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Hewlett-Packard
Ano: 2016
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA Aulas 01 a 04
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário Progressão Aritmética .................................................. 1
PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 1
Definição de progressão aritmética (P.A) ........................................................................................................... 1
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1
Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 1
Termo geral ......................................................................................................................................................... 1
Exemplo 4 ............................................................................................................................................................ 1
Exemplo 5 ............................................................................................................................................................ 1
Exemplo 6 ............................................................................................................................................................ 2
Classificação ........................................................................................................................................................ 2
Exemplo 7 ............................................................................................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
Propriedades da P.A ............................................................................................................................................ 2
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 3
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
Representação especial ...................................................................................................................................... 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
Soma dos n primeiros termos ............................................................................................................................. 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
Questões extras .................................................................................................................................................. 4
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 4
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1
AULA 01 Progressão Aritmética
PRELIMINAR 1 Identifique, em cada uma das sequências a seguir, o
padrão de sua formação e escreva seus dois próximos
termos.
I. (2, 4, 6, _____, _____, . . . )
II. (−12, −8, −4, _____, ____, . . . )
III. (1
2,
7
12,
2
3, _____, _____, . . . )
IV. (12, 12, 12, 12, _____, _____, … )
Definição de progressão aritmética (P.A) Uma progressão aritmética é uma sequência onde
cada um dos termos, a partir do segundo, é obtido
acrescentando-se um valor fixo (chamado razão) ao
seu antecessor.
Assim,
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 ; 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟 ; 𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟 ; …
Portanto, de modo geral,
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑟 , ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2
Ou mais ainda, a razão da PA é dada pela fórmula
𝑟 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1, ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2
Exemplo 1
Dada a sequência (𝑎𝑛) = (−5, −3, −1, 1, 3, 5, 7),
podemos afirmar se a mesma é uma P.A ou não,
verificando se a diferença entre cada um de seus
termos apresentados e seu antecessor é constante.
Veja:
𝑎2 − 𝑎1 = −3 − (−5) = 2
𝑎3 − 𝑎2 = −1 − (−3) = 2
𝑎4 − 𝑎3 = 1 − (−1) = 2
𝑎5 − 𝑎4 = 3 − (1) = 2
𝑎6 − 𝑎5 = 5 − (3) = 2
𝑎7 − 𝑎6 = 7 − (5) = 2
Como obtivemos resultados constantes e iguais a 2,
temos que a sequência é uma P.A de razão 𝑟 = 2.
Exemplo 2
A sequência (2, 3, 4, 6) não é uma P.A, pois sendo
𝑎2 − 𝑎1 = 1
𝑎3 − 𝑎2 = 1
𝑎4 − 𝑎3 = 2
constata-se que a diferença entre um termo e seu
antecessor não é constante.
Exemplo 3
A progressão aritmética (𝑎𝑛) cujo primeiro elemento
é 1 e a razão é 4 é dada por
𝑎1 = 1 ; 𝑎2 = 1 + 4 = 5 ; 𝑎3 = 5 + 4 = 9; …
Assim, (𝑎𝑛) = (1; 5; 9; 13; … ).
Termo geral O termo geral de uma P.A é dado por:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟; 𝑛 ∈ ℕ∗
Exemplo 4
Sendo (𝑎𝑛) uma P.A cujo termo geral é
𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1) ∙ 3,
temos que
𝑎1 = 2 ;
𝑎2 = 2 + (2 − 1) ∙ 3 = 5 ;
𝑎3 = 2 + (3 − 1) ∙ 3 = 8 ; Então
(𝑎𝑛) = (2, 5, 8, 11, 14, . . )
Obs. 1: Note que o termo geral poderia ter sido
apresentado como 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 1.
Exemplo 5
Dada a P.A (𝑎𝑛) = (4, −2, −8, −14, … ), podemos
determinar o seu termo geral 𝑎𝑛 da seguinte forma:
1º) Determine a razão da P.A.
𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 = −2 − 4 = −6
Assim,
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟
𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1) ∙ (−6)
𝒂𝒏 = −𝟔𝒏 + 𝟏𝟎
Determinação da P.A
Para determinar uma P.A basta conhecer o primeiro
termo e a razão. Caso ela seja finita, também
precisamos da quantidade de termos.
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Exemplo 6
Seja (𝑎𝑛) = (1, 𝑎2, 5, … ) uma P.A, determine o seu
décimo termo.
Vamos começar determinando o seu termo geral,
𝑎3 = 5 ⇔ 𝑎1 + 2𝑟 = 5 ⇔ 1 + 2𝑟 = 5 ⇔ 𝑟 = 2
Assim, o termo geral é
𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ∙ 2
Finalmente, com o termo geral em mãos, podemos
determinar 𝑎10 :
𝑎10 = 𝑎1 + 9 ∙ 𝑟
= 1 + 9 ∙ 2
= 1 + 18 = 19
Obs.2: Perceba que podemos determinar a razão
utilizando a fórmula do termo geral, o primeiro termo
e algum termo já conhecido.
Classificação Uma progressão aritmética pode ser classificada
quanto ao seu crescimento, veja como:
𝑟 > 0 ⇒ a P.A é crescente.
𝑟 < 0 ⇒ a P.A é decrescente.
𝑟 = 0 ⇒ a P.A é constante.
Exemplo 7
(2; 6; 10; … ) possui razão 𝑟 = 4 > 0, logo é
crescente.
(2, −2, −6, … ) possui razão 𝑟 = −4 < 0,
logo é decrescente.
(2, 2, 2, … ) possui razão 𝑟 = 0, logo é
constante.
AULA 02 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Escreva o termo geral das seguintes progressões
aritméticas:
a) (0, 5, 10, 15, 20, … )
b) (−4, 2, 8, 14, … )
2.2. Em relação a P.A (52, 44, 36, 28, . . ), determine:
a) 𝑎19
b) 𝑎10 + 𝑎25
2.3. Uma P.A. possui o 4º termo igual a 24 e o 9º
termo igual a 79. Determine os 10 primeiros termos
da P.A e classifique-a quanto ao seu crescimento.
2.4. Dada uma progressão aritmética (𝑎𝑛) tal que
𝑎3 + 𝑎8 = 14 e 𝑎5 = 2𝑎10 + 88, determine 𝑎7.
2.5. Faça a interpolação aritmética de 6 meios entre
62 e 97.
AULA 03
Propriedades da P.A i. Se (𝑎, 𝑏, 𝑐) forma uma P.A, então o termo do
meio é a média aritmética dos extremos, ou seja
𝑏 =𝑎 + 𝑐
2
ii. A soma de dois termos equidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos da P.A.
Determinação do termo geral
Para determinar o termo geral de uma P.A é
necessário encontrar a razão (𝒓) e o primeiro termo
(𝒂𝟏). Lembre-se, 𝒓 = 𝒂𝒏 − 𝒂𝒏−𝟏, ∀𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑛 ≥ 2.
Nem sempre 𝒂𝟏 e 𝒓 são dados de forma direta.
Utilize as informações dadas na situação-problema
para buscar esses parâmetros.
TAREFA 1 – Resolver os exercícios fundamentais 2.1.
a 2.5.
Como entender o “funcionamento”
da versão generalizada do termo geral de uma PA?
DICA DO PROFESSOR – PRINCÍPIO DO ELEVADOR
Encare os termos da fórmula 𝒂𝒋 = 𝒂𝒊 + (𝒋 − 𝒊) ⋅ 𝒓
como:
𝒂𝒊 : morador de um andar 𝒊 (inferior);
𝒂𝒋 : morador de um andar 𝒋 (superior).
Desse modo, o expoente (𝒋 – 𝒊) representa o número
de andares que o morador do andar 𝒊 precisa subir
para chegar ao andar 𝒋.
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Exemplo 1
Dada a sequência (𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟔, 𝟐𝟎), temos que 𝒂𝟐 e
𝒂𝟒 são equidistante dos extremos, e assim,
𝑎2 + 𝑎4 = 8 + 16 = 24 = 4 + 20 = 𝑎1 + 𝑎5
iii. Se 𝑎𝑚 é o termo médio da progressão aritmética,
então
𝑎𝑚 =𝑎1 + 𝑎𝑛
2
Exemplo 2
Dada a sequência (𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟔, 𝟐𝟎), temos que o
termo médio 𝒂𝟑 é dado por
𝑎3 =𝑎1 + 𝑎5
2=
4 + 20
2= 12
Obs.1: Lembre-se que apenas uma sequência finita
com quantidade ímpar de termos, possui termo
médio.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Dada a P.A (3𝑥 − 5, 3𝑥 + 1, 25), determine x.
3.2. Obtenha o termo 𝑎10 do exercício fundamental
2.2. utilizando a propriedade iii).
AULA 04
Representação especial Em situações que envolvem P.A com poucos termos,
podemos utilizar algumas notações especiais.
Para uma P.A de 3 termos
A P.A (𝑥1, 𝑥1 + 𝑟, 𝑥1 + 2𝑟), pode ser representada por
(𝑥2 − 𝑟 , 𝑥2 , 𝑥2 + 𝑟)
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. A soma dos três números que compõem uma P.A
é 72 e o produto dos extremos é 560. Determine a
P.A.
Soma dos n primeiros termos Seja 𝑺𝒏 a soma dos 𝑛 primeiros termos de uma P.A,
ou seja,
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
Temos que
𝑆𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.2. Calcule a soma dos quinze primeiros termos da
PA (−45, −41, −37, −33, … ).
4.3. A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma
progressão aritmética (𝑎𝑛) é dada por
𝑆𝑛 = 𝑛2 − 2𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ∗. Determine
a) 𝑎1 b) 𝑎𝑛 c) 𝑎8
4.4. (DESAFIO) Calcule o valor de
502 − 492 + 482 − 472 + ⋯ + 22 − 12
TAREFA 2 – Ler os exercícios resolvidos 1, 2, 4, 5, 6,
8, 9, 11 e 13 e
FAZER os PSA 1(a, b), 2(b), 3, 5, 8(a, b, c), 9, 16, 18 e
22.
Ler as representações especiais para uma P.A de 4
termos e 5 termos.
Notação especial
A notação especial é outro jeito de descrever a
mesma P.A. Note que, quando for pedido a soma dos
termos, a notação especial é vantajosa, pois os "𝒓"
irão se anular. Veja:
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = (𝒙𝟐 − 𝒓) + 𝒙𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝒓) = 𝟑𝒙𝟐
Note que continuaríamos com duas incógnitas caso
tivéssemos optado por definir a P.A sem a notação
especial, veja:
Se (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑) = (𝒙𝟏, 𝒙𝟏 + 𝒓, 𝒙𝟏 + 𝟐𝒓), então
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟑𝒓
TAREFA 3 – Ler os exercícios resolvidos 19, 20 e 21;
e FAZER os PSA 26, 32, 37 e 45.
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EXTRA
Questões extras 1) Em uma progressão aritmética de 41 termos e de
razão 9, a soma do termo central com o seu
antecedente é igual ao último termo. Então, o
termo central é
a) 369
b) 189
c) 201
d) 171
e) 180
2) Interpolando 7 meios aritméticos entre 5 e 29,
nesta ordem, tem-se que o quinto termo dessa
sequência é
a) 14
b) 141
7
c) 17
d) 20
e) 21
3) Uma sequência (𝑎𝑛) é gla que 𝑎1 = 8 e 𝑎𝑛 =
𝑎𝑛−1 + 12, 𝑛 ∈ ℕ∗ e 𝑛 ≥ 2. A soma dos vinte
primeiros termos dessa sequência é
a) 228
b) 4720
c) 3260
d) 2360
e) 2440
4) Considere uma progressão aritmética (𝑎𝑛), 𝑛 ∈
ℕ∗, na qual 𝑎3 = 7 e 𝑎19 = −25. Determine 𝑎11.
5) A soma 𝑆𝑛 dos 𝑛 primeiros termos de uma
progressão aritmética é dada por 𝑆𝑛 = 2𝑛2 − 3𝑛,
em que 𝑛 ∈ ℕ∗. Calcule o produto entre o terceiro
termo e a razão dessa progressão.
6) Considere a progressão aritmética (𝑎𝑛), com 𝑛 ∈
ℕ∗, dada por (2; 6; 10; … ). Acerca dessa
progressão, julgue os itens a seguir.
(A) ( ) Essa progressão aritmética tem razão
𝑟 = −4.
(B) ( ) 𝑎10 = 42
(C) ( ) 𝑎13 + 𝑎17 = 𝑎11 + 𝑎19
(D) ( ) 𝑎16 =𝑎14+𝑎20
2.
(E) ( ) A soma dos vinte primeiros termos
dessa sequência é igual a 440.
7) Considere os números inteiros de 17 a 321.
Quantos desses números são múltiplos de 3?
(A) 101
(B) 102
(C) 103
(D) 104
(E) 105
CAIU NO VEST 1) (UnB – 2012) Os recordes na corrida de 100
metros rasos podem ser estimados da seguinte
forma: a partir do recorde obtido em 1983, de
9,930 s, o primeiro recorde seria 𝑅1 = 9,930 −
𝑎1; depois de alguns anos, o segundo recorde
seria 𝑅2 = 𝑅1 − 𝑎2; assim , o n-ésimo recorde, a
partir de 1983, seria 𝑅𝑛 = 𝑅𝑛−1 − 𝑎𝑛, em que 𝑎𝑖
é uma progressão geométrica de razão 𝑞 = 0,98 e
o primeiro termo 𝑎1 = 0,009.
1. O segundo recorde a partir de 1983 é inferior a
9,912 s
2. Considerando-se que, a partir da forma proposta
para a estimativa dos recordes, o tempo vai
diminuindo ate um limite mínimo, calcule esse limite,
em centésimo de segundos.
2) (ENEM – 2013) As projeções para a produção de
arroz no período de 2012 – 2021, em uma
determinada região produtora, apontam para
uma perspectiva de crescimento constante da
produção anual. O quadro apresenta a quantidade
de arroz, em toneladas, que será produzida nos
primeiros anos desse período, de acordo com essa
projeção.
PARA REVISAR – Conhecendo avaliações
4, 6, 9, 14, 33, 34, 37, 41
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ANO Projeção de produção (t)
2012 50,25
2013 51,50
2014 52,75
2015 54,00
A quantidade total de arroz, em toneladas, que
deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será
de
a) 497,25 b) 500,85. c) 502,87 d) 558,75 e) 563,25
3) (UECE) Seja (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎8) uma progressão
aritmética. Se 𝑎2 + 𝑎5 = 8 e 𝑎8 = 7, então 𝑎3 +
𝑎7 é igual a
a) 8 b) 28/3 c) 10 d) 32/3
4) (ITA – 2012) Sabe-se que (𝑥 + 2𝑦, 3𝑥 − 5𝑦, 8𝑥 −
2𝑦, 11𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧) é uma progressão aritmética
com o último termo igual a −127. Então, o
produto 𝑥𝑦𝑧 é igual a
a) -60 b) -30 c) 0 d) 30 e) 60
GABARITO:
FUNDAMENTAIS
2.1. a) 5 5na n b) 6 10na n
2.2. a) 92 b) 160
2.3. 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54
2.4. 22
2.5. 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97
3.1. 6
3.2. 20
4.1. 20, 24, 28 ou 28, 24, 20
4.2. 255
4.3. a) 1 1a b) 2 3na n c) 8 13a
4.4. 1275
QUESTÕES EXTRAS
1) B
2) C
3) E
4) 9
5) 28
6) EECCE
7) B
CAIU NO VEST
1) E 948
2) D
3) C
4) A