UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO

ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO

ROBERTO DENIN LIU

RELATÓRIO DE FENÔMENOS MECÂNICOS

SANTO ANDRÉ

2009

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO

ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO

ROBERTO DENIN LIU

EXPERIÊNCIA 1 – GRANDEZAS FÍSICAS E INCERTEZAS

Trabalho apresentado como avaliação parcial da disciplina de Fenômenos Mecânicos do BC&T da UFABC.

Orientador: Profº Pedro

SANTO ANDRÉ

2009

Sumário

1. RESUMO ...........................................................................................................................3 2. INTRODUÇÃO..................................................................................................................3 3. OBJETIVOS.......................................................................................................................6 4. PARTE EXPERIMENTAL................................................................................................7

4.1. Materiais .....................................................................................................................7 4.2. Métodos ......................................................................................................................7

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................................................8 6. CONCLUSÃO..................................................................................................................10 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................11

3

1. RESUMO

O mundo é descrito por meio de grandezas, e estas grandezas são

mensuradas para que o mundo seja compreendido. Diante disso é necessário

utilizar instrumentos de medição apropriados e coletar vários dados e trabalhá-los

estatisticamente para eliminar os erros ocorridos durante o processo de medição.

Neste trabalho, demonstra-se como o valor de π não depende da unidade de

medida, todavia, nota-se que para alcançar um valor mais exato é necessário utilizar

subdivisões mais precisas da unidade de medição – neste caso “o Palito”.

Após a medição de corpos com diâmetros diferentes e passá-los pelo

tratamento estatístico, foi obtido o valor de π = 3,27, muito próximo do valor de π

conhecido como 3,14.

2. INTRODUÇÃO

A descrição do mundo está intrinsecamente ligada com as grandezas que o

constituem. Dessa forma é importante ter bem definidas as unidades que expressam

essas grandezas.

No SI (Sistema Internacional) de medidas, são usadas sete unidades

fundamentais: massa (Kilograma [Kg]), comprimento (metro [m]), tempo (segundo

[s]), temperatura termodinâmica (Kelvin [K]), intensidade de corrente elétrica

(ampère [A]), intensidade luminosa (candela [cd]) e quantidade de matéria

(mol).(FERRARO & SOARES, 1998)

Para se mensurar estas unidades utilizam-se equipamentos de medição

específicos para cada unidade, com o intuito de obter o valor real no momento da

medição.

Entretanto, como todo instrumento é construído de componentes reais, o

instrumento está sujeito a imperfeições e estas dão origens a erros. (BALBINOT &

BRUSAMARELLO, 2006), estes erros podem ser interpretados como variações

estatísticas das variáveis medidas.

A principal medida estatística para os valores centrais de uma distribuição é a

média ( x ), todavia, a média, é somente uma medida de posição, ela é a soma dos

valores observados divididos pelo número de elementos observados.

∑=

⋅=n

i

ixn

x1

1

(1.1) (BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006, p.40).

4

Contudo, resumir um conjunto de dados a um único elemento de posição “(...)

esconde toda a informação sobre a variabilidade [distribuição] do conjunto de

observações.” (BUSSAB, 2006 p.37), dessa forma, para visualizar a distribuição dos

valores observados, utilizam-se outras medidas estatísticas, as medidas de

dispersão. “Estas servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos

em torno da região central. Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no

conjunto de valores” (COSTA NETO, 1977 p.25).

As principais medidas de dispersão são: a amplitude (R), a variância (var; s2;

2σ ) o desvio-padrão (dp; s; σ ) e o coeficiente de variação (cv).

Os cálculos de variância e desvio-padrão para uma população de dados usam

o denominador n, para amostras de dados utiliza-se o denominador (n-1).

(BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006).

“A variância de um conjunto de dados é, por definição, a média dos quadrados

das diferenças dos valores em relação à sua média” (COSTA NETO, 1977 p.26), i.e.:

( )

n

xx

x

n

i

i∑=

−

== 1

2

22 )( σσPopulação (1.2) (COSTA NETO, 1977)

( )

1)( 1

2

22

−

−

==∑

=

n

xx

sxs

n

i

i

Amostra (1.3) (BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006)

“Como a variância é uma medida de dimensão igual ao quadrado da dimensão

dos dados, (...) [ela] pode causar problemas de interpretação” (BUSSAB, 2006 p.38),

Dessa forma, utiliza-se o desvio-padrão como a raiz da variância:

2)var()( xxdp = (1.4) (BUSSAB, 2006),

Reescrevendo (1.4) em (1.2) e (1.3):

( )

n

xxn

i

i∑=

−

== 1

2

2σσPopulação (1.5) (BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006)

( )

11

2

2

−

−

==∑

=

n

xx

ss

n

i

i

Amostra (1.6) (BALBINOT & BRUSAMARELLO, 2006)

“O desvio-padrão se expressa na mesma unidade da variável, sendo, por isso,

de maior interesse que a variância nas aplicações práticas” (COSTA NETO, 1977

p.28).

5

Todavia, não raras vezes a grandeza de nosso interesse não é medida

diretamente. Nestes casos, devem-se fazer medidas de uma grandeza física de

base, e com esses valores, calcular o valor da grandeza física derivada. Se há

incerteza na grandeza física base, esta estimativa deve ser transportada para a

grandeza física derivada através da fórmula (1.7): 2

2 2

1

.i

n

x

i i

f

xσ σ

=

∂=

∂ ∑

(1.7)

O valor de π em função do perímetro e do diâmetro é dada pela formula(1.8):

2 pp rπ πφ π

φ= = ⇒ =

(1.8)

Onde p é o perímetro da circunferência, r o raio e ø o diâmetro (ø está sendo

usado para não haver confusão com o “d” de derivada).

No caso do desvio-padrão, f é a função para se obter π tal que f(p, ø) = p / ø =

p. ø-1:

( ) ( )

2 2 221 1 12 2 2 1 2 2

2 22 1 2 2 2

22 2 2

2 4

( ) ( ) ( ). . . .

.1 . .( 1) .

1

p p

p

p

p p pp

p p

p

p

π φ φ

π φ

π φ

φ φ φσ σ σ φ σ σ

φ φ

σ φ σ φ σ

σ σ σφ φ

− − −−

− −

∂ ∂ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂

= + −

= +

(1.9)

Por meio da fórmula (1.9) pode-se encontrar o desvio-padrão de π a partir dos

médias do diâmetro (φ), do perímetro (p) e de seus respectivos desvios-padrão.

Algumas grandezas físicas podem ser expressas apenas com seu valor

absoluto, estas são ditas escalares, no entanto, outras como distância

(comprimento), velocidade, força, etc. necessitam ter direção e sentido, além do

módulo que corresponde ao valor numérico desta grandeza. (FERRARO &

SOARES, 1998)

As grandezas que necessitam de módulo, direção e sentido para serem

caracterizadas são chamadas de grandezas vetoriais. Para representá-las utiliza-se

a entidade matemática chamada de vetor. (FERRARO & SOARES, 1998)

O vetor possui módulo, direção e sentido e graficamente é um segmento de

reta orientado, indicado por uma letra sobre a qual coloca-se uma seta (Figura 1).

6

Figura 1 – Vetor

Os vetores podem ser escritos em função de suas componentes, quando se

utiliza um sistema de coordenadas. No caso dos eixos X, Y e Z, um vetor a�

será a

soma vetorial de suas componentes em cada eixo multiplicadas pelos versores

auxiliares i , j e k .

1 2 3ˆˆ ˆ( , , )x y za a a a a i a j a k= = + +

�

(1.10)

Os vetores podem ser somados e subtraídos entre si, multiplicados por um

escalar (número real), ou por outro vetor, podendo ser neste caso um produto

escalar ou vetorial (FERRARO & SOARES, 1998).

A soma de um vetor a�

com um vetor b�

, resulta em um vetor c�

(Figura 2):

c a b= +�

� �

(1.11)

Figura 2 – Soma de vetores

O produto de um vetor a�

por um escalar r , resulta em um vetor b�

:

b ra=��

(1.12)

O produto escalar dos vetores a�

e b�

, sendo α o ângulo entre eles:

. .cosa b a b α=� �� �

i (1.13)

O produto vetorial de vetores.

. .sina b a b α× =� �

� �

(1.14)

3. OBJETIVOS

Esta experiência tem por objetivo a compreensão da importância da ferramenta

estatística para analisar dados e reduzir erros amostrais. Para isto, será utilizada

uma unidade de medida de comprimento arbitrária, denominada palito, e com o uso

desta unidade, determinar o valor de π.

a b

c

a

7

Também é objetivo desta experiência adquirir domínio sobre vetores, usados

para representar as grandezas vetoriais e, suas propriedades de soma e produto

escalar.

4. PARTE EXPERIMENTAL

4.1. Materiais

Os materiais utilizados neste experimento foram:

- 1 Palito de madeira com 52,66 mm.

- 1 Régua de 30 cm e 1 régua de 15 cm.

- 1 Pedaço de barbante de aproximadamente 50 cm.

- 1 Paquímetro com capacidade de 200 mm e resolução 0,02 mm.

- 1 Béquer.

- 1 Cilindro de alumínio.

- 1 Tubo de ensaio.

4.2. Métodos

Para a medição do perímetro dos três objetos circulares, tendo o palito como

escala de medida, foi utilizado um fio de barbante de aproximadamente 50 cm. Cada

objeto – béquer, cilindro de alumínio e tubo de ensaio – foi medido contornando o

barbante à sua volta e marcando com auxílio de uma caneta o ponto em que o fio de

barbante completava uma volta em torno do objeto. Posteriormente, a parte marcada

no fio de barbante, que corresponde ao perímetro do objeto, foi medida com o palito.

Cada objeto foi medido 8 vezes, com exceção do cilindro de alumínio, medido

16 vezes.

Para a medição dos diâmetros, foi montado o esquema da Figura 3, para

permitir visualizar facilmente o diâmetro em função do tamanho do palito.

8

Figura 3 – Montagem para medição de diâmetro um função do palito.

Essa montagem foi possível devido aos encostos planos e paralelos das

réguas e do fundo do paquímetro fechado, que permite perpendicularidade entre os

componentes. Analogamente, pode-se dizer que foi adaptado um paquímetro com

os diversos instrumentos.

Quando o diâmetro do objeto for maior do que um palito, o palito deverá ficar

encostado do lado do paquímetro para seja garantida o paralelismo da medição.

Devido ao método utilizado na Figura 3, cada objeto teve seu diâmetro medido

apenas uma vez, sendo o valor usado obtido por consenso.

Todos valores obtidos a partir das medições realizadas, foram anotados para

posteriormente serem calculadas as médias, os erros/desvio padrão e o valor de π.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

As tabelas 1 a 3 apresentam, respectivamente, os resultados das medições

do cilindro de alumínio, do béquer e do tubo de ensaio. Diante disso, pode-se

calcular aproximadamente o valor de π. Em seguida, são estimados os erros

cometidos.

9

Tabela 1 – Cilindro de alumínio

Medida D [P] p [P] (Dm-Di) (Dm-Di)2 (pm-pi) (pm-pi)

2

1 0,6 1,90 0,0 0,0 0,09 0,0077 2 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 3 0,6 1,95 0,0 0,0 0,04 0,0014 4 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 5 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 6 0,6 1,90 0,0 0,0 0,09 0,0077 7 0,6 1,95 0,0 0,0 0,04 0,0014 8 0,6 2,05 0,0 0,0 -0,06 0,0039 9 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002

10 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 11 0,6 2,05 0,0 0,0 -0,06 0,0039 12 0,6 2,05 0,0 0,0 -0,06 0,0039 13 0,6 2,00 0,0 0,0 -0,01 0,0002 14 0,6 2,05 0,0 0,0 -0,06 0,0039 15 0,6 1,95 0,0 0,0 0,04 0,0014 16 0,6 1,95 0,0 0,0 0,04 0,0014

Soma 9,60 31,80 0,0 0,00 0,0375 Dm pm σD σp

0,60 1,99 0,0 0,0500 π 3,3125 σπ 0,0069

Para calcular o valor de π, usa-se a fórmula do comprimento em função do raio

(1.8) e para encontrar o valor do desvio padrão de π, deve-se usar a fórmula (1.9).

Diante disso, utilizando os valores Dm e o pm, da Tabela 1 o valor de π obtido é

3,3125 com desvio padrão de 0,0069.

Tabela 2 – Cilindro de um béquer

Medida D [P] p [P] (Dm-Di) (Dm-Di)2 (pm-pi) (pm-pi)

2

1 1,3 4,20 0,0 0,0 0,05 0,0025 2 1,3 4,30 0,0 0,0 -0,05 0,0025 3 1,3 4,30 0,0 0,0 -0,05 0,0025 4 1,3 4,30 0,0 0,0 -0,05 0,0025 5 1,3 4,30 0,0 0,0 -0,05 0,0025 6 1,3 4,20 0,0 0,0 0,05 0,0025 7 1,3 4,40 0,0 0,0 -0,15 0,0225 8 1,3 4,00 0,0 0,0 0,25 0,0625

Soma 10,40 34,02 0,0 0,0 0,00 0,0904 Dm pm σD σP

1,30 4,25 0,0 0,1195 π 3,2692 σπ 0,0085

10

Usando os valores Dm e pm, o valor de π da Tabela 2 calculado é 3,2692 com

desvio padrão de 0,0085.

Tabela 3 – Cilindro do tubo de ensaio

Medida D [P] p [P] (Dm-Di) (Dm-Di)2 (pm-pi) (pm-pi)

2

1 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 2 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 3 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 4 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 5 0,4 1,40 0,0 0,0 0,10 0,0100 6 0,4 1,20 0,0 0,0 -0,10 0,0100 7 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000 8 0,4 1,30 0,0 0,0 0,00 0,0000

Soma 3,20 10,40 0,0 0,0 0,00 0,0200 Dm pm σD σP

0,40 1,30 0,0 0,0535 π 3,2500 σπ 0,0179

Utilizando a Tabela 3, o valor de π calculado foi 3,2500 com desvio padrão de

0,0179.

A média entre os três valores de π de cada tabela igual a 3,2772 e a média dos

desvios-padrão de π igual a 0,0111.

Nota-se que os valores dos desvios-padrão são próximos de zero, o que

demonstra que os valores obtidos nas medições aproximam-se da média, indicando

maior precisão da medição.

6. CONCLUSÃO

O experimento mostra que quando a medição de uma grandeza física é

repetida em condições supostas idênticas, com o mesmo cuidado e procedimento,

não se obtém sempre o mesmo resultado, o que se obtém é um conjunto de valores

diferentes, em que cada um destes constitui um “valor medido” da referida grandeza.

Além disso, como uma medição nunca é exata, cada valor medido representa uma

aproximação do “valor verdadeiro” ou “valor real”.

As medidas referentes aos objetos do experimento, possuem uma incerteza

intrínseca que advém das características dos equipamentos utilizados na sua

determinação e também do operador. Foi possível constatar que essas fontes de

erro influem nas medições, ocasionando limitações, em que tais medições só

11

poderão ser obtidas com um grau finito de precisão. Portanto, esses fatores fazem

com que as medições realizadas, por mais cuidadosas que sejam, estejam afetadas

por erros experimentais.

Diante dos dados, foi possível obter um valor de π, muito próximo do valor

encontrado há séculos e difundido pela humanidade de 3,14. Percebe-se que a

unidade de medida não interfere no valor da constante trigonométrica.

Entretanto, o uso da unidade Palito, sendo esta unidade equivalente a 52,66

mm, mostrou muito grande para a medição dos objetos usados porque em diversos

momentos o valor da medida em frações de Palitos tornou-se muito impreciso, dado

o limite de uso de uma casa decimal de palito.

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BALBINOT, Alexandre; BRUSAMARELLO, Valner J. Instrumentação e fundamentos de medidas. Rio de janeiro: LTC, 2006. V.1. p. 13-21; 42-44.

BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5.ed. São Paulo: Saraiva, 2006.

COSTA NETO, Pedro L.O. Estatística. São Paulo: Edgar Blücher, 1977.

FERRARO, G.N.; SOARES, P.A.T. Física Básica. Volume Único. Editora Atual 1998.