Variáveis Aleatórias (V.A)Lucas Carneiro, Lucas Vinícius, Felipe Pinheiro, Oto Antônio

Roteiro - Equipe 2

1. Relembrando 2. Variável Aleatória 3. Variável Aleatória Discretas4. Função de Probabilidade 5. Função de Repartição 6. Variável Aleatória Contínua 7. Função Densidade de Probabilidade 8. Variáveis Aleatórias Independentes9. Medidas de Posição

10. Medidas de Dispersão

Relembrando

● Experimento Aleatório: experimento que mesmo repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso.

● Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

● Eventos: é um subconjunto do espaço amostral, ou seja, um subconjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

● Probabilidade: consiste na teoria de permitir que se calcule a chance de ocorrência de um evento em um experimento aleatório.

Variável Aleatória - Motivação

● Resumir o resultado de um experimento aleatório através de um simples número;

● Para a grande maioria dos experimentos aleatórios o espaço amostral (descrição dos resultados possíveis) não é suficiente;

● Associar um número a cada resultado do espaço amostral se torna útil.

Variável Aleatória - Definição

Segundo MONTGOMERY: Uma variável aleatória é uma função que confere um número real a cada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.

Figura 1: Demonstração de uma variável aleatória.

Variável Aleatória - Notação

Segundo MONTGOMERY uma variável aleatória é denotada por uma letra maiúscula, tal como “X”. Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido da variável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal como “x = 70 miliampères”.

Variável Aleatória Discreta - Definição

Segundo MONTGOMERY, uma variável aleatória discreta é uma varável com uma faixa finita (ou infinita contável).

Ou seja, os valores possíveis de X, podem ser postos em lista como x1, x2, x3, ..., xn.

OBS: Em alguns casos a variável aleatória discreta pode ser analisada como contínua (termo que será explicado mais adiante) devido a faixa de valores considerada ser muito grande.

Variável Aleatória Discreta - Exemplo

1. E - (Experimento aleatório): Lançamento de duas moedas;

2. S - (Espaço amostral): {(cara, coroa); (coroa, cara); (cara, cara); (coroa, coroa)};

3. X - (Variável aleatória): Definida nesse caso como o número da ocorrência de “caras” nos dois lançamentos da moeda;

4. X = {0, 1, 2}, (valores que a variável aleatória pode assumir quando o experimento for observado);

Função de Probabilidade

Descreve todos os valores que a variável pode assumir e suas probabilidades.

Função de Probabilidade - Condições

Função de Probabilidade - Exemplo 1

Verificando:

Decida se as seguintes distribuições são distribuições de probabilidades:

Função de Probabilidade - Solução

Função de Probabilidade - Exemplo 2

Construir a distribuição de probabilidade do sexo do grupo de filhos de uma famílias com 5 filhos.

Probabilidade de determinado valor:

Função de Probabilidade

Gráfico da distribuição de probabilidade.

Média Desvio Padrão

Função de Repartição

A probabilidade que uma variável aleatória X assuma um determinado valor menor ou igual a xn é denominada de função de repartição, isto é:

Função de Repartição - Exemplo

Função de Repartição - Solução

Distribuição de Probabilidade

A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é uma descrição das probabilidades associadas com os valores possíveis de X.

Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é frequentemente especificada por apenas uma lista de valores possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um. (MONTGOMERY, 2009)

Distribuição de Probabilidade

As distribuições de probabilidade são modelos teóricos em que as probabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem ser interpretadas como limites de frequência.

Duas representações gráficas: Barras Histograma

Variável aleatória continua

Seja X uma variável aleatória (v.a.). Se o número de valores possíveis de X (a) (isto é o seu contradomínio) for infinito não-enumerável como, por exemplo, um intervalo, X será denominada de variável aleatória contínua.Consideremos por exemplo o experimento que consiste em selecionar, ao acaso, um fruto de tomate de uma área de produção e determinar o valor do peso do fruto em gramas. Nesse caso, dentro de um determinado grau de precisão decorrente da limitação do equipamento de mensuração, a variável aleatória X = PESO DO FRUTO pode assumir um valor qualquer em um determinado intervalo da reta real, sendo, portanto, uma variável aleatória contínua.

Variável aleatória continua

Como uma variável aleatória contínua pode assumir uma infinidade de valores em um intervalo real, ou seja, o conjunto de valores que a variável pode assumir é infinito não-enumerável, a cada um dos infinitos valores da reta real é atribuída probabilidade nula. Portanto, não faz sentido fazer uma soma das probabilidades de cada um dos valores como no caso das variáveis aleatórias discretas, mas sim fazer a soma das probabilidades dos valores sem intervalos da reta real.

Densidade de Probabilidade

Como para variável aleatória contínua a probabilidade de cada um dos infinitos valores na reta real é igual a zero, não se tem uma função de probabilidade F(x) = P (X = xi) = P (xi) como para variável aleatória discreta. Nesse caso, as probabilidades de ocorrência de cada um dos possíveis resultados do experimento aleatório são determinadas por uma função contínua f(x) denominada FUNÇÃO DENSIDADE PROBABILIDADE (f.d.p.), que satisfaça as seguintes condições:

Densidade de Probabilidade

Densidade de Probabilidade

OBS:A f(x) de uma v. a. c., função de densidade probabilidade, não é probabilidade. Somente quando a função for integrada entre dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área sob a curva da função X = a e X = b, a < b, ou seja, a probabilidade de x em intervalo entre a e b da reta real.

Densidade de Probabilidade

Exemplo:Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada por:

Dada a função desta variável, calcule k de modo que f (x) seja uma f.d.p.

Exemplo

Resposta:Para isto, a f (x) deve atender as duas condições f(x)>=0 e

Assim,

Logo, k = 1/150 também atende a primeira condição de f(x)>=0 ∀ x

Exemplo

Portanto qualquer fruto com diâmetro entre 10 e 20 terá a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja, será igual a 1 ou 100%, e fora desse intervalo a probabilidade será sempre igual a zero.

Variáveis aleatórias independentes

Definição informal: As variáveis aleatórias X1, X2,..., Xn são independentes se,

e somente se, qualquer grupo de eventos definidos pelas variáveis "individuais"

são independentes.

Definição: As variáveis aleatórias (X1,...,Xn) são independentes se, e somente se,

para quaisquer conjuntos de números reais B1, B2,...,Bn com Bi Xi, para todo

i=1,...,n temos que,

Medidas de Posição

São estatísticas que representam a localização de dados em relação a uma série de informações distribuídas em um determinado gráfico.

Medidas de Posição

Média: valor esperado de uma variável aleatória, denominada E(X), onde x é a variavel. A média de uma distribuição é também denominada uma medida de tendência central. Do ponto de vista científico, este valor corresponde ao que se espera que aconteça em média.

Propriedades da Média:1º) E(K) = K, sendo K uma constante.2º) E(X + K) = E(X) + K3º) E(K.X) = K.E(X)4º) E(X + Y) = E(X) + E (Y)5º) E(X.Y) = E(X).E(Y), se X e Y são independentes (Cov (X,Y) = 0)

Medidas de Posição

Média para variáveis aleatórias discretas.: Dado uma v.a. X discreta, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos valor médio de X o valor:

Medidas de Posição

Exemplo.: Considerando o experimento: lançamento de duas moedas consecutivas, em que X é a variável aleatória definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2}, cujas probabilidades de ocorrência são:P (0) = 1/4,P (1) = 2/4,P (2) = 1/4.

Tem-se que:

Medidas de Posição

Média para variáveis aleatórias continuas.: Dado uma v.a. X continua, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos valor médio de X o valor:

Medidas de Posição

Exemplo.: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada por:

Tem-se que:

Medidas de Dispersão

Em Estatística, dispersão (também chamada de variabilidade ou espalhamento) mostra o quão esticada ou espremida se encontra uma distribuição (teórica ou que define uma amostra), assim, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.

Medidas de Dispersão

Variância: quantifica a dispersão dos dados em torno da média, denominada V(x). Seja a v.a. x com valores numericos x1, x2, ..., xn e probabilidades associadas P(x1), P(x2), …, P(xn), definimos como variancia de X:

A obtenção da variância depende se X é variável aleatória discreta ou contínua.

Medidas de Dispersão

Propriedades da Variância:1º) V(K) = 0, sendo k uma constante.2º) V(X + K) = V(X) + V(K) = V(X)3º) V(K.X) = K² .V(X)4º) V(XY) = V(X).V(Y)5º) V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov (X, Y), se X e Y são dependentes (Cov (X,Y) ≠ 0)6º) V(X + Y) = V(X) + V(Y), se X e Y são independentes (Cov (X,Y) = 0)

Medidas de Dispersão

Variância para variáveis aleatórias discretas.: A variância de uma variável aleatória discreta quantifica a dispersão dos dados emtorno da média esperada. É definida por:

Medidas de Dispersão

Exemplo.: Considerando o experimento probabilístico ou aleatório: lançamento de duas moedasconsecutivas, em que X é a variável aleatória definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2}, cujas probabilidades de ocorrência são: P (0) = 1/4,P (1) = 2/4P (2) = 1/4

Tem-se que :

Medidas de Dispersão

Variância para variáveis aleatórias continuas.: A variância de uma variável aleatória contínua quantifica a dispersão dos dadosem torno da média esperada. É definida por:

Medidas de Dispersão

Exemplo.: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada por:

Tem-se que:

Medidas de Dispersão

Desvio padrão: denominado DP(X), é definido como a raiz quadrada positiva da variância. É mais usada como medida de dispersão que a variância por estar na mesma unidade dos dados.

Medidas de Dispersão

Exemplo (variável aleatória discreta) .: Considerando o experimento probabilístico ou aleatório: lançamento de duas moedasconsecutivas, em que X é a variável aleatória definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2}, cujas probabilidades de ocorrência são: P (0) = 1/4,P (1) = 2/4P (2) = 1/4

Tem-se que :

Medidas de Dispersão

Exemplo (variável aleatória continua).: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada por:

Tem-se que:

Referências[1] MONTGOMERY, Douglas C; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 4. ed Rio de Janeiro: LTC, 2009 493 p.

http://pt.slideshare.net/neudesmaira/estatstica-aplicada-informtica?qid=fe20f865-3a32-4d99-802a-401b07cdb021&v=default&b=&from_search=12

http://pt.slideshare.net/cursoraizes/estatistica-aplicada-a-administracao-aula-6?qid=fe20f865-3a32-4d99-802a-401b07cdb021&v=default&b=&from_search=6

http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php

http://pt.scribd.com/doc/32600975/Apostila-5-Variaveis-aleatorias

Referências

http://slideplayer.com.br/slide/353604/

http://arquivos.unama.br/nead/graduacao/cesa/pec/probabilidade_estatistica/unidade6/aula1/unidade6_aula1.pdf

http://www.cearidus.ufc.br/Arquivos/Prob%20e%20Estat%EDstica/Apostila/Cap%EDtulo%204_%20parte1_vardisc.pdf

http://www.portalaction.com.br/content/27-vari%C3%A1veis-aleat%C3%B3rias-independentes

Referências - Imagens

● Figura 1: LOPES, João B. Estatística Básica para Agronomia. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAABumYAE/estatistica-basica-agronomia>. Acesso em: 20 mai. 2014