Proposições valores verdadeiros ou falsos. Mas nunca ambos. … · 2020. 2. 29. · Proposições...

Proposições

São sentenças que podem ser atribuídos

valores verdadeiros ou falsos. Mas nunca

ambos.

Princípio do Terceiro Excluído: uma proposição

ou é verdadeira ou é falsa, isto é, há de ser

um desses casos e nunca um terceiro caso;

Princípio da Não-Contradição: uma proposição

não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e

falsa.

prof. Alessandro Ramaldes

O que não é proposição?

Sentenças abertas.

Uma sentença aberta não é considerada

proposição, pois não é possível julgá-la como

verdadeira nem como falsa. Considere a

sentença:

Ele marcou mais de mil gols.

É impossível dizer se essa sentença é

verdadeira ou falsa sem saber quem é a

variável "Ele''

Também não são preposições.

Sentenças exclamativas!

Seja feliz!

Sentenças interrogativas

Que é isso?

Sentenças auto-referentes

porque essa se refere ao seu próprio valor

verdade, exemplo: está sentença é falsa.

Exemplos.

A terra é maior que a lua

Esta é sentença tem valor lógico verdadeiro,

portanto é uma proposição

Maria é bonita.

Esta sentença tem valor lógico que pode ser

verdadeiro ou falso portanto temos uma

proposição.

Exercitando.

Reconheça as proposições abaixo como genéricas e proposições valoradas.

Renata é linda.

Pele fez 10 gols pela seleção brasileira.

√3 + 4 = 7.

Feliz ano novo

Flamengo é um time de futebol

Seja feita a vontade de Deus.

Questão cespe.

Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”

A expressão X + Y é positiva.

O bb é o melhor banco do país

Dunga jogou pela seleção brasileira.

O que é isto?

Trabalhando com proposições

Tomamos como base a seguinte proposição composta.

Te darei uma bola e um carrinho.

Possibilidades.

Dar a bola e o carrinho

Dar a bola e não dar o carrinho

Não dar a bola e dar o carrinho

E não dar nenhum dos dois.

Calculando as possibilidades.

Fórmula:

2n = numero de possibilidades

Onde n é o numero de proposições.

No exemplo anterior temos duas proposições

por isso 4 possibilidades.

Montando a tabela verdade.

Se temos duas proposições sabemos que

temos 4 possibilidades, se 3 temos 8.

Analisando os conectivos lógicos.

Primeiro conectivo e símbolo ^

A sentença é verdadeira quando todas as

proposições forem verdadeiras.

Ex: uma pai promete ao seu filho; te darei

uma bola e um carrinho.

Analisando.

1. Notamos o numero de proposições

2. Fazemos a tabela verdade.

3. Damos a sentença segundo a regra do

conectivo.

4. Chamamos de A= dar a bola B= dar o carrinho

A B A ^ B

Conectivo ou exclusivo.

Ou.... Ou..... Símbolo “v”

REGRA; a sentença é verdadeira quando as

proposições tiverem valores lógicos

diferentes.

Tomemos como exemplo ainda a frase; um pai

promete ao seu filho ou te darei uma bola ou

uma carrinho.

Chamemos da A= dar a bola B= dar o

carrinho.

Analisando.

1. Notamos o numero de proposições

2. Fazemos a tabela verdade.

3. Damos a sentença segundo a regra do conectivo.

A B A “V” B

Conectivo ou

......Ou..... Símbolo v

REGRA; a sentença é verdadeira quando pelo

menos uma proposição for verdadeira.

Tomemos como exemplo ainda a frase; um pai

promete ao seu filho te darei uma bola ou

uma carrinho.

Chamemos da A= dar a bola B= dar o

carrinho.

Analisando.

Notamos o numero de proposições

Fazemos a tabela verdade.

Damos a sentença segundo a regra do conectivo.

A B A v B

Exercitando.

De as sentenças das seguintes equações

lógicas abaixo.

1. (A v B) ^ ( A ^ B)

2. (A v B) “v” ( A ^ B)

3. (A ^ B) ^ ( A “v” B)

RESOLUÇÃO 1.

A B A v B A ^ B(A v B) ^ ( A ^ B)

V V V V V

V F V F F

F V V F F

F F F F F

RESOLUÇÃO 2.

A B A v B A ^ B(A v B) “v” ( A ^

V V V V F

V F V F V

F V V F V

F F F F F

RESOLUÇÃO 3.

A B A ^ B A “v” B(A ̂ B) ^ ( A “v” B)

V V V F F

V F F V F

F V F V F

F F F F F

Negação de uma proposição.

Símbolo ~ ou ⌐

Seja a proposição A

Se A = V então ~A = F

Se A = F então ~A = V

Exemplos.

Maria é bonita.

Negação = maria não é bonita.

João não é médico.

Negação = joão é médico.

(CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem

proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores

lógicos que constroem novas proposições e significam não, e,

ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada

proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode

ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto acima,

julgue os itens a seguir.

1) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa,

então a proposição R v (¬ T) é falsa

2)Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é

falsa, então a proposição (P∧R)”v”(¬Q) é verdadeira.

Se a proposição T é verdadeira e a proposição

R é falsa, então a proposiçãoR v (¬ T) é falsa

RESOLUÇÃO

T= V R = F

Daí temos F v ~V F v F = F

CORRETA A QUESTÃO

2)Se as proposições P e Q são verdadeiras e a

proposição R é falsa, então a proposição

(P∧R)”v”(¬Q) é verdadeira.

RESOLUÇÃO

Substituindo os valores temos;

( V ^ F ) “v” ~V ( F ) “v” F F

QUESTÃO ERRADA.

EXERCICIOS CESPE.

23. resolução.~(AvB)v(AvB)

Temos que independente isso quer dizer que

são todas as possibilidades.

Daí temos a tabela verdade.

QUESTÃO CORRETA.

A B AvB ~(AvB) .~(AvB)

v(AvB)V V V F V

V F V F V

F V V F V

F F F V V

24. resolução.

Seja A= todos os beija-flores...

Seja B= algum beija-flor....

Negação de todos = algum

Negação de nenhum = algum

Negação de algum = todos ou nenhum.

Então temos se A=F temos B= ~A daí B= V

Correta a questão.

25. resolução

~AvB= V e sendo A=F

Sabemos que conectivo ou a sentença é

verdadeira quando ao menos uma proposição

for verdadeira daí temos.

Fv”B”=F obrigatoriamente B tem que ser falso.

Questão errada.

Conectivo condicional. Símbolo

Módulo clássico de se ver a forma condicional.

Se.... Então....

Exemplo;

Se nasci em Petrópolis então sou fluminense.

Tabela verdade. A= nascer em pet... B= ser flu...

A B A B

A sentença será falsa quando a primeira

proposição for verdadeira e a segunda falsa.

a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das

seguintes maneiras:

Se chove, faz frio.

Faz frio, se chove.

Quando chove, faz frio.

Chover implica fazer frio.

Chover é condição suficiente para fazer frio.

Fazer frio é condição necessária para chover.

Chove somente se faz frio.

Toda vez que chove, faz frio.

Questão 1

(Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:

P: “A ou B”

Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.

b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.

d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.

e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

Questão 2

Julgue a questão abaixo.

É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de

proposições seguintes:

Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José

será aprovado no concurso.

Maria é alta.

Portanto José será aprovado no concurso.

Questão 3

Julgue a questão abaixo.

É correto o raciocínio lógico dado pela

seqüência de proposições seguintes:

Se Célia tiver um bom currículo, então ela

conseguirá um emprego.

Ela conseguiu um emprego.

Portanto, Célia tem um bom currículo.

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Questão 7

Julgue as questões abaixo

Questão 8

Questão 9

Um pai diz ao filho: Ser aprovado é condição suficiente para você ganhar um presente. A promessa do pai só será falsa se:

a) Sendo aprovado e ganhando o presente

b) Não sendo aprovado, mais ganhara o presente.

c) Não sendo aprovado e não ganhando o presente

d) Sendo aprovado e não ganhando o presente

e) Nenhuma das opções acima

Questão 10

Questão 11

(ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema.

Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla

fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga

com Carla. Logo.

a. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

b. Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.

c. Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.

d. Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

e. Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

Conectivo bi condicional.

Símbolo

Forma clássica de ocorrer.

.... Se somente se....

Regra a sentença é verdadeira quando as proposições tiverem

valores lógicos iguais e falsa quando são diferentes.

São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se

q" as seguintes

expressões:

A se e só se B.

Se A então B e se B então A.

A somente se B e B somente se A.

A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para

B é condição necessária para A e A é condição necessária

para B.

Todo A é B e todo B é A.

Todo A é B e reciprocamente.

Outras formas de aparecer a bicondicional.

A é condição suficiente e necessária para B

A é condição necessária e suficiente para B

Exercícios.

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente

a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao

comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a

seguir:

A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não

foi à praia

pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q)

Questão 7

Questão 8

Questão 9

Diagramas lógicos.

O uso de diagramas é feito para resoluções do tipo em que

apareçam palavras lógicas do tipo; todos, alguns e nenhum.

A idéia básica para resolução das questões é o conceito básico

de lógica em que diz. Que uma coisa possível não é uma

coisa verdadeira, pois uma coisa para ser verdadeira deve

ser verdadeira em todos os casos.

Vamos a um exemplo para podemos entender melhor isso.

Exercitando.

Questão 1

Questão 2

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Questão 7

Questão 8

Negação de diagramas lógicos.

Negação de todos é alguns

Negação de nenhum é alguns

Negação de alguns é nenhum ou

todos.

Exercitando.

Dizer que não é verdade que, todos os artistas são felizes e

alguns professores são ricos é o mesmo que dizer que;

a) Todos os artistas não são felizes e alguns professores são

ricos.

b)Todos os artistas não são felizes e alguns professores não são

ricos.

c) algum artista não é feliz ou nenhum professor é rico

d) Alguns artistas não são felizes e nenhum professor é rico.

e) Nenhum das anteriores esta correta.

Exercitando.

A afirmação; não é verdade que se nenhum pobre é feliz então

algum rico é infeliz. É logicamente equivalente a;

a) Algum rico é feliz e algum pobre é infeliz

b) Algum pobre é feliz e nenhum rico é infeliz.

c) Todos os pobres são felizes ou algum rico é infeliz

d) Nenhum pobre é feliz se somente se todos os ricos são

infelizes

e) Nenhuma das alternativas anteriores.

Análise combinatória ou principio fundamental da contagem.

Toda vez que houver a necessidade de se contar, quantificar,

combinar... Usamos as técnicas de análise combinatória que

consiste em utilizar uma das três técnicas. PERMUTAÇÃO,

ARRANJO ou COMBINAÇÃO.

Fatorial.

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4).... Ate que a subtração por n seja igual

4! = 4x3x2x1= 24

5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120

8! \ 4! = ?

9! \ 6! x 2! = ?

12! \ 8! X 4! = ?

PEMUTAÇÃO.

Só usamos a permutação quando podemos repetir

elementos do problema.

Usamos o seguinte esquema.

Pos x pos x pos x pos........

Ex; quantas senhas diferentes com quatro dígitos

podem ser formadas ?

Temos; 10 x 10 x 10 x 10 = 10000

ARRANJO.

se em um problema não podemos repetir elementos vemos se a

ordem desses elementos é importante para a solução, se for

temos um problema de ARRANJO.

formula. A n,p = n! \ (n-p)!

Ex; deseja-se formar uma comissão composta por 3 pessoas

sendo um presidente, um secretário e um vice-presidente.

Escolhe-se ao acaso essas pessoas de um grupo de 6

pessoas quantas possibilidades diferentes temos para

montar essas comissões?

Temos n= 6 p = 3 A 6,3 = 6! \ ( 6 – 3 )! 6x5x4x3!\3! =

6x5x4=120

Combinação

ao testar em um problema se o mesmo é uma permutação ou

um arranjo, e ao notar que não é podemos ver que a ordem

dos elementos se torna importante e temos um problema de

combinação.

Fórmula. C n,p = n! \ p! ( n-p )!

Ex; quantas saladas de frutas podem ser feitas utilizando 4

frutas escolhidas de uma sexta com 7 frutas?

n= 7 p = 4 temos; C 7,4 = 7! \ 4! ( 7- 4 )! 7! \ 4! x 3!

7x6x5x4 \ 3x2x1 = 35

EXERCITANDO.

Questão 1

Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de

pessoas para serem usados em uma propaganda na

televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da

Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de

nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e

que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre

apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a

quantidade de inserções com pares diferentes de nomes

distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

Questão 2

Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12

funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada

agência receba 4 funcionários.

Questão 3

Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há

4 setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no

máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações.

Questão 4

Questão 5

Questão 6

QUESTÃO 7

Questão 8

Questão 9

Questão 10

O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de seis dezenas de

um conjunto de sessenta possíveis (01, 02, 03, ..., 59, 60). A

aposta mínima é feita escolhendo-se seis dessas dezenas.

José pensou em oito dezenas diferentes, e resolveu fazer o

maior número de apostas mínimas, combinando-as oito

dezenas escolhidas de todas as maneiras possíveis. Quantas

apostas fez José?

(A) 28

(B) 48

(C) 56

(D) 98

(E) 102

Questão 11

EXERCICIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA.

QUESTÃO 1

Questão 3

Questão 7

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve

resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10

questões?

a) 3003

b) 2002

c) 4000

d) 4084

e) 2048

Probabilidade.

Em resumo podemos definir probabilidade como sendo ;

Número de casos possíveis

casos prováveis.

evento .

Espaço amostral.

Exemplo:

Qual a probabilidade de jogarmos um dado ao acaso e termos

como resultado o número 4.

Qual a probabilidade de em um baralho com 52 cartas tirarmos

uma ao acaso e a mesma ser do nipe de copas.

: A probabilidade do evento impossível é nula.

Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto

vazio (Ø), teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna só existem bolas

brancas, a probabilidade de se retirar uma bola

verde (evento impossível, neste caso) é nula.

A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a

probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo,

neste caso) é igual a 1.

A soma das probabilidades de um evento e do seu evento

complementar é igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A'

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois

facilita a solução de muitos problemas aparentemente

complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a

probabilidade do evento complementar e, pela propriedade

acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.

ex; de probabilidade complementar.

Ao lançarmos 5 moedas ao acaso qual a probabilidade de que

pelo menos uma moeda tenha na sua face voltada para cima

a cara.

Questão 1

Questão 3

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Questão 7

Questão 8

Questão 10

Questão 11

Questão 13

Questão 14

Questão 15

Lança-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. A

probabilidade de obtermos cara e um número par é

a) 1 / 12.

b) 2 / 12.

c) 3 / 12.

d) 4 / 12.

e) 6 / 12.

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