MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO DEP DEPA

COLÉGIO MILITAR DO RECIFE

PROVA DE MATEMÁTICA

1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

23 DE OUTUBRO DE 2004

PROVA DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE – 04/05

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ITEM 01. Um pai tem hoje 54 anos e seus 4 filhos têm juntos, 39 anos. A idade do pai será

igual à soma das idades de seus filhos daqui a:

A. ( ) 8 anos B. ( X ) 5 anos C. ( ) 12 anos D. ( ) 10 anos E. ( ) 20 anos

SOLUÇÃO: 54 + x = 39 + 4x 4x – x = 54 – 39 3x = 15 x = 5

ITEM 02. O valor da expressão k

3k + .

9kk9k6k

2

23

−+−

, para k igual a 103, é:

A. ( ) 103 B. ( ) 97 C. ( ) 98 D. ( ) 99 E. ( X ) 100

SOLUÇÃO:

)3k()3k()9k6k(k

k)3k(1 2

−⋅++−⋅

⋅+⋅

= )3k()3k(

)3k()3k(kk

)3k(1−⋅+

−⋅−⋅⋅

+⋅ = k – 3

Fazendo k = 103, temos: 103 – 3 = 100

ITEM 03. O produto 157 .

51

4

13

12

1

++

+ é:

A. ( ) 157 B. ( ) 89 C. ( ) 86 D. ( X ) 68 E. ( ) 98

SOLUÇÃO:

21563

12

1157

215

3

12

1157

5211

3

12

1157

5120

13

12

1157

51

4

13

12

1157

++

⋅=

++

⋅=

++

⋅=

++

+⋅=

++

+⋅

6815768

157

68157

1157

6821

2

1157

21681

2

1157 =⋅=⋅=

+⋅=

+⋅=

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ITEM 04. Se um subconjunto A dos números naturais possui “N” elementos, então o conjunto

P(A), das partes de A, possui 2N elementos. Considerando o mesmo conjunto A, temos que o

número de elementos do conjunto das partes de P(A) é:

A. ( ) 2N

B. ( X ) N22

C. ( ) 4N

D. ( ) 8N

E. ( ) 16N

SOLUÇÃO: N22

ITEM 05. Na figura abaixo, o lado AB do trapézio ABCD tangencia a semi-circunferência de

centro “O”. Então o valor de “d”, em função de “a” e “b”, é:

A. ( X ) 2 ab

B. ( ) ab2

C. ( ) ab +

D. ( ) 2a ba +

E. ( ) 2 a2ab +

SOLUÇÃO:

d2 + (b – a)2 = (b + a)2 d2 + b2 – 2ab + a2 = b2 + 2ab + a2 d2 – 2ab = 2ab d2 = 4ab d = ab4 d = 2 ab

. 0 d

.

. a

A D

B C

b

a + b d

A

E B . b - a

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ITEM 06. Calcule, em cm, o raio da circunferência de centro “O”, sabendo que PA = 6 cm e

PB = 12 cm.

A. ( X ) 4,5

B. ( ) 4,2

C. ( ) 4,0

D. ( ) 3,8

E. ( ) 3,6

SOLUÇÃO:

PCPBPA2

⋅= 36 = 12 . (12 – 2r) 12 – 2r = 3 2r = 12 – 3 2r = 9 r = 4,5

ITEM 07. Sejam R: O conjunto dos retângulos

Q: O conjunto dos quadrados

L: O conjunto dos losangos

A figura que melhor representa as relações entre eles é:

SOLUÇÃO: Resposta: letra D.

R Q

L

A. ( )

R

Q

L

B. ( )

Q L

C. ( )

R

R L

D. ( X )

Q Q

L

R

E. ( )

A

. C B O

. .

P

.

.

A

. C B O

. .

P

.

.

6

r r

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ITEM 08. Um mergulhador quer resgatar a caixa preta de um avião que caiu em um rio da

Amazônia. Sabendo que a distância horizontal do bote de resgate ao local onde está a caixa

preta é de 5 m e que a trajetó ria do mergulhador é descrita pela função f(x) = 32x

x2 ++− , onde

x representa a distância horizontal do bote de resgate ao local no qual se encontra o

mergulhador, conclui-se que, para resgatar a caixa preta, a profundidade que o mergulhador

terá que alcançar é:

A. ( ) 20,5 metros

B. ( ) 20 metros

C. ( X ) 19,5 metros

D. ( ) 19 metros

E. ( ) 18,5 metros

SOLUÇÃO:

5,19)5(f35,225)5(f325

5)5(f 2 −=⇒++−=⇒++−= , ou seja, a profundidade que o

mergulhador terá de alcançar é 19,5 m.

ITEM 09. O perímetro do triângulo abaixo é:

A. ( )2 ( 4 + 3 )

B. ( ) 8 3

C. ( X ) 2 ( 3 + 3 )

D. ( ) 6 3

E. ( ) 6 + 3

SOLUÇÃO: x2 = 42 + (2 3 )2 - 2 . 4 . 2 3 . cos 30º

x2 = 16 + 12 - 2 . 4 . 2 3 . 23

x2 = 16 + 12 – 24 x2 = 28-24 x = 4 x = 2 Logo o perímetro = 2 3 + 4 + 2

= 2 3 + 6 = 2( 3 + 3)

4

30º

2 3

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ITEM 10. A área de um triângulo eqüilátero de 6 cm de altura é, em cm2:

A. ( ) 14 3

B. ( ) 8 3

C. ( ) 10 3

D. ( ) 6 3

E. ( X ) 12 3

SOLUÇÃO:

23l

h = e h = 6 cm

h23l =

cm343

3123

12362

l ===⋅

=

43l

A2

=

22

cm3124

3484

3)34(A ==

⋅=

ITEM 11. Para fabricar suco de groselha utiliza-se 200 ml de essência de groselha para cada

litro de água mineral. Sabendo que 100 ml de essência custa R$ 0,12 e que cada litro de água

mineral custa R$ 0,36, conclui-se que o custo da fabricação de 6 litros de suco, em reais, é:

A. ( ) 2,80 B. ( ) 2,40 C. ( ) 3,20 D. ( X ) 3,00 E. ( ) 3,60

SOLUÇÃO: 1 l de água + 0,2 l de essência fabrica 1,2 l de suco. Logo para fabricar 6 l de suco é necessário 1 l de essência e 5 l de água. Como 1 l de água custa R$ 0,36 e 0,1 l de essência custa R$ 0,12 gastaremos R$ 1,20 com essência e R$ 1,80 com água. Portanto o gasto total é: R$ 1,20 + R$ 1,80 = R$ 3,00.

l

l

.

l h

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ITEM 12. O Colégio Militar do Recife deseja construir uma piscina semi-olímpica de

comprimento 25 m, largura 18 m e 2 m de profundidade. Para azulejar as 4 paredes e o fundo

da piscina, a construtora aconselha a compra de 10% a mais da quantidade necessária de

azulejos. Como o m2 do azulejo custa R$ 17,00, então o custo, em reais, da totalidade dos

azulejos necessários para azulejar a piscina será:

A. ( ) 10.574,00

B. ( X ) 11.631,40

C. ( ) 622,00

D. ( ) 9.112,00

E. ( ) 10.023,20

SOLUÇÃO: Área de 4 paredes e o fundo é: 2 . 25 . 2+2 . 18 . 2+25 . 18 = 100+72+450 = 622 m2 Soma-se 10% de 622 m2 e obtém-se 684,2 m2 e multiplica-se pelo valor do m2. 384,2 . 17 = 11.631,40

ITEM 13. Considerando IR como o conjunto dos números Reais, a solução da inequação

2x1

x ≤+ é:

A. ( ) { x ∈ IR: x ≤ -1 ou x = 1}

B. ( X ) { x ∈ IR: x < 0 ou x = 1}

C. ( ) { x ∈ IR: x ≥ 1}

D. ( ) { x ∈ IR: x ≤ 1}

E. ( ) { x ∈ IR: x < 0}

SOLUÇÃO:

⇒≤−+⇒≤+ 021

21

xx

xx

0x)(IIderaízese1xx)(Ideraízes0x

1x2x21

2

===⇒≤+−

(I) + + + +

(II) - - + +

(I)/(II) - - + +

S = {x ∈ R / x < 0 ou x = 1 }

25

18 2

(I) (II)

. o

o

0 1

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ITEM 14. Considere a equação k2 – 4k + 7 = 0 e sejam m e n suas raízes. Então 22 n

1m1

+ vale:

A. ( ) 4916

B. ( X ) 492

C. ( ) 21

D. ( ) 249

E. ( ) 1649

SOLUÇÃO:

492

491416

7724

mn)mn(2)nm(

mnmn2nmn2m

mnnm

n1

m1

2

2

22

2

22

22

22

22

22=

−=

⋅−=

−+=

−++=

+=+

ITEM 15. Uma pessoa, começando com R$ 64,00, faz seis apostas consecutivas, em cada

uma das quais arrisca perder ou ganhar a metade do que possui na ocasião. Se essa pessoa

ganha 3 apostas e perde 3 pode-se afirmar que ela:

A. ( ) ganha dinheiro.

B. ( ) não ganha nem perde dinheiro.

C. ( ) perde R$ 27,00.

D. ( X ) perde R$ 37,00.

E. ( ) ganha ou perde dinheiro, dependendo da ordem em que ocorreram suas vitórias e

derrotas.

SOLUÇÃO:

00,2721

21

21

23

23

23

00,64

perdeganha

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅4342143421

Logo, na seqüência ganha 3 seguidas e perde 3 seguidas a pessoa fica com R$ 27,00, ou seja, perde R$ 37,00. Entretanto, a ordem dos fatores não altera o produto, qualquer seqüência de perda ou ganho daria o mesmo resultado. ITEM 16. Uma companhia de telefonia celular possui os seguintes planos:

Plano A: Taxa mensal de R$ 38,50 e R$ 0,84 por minuto além da franquia.

Plano B: Taxa mensal de R$ 64,50 e R$ 0,24 por minuto além da franquia.

Os dois planos dão 100 minutos de franquia, isto é, 100 minutos inclusos na taxa

mensal.

Com base nas informações acima podemos afirmar que:

A. ( ) O Plano A é sempre mais barato que o Plano B.

B. ( ) O Plano B é mais barato, a partir de 145 minutos de uso telefônico.

C. ( X ) O Plano A é mais caro depois de gasto 150 minutos.

D. ( ) Não existe possibilidade de os custos dos dois planos serem os mesmos.

E. ( ) Utilizando 50 minutos de ligação pelo Plano B, o usuário gastará R$ 77,50.

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SOLUÇÃO: ⇒ B(x) < A(x) ⇒ 64,50 + 0,24x – 24 < 38,50 + 0,84x – 84 ⇒ 44,50 + 84 – 38,50 < 0,6x ⇒ 0,6x > 90

⇒ x > 6,0

90

⇒ x > 150

ITEM 17. A metade do número 48 + 213 é igual a:

A. ( X ) 215 + 46

B. ( ) 47 + 1212

C. ( ) 28 + 213

D. ( ) 27 + 25

E. ( ) 28 + 113

SOLUÇÃO:

615621512151316138

42)2(22

)22(22

222

24+=+=

+=

+=

+

ITEM 18. Um bambu de 9 m de altura, na posição vertical, é quebrado pelo vento de modo que

a ponta encontra o chão formando com ele um ângulo de 30º. A que altura, a partir do chão, ele

foi quebrado?

A. ( ) 1,5 m

B. ( ) 2,0 m

C. ( X ) 3,0 m

D. ( ) 3,5 m

E. ( ) 4,0 m

Equação do Plano A 38,50 se x ≤ 100 38,50 + (x – 100) . 0,84 se x > 100 A (x) =

Equação do Plano B 64,50 se x ≤ 100 64,50 + (x – 100) . 0,24 se x > 100 B (x) =

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SOLUÇÃO:

m3x9x3x9x221

x9x

=⇒=⇒−=⇒=−

ITEM 19. Os lados homólogos de polígonos semelhantes estão à razão de 43

. A soma de suas

áreas é 250 m2. Qual a área do polígono menor?

A. ( ) 60 m2 B. ( X ) 90 m2 C. ( ) 100 m2 D. ( ) 110 m2 E. ( ) 120 m2

SOLUÇÃO: P1 e P2 são polígonos semelhantes, logo:

90A925

A250

9916

AAA

250AAe169

AA

43

ll

111

2121

2

1

2

1 =⇒=⇒+

=+

⇒=+=⇒= m2.

ITEM 20. Num vôo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$ 200,00

por pessoa, quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao

preço de cada passagem será acrescida a importância de R$ 4,00 por cada lugar não ocupado.

O número de lugares não ocupados para que a companhia obtenha faturamento máximo é:

A. ( ) zero B. ( ) 100 C. ( ) 50 D. ( ) 75 E. ( X ) 25

SOLUÇÃO: Sejam V(x) o valor total que a empresa receberá e x o número de lugares não ocupados. Logo: V(x) = (100 –x).(200 + 4.x)

V(x) = 20000 + 200x – 4x2 V(x) =– 4x2 + 200x + 20000

Para que V(x) seja máximo x deve ser a abscissa do vértice da parábola, portanto:

258

200)4(2

200x ==

−⋅−

=

////////////////////////////////////////////

x 9 - x

. 30º

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ITEM 21. O ponto mais baixo de uma roda gigante circular de raio R metros dista 1 m do solo.

A roda está girando com 3 crianças sentadas em cadeiras diferentes e posicionadas à mesma

distância entre elas. A altura de duas delas no momento em que a outra está no ponto mais

alto é:

A. ( )

+21

R m B. ( )

+

21R

m C. ( X )

+

22R

m

D.( ) ( )2R + m E. ( )

+2

2Rm

SOLUÇÃO:

m2

2R1

2R

h

+

=+=

ITEM 22. De acordo com a lei de Poiaseulle, a velocidade do sangue num ponto a “r” cm do

eixo central de um vaso sanguíneo é dada pela função ( )22 rRC)r(V −= em cm/s, em que C é

uma constante e R é o raio do vaso. Supondo, para um determinado vaso, que C = 1,8 . 104 e

R = 10-2 cm, então a diferença entre a velocidade do sangue no eixo central do vaso sangüíneo

e a velocidade do ponto médio entre a parede do vaso e o eixo central em, cm/s, é:

A. ( ) 1,8 B. ( ) 1,35 C. ( ) 3,15 D. ( X ) 0,45 E. ( ) 0,55

SOLUÇÃO: A velocidade do sangue no eixo central é: V(o) = 1,8.104 . (10-2)2 = 1,8 cm/s. A velocidade do sangue no ponto médio entre o eixo central e a parede do vaso é:

( ) =

−=

−−

− 22224

2

210

10.10.8,12

10V

( ) =

−=

−−

2242

10.41

1.10.8,12

10V

s/cm35,143

.8,12

10V

2

==

−

( ) .s/cm45,035,18,12

10V0V

2

=−=

−

−

30º

. . . . R

2R

2R

1 m

////////////////////////////////

30º

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ITEM 23. Numa cidade, moram “n” famílias e cada família possui 0 (zero), 2 (dois) ou 4 (quatro)

filhos. A maioria das famílias possui 2 crianças e metade das famílias restantes não possui

crianças. Quantas são as crianças da cidade?

A. ( ) n B. ( ) 1,4 n C. ( ) 1,8 n D. ( X ) 2 n E. ( ) 2,2 n

SOLUÇÃO:

( ) n2zyx2z2x2y2z2z2y2z4y2xz

?z4y2nzyx

x2

yx?z4y2nzyx

=++=++=++=+⇒

==+=++

⇒

=+

=+=++

ITEM 24. Um pintor recebeu R$ 65,35, do Colégio Militar do Recife , para numerar

seguidamente de 48 em diante, inclusive, todas as cadeiras do auditório. Sabendo que esse

serviço foi pago à razão de R$ 0,05 por algarismo, podemos afirmar que o número de cadeiras

trabalhadas é:

A. ( X ) 453 B. ( ) 452 C. ( ) 1.307

D. ( ) 1.259 E. ( ) 1.260

SOLUÇÃO: 65,35 ÷0,05 é o número de algarismos pintados, ou seja, 1307. Para pintar de 48 a 99 temos 52 números de 2 algarismos, ou seja, 104 algarismos. Portanto 104 + 3x = 1307 ⇒ 3x = 1203 ⇒ x = 401. Teremos 401 cadeiras com 3 algarismos e 52 com 2 algarismos. Um total de 453 cadeiras.

ITEM 25. Para comemorar o dia dos professores, os alunos da 1ª série do Ensino Médio

trouxeram uma torta no formato circular. Durante as comemorações, o primeiro pedaço de torta

foi partido conforme a figura abaixo:

d

.

primeiro pedaço

4d3

.

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A porcentagem da torta que restou, depois de retirado o primeiro pedaço, foi,

aproximadamente: (considere π = 3,14 e 3 = 1,71)

A. ( ) 75 %

B. ( ) 56 %

C. ( ) 83 %

D. ( ) 78 %

E. ( X ) 80 %

SOLUÇÃO:

Área da torta inteira: 4d

A2π

=

Área da torta partida:

06021

coscos

2d4d

=θ⇒=θ⇒θ=

Área do bolo partido é:

+

π=+

π=⋅+⋅

π=

163

6d

163d

6d.

4d

34d

360240

4d.

A 2222

p

%808,04

343

123384

48338

4

48338

%100

4

163

6%100AAp =≅

π+=

π+π

=π

⋅+π

=π

+π

=⋅π

+π

=⋅

. 2d

2

d 2d