Polinômios eequações algébricas

Fabricante de caixas

Uma empresa fabrica caixas de papelão. Para isso utiliza folhas quadradas de 20 cm de lado. O processo de fabricação aparece na figura.

20 cm

20 cm

xx x

x

xxx

x

Fabricante de caixas

A empresa acaba de receber uma encomenda de caixas como essa. Elas devem ter meio litro de capacidade, o que equivale a 500 cm3.

Qual deve ser o valor de x, lado dos quadradinhos a serem cortados, para que a caixa tenha o volume pedido?

Fabricante de caixas

Vamos, então, calcular o volume da caixa.

x

20 – 2x

20 – 2x

V = AB . h

AB = (20 – 2x)2= 400 – 80x + 4x2

V = (400 – 80x + 4x2).x

V = 4x3 – 80x2 + 400x

Deve ser V = 500,

4x3 – 80x2 + 400x = 500

4x3 – 80x2 + 400x – 500 = 0 (: 4)

x3 – 20x2 + 100x – 125 = 0

Polinômio devariável complexa

Monômio

Observe as seguintes expressões algébricas:

3x4 , –2ix6 , –13x , 4ix0 , 0x3 ,

Expressões como essas são chamadas de monômios. Elas têm alguns aspectos comuns.

Todas são o produto de uma constante complexa por uma variável, elevada a um expoente natural.

Monômio

Chamamos monômio de variável complexa toda expressão algébrica do tipo

axn x é a variável complexaa é a constante complexan é expoente natural

o complexo a é o coeficiente do monômio

se a ≠ 0, o expoente n da variável é o grau do monômio

se a = 0, o monômio é chamado monômio nulo. Seu grau não é definido.

Exemplos de monômios

–2x6

é monômio de grau 6 e coeficiente –2.

13x

é monômio de grau 1 e coeficiente 13.

4i ou 4ix0

é monômio de grau zero e coeficiente 4i.

0x3 ou 0x2 ou 0

são diferentes representações do monômio nulo.

Polinômio de variável complexa

Observe agora as seguintes expressões formadas por monômios de variável complexa:

p(x) = x2 – 5x + 2

q(x) = 6x + i

r(x) = 3x2

Expressões como essas são chamadas de funções polinomiais ou polinômios de variável complexa.

Polinômio de variável complexa

É toda expressão algébrica constituída de um monômio ou uma soma de monômios de variável complexa.

p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–

1x + an

A forma geral:

Na forma geral, o polinômio tem apenas um termo de cada grau (ele é reduzido);

Os monômios são escritos na ordem decrescente de seus graus (ele é ordenado).

Polinômio de variável complexa

Em um polinômio, cada monômio é um termo. O termo de grau zero, que não tem a variável, é

o termo independente. Os coeficientes dos termos são chamados de

coeficientes do polinômio. O coeficiente do termo de maior grau é

chamado de coeficiente dominante do polinômio.

Um polinômio com 1, 2 ou 3 termos é chamado de monômio, binômio ou trinômio, respectivamente.

Exemplos de polinômios

p(x) = x2 – 5x + 2 é um trinômio.

Seus termos são x2, –5x e 2.

Os coeficientes são 1, –5 e 2. O termo independente é 2.

q(x) = 6x + i é um binômio.

Seus termos são 6x e i.

Os coeficientes são 6 e i. O termo independente é i.

r(x) = 3x2 é um monômio.

Seu único termo 3x2 de coeficiente 3.

Ele não tem termo independente.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é o expoente de seu termo de maior grau, com coeficiente não-nulo. No caso, esse coeficiente é chamado de coeficiente dominante do polinômio.

p(x) = x3 – 5x + 2 é um polinômio de grau 3 (3º grau). Seu coeficiente dominante é 1.

q(x) = 0x2 + 6x + i é um polinômio de grau 1 (1º grau). Seu coeficiente dominante é 6.

r(x) = 5 é um polinômio de grau 0. Seu coeficiente dominante é 5.

Exemplo

Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.

1ª hipótese: o polinômio pode ser de 2º grau. Deve serm2 – 1 ≠

0⇒ m2 ≠ 1⇒ m ≠ ±

1 2ª hipótese: o polinômio pode ser de 1º

grau. Deve serm2 – 1 =

0m + 1 ≠

0

⇒ m2 = 1⇒ m = ± 1

⇒ m ≠ –1⇒ m = 1

Exemplo

Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.

3ª hipótese: o polinômio pode ser de grau 0. Deve serm2 – 1 =

0m + 1 =

0

⇒ m2 = 1⇒ m = ± 1

⇒ m = –1⇒ m = –1

Valor numérico e raiz de um polinômio

Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio

p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. Podemos atribuir à variável x qualquer valor complexo. Para x = 3, temos

p(3) = 33 – 5.32 + 7.3 – 2

= 27 – 45 + 21 – 2

= 1

Dizemos que o valor do polinômio p(x) para x = 3 é p(3) = 1.

Valor numérico e raiz de um polinômio

Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio

p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. podemos atribuir à variável x qualquer valor complexo. Para x = 2, temos

p(2) = 23 – 5.22 + 7.2 – 2

= 8 – 20 + 14 – 2

= 0

O valor de p(x) para x = 2 é p(2) = 0.

Dizemos que 2 é uma raiz ou um zero do polinômio p(x). A raiz anula o polinômio.

Polinômio nulo

O polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, é chamado de polinômio nulo ou identicamente nulo.

p(x) = 0x3 + 0x + 0 e q(x) = 0x + 0 são duas representações do polinômio nulo.

Qual é o grau do polinômio nulo?

Não se define o grau do polinômio nulo.

Infinitas raízes.

Quantas raízes tem o polinômio nulo?

Polinômio nulo

De modo geral definimos:

p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–

1x + an

p(x) é nulo ⇔ a0 = an–1 = an–2 = ... = an = 0

Às vezes indicamos que p(x) é polinômio identicamente nulo, escrevendo p(x) ≡ 0.

Exemplo

Calcular os valores das constantes a, b e c, para que

p(x) = ax(x – 3) + b(2x – 1) + x(x + 5) + c – 1 seja polinômio nulo.

Primeiro vamos escrever p(x) na forma geral

p(x) = ax2 – 3ax + 2bx – b + x2 + 5x + c – 1p(x) = (a + 1)x2 + (2b – 3a + 5)x + c – b – 1a + 1 =

02b + 5 – 3a = 0

c – b – 1 = 0

⇒ a = –1

⇒ 2b – 3(–1) + 5 = 0

⇒ b = –4⇒ c – (–4) – 1 =

0⇒ c = –

3

Polinômios idênticos

Observe os seguintes polinômios:

p(x) = x2 – 4(x – 1) – 1

q(x) = x(x – 4) + 3

r(x) = (x + 2)(x – 2) – 4x + 7

Escrevendo-os na forma geral, obtemos o mesmo polinômio: x2 – 4x + 3.

Dizemos, por isso, que p(x), q(x) e r(x) são polinômios idênticos.

Polinômios idênticos

Dois polinômios são idênticos, quando escrito na forma geral tem os coeficientes de um iguais aos coeficientes do termo de mesmo grau do outro.

p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–

1x + an

q(x) = b0xn + b1xn–1 + b2xn–2 + ... + bn–

1x + bn p(x) é idêntico a q(x) ⇔ a0 = b0 , a1 = b1, ... an = bn.

Às vezes indicamos p(x) ≡ q(x), para dizer que p(x) é idêntico a q(x).

Exemplo

p(x) = (x + a)2 + b e q(x) = c(x + 2)(x – 4) são dois polinômios tais que p(k) = q(k) para todo complexo k. Calcular as constantes a e b.

Se p(k) = q(k) para todo k, então p(x) é idêntico a q(x).

p(x) = (x + a)2 + b q(x) = c(x + 2)(x – 4)1 = c

2a = –2c

a2 + b = –8c

⇒ c = 1

⇒ 2a = –2.1

⇒ a = –1⇒ (–1)2 + b = –

8.1 ⇒ b = –

9

= x2 + 2ax + a2 + b

= c(x2 – 2x – 8)

= cx2 – 2cx – 8c

Divisão de polinômios

Divisão de polinômios

Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.Primeiro vamos completar o dividendo A(x). Falta o termo de 2º grau

A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1

Divisão de polinômios

Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.

+ 11

–10x

+ 12

– 8x

4x2

– 1– 2x

– 4x2

– 3x

+ 2x2 – x3

– 1+ x–

6x2 x3

2x2

x2 – 2x + 3 +

x– 4

– 6x2

+ 4x3

–2x4

2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1

Divisão de polinômios

Na nossa divisão, temos:

A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1, é o dividendo; B(x) = x2 – 2x + 3, é o divisor; Q(x) = 2x4 + x – 4, é o quociente; R(x) = – 10x + 11, é o resto.

O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de A(x) e B(x) e o grau de R(x) < grau B(x).

Divisão de polinômios

Dividir A(x) por B(x) é obter dois polinômios Q(x) e R(x), obedecendo às seguintes condições.

A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x)

grau de R(x) < grau de B(x) ou R(x) ≡ 0

A(x) é o dividendo, B(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto da divisão.

É importante observar que o grau do quociente é a diferença entre os graus do dividendo e do divisor.

Divisibilidade de polinômios

Veja a divisão de A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2, utilizando o método da chave.

0

– 6 + 3x

+ 6 – 3x

x

x – 2– 3

+ 2x

–x2

x2 – 5x + 6

Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0. Dizemos, por isso, que A(x) é divisível por B(x).

Divisibilidade de polinômios

Em geral, se na divisão de A(x) por B(x) o resto é o polinômio nulo, dizemos que A(x) é divisível por B(x). No caso, sendo Q(x) o quociente,

A(x) ≡ B(x).Q(x)

A(x)

B(x) =

Q(x) ou

Exemplo

Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por b(x) = x2 + x – 2. Calcular a e b.

(a+4)x

+ 2x

2x2

+(a+2)x

– 2x2

x

x2 + x – 2 –

2– x2–x3

x3 – x2 + ax + b +

2x+ b

– 4 + b –

4

a + 4 = 0b – 4 = 0

⇒ a = – 4

⇒ b = 4

1282 234 xxxx 402 xx2x234 40 xxx

xxx 832 23

x2

xxx 802 23

1203 2 xx

3

1203 2 xx

0

Dividir P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 por D(x) = x2 + 4:

Logo: Q(x) = xQ(x) = x22 – 2x – 3 e – 2x – 3 e r(x) = 0r(x) = 0

Divisibilidade de polinômios

16000 234 xxxx 1x3x34 xx

23 0xx

2x

23 xx

xx 02

x

xx 2

16 x

Dividir P(x) = x4 – 16 por D(x) = x + 1.

Logo:

Q(x) = xQ(x) = x33 – x – x22 + x - 1 + x - 1

e e

r(x) = -15r(x) = -15

1

1x

15

Divisibilidade de polinômios

Divisor de 1º grau –caso particular

De grande importância no estudo dos polinômios e equações algébricas.

Teorema do resto

Vamos efetuar a divisão de p(x) = x2 – 3x + 5 por x – 2, utilizando o método da chave.

+ 3

– 2 + x

+ 5 – x

x

x – 2– 1

+ 2x

–x2

x2 – 3x + 5

Vamos calcular agora P(2), onde 2 é a raiz do divisor x – 2.

p(2) = 22 – 3.2 + 5

= 4 – 6 + 5

= 3

Teorema do resto – caso geral

Vamos obter o resto da divisão de p(x) por x – 3.Sendo o divisor de 1º grau, o resto deve ser o polinômio nulo ou um polinômio de grau 0. O resto é uma constante real, independente de x.

p(x) = (x – 3).q(x) + R

Se q(x) é o quociente, da definição de divisão podemos escrever

p(3) = (3 – 3).q(3) + R

= 0.q(x) + R

= R

Teorema do resto – caso geral

O resto da divisão de um polinômio p(x) por um divisor de 1º grau, do tipo ax + b, com a ≠ 0, é igual a p(–b/a). Onde –b/a é a raiz do divisor.

R = p(–b/a)

Exemplo

Calcular o resto da divisão de p(x) = x3 – 2x2 – 1 por x – 2.

O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 2.

R = p(2)

= 8 – 8 – 1

= –1= 23 – 2.22 – 1

Exemplo

O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10. Calcular o valor de k.

O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5.

R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10

⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10

⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2

(: 5)

⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2

⇒ 10 – k = 2

⇒ k = 8⇒ – k = 2 – 10

⇒ R = p(5) = 10

Teorema de D’Alembert

Conseqüência imediata do teorema do resto.

Um polinômio p(x) é divisível pelo polinômio ax + b de 1º grau (a ≠ 0) ⇔ p(–b/a) = 0.

Exemplo

Analisar se p(x) = x3 + x2 – 3x – 6 é divisível por 2x + 2 e por 3x – 6.

Os divisores são de 1º grau. Suas raízes são –1 e 2, respectivamente.

p(–1) = (–1)3 + (–1)2 – 3.(–1) – 6

= –3

= –1 + 1 + 3 – 6

p(2) = 23 + 22 – 3.2 – 6

= 0

= 8 + 4 + 6 – 6

Logo, p(x) não é divisível por 2x + 2, mas é divisível por 3x – 6.

Exemplo

Achar o valor de m, sabendo-se que o polinômio p(x) = 9x2 + mx – m + 3 é divisível por 3x – 1.O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0.

9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0

⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0

⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0

⇒ m/3 – m = – 4

(x 3)

⇒ m – 3m = –12

⇒ – 2m = –12⇒ m = 6

Dispositivo de Briot-ruffini

Processo prático para efetuar uma divisão de polinômios, quando o divisor é de 1º grau.

Dispositivo de Briot-Ruffini

Vamos efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 9 por x – 2, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a raiz do divisor, no caso, a raiz é 2.

– 1

– 5

13 = R2232

94– 4 3+ + + +

xx

xx

q(x) = 3x3 + 2x2 – x + 2 e R(x) = 13

Exemplos

Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto é 4. Calcular k e o quociente da divisão.Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini.

–2

– 1

k – 221 1–1

k02 1+ + + +

xx

xx

q(x) = x3 + x2 – 2x + 2

e R = k – 2 = 4

⇒ k = 6

Exemplos

Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x3 – 7x + 6 é divisível por (x + 2).(x – 3).

Primeiro vamos dividir p(x) por x + 2. Depois, o quociente obtido q(x) por x – 3.

–3

– 7

0 = R–2 1–2

60 1

Nos dois casos, obtivemos resto R = 0. Concluímos que p(x) é divisível por (x + 2).(x – 3).

0 = R1 13

Exemplos

Na equação x3 – 3x2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 3. Obter as outras duas raízes.

Suponhamos p(x) = x3 – 3x2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), p(3) = 0 e p(x) é divisível por x – 3.

1

1

0 = R0 13

– 3– 3 1

q(x) = x2 + 1

⇒ x2 + 1 = 0

⇒ x2 = – 1

⇒ x = i ou x = – i

Logo, as raízes da equação são 3, i e –i.