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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO
ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO
ROBERTO DENIN LIU
RELATÓRIO DE FENÔMENOS MECÂNICOS
SANTO ANDRÉ
2009
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO
ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO
ROBERTO DENIN LIU
EXPERIÊNCIA 1 – GRANDEZAS FÍSICAS E INCERTEZAS
Trabalho apresentado como avaliação parcial da disciplina de Fenômenos Mecânicos do BC&T da UFABC.
Orientador: Profº Pedro
SANTO ANDRÉ
2009
Sumário
1. RESUMO ...........................................................................................................................3 2. INTRODUÇÃO..................................................................................................................3 3. OBJETIVOS.......................................................................................................................6 4. PARTE EXPERIMENTAL................................................................................................7
4.1. Materiais .....................................................................................................................7 4.2. Métodos ......................................................................................................................7
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................................................8 6. CONCLUSÃO..................................................................................................................10 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................11
3
1. RESUMO
O mundo é descrito por meio de grandezas, e estas grandezas são
mensuradas para que o mundo seja compreendido. Diante disso é necessário
utilizar instrumentos de medição apropriados e coletar vários dados e trabalhá-los
estatisticamente para eliminar os erros ocorridos durante o processo de medição.
Neste trabalho, demonstra-se como o valor de π não depende da unidade de
medida, todavia, nota-se que para alcançar um valor mais exato é necessário utilizar
subdivisões mais precisas da unidade de medição – neste caso “o Palito”.
Após a medição de corpos com diâmetros diferentes e passá-los pelo
tratamento estatístico, foi obtido o valor de π = 3,27, muito próximo do valor de π
conhecido como 3,14.
2. INTRODUÇÃO
A descrição do mundo está intrinsecamente ligada com as grandezas que o
constituem. Dessa forma é importante ter bem definidas as unidades que expressam
essas grandezas.
No SI (Sistema Internacional) de medidas, são usadas sete unidades
fundamentais: massa (Kilograma [Kg]), comprimento (metro [m]), tempo (segundo
[s]), temperatura termodinâmica (Kelvin [K]), intensidade de corrente elétrica
(ampère [A]), intensidade luminosa (candela [cd]) e quantidade de matéria
(mol).(FERRARO & SOARES, 1998)
Para se mensurar estas unidades utilizam-se equipamentos de medição
específicos para cada unidade, com o intuito de obter o valor real no momento da
medição.
Entretanto, como todo instrumento é construído de componentes reais, o
instrumento está sujeito a imperfeições e estas dão origens a erros. (BALBINOT &
BRUSAMARELLO, 2006), estes erros podem ser interpretados como variações
estatísticas das variáveis medidas.
A principal medida estatística para os valores centrais de uma distribuição é a
média ( x ), todavia, a média, é somente uma medida de posição, ela é a soma dos
valores observados divididos pelo número de elementos observados.
∑=
⋅=n
i
ixn
x1
1
(1.1) (BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006, p.40).
4
Contudo, resumir um conjunto de dados a um único elemento de posição “(...)
esconde toda a informação sobre a variabilidade [distribuição] do conjunto de
observações.” (BUSSAB, 2006 p.37), dessa forma, para visualizar a distribuição dos
valores observados, utilizam-se outras medidas estatísticas, as medidas de
dispersão. “Estas servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos
em torno da região central. Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no
conjunto de valores” (COSTA NETO, 1977 p.25).
As principais medidas de dispersão são: a amplitude (R), a variância (var; s2;
2σ ) o desvio-padrão (dp; s; σ ) e o coeficiente de variação (cv).
Os cálculos de variância e desvio-padrão para uma população de dados usam
o denominador n, para amostras de dados utiliza-se o denominador (n-1).
(BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006).
“A variância de um conjunto de dados é, por definição, a média dos quadrados
das diferenças dos valores em relação à sua média” (COSTA NETO, 1977 p.26), i.e.:
( )
n
xx
x
n
i
i∑=
−
== 1
2
22 )( σσPopulação (1.2) (COSTA NETO, 1977)
( )
1)( 1
2
22
−
−
==∑
=
n
xx
sxs
n
i
i
Amostra (1.3) (BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006)
“Como a variância é uma medida de dimensão igual ao quadrado da dimensão
dos dados, (...) [ela] pode causar problemas de interpretação” (BUSSAB, 2006 p.38),
Dessa forma, utiliza-se o desvio-padrão como a raiz da variância:
2)var()( xxdp = (1.4) (BUSSAB, 2006),
Reescrevendo (1.4) em (1.2) e (1.3):
( )
n
xxn
i
i∑=
−
== 1
2
2σσPopulação (1.5) (BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006)
( )
11
2
2
−
−
==∑
=
n
xx
ss
n
i
i
Amostra (1.6) (BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006)
“O desvio-padrão se expressa na mesma unidade da variável, sendo, por isso,
de maior interesse que a variância nas aplicações práticas” (COSTA NETO, 1977
p.28).
5
Todavia, não raras vezes a grandeza de nosso interesse não é medida
diretamente. Nestes casos, devem-se fazer medidas de uma grandeza física de
base, e com esses valores, calcular o valor da grandeza física derivada. Se há
incerteza na grandeza física base, esta estimativa deve ser transportada para a
grandeza física derivada através da fórmula (1.7): 2
2 2
1
.i
n
x
i i
f
xσ σ
=
∂=
∂ ∑
(1.7)
O valor de π em função do perímetro e do diâmetro é dada pela formula(1.8):
2 pp rπ πφ π
φ= = ⇒ =
(1.8)
Onde p é o perímetro da circunferência, r o raio e ø o diâmetro (ø está sendo
usado para não haver confusão com o “d” de derivada).
No caso do desvio-padrão, f é a função para se obter π tal que f(p, ø) = p / ø =
p. ø-1:
( ) ( )
2 2 221 1 12 2 2 1 2 2
2 22 1 2 2 2
22 2 2
2 4
( ) ( ) ( ). . . .
.1 . .( 1) .
1
p p
p
p
p p pp
p p
p
p
π φ φ
π φ
π φ
φ φ φσ σ σ φ σ σ
φ φ
σ φ σ φ σ
σ σ σφ φ
− − −−
− −
∂ ∂ ∂ ∂= + = +
∂ ∂ ∂ ∂
= + −
= +
(1.9)
Por meio da fórmula (1.9) pode-se encontrar o desvio-padrão de π a partir dos
médias do diâmetro (φ), do perímetro (p) e de seus respectivos desvios-padrão.
Algumas grandezas físicas podem ser expressas apenas com seu valor
absoluto, estas são ditas escalares, no entanto, outras como distância
(comprimento), velocidade, força, etc. necessitam ter direção e sentido, além do
módulo que corresponde ao valor numérico desta grandeza. (FERRARO &
SOARES, 1998)
As grandezas que necessitam de módulo, direção e sentido para serem
caracterizadas são chamadas de grandezas vetoriais. Para representá-las utiliza-se
a entidade matemática chamada de vetor. (FERRARO & SOARES, 1998)
O vetor possui módulo, direção e sentido e graficamente é um segmento de
reta orientado, indicado por uma letra sobre a qual coloca-se uma seta (Figura 1).
6
Figura 1 – Vetor
Os vetores podem ser escritos em função de suas componentes, quando se
utiliza um sistema de coordenadas. No caso dos eixos X, Y e Z, um vetor a�
será a
soma vetorial de suas componentes em cada eixo multiplicadas pelos versores
auxiliares i , j e k .
1 2 3ˆˆ ˆ( , , )x y za a a a a i a j a k= = + +
�
(1.10)
Os vetores podem ser somados e subtraídos entre si, multiplicados por um
escalar (número real), ou por outro vetor, podendo ser neste caso um produto
escalar ou vetorial (FERRARO & SOARES, 1998).
A soma de um vetor a�
com um vetor b�
, resulta em um vetor c�
(Figura 2):
c a b= +�
� �
(1.11)
Figura 2 – Soma de vetores
O produto de um vetor a�
por um escalar r , resulta em um vetor b�
:
b ra=��
(1.12)
O produto escalar dos vetores a�
e b�
, sendo α o ângulo entre eles:
. .cosa b a b α=� �� �
i (1.13)
O produto vetorial de vetores.
. .sina b a b α× =� �
� �
(1.14)
3. OBJETIVOS
Esta experiência tem por objetivo a compreensão da importância da ferramenta
estatística para analisar dados e reduzir erros amostrais. Para isto, será utilizada
uma unidade de medida de comprimento arbitrária, denominada palito, e com o uso
desta unidade, determinar o valor de π.
a b
c
a
7
Também é objetivo desta experiência adquirir domínio sobre vetores, usados
para representar as grandezas vetoriais e, suas propriedades de soma e produto
escalar.
4. PARTE EXPERIMENTAL
4.1. Materiais
Os materiais utilizados neste experimento foram:
- 1 Palito de madeira com 52,66 mm.
- 1 Régua de 30 cm e 1 régua de 15 cm.
- 1 Pedaço de barbante de aproximadamente 50 cm.
- 1 Paquímetro com capacidade de 200 mm e resolução 0,02 mm.
- 1 Béquer.
- 1 Cilindro de alumínio.
- 1 Tubo de ensaio.
4.2. Métodos
Para a medição do perímetro dos três objetos circulares, tendo o palito como
escala de medida, foi utilizado um fio de barbante de aproximadamente 50 cm. Cada
objeto – béquer, cilindro de alumínio e tubo de ensaio – foi medido contornando o
barbante à sua volta e marcando com auxílio de uma caneta o ponto em que o fio de
barbante completava uma volta em torno do objeto. Posteriormente, a parte marcada
no fio de barbante, que corresponde ao perímetro do objeto, foi medida com o palito.
Cada objeto foi medido 8 vezes, com exceção do cilindro de alumínio, medido
16 vezes.
Para a medição dos diâmetros, foi montado o esquema da Figura 3, para
permitir visualizar facilmente o diâmetro em função do tamanho do palito.
8
Figura 3 – Montagem para medição de diâmetro um função do palito.
Essa montagem foi possível devido aos encostos planos e paralelos das
réguas e do fundo do paquímetro fechado, que permite perpendicularidade entre os
componentes. Analogamente, pode-se dizer que foi adaptado um paquímetro com
os diversos instrumentos.
Quando o diâmetro do objeto for maior do que um palito, o palito deverá ficar
encostado do lado do paquímetro para seja garantida o paralelismo da medição.
Devido ao método utilizado na Figura 3, cada objeto teve seu diâmetro medido
apenas uma vez, sendo o valor usado obtido por consenso.
Todos valores obtidos a partir das medições realizadas, foram anotados para
posteriormente serem calculadas as médias, os erros/desvio padrão e o valor de π.
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
As tabelas 1 a 3 apresentam, respectivamente, os resultados das medições
do cilindro de alumínio, do béquer e do tubo de ensaio. Diante disso, pode-se
calcular aproximadamente o valor de π. Em seguida, são estimados os erros
cometidos.
9
Tabela 1 – Cilindro de alumínio
Medida D [P] p [P] (Dm-Di) (Dm-Di)2 (pm-pi) (pm-pi)
2
1 0,6 1,90 0,0 0,0 0,09 0,0077 2 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 3 0,6 1,95 0,0 0,0 0,04 0,0014 4 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 5 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 6 0,6 1,90 0,0 0,0 0,09 0,0077 7 0,6 1,95 0,0 0,0 0,04 0,0014 8 0,6 2,05 0,0 0,0 -0,06 0,0039 9 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002
10 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 11 0,6 2,05 0,0 0,0 -0,06 0,0039 12 0,6 2,05 0,0 0,0 -0,06 0,0039 13 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 14 0,6 2,05 0,0 0,0 -0,06 0,0039 15 0,6 1,95 0,0 0,0 0,04 0,0014 16 0,6 1,95 0,0 0,0 0,04 0,0014
Soma 9,60 31,80 0,0 0,00 0,0375 Dm pm σD σp
0,60 1,99 0,0 0,0500 π 3,3125 σπ 0,0069
Para calcular o valor de π, usa-se a fórmula do comprimento em função do raio
(1.8) e para encontrar o valor do desvio padrão de π, deve-se usar a fórmula (1.9).
Diante disso, utilizando os valores Dm e o pm, da Tabela 1 o valor de π obtido é
3,3125 com desvio padrão de 0,0069.
Tabela 2 – Cilindro de um béquer
Medida D [P] p [P] (Dm-Di) (Dm-Di)2 (pm-pi) (pm-pi)
2
1 1,3 4,20 0,0 0,0 0,05 0,0025 2 1,3 4,30 0,0 0,0 -0,05 0,0025 3 1,3 4,30 0,0 0,0 -0,05 0,0025 4 1,3 4,30 0,0 0,0 -0,05 0,0025 5 1,3 4,30 0,0 0,0 -0,05 0,0025 6 1,3 4,20 0,0 0,0 0,05 0,0025 7 1,3 4,40 0,0 0,0 -0,15 0,0225 8 1,3 4,00 0,0 0,0 0,25 0,0625
Soma 10,40 34,02 0,0 0,0 0,00 0,0904 Dm pm σD σP
1,30 4,25 0,0 0,1195 π 3,2692 σπ 0,0085
10
Usando os valores Dm e pm, o valor de π da Tabela 2 calculado é 3,2692 com
desvio padrão de 0,0085.
Tabela 3 – Cilindro do tubo de ensaio
Medida D [P] p [P] (Dm-Di) (Dm-Di)2 (pm-pi) (pm-pi)
2
1 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 2 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 3 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 4 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 5 0,4 1,40 0,0 0,0 0,10 0,0100 6 0,4 1,20 0,0 0,0 -0,10 0,0100 7 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 8 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000
Soma 3,20 10,40 0,0 0,0 0,00 0,0200 Dm pm σD σP
0,40 1,30 0,0 0,0535 π 3,2500 σπ 0,0179
Utilizando a Tabela 3, o valor de π calculado foi 3,2500 com desvio padrão de
0,0179.
A média entre os três valores de π de cada tabela igual a 3,2772 e a média dos
desvios-padrão de π igual a 0,0111.
Nota-se que os valores dos desvios-padrão são próximos de zero, o que
demonstra que os valores obtidos nas medições aproximam-se da média, indicando
maior precisão da medição.
6. CONCLUSÃO
O experimento mostra que quando a medição de uma grandeza física é
repetida em condições supostas idênticas, com o mesmo cuidado e procedimento,
não se obtém sempre o mesmo resultado, o que se obtém é um conjunto de valores
diferentes, em que cada um destes constitui um “valor medido” da referida grandeza.
Além disso, como uma medição nunca é exata, cada valor medido representa uma
aproximação do “valor verdadeiro” ou “valor real”.
As medidas referentes aos objetos do experimento, possuem uma incerteza
intrínseca que advém das características dos equipamentos utilizados na sua
determinação e também do operador. Foi possível constatar que essas fontes de
erro influem nas medições, ocasionando limitações, em que tais medições só
11
poderão ser obtidas com um grau finito de precisão. Portanto, esses fatores fazem
com que as medições realizadas, por mais cuidadosas que sejam, estejam afetadas
por erros experimentais.
Diante dos dados, foi possível obter um valor de π, muito próximo do valor
encontrado há séculos e difundido pela humanidade de 3,14. Percebe-se que a
unidade de medida não interfere no valor da constante trigonométrica.
Entretanto, o uso da unidade Palito, sendo esta unidade equivalente a 52,66
mm, mostrou muito grande para a medição dos objetos usados porque em diversos
momentos o valor da medida em frações de Palitos tornou-se muito impreciso, dado
o limite de uso de uma casa decimal de palito.
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BALBINOT, Alexandre; BRUSAMARELLO, Valner J. Instrumentação e fundamentos de medidas. Rio de janeiro: LTC, 2006. V.1. p. 13-21; 42-44.
BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5.ed. São Paulo: Saraiva, 2006.
COSTA NETO, Pedro L.O. Estatística. São Paulo: Edgar Blücher, 1977.
FERRARO, G.N.; SOARES, P.A.T. Física Básica. Volume Único. Editora Atual 1998.