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Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Prof. Caio Azevedo
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Simular: reproduzir, controlando caracterısticas de interesse,
fenomenos reais. Exemplo: avaliar o efeito de um Tsunami numa
parede de concreto.
Simulacao variaveis aleatorias: gerar valores para representar o
comportamento de fenomenos aleatorios.
Aplicacoes: comparar estimadores, comparar modelos, estimar a
distribuicao de uma variavel aleatoria.
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Lembrete
Sempre conferir a “qualidade” dos valore simulados.
Formas simples:
Calcular momentos amostrais.
Comparar histogramas (curvas de nıvel) observados com os teoricos.
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Metodo da transformada inversa (v.a. contınua)
Seja X ∼ FX (.; θ), FX (.; θ) e uma funcao de distribuicao acumulada
(fda) contınua.
Entao Y = FX (X ; θ) ∼ U(0, 1) (exercıcio). OBS: resultado tambem
vale se usar SX (x ; θ) = 1− FX (x ; θ) (funcao de sobrevivencia).
Algoritmo para simular uma amostra aleatoria (aa, conjunto de
variaveis independentes e identicamente distribuıdas) de
X ∼ FX (.; θ), faca (tambem pode ser usada a SX ( θ)):
1 Simule ui ∼ U(0, 1), i = 1, ..., n.
2 Calcule xi = F−1X (ui ), i = 1, ..., n.
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Exponencial
Seja X ∼ exp(θ), θ > 0, E(X ) = θ.
Temos que FX (x) = (1− e−x/θ)11(0,∞)(x). Portanto,
x = −θ ln(1− u).
Programa no R:
n<-50
theta <-2
u <- runif(n)
x <- -theta*log(1-u)
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
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Valores simulados
media = 15.8 , var= 362.77 , n= 40
valores
de
nsi
da
de
0 20 40 60 80 100
0.0
00
.02
0.0
4
media = 12.18 , var= 213.81 , n= 50
valores
de
nsi
da
de
0 10 20 30 40 50 60
0.0
00
.02
0.0
40
.06
media = 14.56 , var= 191.68 , n= 100
valores
de
nsi
da
de
0 10 20 30 40 50 60 70
0.0
00
.02
0.0
4
media = 14.19 , var= 219.85 , n= 500
valores
de
nsi
da
de
0 50 100 150
0.0
00
.01
0.0
20
.03
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
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Normal truncada
Seja X ∼ N[a,b](µ, σ2), µ ∈ R, σ2 > 0, a < b.
Temos que FX (X ) = FY (x)−FY (a)FY (b)−FY (a) , Y ∼ N(µ, σ2) (exercıcio).
Assim x = F−1Y [u (FY (b)− FY (a)) + FY (a)].
Temos que
E(X ) = µ+ σφ(a−µσ
)− φ
(b−µσ
)Φ(
b−µσ
)− φ
(a−µσ
)
V(X )=σ2
1 +
a−µσ φ
(a−µσ
)− b−µ
σ φ(
b−µσ
)Φ(
b−µσ
)+ φ
(a−µσ
) −
φ(a−µσ
)− φ
(b−µσ
)Φ(
b−µσ
)+ φ
(a−µσ
)2
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Cont.
Programa no R:
v.u <- (runif(n))
aux <- cbind(u*(pnorm(b,mu,sqrt(sigma2))
-pnorm(a,mu,sqrt(sigma2))) + pnorm(a,mu,sqrt(sigma2)))
v.x <- qnorm(aux,mu,sqrt(sigma2))
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Valores simulados
media = 0.7864 , var= 0.4522 , n= 20
valores
de
nsi
da
de
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
media = 0.7405 , var= 0.3244 , n= 50
valores
de
nsi
da
de
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.2
0.4
0.6
media = 0.8294 , var= 0.381 , n= 100
valores
de
nsi
da
de
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.2
0.4
0.6
media = 0.815 , var= 0.3968 , n= 500
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
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Normal multivariada
X ∼ Np(µ,Σ),µ ∈ Rp,Σ > 0.
Sabemos que X = ΨZ + µ, Ψ = Cholesky(Σ),
Z = (Z1, ...,Zn),Zii.i.d.∼ N(0, 1), i = 1, ..., p.
x = ΨF−1Z (u) + µ,u = (u1, ..., up).
m.u <- cbind(runif(n))
m.z <- qnorm(m.u)
for (i in 2:p)
m.u <- cbind(runif(n)) m.z <- cbind(m.z,qnorm(m.u))
m.x <- t(chol(m.sigma)%*%t(m.z) + matrix(v.mu,p,n))
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Comentarios
Neste caso, tem-se que Xi ∼ N1(µi , σ2i ), em que E(Xi ) = µi e
V(Xi ) = σ2i .
Alem disso, a distancia de Mahalanobis tem distribuicao
qui-quadrado com p graus de liberdade, ou seja:
(X− µ)′Σ−1(X− µ) ∼ χ2p
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Valores simulados
media = −1.19 , var= 3 , n= 100 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
−6 −4 −2 0 2 4
0.0
00
.10
0.2
0
media = −0.03 , var= 1.41 , n= 100 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
−4 −2 0 2 4
0.0
00
.10
0.2
00
.30
media = 1.92 , var= 3.76 , n= 100 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
−2 0 2 4 6
0.0
00
.10
0.2
0
media = 2.97 , var= 5.16 , n= 100
valores
de
nsi
da
de
0 2 4 6 8 10 12 14
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
0
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Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Metodo da transformada inversa (v.a. discreta)
Seja X uma v.a discreta, PX (X = xi ) = pi110,1,2,...(i),∑
i pi = 1.
Algoritmo para simular uma amostra aleatoria (aa, conjunto de
variaveis independentes e identicamente distribuıdas) de
X ∼ PX (X = i), faca:
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Cont.
1 Simule ui ∼ U(0, 1), i = 1, ..., n.
2 Faca
xi =
x0, se u < p0
x1, se p1 ≤ u < p0 + p1
...
xj , se∑j−1
i=0 pi ≤ u <∑j
i=0 pi...
Dado que 0 < a < b < 1,P(a ≤ U < b) = b − a, temos que
P(X = xj) = P(
j−1∑i=0
pi ≤ U <
j∑i=0
pi ) = pj
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Bernoulli
Seja X ∼ Bernoulli(θ), θ ∈ (0, 1).
Algoritmo: gere ui ,U ∼ U(0, 1), i = 1, 2..., n e faca
xi =
0, se u > θ
1, se u ≤ θ
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Valores simulados
0 1
mean = 0.75 var= 0.2 n = 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1
mean = 0.72 var= 0.21 n = 50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1
mean = 0.78 var= 0.17 n = 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1
mean = 0.764 var= 0.18 n = 500
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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Binomial
Seja X ∼ Binomial(m, θ), θ ∈ (0, 1), m conhecido.
Duas formas:
Metodo da transformada inversa. Repetir n vezes: Gerar u, de
U(0, 1), i = 1, .., n e atribuir x = xj se∑j−1
i=1 pj ≤ u <∑j
i=1 pj .
Representacao estocastica : X =∑m
i=1 Yi ,Yii.i.d.∼ Bernoulli(θ).
Repetir n vezes: gerar y1, ..., ym (usando o metodo da transformada
inversa e fazer x =∑m
i=1 yi .
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Valores simulados0
.00
.10
.20
.30
.40
.5
media = 7.1 , var= 1.25 , n= 20 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
5 6 7 8 9
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
media = 7.26 , var= 1.58 , n= 50 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
5 6 7 8 9 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
media = 7.01 , var= 2.03 , n= 100 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
media = 6.94 , var= 2.29 , n= 500 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
3 4 5 6 7 8 9 10
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Poisson
Seja X ∼ Poisson(λ), λ > 0. pi = P(X = i) = e−λλi
i! 110,1,2,...(i)
Pode-se provar que pi+1 = λi+1pi
Algoritmo:
1 Simule u de U(0, 1).
2 Faca i = 0, p = e−λ,F = p.
3 Se u ¡ F, atribua X = i e pare.
4 p = λpi+1,F = F + p.i = i + 1
5 Va para o passo 3.
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Valores simulados0
.00
.10
.20
.30
.40
.5
media = 3.58 , var= 4.13 , n= 30 , lambda = 3
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
media = 3.08 , var= 3.18 , n= 50 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
media = 3.02 , var= 3.12 , n= 100 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
1 2 3 4 5 6 7
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
media = 2.92 , var= 3.22 , n= 500 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4 5 6 7
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Metodo da rejeicao (v.a. contınua)
Seja X ∼ fX (.; θ), fX (.; θ) e uma funcao densidade de probabilidade
com suporte X (Ω).
Queremos simular de fX . Para isso podemos encontrar um
“envelope” constante (c ≥ 1) e uma densidade envelope gY com
mesmo suporte de X, tal que
fX (x)
gY (x)≤ c ,∀x ∈ X (Ω)
O algotimo da rejeicao pode ser descrito como
1 Simule ui ∼ U(0, 1), i = 1, ..., n e y de gy de modo independente.
2 Se u ≤ fX (y)cgY (y)
faca x = y, caso contrario, volte ao Passo 1.
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Beta a = 2 e b =4
X uma va tal que fX (x) = 20x(1− x)3, Beta(2,4).
Seja gY (y) = 11(y)(0,1).
O maximo de f (x)g(x) e obtido para x = 1/4 e assim f (1/4)
g(1/4) = 13564 .
Portanto, f (x)cg(x) = 256
27 x(1− x)3
Algoritmo
1 Gere, de modo independentes, u1 e u2 de U(0, 1).
2 Se u2 ≤ 25627
u1(1− u1)3 faca x = u1, caso contrario, volte ao passo 1.
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Valores simulados
media = 0.34 , var= 0.05 , n= 20
valores
de
nsi
da
de
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
media = 0.35 , var= 0.03 , n= 50
valores
de
nsi
da
de
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
media = 0.33 , var= 0.03 , n= 100
valores
de
nsi
da
de
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.0
1.0
2.0
3.0
media = 0.34 , var= 0.03 , n= 500
valores
de
nsi
da
de
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Gama r = 3/2 e λ =1
X uma va tal que fX (x) = Kx1/2e−x11(x)(0,∞),K = 2/sqrtπ,
gama(3/2,4).
Seja gY (y) = 23e−2x/311(y)(0,∞).
O maximo de f (x)g(x) e obtido para x = 3/2 e assim f (3/2)
g(3/2) = 33/2
(2πe)1/2 .
Portanto, f (x)cg(x) = (2e/3)1/2x1/2e−x/3
Algoritmo
1 Gere, u1 de U(0, 1) e faca y = − 32
ln u1.
2 Gere u2 de U(0, 1).
3 Se u2 ≤ (2ey/3)1/2e−y/3 faca x = y , caso contrario, volte ao passo
1.
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Valores simulados
media = 1.56 , var= 3.05 , n= 20
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.2
0.4
0.6
media = 1.46 , var= 1.12 , n= 50
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
media = 1.37 , var= 1.3 , n= 100
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.2
0.4
0.6
media = 1.45 , var= 1.34 , n= 500
valores
de
nsi
da
de
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
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Metodo da rejeicao (v.a. discreta)
Seja X ∼ fX (.; θ), fX (.; θ) e uma funcao de probabilidade com
suporte X (Ω).
Queremos simular de fX . Para isso podemos encontrar um
“envelope” constante (c ≥ 1) e uma densidade envelope gY com
mesmo suporte de X, tal que
fX (x)
gY (x)≤ c ,∀x ∈ X (Ω), f (x) 6= 0, g(x) 6= 0
O algotimo da rejeicao pode ser descrito como
1 Simule ui ∼ U(0, 1), i = 1, ..., n e y de gy de modo independente.
2 Se u ≤ fX (y)cgY (y)
faca x = y, caso contrario, volte ao Passo 1.
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
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Variavel aleatorioa discreta
Seja X , P(X = −1) = 1/6,P(X = 0) = 3/6,P(X = 1) = 2/6.
Seja gY (y) = 13 11(y)−1,0,1
O maximo de fX (x)gY (x) ocorre para x = 0 e, nesse caso, fX (x)
gY (x) = 9/6
Algoritmo:
1 Simule u1 de U(0, 1) e u2 de U−1,0,1
2 Se u1 ≤ f (u2)/((9/6)g(u2)) faca x = u2, caso contrario, volte ao
passo 1.
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Valores simulados0
.00
.20
.4
n= 30
v.x
pro
p.ta
ble
(ta
ble
(v.x
))
−1 0 1
0.0
0.2
0.4
0.6
n= 50
v.x
pro
p.ta
ble
(ta
ble
(v.x
))
−1 0 1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
n= 100
v.x
pro
p.ta
ble
(ta
ble
(v.x
))
−1 0 1
0.0
0.2
0.4
0.6
n= 500
v.x
pro
p.ta
ble
(ta
ble
(v.x
))
−1 0 1
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Eficiencia do metodo da rejeicao
A eficiencia do metodo da rejeicao e determinada pela probabilidade
de aceitacao 1θ .
Quanto menor o valor de c maior sera a eficiencia do metodo.
Em geral, queremos encontrar c ,
cθ = maxx∈X (Ω)f (x)
gθ(x)
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Distribuicao log concava
0 10 20 30 40
−1
0−
8−
6−
4−
2
gama
x
lpx
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
−1
0−
8−
6−
4−
20
normal truncada
x
lpx
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Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Exemplo: normal truncada f (x) = N[1,∞](0, 1)
Neste caso, a distribuicao e log-concava.
Uma densidade candidata e g(x) = be−b(x−a)11(a,∞)(x)
Pode-se provar que
cb = maxx>af (x)
be−b(x−a)=
(bd)−1e(0,5b2−ba), se b > a,
(bd)−1e−0,5b2
, se b ≤ a
em que d =√
2π(1− Φ(a)). O primeiro limite e minimizado em
b∗ = (a +√a2 + 4)/2 e o segundo em b = a. A escolha de b e b∗.
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Cont.
Algoritmo
1 Gere u1, u2 de U(0, 1) independentemente e faca y = − 1b∗ ln(u1) + a
2 Se u2 ≤ e−y2+b∗y−(b∗)2/2 faca x = y, caso contrario, volte ao passo 1.
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Valores simulados
media = 1.52 , var= 0.27 , n= 20
valores
de
nsi
da
de
1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.4
0.8
1.2
media = 1.5 , var= 0.2 , n= 50
valores
de
nsi
da
de
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.4
0.8
1.2
media = 1.68 , var= 0.39 , n= 100
valores
de
nsi
da
de
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5
0.0
0.4
0.8
1.2
media = 1.66 , var= 0.44 , n= 500
valores
de
nsi
da
de
1 2 3 4 5 6
0.0
0.4
0.8
1.2
Prof. Caio Azevedo
Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Metodo da amostragem (reamostragem) por importancia
Seja X ∼ fX (.; θ), fX (.; θ) e uma fdp com suporte X (Ω).
Considere uma fdp de amostragem por importancia, com mesmo
suporte de fX (.; θ).
1 Simule x1, ..., xm iid ∼ g(x),m >>> n (n tamanho da amostra).
2 Defina r(xj) =f (xj )
g(xj ), j = 1, 2, ...,m
3 Selecione, sem reposicao e via reamostragem, da distribuicao
discreta uma amostra de tamanho n.
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Exemplo: Distribuicao definida no intervalo (0,1)
Seja X ∼ fX (.; r),
f (x) =πsinr (πx)
beta(0.5, (r + 1)/2)11(0,1)(x)
Para r = 6, considere g(x) ∼ beta(2, 4)
Algoritmo
1 Como definido anteriormente
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Comportamento: f(x) x g(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
v.x
f.x
f(x)
g(x)
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Valores simulados
n= 30
valores
de
nsi
da
de
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
01
23
4
n= 50
valores
de
nsi
da
de
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
01
23
4
n= 100
valores
de
nsi
da
de
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
01
23
4
n= 500
valores
de
nsi
da
de
0.2 0.4 0.6 0.8
01
23
4
Prof. Caio Azevedo
Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Representacao Estocastica
Dois vetores aleatorios X e Y tal que X = g(Y).
Simulacao de uma distribuicao beta(a, b).
Simular x1 ∼ gama(a, 1) e x2 ∼ gama(b, 1).
Faca y = x1/(x1 + x2).
Repetir o processo acima n vezes.
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Programa
Programa
v.x1 <- r1*(runif(n,0,0.5) -
cbind(apply(log(replicate(round(a),runif(n,0,1))),1,sum)))
v.x2 <- r2*(runif(n,0,0.5) -
cbind(apply(log(replicate(round(b),runif(n,0,1))),1,sum)))
v.y <- cbind(v.x1/(v.x1 + v.x2))
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Valores simulados
n= 20
valores
de
nsi
da
de
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.0
1.0
2.0
3.0
n= 50
valores
de
nsi
da
de
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.0
1.0
2.0
3.0
n= 100
valores
de
nsi
da
de
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.0
1.0
2.0
3.0
n= 500
valores
de
nsi
da
de
0.2 0.4 0.6 0.8
0.0
1.0
2.0
3.0
Prof. Caio Azevedo
Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Beta binomial
Seja X |Y ∼ binomial(m, y) e Y ∼ beta(a, b).
Entao X ∼ beta-binomial, fX (x) =∫ 1
0f (x |y)f (y)dy .
Algoritmo
1 Simular n vezes y de beta(a, b).
2 Dado o vetor y simular x |y de binomial(m, y).
3 O vetor x tera a distribuicao desejada.
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Programa
Programa
v.x1 <- cbind(rbeta(n,a,b))
v.x2 <- cbind(rbinom(n,m,v.x1))
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Valores simulados0
.00
.10
.20
.30
.40
.5
media = 1.18 , var= 1.26 , n= 20 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
media = 1.36 , var= 1.06 , n= 50 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
media = 1.32 , var= 1.43 , n= 100 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
media = 1.27 , var= 1.51 , n= 500 , p = 3
valores
de
nsi
da
de
0 1 2 3 4
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1
Motivacao M. da Transformada Inversa Exemplos do MTI M. da Rejeicao R. Estocastica
Outros metodos
Rejeicao adaptativa.
Amostragem condicional.
Metodos especıficos (em geral levam em consideracao representacoes
estocasticas e pelo menos um dos algoritmos anteriores).
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Simulacao de variaveis aleatorias: Parte 1