Prof. Fernando D’Angelo

Classe 3BS – PNI

a.s.2010/2011

Disequazioni di secondo

grado

In questa presentazione verrà mostrato,

ricorrendo ad alcuni esempi,

come si risolvono le

disequazioni di 2° grado

ed in particolare

come si scrivono le loro soluzioni.

Premessa Premessa

Risolvere la disequazione di secondo gradoRisolvere la disequazione di secondo grado

025102 xx

se si considera la parabolase si considera la parabola 25102 xxy

equivale ad individuare i punti della parabola

aventi ordinata positiva

equivale ad individuare i punti della parabola

aventi ordinata positiva

Pertanto, nella risoluzione di una

disequazione di 2° grado, si può

ricorrere al grafico “qualitativo”

di una parabola che funga da guida

nella scrittura delle soluzioni.

Pertanto, nella risoluzione di una

disequazione di 2° grado, si può

ricorrere al grafico “qualitativo”

di una parabola che funga da guida

nella scrittura delle soluzioni.

Nota Bene: Per semplicità grafica, nei grafici che seguono, non verrà

rappresentato l’asse y.

Nota Bene: Per semplicità grafica, nei grafici che seguono, non verrà

rappresentato l’asse y.

La soluzione di una disequazione, come si

vedrà negli esempi, è un sottoinsieme S (proprio o improprio) dell’insieme dei

numeri reali R

La soluzione di una disequazione, come si

vedrà negli esempi, è un sottoinsieme S (proprio o improprio) dell’insieme dei

numeri reali R

Esempio N°1Esempio N°1

025102 xx

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

025102 xx

11

Risolviamola con la formula ridotta trovando le radici reali…

Risolviamola con la formula ridotta trovando le radici reali…

1

251255 x

1

251255 x

025102 xx

05x 05x

05x 05x

5x 5x 5x 5x

radici reali coincidenti

22

5x 5x

Posizioniamo tale valore sull’asse x Posizioniamo tale valore sull’asse x

5 xx

33

5

Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,

025101 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.

xx

44

5

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,

025102 xx

>0

25102 xxy

xx

55

>0

5

evidenziamo i punti della parabolache hanno ordinata positiva

evidenziamo i punti della parabolache hanno ordinata positiva

e proiettiamoli sull’asse xe proiettiamoli sull’asse x

xx

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:

5

025102 xx

5x 5x 5x 5x

ossia 5RS 5RS

xx

55

0642 xx

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

0642 xx

Esempio N°2Esempio N°2

11

Risolviamola con la formula ridotta trovando le eventuali radici reali…Risolviamola con la formula ridotta trovando le eventuali radici reali…

1

6142 x

1

6142 x

0642 xx

22 x 22 x

22

non esistono radici reali!!!non esistono radici reali!!!

…pertanto non possiamo posizionare alcuna radice reale sull’asse x!!!!…pertanto non possiamo posizionare alcuna radice reale sull’asse x!!!!

xx

33

Disegniamo una parabola che nonnon interseca l’asse x e,Disegniamo una parabola che nonnon interseca l’asse x e,

0641 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.

xx

44

0642 xx

>0

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,

522 xxy

xx

55

>0

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva

e proiettiamoli sull’asse xe proiettiamoli sull’asse x

xx

0642 xx

ossia R S R S

….da tutti i numeri reali!….da tutti i numeri reali!

L’insieme S di numeri reali in cui la disequazione data è soddisfatta è costituito da……

L’insieme S di numeri reali in cui la disequazione data è soddisfatta è costituito da……

xx

55

Esempio N°3Esempio N°3

01522 xx

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

01522 xx

11

Risolviamola, trovando le eventuali radici realiRisolviamola, trovando le eventuali radici reali

1

15111 x

1

15111 x

01522 xx

161x 161x

22

41x 41x

5x 5x 3x 3x

3x 3x

Posizioniamo le radici sopra l’asse xPosizioniamo le radici sopra l’asse x

3

5x 5x

5 xx

33

5

Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,

01521 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.

3 xx

44

01522 xx

<05 3

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,

1522 xxy

xx

<0

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata negativa

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata negativa

e proiettiamoli sull’asse x.e proiettiamoli sull’asse x.

2 3 xx

55

3

01522 xx

5

35 x 35 x

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:

cioè 3x5-Rx S 3x5-Rx S

xx

66

Esempio N°4Esempio N°4

0442 xx

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

Consideriamo l’equazione associatacorrispondente

0442 xx

11

Risolviamola con la formula ridottaRisolviamola con la formula ridotta

1

4142 x

1

4142 x

0442 xx

02 x 02 x

22

02 x 02 x

2x 2x 2x 2x

radici reali coincidenti !radici reali coincidenti !

2x 2x

Posizioniamo tale valore sull’asse x.Posizioniamo tale valore sull’asse x.

2 xx

33

2

Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,

0441 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.

xx

44

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,

0442 xx

<02

442 xxy

xx

55

<0

2

evidenziamo i punti della parabola che hanno ordinata negativa …evidenziamo i punti della parabola che hanno ordinata negativa …

non ci sono puntinon ci sono punticon ordinata negativa!!!con ordinata negativa!!!

non ci sono puntinon ci sono punticon ordinata negativa!!!con ordinata negativa!!!

xx

Pertanto l’insieme di numeri reali, in cui la disequazione è soddisfatta è ……Pertanto l’insieme di numeri reali, in cui la disequazione è soddisfatta è ……

2

0442 xx

ossia S S

...l’insieme vuoto!!!!!...l’insieme vuoto!!!!!

xx

66

Esempio N°5Esempio N°5

042 xx

Consideriamo l’equazione corrispondenteConsideriamo l’equazione corrispondente

042 xx

11

Risolviamola, trovando le radiciRisolviamola, trovando le radici

04 xx 04 xx

042 xx

0x 0x

04 x 04 x

0x 0x

4x 4x

22

4x 4x

Posizioniamo le radici sopra l’asse xPosizioniamo le radici sopra l’asse x

4

0x 0x

0 xx

33

0

Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,

041 2 xx

poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,

avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.

4 xx

44

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola che hanno ordinata positiva oppure nulla,

Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola che hanno ordinata positiva oppure nulla,

042 xx

00 4 xx

55

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva o nulla e proiettiamoli

sull’asse x

evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva o nulla e proiettiamoli

sull’asse x

0 4

0

xx

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai numeri reali x tali che:

L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai numeri reali x tali che:

4

042 xx

0

0x 0x 4x 4x

4x0xRx S 4x0xRx Sossia

xx

66

Esercizi

1 032 xx

2 01272 xx

3 0273 2 xx

4 062 xx

5 0162 x

6 094 2 xx

FINE