Regras de Inferência Como gerar na Lógica Proposicional

formas válidas de argumento? Regras de Inferência permitem gerar

formas de argumentos numa série de etapas simples e precisas de raciocínio chamada prova ou derivação.

Cada etapa numa derivação é uma instância de uma das regras de inferência.

Existem 10 regras básicas: uma para incluir e outra para excluir cada um dos operadores lógicos.

Ex: {C, SA, CS} |-- A 1. C P 2. SA P 3. CS P 4. S 1 e 3 MP 5. A 2 e 4 MP

Derivação Uma derivação (prova) de uma

forma de argumento é uma seqüência de enunciados <e1, e2, .... en>, onde:

en é a conclusão Cada e1, e2, .... en pode ser:

Uma premissa ou O resultado da aplicação de uma

regra à enunciados anteriores.

Derivação No exemplo, temos que a

seqüência de fórmulas (que representam os enunciados). 1, 2, ....5 é uma derivação ou uma prova da forma indicada.

A regra utilizada MP chama-se Modus Ponens (modo afirmativo).

Modus Ponens (MP): de um condicional e de seu

antecedente, podemos inferir o seu conseqüente.

α α β β

Ex: {~P(QR), ~P, Q} |-- R1. ~P(QR) P2. ~P P3. Q P4. QR 1 e 2 MP5. R 3 e 4 MP

Eliminação da negação (~E): de uma fórmula da forma ~~α,

podemos inferir α.

~~α α

Ex: {~P ~~Q, ~~~P} |-- Q1. ~P ~~Q P2. ~~~P P3. ~P 2 ~E4. ~~Q 1 e 3 MP5. Q 4 ~E

Introdução de conjunção (^I): de quaisquer fórmulas α e β.

podemos inferir a conjunção α e β.

α β α ^ β

Eliminação de conjunção (^E): de uma conjunção podemos

inferir qualquer um dos seus componentes.

α ^ β α ^ β α β

Ex:{P(Q^R), P} |-- P ^ Q 1. P(Q^R) P 2. P P 3. Q^R 1 e 2 MP 4. Q 3 ^E 5. P ^ Q 2 e 4 ^I

Ex:{(P^Q)(R^S),~~P, Q} |-- S 1. (P^Q)(R^S) P 2. ~~P P 3. Q P 4. P 2 ~E 5. P ^ Q 3 e 4 ^I 6. R^S 1 e 5 MP 7. S 6 ^E

Introdução de disjunção (νI) : de uma fórmula α, podemos inferir

a disjunção de α com qualquer fórmula β.

α . α v β

Ex:{P |-- (PvQ) ^ (PvR)} 1. P P 2. PvQ 1 vI 3. PvR 1 vI 4. (PvQ) ^ (PvR) 2 e 3 ^I

Ex:{P, ~~(PQ) |--(R^S)vQ} 1. P P 2. ~~(PQ) P 3. PQ 2 e ~E 4. Q 1 e 3 MP 5. (R^S)vQ 4 e vI

Eliminação de disjunção (vE): De quaisquer fórmulas da forma

α v β, αγ, βγ , podemos inferir γ.

α v β αγ βγ γ

Exemplo: Hoje é Sábado ou Domingo. Se

hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

{SvD, SF, DF} |-- F

Introdução do Bicondicional (): de quaisquer fórmulas da forma α β e β α, podemos inferir

αβ.

α β β α αβ

Eliminação do Bicondicional (E): de qualquer fórmula da forma

αβ, podemos inferir as fórmulas α β ou β α.

αβ , αβαβ βα

Exemplos: Hoje é um fim de semana se e

somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado.

{F(SvD), S} |-- F

{F(SvD), S} |-- F 1. F(SvD) P 2. S P 3. SvD 2 vI 4. (SvD)F 1 E 5. F 2 e 4 MP

{PQ, (PQ)(QP)} |-- PQ 1. PQ P 2. (PQ)(QP) P 3. QP 1 e 2 MP 4. PQ 1 e 3 I

Regras Hipotéticas Introdução do condicional e da

negação empregam raciocínio hipotético:

Raciocínio baseado em hipóteses.

As hipóteses não são consideradas como verdadeiras, elas são "artifícios lógicos" (estratégia de prova).

Exemplo: Um atleta machucou o tornozelo uma

semana antes de um campeonato de corrida e seu técnico procura convencê-lo a parar alguns dias para que seu tornozelo sare totalmente:

O técnico argumenta:"Se você continuar a correr, você não estará apto para disputar o campeonato".

O atleta não se convence e diz: "Prove isso".

Solução A maneira mais comum de provar um

condicional é colocar o seu antecedente como hipótese (admiti-lo como verdadeiro) e provar que a partir dele seu consequente se verifica.Para esse exemplo, equivale a raciocinar do seguinte modo:

Solução "Olhe, suponhamos que você continue

correndo, o seu tornozelo está muito inchado. Se ele está muito inchado e você continuar correndo, ele não sarará em uma semana. Se ele não sarar em uma semana, então você não estará apto para disputar o campeonato. Deste modo, você não estará apto para disputar o campeonato."

Solução O novo argumento emprega três

suposições afirmadas como verdadeiras:1) Seu tornozelo está muito inchado.2) Se o seu tornozelo está muito inchado e

você continuar correndo, ele não irá sarar em uma semana.

3) Se o seu tornozelo não sarar em uma semana, então você não estará apto a disputar o campeonato.

Solução O argumento hipotético demonstra que

se a hipótese "você continuar correndo" é verdadeira, então a conclusão do argumento "você não estará apto para disputar o campeonato", se verifica.

Assim, fica provada a verdade do condicional:

"Se você continuar correndo, você não estará apto a disputar o campeonato".

Formalizando: Suposições desse argumento hipotético:1. I Tornozelo está inchado2. (I ^ C)~S Se tornozelo inchado e continuar

correndo, então não irá sarar.3. ~S~ASe seu tornozelo não sarar você não

estará apto para o Campeonato. Conclusão a ser provada: C~A Se você continuar correndo agora, você

não estará apto para Campeonato.

Formalizando: Forma do novo argumento:

{I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A

Derivação:{I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A 1. I P 2. (I ^ C)~S P 3. ~S~A P 4. | C H p/ PC 5. | I ^ C 1 e 4 ^I 6. | ~S 2 e 5 MP 7. | ~A 3 e 6 MP 8. C~A 4 e 7 PC

Prova do Condicional (PC): Dada uma derivação de uma fórmula

a partir de uma hipótese , podemos descartar a hipótese e inferir

{} ├

Em relação ao exemplo da corrida, é C e é ~A.

Outros exemplos: Ex. 1: {P Q, Q R} ├ P R

1. P Q P 2. Q R P 3. | P H p/PC 4. | Q 1 e 3 MP 5. | R 2 e 4 MP 6. P R 3 e 5 PC

Outros exemplos: Ex. 2: {(P ^ Q) R} ├ P (Q R)

1. (P ^ Q) R P 2. | P H p/PC 3. | | Q H p/PC 4. | | P ^ Q 2 e 3 ^I 5. | | R 1 e 4 MP 6. | Q R 3 e 5 PC 7. P (Q R) 2 e 6 PC

Outros exemplos: Ex. 3: {(P ^ Q) v (P ^ R)} ├ P ^ (Q v R) 1. (P ^ Q) v (P ^ R) P 2. | P ^ Q H 3. | P 2 p/ ^E 4. | Q 2 p/ ^E 5. | Q v R 4 p/ vI 6. | P ^ (Q v R) 3 e 5 ^I 7. (P ^ Q) P ^ (Q v R) 2 e 6 PC 8. | P ^ R H 9. | P 8 p/ ^E 10. | R 8 p/ ^E 11. | Q v R 10 p/ vI 12. | P ^ (Q v R) 9 e 11 ^I 13. (P ^ R) P ^ (Q v R) 8 e 12 PC 14. P ^ (Q v R) 1 e 7 e 13 vE

Redução ao Absurdo (RAA): Dada uma derivação de uma contradição a

partir de uma hipótese , podemos descartar a hipótese e inferir ~.

{} ├ ^ ~ ~ Obs: Uma contradição é qualquer fórmula da forma

^ ~, onde pode ser qualquer fórmula.

Ex: {P Q, ~Q} ├ ~P 1. P Q P 2. ~Q P 3. | P H p/RAA 4. | Q 1 e 3 MP 5. | Q ^ ~Q 2 e 4 ^I 6. ~P 3 e 5 RAA

Ex: {(~P P)} ├ P 1. ~P P P 2. |~P H p/RAA 3. |P 1 e 2 MP 4. |P ^ ~P 2 e 3 ^I 5. ~~P 2 e 4 RAA 6. P 5 ~E

Regras Derivadas 1- Modus Tollens (MT): (modo negação)

{P Q, ~Q} ├ ~P Derivação:

1. P Q P2. ~Q P3. | P H p/ RAA4. | Q 1e 3 MP5. | Q ^ ~Q 2e 4 ^I6. ~P 3e 5 RAA

Regras Derivadas 2 – Contradição (CONTRAD):

{P, ~P} ├ Q Derivação:

1. P P2. ~P P3. | ~Q H4. | P ^ ~P 1 e 2 ^I5. ~~Q 3 e 4 RAA6. Q 5 p/ ~E

Regras Derivadas 3 - Silogismo Disjuntivo (SD):

{P v Q, ~P} ├ Q Solução:1. P v Q P2. ~P P3. | P H p/PC4. | Q 2 e 3 CONTRAD5. P Q 3 e 4 PC6. | Q H p/PC7. Q Q 6 e 6 PC8. Q 1 e 5 e 7 vE

Exercício: Mostre que os seguintes

argumentos são válidos: Se este argumento for incorreto e

válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

Solução: Identificando as Sentenças:

P: as premissas deste argumento são verdadeiras.

S: este argumento é correto. V: este argumento é válido.

Formalizando:{(~S ^ V) ~P, P, V} ├ S

Prova:{(~S ^ V) ~P, P, V} ├ S1. (~S ^ V) ~PP2. P P3. V P4. | ~S H p/RAA5. | ~S ^ V 3 e 4 ^I6. | ~P 1 e 5 MP7. | P ^ ~P 2 e 6 ^I8. ~~S 4 e 7 RAA9. S 8 ~E

Exercício: Deus não existe. Pois, se Deus

existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado.

{D V, ~V} ├ ~D Derivação:

1. D V P2. ~V P3. | D H4. | V 1 e 3 MP5. | V ^ ~V 2 e 4 ^I6. ~D 3 e 5 RAA

ou então:{D V, ~V} ├ ~D

1. D V P2. ~V P3. ~D 1 e 2 MT

Exercício: Se hoje é Quinta-feira, então

amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.

{Q X, X S} ├ Q S

Prova:{Q X, X S} ├ Q S

1. Q X P2. X S P3. | Q H4. | X 1e 3 MP5. | S 2e 4 MP6. Q S 3e 5 PC