Post on 17-Apr-2015
• Representação e características
• Operações I– Adição (subtração)– Multiplicação por um escalar
• Decomposição
• Operações II– Produto de Vetores
• Produto Escalar• Produto Vetorial
1
Vetores
2
Vetores
Mapa 1: a partir do centro do terreno ande um metro;
Mapa 2: a partir do centro do terreno ande um metro na direção perpendicular ao portão;
Mapa 3: a partir do centro do terreno ande um metro se aproximando do portão e na direção perpendicular a ele.
3
Procura em todos os pontos do círculocom raio de 1m e centro na pedra.
Procura nos pontos A e B.
Vai direto ao local.
4
Informações completas: tamanho (1m) direção (perpendicular ao muro que contém o portão) sentido (se aproximando do portão)
grandezas VETORIAIS
→representação →simbólica:
→geométrica: segmento de reta orientado
d
5
São iguais: mesmo módulo mesma direção mesmo sentido
Independentemente de serem aplicados em pontos diferentes.
Operações:
• Adição
• Multiplicação por um escalar
7
8
Procedimento geométrico: ADIÇÃO
213 ddd
1)
2)
Representação Simbólica:
Representação Geométrica
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3 1 2 2 1d d d d d
A ordem não importa!
A figura é um paralelogramo: • Vetores se somam pela regra do paralelogramo:
Consiste na obtenção do vetor resultante graficamente.
Procedimento geométrico: ADIÇÃO
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Procedimento geométrico: ADIÇÃO
4 1 2 3d d d d
• Mais de 2 vetores
4 1 2 3( )d d d d
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Procedimento geométrico: MULTIPLICAÇÃO
1d
3d
2d
3 13d d
2 12d d
0Se a mesma direção de d
d
o mesmo sentido o módulo igual a d
0 d
mesma direção de d
sentido oposto ao de
módulo igual a
d
d
Se
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Procedimento geométrico: ADIÇÃO
• Módulo:
2 2
3 1 2 1 22 cosd d d d d
• Direção: ângulo que o vetor faz com um eixo de referência.
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a b b a
1)
A comutatividade da soma de vetores já foi demonstrada. Ela permite trocar a ordem dos vetores em uma soma.
2)
O vetor 0
e é o elemento neutro da soma de vetores.
Ele é um vetor com módulo zero.
Existe
tal que3)
a e a
e V
b V
0a b
tal que
Existe
O vetor b a
é o vetor simétrico da soma de vetores.
a
-a
Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
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A soma de
4) ( ) ( )a b c a b c
É a propriedade de Associatividade da soma de vetores já mencionada.
Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
( )a c
de um vetor a
com um vetor simétrico c
define a subtração de vetores. Para realizá-la é suficiente aplicar aregra do paralelogramo a esses vetores
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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
As propriedades 1 (comutativa) e 4 (associativa) permitem escrever a soma de vetores sem os parênteses, uma vez que a ordem em que os vetores são somados não altera o resultado, isto é,
cbacbacba
)()(
5) ( ) ( )a a
)( a
a
)(A comparação entre os módulos, as direções e os sentidos dos vetores
e mostram que eles são iguais.
onde e são dois números reais.
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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
6) ( )b c b c
onde é um número real.
É a propriedade de distributiva.
Vamos supor inicialmente que 0
cbcb
a
a
16 e 461646
Semelhança de triângulos (123 e 146) permite escrever:
o segmento de reta orientado é o vetor b
o segmento de reta orientado
46
14 é o vetor a
o segmento de reta orientado 16 é o vetor c
o triângulo 146 define a soma ba e tem como
resultado o vetor a
)( bacba
isto é:
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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
7)
É uma consequência da regra que define a soma de vetores e das propriedades geométricas de um triângulo.
a b a b a b
Triângulo construído com os vetores ab
bac
, e
Os lados de um triângulo satisfazem a desigualdade triangular, isto é
bacba
bac
sendo
a b a b a b
Ela mostra claramente que, em geral, o módulo da soma de vetores é menor do que a soma dos módulos dos vetores. A igualdade só se verificase os vetores forem colineares (com a mesma direção e o mesmo sentido).
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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
As propriedades demonstradas anteriormente permitem simplificação de expressões vetoriais e a decomposição dos vetores em bases ortogonais.
0))(87()25(43
baxaba
Exemplo 1: Simplifique as seguintes expressões vetoriais:
4( ) 3( 2 ) 4[5(2 3 ) ] 0a c b a b a b c
a)
b)
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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
3 4(5 2 ) (7 8( )) 0a b a x a b
Exemplo 1: Simplifique a seguinte expressão vetorial:
3 20 8 56 56 0
(3 8 56) (20 56) 0
7645 76 0
45
a b a a b
a b
a b a b
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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
Exemplo 1: Simplifique a seguinte expressão vetorial:
4 4 3 6 40 60 4 0
(1 3 40) (4 6 60) (4 4) 0
70 3536 70 0
36 1835
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a c b a b a b c
a b c
a b a b b
a b
4( ) 3( 2 ) 4[5(2 3 ) ] 0a c b a b a b c
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Exemplo 2:
Na figura a seguir estão representados os alguns vetores.
a) Realize geometricamente as operações descritas nos itens de a até e. b) Qual é em cada um dos casos o módulo e a direção do vetor ? d
51 ddd
32dd
1
1
d
dd
31 2ddd
541 dddd
a)
b)
c)
d)
e)
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Projeção de vetores (Decomposição)
• As regras para a somar de vetores e multiplicar vetores por números reais apresentadas têm o inconveniente de dependerem da qualidade dos desenhos elaborados.
• Representar os vetores em bases apropriadas:
x
y
Por uma questão de simplicidade, escolhe-se
representar todos os vetores de um plano em termos de
dois vetores unitários perpendiculares.
Vetores unitários são aqueles que tem módulo um
yx ddd 111
jsendjdd yyˆ)(ˆ
111
ididd xxˆ)cos(ˆ
111
24
2xd
2d
2 2ˆ
x xd d i
2 2ˆ
y yd d j
negativa
yx ddd 222
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Exercício
26
Exercício
Produto Escalar
27
cosabba
zzyyxx
zyxzyx
babababa
kbjbibkajaiaba
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(
kbjbibb
kajaiaa
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
0ˆˆˆˆˆˆ
1ˆˆˆˆˆˆ
kjkiji
kkjjii
a
b
Produto Escalar
28
zzyyxx bababaabba cos
ab
bababa zzyyxx cos
Produto Vetorial
29
bac
Regra da mão direita
Produto Vetorial
30
)(21
21
senvvv
vvv
)(21
21
senvvn
vvvn
v