Post on 07-Dec-2018
PROCESSO DE POISSON
Processo Estocástico
Prof, Ms. Eliana Carvalho
PROCESSO DE POISSON
Este processo estocástico deve o seu nome ao matemático francês Simion-Denis Poisson (1781 - 1840).
Espaço de estados discreto (cadeia)
Variável tempo é contínua
Processo Estocástico 𝑋 𝑡 , 𝑡 ≥ 0
definido em termos das ocorrências de eventos
Dado um processo estocástico 𝑋 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 fixamos o tempo no instante t, teremos que Nt é
um número inteiro que representa o
PROCESSO DE POISSON
Exemplo: Suponha que Nt = 5 e suponha que não chegam dois “eventos” no mesmo instante, uma realização do processo poderia ser
Que pode ser representado por uma trajetória
Cada trajetória do processo é uma função escada.
PROCESSO DE POISSON
O número de eventos no intervalo t, t + s , s ≥ 0 será Nt+𝑠 − N𝑡;
é independente do número de eventos até o instante
t, Nu, u ≤ t o processo tem incrementos independentes.
PROCESSO DE POISSON
Um processo contínuo definido sobre um espaço
amostral Ω, com espaço de estado E = N e tal que para todo
evento elementar 𝜔 ∈ Ω, a trajetória correspondente,
𝑋𝑡 𝑡≥0
𝑡 → 𝑁𝑡 𝜔
1) É não decrescente
2) Cresce somente com saltos (i.e. é constante
entre os saltos)
3) É contínua a direita e tem limite à esquerda;
4) . 𝑵𝐭 𝝎 = 𝟎
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
Sejam 𝑇1, 𝑇2 , ⋯ os tempos das chegada
(ou os tempos dos saltos ou dos instantes nos quais ocorrem os eventos).
Estas variáveis definem um processo a tempo discreto ou contínuo.
Uma trajetória típica deste processo é:
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
O processo de contagem 𝑁𝑡 𝑡≥0 é chamado de processo de Poisson homogêneo se:
1. os saltos têm comprimento um
2. 𝑁𝑡+𝑠 − 𝑁𝑡 é independente de 𝑁𝑢, 𝑢 ≤ 𝑡 , para todo t, s > 0;
3. a distribuição de 𝑁𝑡+𝑠 − 𝑁𝑡 é independente de t.
Existe uma constante 𝜆 ≥ 0 tal que todo t > 0,
𝑷 𝑵𝒕 = 𝟎 = 𝒆−𝝀𝒕
𝒍𝒊𝒎𝒕→∞
𝟏
𝒕𝑷 𝑵𝒕 ≥ 𝟏 = 𝝀
O processo não é explosivo, i.e. (incrementos estacionários) não acontecem dois ou mais eventos no mesmo instante.
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
Um processo estocástico 𝑁𝑡 𝑡≥0 ou 𝑁𝑡 𝑡 ≥ 0
tem incrementos estacionários se;
O processo de contagem 𝑁𝑡 𝑡 ≥ 0 adaptado e não explosivo, i.e. é considerado um processo de poisson se;
𝑁𝑡 = 0 Incremento independentes;
Incrementos estacionários;
Se para qualquer 𝑡 ≥ 0
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
A distribuição dos saltos tem distribuição de
Poisson, ou 𝑁𝑡 é dada por 𝑁𝑡~𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆𝑡 ;
Para algum 𝜆 ≥ 0 , 𝑁𝑡~𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆𝑡 e N não tem
explosões;
ou
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
Taxa do processo é dada por Número de eventos até que chegue o tempo t
Teorema central do limite do Processo de Poisson:
𝜆 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 0, 𝑇
𝑇
𝑁 − 𝜆𝑡
𝜆𝑡
𝑑→𝑁 0,1)
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
Taxa do processo é dada por
Com média e variância iguais a:
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
Exemplo: Seja 𝑁𝑡 𝑡≥0 o processo de Poisson com
taxa 𝜆 = 8 . Achar 𝑃 𝑁2,5 = 17, 𝑁3,7 = 22 , 𝑁4,3 = 36)
Solução:
𝑃 𝑁2,5 = 17, 𝑁3,7 = 22 , 𝑁4,3 = 36)
= 𝑃 𝑁2,5 = 17, 𝑁3,7 − 𝑁2,5 = 5 , 𝑁4,3 − 𝑁3,7 = 14
= 𝑃 𝑁2,5 = 17 𝑃 𝑁3,7 − 𝑁2,5 = 5 𝑃 𝑁4,3 − 𝑁3,7 = 14)
=8 2,5
17
17!𝑒−8 2,5
8 3,7 − 2,55
5!𝑒−8 3,7−2,5
8 4,3 − 3,714
14!𝑒−8 4,3−3,7
PROCESSO DE POISSON TEMPO DE CHEGADAS.
Vamos considerar os tempos de chegada do
processo de Poisson. Eles são os tempos nos
quais acontecem os eventos do processo. O
𝑛 − é𝑠𝑠𝑖𝑚𝑜 tempo de chegada está definido por
𝑇𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 𝑡:𝑁𝑡 = 𝑛
Observe que 𝑁𝑇𝑛= 𝑛.A distribuição de 𝑇𝑛 pode
ser obtida a partir da distribuição do processo 𝑁𝑡 a partir da igualdade dos seguintes eventos
𝑃 𝑇𝑛 ≤ 𝑡 = 𝑁𝑡 ≥ 𝑛 =
𝜆𝑡 𝑘
𝑘!
∞
𝑘=𝑛𝑒−𝜆𝑡
𝑛𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 𝑛: 𝑛 <1
𝑡
A avaliação desta expressão é complicada. No lugar de
fazer isto vamos mostrar por outra via que
𝑇𝑛~𝐺𝑎𝑚𝑎 𝑛, 𝜆 e para isso vamos estudar propriedades
do processo dos tempos das chegadas, 𝑻𝒏 𝒏≥𝟏.
Uma observação importante é que conhecer o processo
até o instante 𝑻𝒏 , 𝒊. 𝒆. 𝑵𝒕: 𝒕 ≤ 𝑻𝒏 é o mesmo que
conhecer o processo dos tempos das chegadas até o
instante n, i.e. 𝑻𝟏, 𝑻𝟐, ⋯ , 𝑻𝒏 , isto é fácil de visualizar
na seguinte figura.
𝑃 𝑇𝑛 ≤ 𝑡 = 𝑁𝑡 ≥ 𝑛 = 𝜆𝑡 𝑘
𝑘!
∞
𝑘=𝑛𝑒−𝜆𝑡
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
Exemplo: Suponha que os defeitos que ocorrem em um cano
subaquático da Petrobras, acontecem de acordo com um
processo de Poisson com média de 𝜆 = 0,1 por quilômetro.
Pergunta-se:
I. Qual a probabilidade de acontecer um defeito nos primeiros 2
quilômetros?
II. Dado que não houve defeito nos primeiros 2 quilômetros . Qual
a probabilidade condicional de não ter defeitos entre o segundo e o
terceiro Quilômetro?
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
I. Basta usarmos a definição do processo de Poisson
𝑷 𝑵 𝒕 + 𝒔 − 𝑵 𝒔 = 𝒏 = 𝒆−𝝀𝒕 𝝀𝒕 𝒏
𝒏!
assim temos que
𝑷 𝑵 𝟐 − 𝑵 𝟎 = 𝒏 = 𝒆−𝟎,𝟐 𝟎, 𝟐)𝟏
𝟏!= 𝟎, 𝟖𝟏𝟖𝟕 𝐱 𝟎, 𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟑𝟕
II. Notemos que N 3 − N 2) é independente de N 2 − N 1), pois é um
processo de Poisson tem incrementos independentes. Então a
probabilidade condicional é igual a probabilidade incondicional, ou seja,
𝑷 𝑵 𝟑 − 𝑵 𝟐 = 𝟎 | 𝑵 𝟐 − 𝑵 𝟎 = 𝟎 = 𝑷 𝑵 𝟑 − 𝑵 𝟐 = 𝟎
= 𝒆−𝟎,𝟏𝟎, 𝟏 𝟎
𝟎!= 𝟎, 𝟗𝟎𝟒𝟖
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
Para todo 𝑡 ≥ 0 e 𝒏 ≥ 𝟏 vale:
Assim o processo 𝑇𝑛 ∶ 𝑛 ≥ 1 é estacionário e tem
incrementos independentes
𝑵𝒕 𝒕≥𝟎 é um processo de Poisson 𝜆 ⟺
𝑇𝑛+1−𝑇𝑛, 𝑛 ≥ 0, 𝑖. 𝑖. 𝑑
𝑇𝑛+1−𝑇𝑛~𝑒𝑥𝑝 𝜆
PROCESSO DE POISSON PROCESSO DE CONTAGEM OU PROCESSO DAS CHEGADAS.
Observe que 𝑇𝑛 = 𝑇1 + 𝑇2− 𝑇1 + 𝑇3− 𝑇2 + ⋯+
𝑇𝑛 − 𝑇𝑛−1 . Usando o fato que a soma de distribuições
exponenciais i.i.d. tem distribuição Gamma podemos
concluir que o tempo do n-ésimo evento
𝑻𝒏~𝒈𝒂𝒎𝒎𝒂 𝒏, 𝝀 logo:
A distribuição 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝑛, 𝜆 é chamada de distribuição de
Erlang (n).
PROCESSO DE POISSON EXEMPLO:
Os tempos de fala de um chip de um computador tem
distribuição exponencial com taxa 𝜆. Cada vez que falha
um chip ele é imediatamente substituído. Sejam
𝑋1, 𝑋2, … os tempos de duração de cada chip que foi
trocado. Logo 𝑃 𝑋𝑛 < 𝑡 = 1 − 𝑒𝜆𝑡. Considere 𝑇1 , 𝑇2, … os
sucessivos instantes nos quais aconteceu uma falha no
computador devido a fuma falha do chip.
PROCESSO DE POISSON EXEMPLO:
Por exemplo: 𝑇3= 𝑋1 +𝑋2 + 𝑋3 é o instante da falha do
terceiro chip.
Suponha que 𝜆 = 0,0002 em horas−1 , então a
esperança de vida de um chip é
𝐸𝑋𝑛 =1
𝜆=
1
0,0002= 5000 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
E a variância é
𝑣𝑎𝑟 𝑋𝑛 =1
𝜆2=
1
0,0002 2= 25 x 106
Se Nt é o número de falhas até o instante t > 0 então 𝑁𝑡 é um processo
de Poisson com taxa 𝜆.
PROCESSO DE POISSON EXEMPLO: CONTINUAÇÃO Suponha que o custo de cada reemplazo é 𝛽 reais e que a taxa de
desconto é 𝛼 > 0 (𝛼 pode ser a taxa de juros), i.d. cada real gasto no
instante t tem um valor no presente de 𝑒−𝛼𝑡. Considere o custo da
troca do n-ésimo chip, 𝛽𝑒−𝛼𝑇𝑛. Somando todos os custos temos que o
valor presente de todas as futuras trocas é
𝐶 = 𝛽𝑒−𝛼𝑇𝑛
∞
𝑛−1
Portanto, 𝐸𝐶 = 𝜆
𝛼+𝜆
𝑛= 𝛽∞
𝑛−1
𝜆
𝛼+𝜆
1−𝜆
𝛼+𝜆
=𝛽𝜆
𝛼 𝐸𝐶 =
𝛽𝜆
𝛼
Em particular, se o tempo de vida médio é 𝐸𝑋𝑛 = 5000 horas e o
custo de cada troca é 𝛽 = 800 reais e a taxa de juros é 24% ao ano
então.
𝛼 =0,24
365 x 24 =
0,01
365x100 =
1
36500 e 𝐸𝐶 = 800
36500
5000= 5840 reais