura côncava: Se existir um segmento de reta AB, com , e , não contido em F.
3. NomenclaturaDe acordo com o número de lados, vejamos alguns casos a seguir:
4. Classificação
» Polígono equilátero tem todos os lados congruentes, tomando como exemplos o losango, o quadrado,..., etc.
» Polígono equiângulo têm todos os ângulos internos congruentes, como por exemplo, no quadrado, no retângulo,..., etc.
» Polígono regular é equilátero e equiângulo simultaneamente, como no quadrado, no triângulo equilátero,..., etc.
5. Relações nos polígonos
Em todo polígono convexo de n lados , sendo d o número de diagonais, a soma das
medidas dos ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos externos definimos:
Em todo polígono convexo de n lados , sendo d o número de diagonais, a soma das
medidas dos ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos externos definimos:
» Número de diagonais
Diagonal Chama-se diagonal do polígono todo segmento de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos desse polígono.Em um polígono de n lados, temos:
i. que cada vértice dá origem a (n – 3) diagonais;ii. que os n vértices dão origem a n . (n – 3) diagonais;iii. que com este raciocínio, cada diagonal foi contada duas vezes, pois cada uma delas é determinada por dois vértices.
Assim, sendo d o número de diagonais do polígono, temos .
» Soma dos ângulos internos
Seja um polígono de n lados e P um ponto interno, ligando P aos vértices obtemos n triângulos cuja soma dos ângulos internos é .
Assim, sendo a soma dos ângulos do polígono, temos que .
» Soma dos ângulos externos
Sejam, num polígono de n lados, , respectivamente, as medidas de um ângulo interno e do
ângulo externo adjacente a ele, a soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos.
Sendo , para cada um dos vértices do polígono, temos que, em resumo, obtemos:
.
Se o polígono for equiângulo, todos os ângulos internos são congruentes e todos os ângulos externos
são congruentes e, portanto, .
Exercícios de fixação
01. Calcule o número de diagonais de um eneágono convexo.
02. Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o dobro do número de lados?
03. A soma dos ângulos internos de um heptágono convexo é:
04. Qual a medida do ângulo interno de um hexágono regular?
05. (UFPA) Cada um dos ângulos internos de um polígono regular mede 150º. Qual é o número de lados do polígono?
06. (UFRJ) Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15º. Quantas diagonais têm esse polígono?
07. (FUVEST – SP) Quantos lados têm um polígono convexo, cujo número de diagonais é d e a soma dos ângulos internos é ?
08. Num polígono convexo a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. Calcule o número de diagonais desse polígono.
09. A soma dos ângulos internos de dois polígonos cujos números de lados são inteiros e consecutivos é 1.620º. A soma das quantidades de diagonais destes polígonos é:
10. Num polígono regular ABCDE..., a diagonal forma com o lado um ângulo de 18º. Esse polígono possui quantas diagonais?
11. (UFSE) Calcule, em graus, a soma dos ângulos assinalados na figura seguinte:
12. (UFAL) A soma dos ângulos assinalados na figura vale:
13. (AMAN) O polígono convexo em que o triplo do número de vértices é igual ao total de diagonais é o:
14. (UFSCar – SP) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem quantos lados?
15. (UEFS – BA) Se o número de diagonais de um polígono P, de n lados, é igual a um sexto do número de diagonais do polígono de 2n lados, então o polígono P é um:
16. (Mackenzie – SP) Se de cada vértice de um polígono regular partem quinze diagonais, a medida dos ângulos internos desse polígono, em radianos, é:
17. (USP) A soma das medidas dos sete ângulos destacados na figura seguinte é igual a: