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Distribuições de Probabilidade1 Aspectos Gerais

2 Variáveis Aleatórias

3 Distribuições de Probabilidade Binomiais

4 Média e Variância da Distribuição Binomial

5 Distribuição de Poisson

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1 Aspectos Gerais

Este assunto abordará a construção de

distribuições de probabilidadeAtravés da combinação de métodos de

Estatística Descritiva com os de Probabilidade.

Distribuições de probabilidade descrevem o que provavelmente acontecerá, em lugar do que

efetivamente aconteceu.

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Combinando Métodos de Estatística Descritiva e Probabilidades para Formar um Modelo Teórico

de Comportamento

Figura 4-1

4

2Variáveis Aleatórias

5

DefiniçõesVariável Aleatóriauma variável (representada geralmente por x) que tem um valor numérico único (determinado aleatoriamente) para cada resultado de um experimento.

Distribuição de Probabilidadeum gráfico, tabela ou fórmula que dá a probabilidade de cada valor da variável aleatória.

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Tabela 4-1

Distribuição de Probabilidadedo Número de Vendas por dia

0123456 789

10

0.1220.2700.2850.1900.0900.0320.0090.0020.000+0.000+0.000+

x P(x)

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DefiniçõesVariável Aleatória Discretaou admite um número finito de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores, onde ‘enumerável’ refere-se ao fato que podem ser infinitos valores, mas eles são resultados de um processo de contagem.

Variável Aleatória Contínuatoma um número infinito de valores, e esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua, de tal forma que não haja lacunas ou interrupções.

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Gráfico Distribuição de Probabilidades

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0

0,1

0,2

0,3

Qte. vendas efetuadas

Prob

abilid

ade,

P(x

)

Figura 4-3

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Condições para uma Distribuição de Probabilidades

P(x) = 1 onde x assume todos os valores possíveis

0 ≤ P(x) ≤ 1 para todo valor de x

Σ

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Média, Variância e Desvio-Padrão de uma Distribuição de Probabilidades

Fórmula 4-1µ = Σ [x • P(x)]

Fórmula 4-2σ2 = Σ [(x - µ)2

• P(x)]Fórmula 4-3

σ2 = [Σ x2• P(x)] - µ 2 (shortcut)

Fórmula 4-4σ = [Σ x 2 • P(x)] - µ 2

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DefiniçãoValor Esperado

O valor médio dos resultados

E = Σ [x • P(x)]

Desempenha um importante papel em Teoria da Decisão.

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E = Σ [x • P(x)]

EventoGanha

Perde

x$499

- $1

P(x)0.001

0.999

x • P(x)0.499

- 0.999

E = -$.50

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3Distribuição Binomial

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DefiniçõesExperimento Binomial

1. O experimento deve ter um número fixo de provas.2. As provas devem ser independentes. (O resultado

de qualquer prova não afeta as probabilidades das outras provas.)

3. Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias.

4. As probabilidades devem permanecer constantespara cada prova.

5. A variável aleatória X é a contagem do número de tentativas bem-sucedidas em um n tentativas

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Notação para a Distribuição Binomial

n = número fixo de tentativasx = número específico de sucessos em n

tentativasp = probabilidade de sucesso em uma de n

tentativas

P(x) =probabilidade de obter exatamente xsucessos em n tentativas

Assegure-se que x e p refiram-se à mesma categoria de evento que esteja sendo chamado de sucesso.

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Fórmula Probabilidade Binomial

Método 1

P(x) = • px • (1-p)n-x(n - x )! x!

n !

P(x) = nCx • px • (1-p)n-x

para calculadoras com tecla nCr, onde r = x

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Exemplo: Um vendedor recebe 20 endereços para visitar a cada dia. Um morador de cada endereço manifestou, por correspondência, interesse de receber o vendedor e discutir o produto. A experiência do vendedor é que é feita uma venda em cada 10 domicílios. Qual é a probabilidade de que sejam feitas 5 vendas em determinado dia?c

Este é um experimento binomial, onde:

n = 20x = 5p = 0.10

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Para n = 20 e p = 0.10

0,00 0,12161,00 0,27022,00 0,28523,00 0,19014,00 0,08985,00 0,03196,00 0,00897,00 0,00208,00 0,00049,00 0,000110,00 0,000011,00 0,000012,00 0,000013,00 0,000014,00 0,000015,00 0,000016,00 0,000017,00 0,000018,00 0,000019,00 0,000020,00 0,0000

P(x)x

Distribuição de Probabilidades Binomial

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FÓRMULA DE PROBABILIDADE BINOMIAL

P(x) = • px • qn-xn !(n - x )! x!

Número de provas com

exatamente xsucessos em n

tentativas

Probabilidade de x sucessos em ntentativas para qualquer ordem

particular

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Para Distribuição Binomial:

• Formula 4-6 µ = n • p

• Formula 4-7 σ 2 = n • p • (1 – p)

Formula 4-8 σ = n • p • (1 - p)

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Lembrete• Em geral, máximo dos valores:

µ + 2 σ• Em geral, mínimo dos valores:

µ - 2 σ

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MARIO F. TRIOLAMARIO F. TRIOLA EIGHTHEIGHTH

EDITIONEDITION

ELEMENTARY STATISTICSSection 4-5 The Poisson Distribution

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5Distribuição de Poisson

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DefiniçãoDistribuição de Poisson

uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado.

P(x) = onde e ≈ 2.71828λ x • e -λ

x!

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Exigências da Distribuição de Poisson

a variável aleatória x é o número de ocorrências de um evento em um intervalo.as ocorrências devem ser aleatóriasas ocorrências devem ser independentes entre sias ocorrências devem ser distribuídas uniformemente sobre o intervalo em uso

Parâmetros da Distribuição de PoissonA média é λA variância é λ

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Poisson como uma Aproximação da Binomial

n ≥ 100

np ≤ 10

Fórmula 4-6

λ = n • p

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Exemplo: A requisição de um item de estoque ocorre, em média, quatro vezes por dia. Qual a probabilidade de que sejam requisitados 6 itens em um só dia?

Este é um modelo de Poisson, onde:

λ = 4

P(X=6)= 0,104

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Exemplo: Determinado tipo de fotocopiadora pára em média uma vez a cada 2.000 cópias. Qual é a probabilidade de que ocorram mais de duas paradas quando se fazem 2.000 cópias?

Este é um modelo de Poisson, onde:

λ = 1

P(X>2)=

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Probability Density Function

Poisson with mu = 1,00000

x P( X = x )0,00 0,36791,00 0,36792,00 0,18393,00 0,06134,00 0,01535,00 0,00316,00 0,00057,00 0,00018,00 0,00009,00 0,0000

10,00 0,0000